隨機(jī)信號分析與應(yīng)用第三章

第三章

隨機(jī)信號通過線性系統(tǒng)分析

隨機(jī)信號分析2023/1/3123.1線性系統(tǒng)基本理論3.2連續(xù)時間系統(tǒng)的線性系統(tǒng)分析主要內(nèi)容3.3離散時間系統(tǒng)的線性系統(tǒng)分析3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.5希爾伯特變換和解析過程3.6窄帶隨機(jī)過程表示3.7窄帶隨機(jī)過程包絡(luò)和相位的特性3.8正弦信號與窄帶SP之和的包絡(luò)和相位的特性2023/1/3133.2連續(xù)時間系統(tǒng)的線性系統(tǒng)分析主要內(nèi)容3.3離散時間系統(tǒng)的線性系統(tǒng)分析3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.5希爾伯特變換和解析過程3.6窄帶隨機(jī)過程表示3.7窄帶隨機(jī)過程包絡(luò)和相位的特性3.8正弦信號與窄帶SP之和的包絡(luò)和相位的特性3.1線性系統(tǒng)基本理論2023/1/314系統(tǒng)可分為：（1）線性系統(tǒng)：線性放大器、線性濾波器（2）非線性系統(tǒng)：限幅器、平方律檢波器對于線性系統(tǒng)：已知系統(tǒng)特性和輸入信號的統(tǒng)計特性，可以求出系統(tǒng)輸出信號的統(tǒng)計特性3.1線性系統(tǒng)的基本理論2023/1/315下面的分析限定系統(tǒng)是單輸入單輸出（響應(yīng)）的、連續(xù)或離散時不變的、線性的和物理可實現(xiàn)的穩(wěn)定系統(tǒng)。連續(xù)時間系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸入和輸出都是連續(xù)時間信號；離散時間系統(tǒng)：系統(tǒng)的輸入和輸出都是離散時間信號。連續(xù)與離散系統(tǒng)：（1）線性性：（2）時不變：

線性時不變系統(tǒng)：稱作算子2023/1/316什么是線性系統(tǒng)？時不變線性系統(tǒng)連續(xù)時不變線性系統(tǒng)離散時不變線性系統(tǒng)3.1線性系統(tǒng)的基本理論2023/1/317時不變線性系統(tǒng)若任意常數(shù)a,b,輸入信號x1(t),x2(t),有L[ax1(t)+bx2(t)]=aL[x1(t)]+bL[x2(t)]若輸入信號x(t)時移時間C,輸出y(t)也只引起一個相同的時移，即y(t-C)=L[x(t-C)]L[.]x(t)y(t)=L[x(t)]3.1線性系統(tǒng)的基本理論什么是線性系統(tǒng)？2023/1/318連續(xù)時不變線性系統(tǒng)h(t)x(t)y(t)=x(t)*h(t)3.1線性系統(tǒng)的基本理論什么是線性系統(tǒng)？與單位沖擊響應(yīng)的卷積2023/1/3193.1線性系統(tǒng)的基本理論3.1.2連續(xù)時不變線性系統(tǒng)的分析方法1.時域分析2．頻域分析3.物理可實現(xiàn)的穩(wěn)定系統(tǒng)如果當(dāng)時，所有實際的物理可實現(xiàn)系統(tǒng)都是因果的。，那么該系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)。2023/1/31103.1線性系統(tǒng)的基本理論3.1.3離散時不變線性系統(tǒng)的分析方法1.時域分析2．頻域分析3.物理可實現(xiàn)的穩(wěn)定系統(tǒng)如果當(dāng)時，，那么該系統(tǒng)稱為因果系統(tǒng)。物理可實現(xiàn)穩(wěn)定系統(tǒng)的極點都位于z平面的單位圓內(nèi)。2023/1/31113.2連續(xù)時間系統(tǒng)的線性系統(tǒng)分析主要內(nèi)容3.3離散時間系統(tǒng)的線性系統(tǒng)分析3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.5希爾伯特變換和解析過程3.6窄帶隨機(jī)過程表示3.7窄帶隨機(jī)過程包絡(luò)和相位的特性3.8正弦信號與窄帶SP之和的包絡(luò)和相位的特性3.1線性系統(tǒng)基本理論2023/1/3112在給定系統(tǒng)的條件下，輸出信號的某個統(tǒng)計特性只取決于輸入信號的相應(yīng)的統(tǒng)計特性。根據(jù)輸入隨機(jī)信號的均值、相關(guān)函數(shù)和功率譜密度，再加上已知線性系統(tǒng)單位沖激響應(yīng)或傳遞函數(shù)，就可以求出輸出隨機(jī)信號相應(yīng)的均值、相關(guān)函數(shù)和功率譜密度

分析方法：卷積積分法；頻域法。3.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析2023/1/31133.2.1時域分析法

1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）

2、輸出的均值

3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)

5、系統(tǒng)輸出的高階距3.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析2023/1/31143.2.1時域分析法

1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）

2、輸出的均值

3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)

5、系統(tǒng)輸出的高階距3.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析?輸入為隨機(jī)信號X(t)的某個實驗結(jié)果的一個樣本函數(shù)，則輸出為：系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)一個確定性函數(shù)一個確定性函數(shù)2023/1/31153.2.1時域分析法

1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）

2、輸出的均值

3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)

5、系統(tǒng)輸出的高階距3.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析對于隨機(jī)信號任意一個樣本函數(shù)均成立。：

那么對于所有的試驗結(jié)果，系統(tǒng)輸出為一族樣本函數(shù)，這族樣本函數(shù)構(gòu)成隨機(jī)過程2023/1/31163.2.1時域分析法

1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）

2、輸出的均值

3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)

5、系統(tǒng)輸出的高階距3.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析證明

若為平穩(wěn)SP，則2023/1/31173.2.1時域分析法

1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）

2、輸出的均值

3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)

5、系統(tǒng)輸出的高階距3.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析

結(jié)論：由于系統(tǒng)的輸出是系統(tǒng)輸入的作用結(jié)果，因此，系統(tǒng)輸入輸出之間是相關(guān)的，系統(tǒng)輸入輸出相關(guān)函數(shù)為2023/1/31183.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析

證明：由于系統(tǒng)的輸出是系統(tǒng)輸入的作用結(jié)果，因此，系統(tǒng)輸入輸出之間是相關(guān)的，系統(tǒng)輸入輸出相關(guān)函數(shù)為

(3.2.8

若輸入為平穩(wěn)隨機(jī)過程2023/1/31193.2.1時域分析法

1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）

2、輸出的均值

3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)

5、系統(tǒng)輸出的高階距3.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析

結(jié)論：已知系統(tǒng)輸入隨機(jī)信號的自相關(guān)函數(shù)，可以求出系統(tǒng)輸出端的自相關(guān)函數(shù)

2023/1/31203.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析證明：已知系統(tǒng)輸入隨機(jī)信號的自相關(guān)函數(shù)，可以求出系統(tǒng)輸出端的自相關(guān)函數(shù)

2023/1/31213.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析證明：已知系統(tǒng)輸入隨機(jī)信號的自相關(guān)函數(shù)，可以求出系統(tǒng)輸出端的自相關(guān)函數(shù)

2023/1/31223.2.1時域分析法

1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）

2、輸出的均值

3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)

5、系統(tǒng)輸出的高階距3.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析

系統(tǒng)輸出的n階矩的一般表達(dá)式為

2023/1/31233.2.1時域分析法

系統(tǒng)輸出的平穩(wěn)性和遍歷性

3.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析前提:系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時。在這種情況下，t=0系統(tǒng)輸出響應(yīng)在已處于穩(wěn)態(tài)結(jié)論1：若輸入是寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)輸出也是寬平穩(wěn)的，且輸入與輸出聯(lián)合寬平穩(wěn)。結(jié)論2：若輸入是嚴(yán)平穩(wěn)的，則輸出也是嚴(yán)平穩(wěn)的。結(jié)論3：若輸入是寬遍歷性的，則輸出也是寬遍歷性的，且聯(lián)合遍歷2023/1/31243.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析結(jié)論1：若輸入是寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)輸出也是寬平穩(wěn)的，且輸入與輸出聯(lián)合寬平穩(wěn)。若輸入為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，則有：

2023/1/31253.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析結(jié)論1：若輸入是寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)輸出也是寬平穩(wěn)的，且輸入與輸出聯(lián)合寬平穩(wěn)。

2023/1/31263.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析結(jié)論2：若輸入是嚴(yán)平穩(wěn)的，則輸出也是嚴(yán)平穩(wěn)的。因為

對于時不變系統(tǒng)，若時移常數(shù)T，有輸出和分別是輸入和與的卷積，即可以表示成級數(shù)和的形式。由于隨機(jī)信號是嚴(yán)平穩(wěn)的，所以與具有相同的n維概率密度函數(shù)，這樣與也應(yīng)該具有相同的n維概率密度函數(shù)，即是嚴(yán)平穩(wěn)的。2023/1/31273.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析由的寬遍歷的定義得結(jié)論3：若輸入是寬遍歷性的，則輸出也是寬遍歷性的，且聯(lián)合遍歷則輸出的時間平均2023/1/31283.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析結(jié)論3：若輸入是寬遍歷性的，則輸出也是寬遍歷性的，且聯(lián)合遍歷

2023/1/31293.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析

例3.1如圖3.1所示的低通電路，已知輸入信號是寬平穩(wěn)的穩(wěn)定的隨機(jī)信號，其均值為，假設(shè)是相關(guān)函數(shù)為的白噪聲，求：①求輸出均值；②輸出的自相關(guān)函數(shù)；③輸出平均功率；④輸入與輸出間互相關(guān)函數(shù)：2023/1/31303.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析

例3.2應(yīng)用舉例：設(shè)某線性系統(tǒng)輸入為相關(guān)函數(shù)的白噪聲，如果測得系統(tǒng)輸入和輸出的互相關(guān)函數(shù)，求這個線性系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。2023/1/31313.2.2頻域分析法

3.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析1、輸出的均值

2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度

3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度

4、拉氏變換與付氏變換關(guān)系2023/1/31323.2.2頻域分析法

3.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析1、輸出的均值

2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度

3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度

4、拉氏變換與付氏變換關(guān)系2023/1/31333.2.2頻域分析法

3.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析1、輸出的均值

2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度

3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度

4、拉氏變換與付氏變換關(guān)系

由，兩邊取付氏變換得：

表示，有：

2023/1/31343.2.2頻域分析法

3.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析1、輸出的均值

2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度

3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度

4、拉氏變換與付氏變換關(guān)系2023/1/31353.2.2頻域分析法

3.2隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析1、輸出的均值

2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度

3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度

4、拉氏變換與付氏變換關(guān)系當(dāng)不可積時，可積。因此對于隨機(jī)信號，通常情況下其拉氏變換存在。

2023/1/31363.2連續(xù)時間系統(tǒng)的線性系統(tǒng)分析主要內(nèi)容3.3離散時間系統(tǒng)的線性系統(tǒng)分析3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.5希爾伯特變換和解析過程3.6窄帶隨機(jī)過程表示3.7窄帶隨機(jī)過程包絡(luò)和相位的特性3.8正弦信號與窄帶SP之和的包絡(luò)和相位的特性3.1線性系統(tǒng)基本理論2023/1/31373.3.1時域分析法

1、輸出表達(dá)式

2、輸出的均值

3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)3.2隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析2023/1/31383.3.1時域分析法

1、輸出表達(dá)式

2、輸出的均值

3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)3.2隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析系統(tǒng)的輸出等于輸入信號與單位沖激響應(yīng)的卷積和可以證明，在假定系統(tǒng)是穩(wěn)定的、輸入有界的條件下，上式在均方收斂的意義下是存在的。2023/1/31393.3.1時域分析法

1、輸出表達(dá)式

2、輸出的均值

3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)

3.3隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析證明

若為平穩(wěn)SP，則2023/1/31403.3.1時域分析法

1、輸出表達(dá)式

2、輸出的均值

3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)3.3隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析

2023/1/31413.3.1時域分析法

1、輸出表達(dá)式

2、輸出的均值

3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)3.3隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析

2023/1/31423.3.1時域分析法

1、輸出表達(dá)式

2、輸出的均值

3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)3.3隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析

2023/1/31433.3.2頻域分析法

3.3隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析1、功率譜密度表達(dá)式

2、輸出平均功率的計算2023/1/31443.3.2頻域分析法

3.3隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析1、功率譜密度表達(dá)式

2、輸出平均功率的計算若系統(tǒng)輸入隨機(jī)信號是寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)的輸出也是寬平穩(wěn)的，那么有2023/1/31453.3.2頻域分析法

3.3隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析1、功率譜密度表達(dá)式

2、輸出平均功率的計算系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)為2023/1/31463.3.2頻域分析法

3.3隨機(jī)信號通過離散時間系統(tǒng)的分析1、功率譜密度表達(dá)式

2、輸出平均功率的計算式中l(wèi)代表z平面上的單位圓2023/1/31473.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.1白噪聲通過線性系統(tǒng)分析設(shè)連續(xù)線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為或，其輸入白噪聲功率譜密度為＝，那么系統(tǒng)輸出的功率譜密度為

或物理譜密度為2023/1/31483.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.1白噪聲通過線性系統(tǒng)分析輸出自相關(guān)函數(shù)為

輸出平均功率為

注意：上式表明，若輸入端是具有均勻譜的白噪聲，則輸出端隨機(jī)信號的功率譜密度主要由系統(tǒng)的幅頻特性決定，不再保持常數(shù)。這是因為無線電系統(tǒng)都具有一定的選擇性，系統(tǒng)只允許與其頻率特性一致的頻率分量通過的原因。

2023/1/31493.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.23dB帶寬2023/1/31503.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.3等效噪聲帶寬當(dāng)系統(tǒng)比較復(fù)雜時，計算系統(tǒng)輸出噪聲的統(tǒng)計特性是困難的。在實際中為了計算方便，常常用一個幅頻響應(yīng)為矩形的理想系統(tǒng)等效代替實際系統(tǒng)，在等效時要用到一個非常重要的概念——等效噪聲帶寬，它被定義為理想系統(tǒng)的帶寬。2023/1/3151等效的原則

理想系統(tǒng)與實際系統(tǒng)在同一白噪聲激勵下,兩個系統(tǒng)的輸出平均功率相等理想系統(tǒng)的增益等于實際系統(tǒng)的最大增益3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.3等效噪聲帶寬2023/1/3152計算實際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬H(0)|H(w)|max|H(w)|0wK|HI(w)|0w功率譜密度為白噪聲激勵

消耗在1電阻上的系統(tǒng)輸出端總平均功率為

理想線性系統(tǒng)對同一白噪聲輸入的輸出總平均功率為3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.3等效噪聲帶寬2023/1/3153實際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬為

對于一般的低通濾波器的最大值出現(xiàn)在＝0處，即對于中心頻率為帶通系統(tǒng)(如單調(diào)諧回路)

的最大值出現(xiàn)在處，即3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.3等效噪聲帶寬2023/1/3154實際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬為

拉氏變換

代入

系統(tǒng)輸出平均功率

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.3等效噪聲帶寬2023/1/3155小結(jié)：由系統(tǒng)的等效噪聲帶寬可求出系統(tǒng)的輸出噪聲功率，當(dāng)系統(tǒng)輸入白噪聲時，僅使用參數(shù)和就可以描述非常復(fù)雜的線性系統(tǒng)及其噪聲響應(yīng)。

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.3等效噪聲帶寬2023/1/3156A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時間

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過理想低通線性系統(tǒng)

2023/1/3157A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時間

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過理想低通線性系統(tǒng)

2023/1/3158A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時間

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過理想低通線性系統(tǒng)

2023/1/3159A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時間

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過理想低通線性系統(tǒng)

2023/1/3160A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時間

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過理想低通線性系統(tǒng)

2023/1/3161A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時間

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過理想低通線性系統(tǒng)

該式表明：輸出隨機(jī)信號的相關(guān)時間與系統(tǒng)的帶寬成反比。這就是說，系統(tǒng)帶寬越寬，相關(guān)時間越小，輸出隨機(jī)信號隨時間變化(起伏)越劇烈；反之，系統(tǒng)帶寬越窄，則越大，輸出隨機(jī)信號隨時間變化就越緩慢。

2023/1/3162A|H

(w)|0系統(tǒng)的中心頻率遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的帶寬，則稱這樣的系統(tǒng)為窄帶系統(tǒng)。3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過理想帶通線性系統(tǒng)

2023/1/31633.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過理想帶通線性系統(tǒng)

若輸入白噪聲的物理，則輸出的物理譜為

2023/1/31643.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過理想帶通線性系統(tǒng)

輸出相關(guān)函數(shù)為

2023/1/3165輸出自相關(guān)函數(shù)等于與的乘積，其中只包含的成分。當(dāng)滿足時，與相比，是的慢變化函數(shù)，而是的快變化函數(shù)。可見是RY()的慢變化部分是RY()的包絡(luò)。而是RY()的快變化部分．

理想帶通系統(tǒng)輸出的相關(guān)函數(shù)等于其相應(yīng)的低通系統(tǒng)輸出的相關(guān)函數(shù)與的乘積。3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過理想帶通線性系統(tǒng)

2023/1/31663.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過理想帶通線性系統(tǒng)

2023/1/31673.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過理想帶通線性系統(tǒng)

輸出的相關(guān)系數(shù)為

帶通系統(tǒng)輸出的平均功率為

帶通系統(tǒng)的相關(guān)時間是由相關(guān)系數(shù)的慢變部分定義的，因此帶通系統(tǒng)的相關(guān)時間與低通系統(tǒng)的相關(guān)時間一致：2023/1/31683.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過理想高斯線性系統(tǒng)

高斯帶通系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：設(shè)輸入白噪聲的功率譜系統(tǒng)輸出功率譜為

2023/1/31693.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過理想高斯線性系統(tǒng)

高斯帶通系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：設(shè)輸入白噪聲的功率譜輸出相關(guān)函數(shù)

2023/1/31703.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過理想高斯線性系統(tǒng)

高斯帶通系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：設(shè)輸入白噪聲的功率譜輸出相關(guān)函數(shù)

2023/1/31713.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過理想高斯線性系統(tǒng)

高斯帶通系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：設(shè)輸入白噪聲的功率譜輸出平均功率

相關(guān)系數(shù)2023/1/31723.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過理想高斯線性系統(tǒng)

高斯帶通系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為：設(shè)輸入白噪聲的功率譜

等效噪聲帶寬相關(guān)時間2023/1/31733.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.5線性系統(tǒng)輸出的概率分布

2023/1/3174線性系統(tǒng)輸出端隨機(jī)信號的概率分布難輸入隨機(jī)信號為高斯過程

系統(tǒng)輸入為非高斯過程，其帶寬遠(yuǎn)大于線性系統(tǒng)的通頻帶的情況

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.5線性系統(tǒng)輸出的概率分布

2023/1/3175線性系統(tǒng)輸入為高斯過程，則該系統(tǒng)輸出仍為高斯過程若系統(tǒng)輸入端的平穩(wěn)隨機(jī)過程為非高斯分布，只要輸入過程的等效噪聲帶寬遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的通頻帶時，則系統(tǒng)輸出端便能得到接近于高斯分布的隨機(jī)過程。3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.5線性系統(tǒng)輸出的概率分布

為什么上述兩種情況下成立?2023/1/3176線性系統(tǒng)輸入為高斯過程，則該系統(tǒng)輸出仍為高斯過程級數(shù)表示若我們將X(t)和Y(t)兩個隨機(jī)過程都用相應(yīng)的多維隨機(jī)變量來代替。于是，隨機(jī)過程的線性變換實際上可以看成是由一組線性方程組表示的多維隨機(jī)變量的線性變換。這樣，根據(jù)第一章的有關(guān)結(jié)論可知：當(dāng)X(t)為高斯過程時，多維高斯變量經(jīng)線性變換以后，得到的多維隨機(jī)變量仍是高斯型的。因此Y(t)是高斯過程。

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.5線性系統(tǒng)輸出的概率分布

7676

(a)

(b)2023/1/3177若系統(tǒng)輸入端的平穩(wěn)隨機(jī)過程為非高斯分布，只要輸入過程的等效噪聲帶寬遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的通頻帶時，則系統(tǒng)輸出端便能得到接近于高斯分布的隨機(jī)過程?；舅枷耄涸谑?a)中，根據(jù)中心極限定理，大量統(tǒng)計獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的分布接近于高斯分布。因此，Y(t)接近于高斯分布。條件：（1）隨機(jī)變量必須相互獨(dú)立；（2）獨(dú)立隨機(jī)變量求和的數(shù)目要足夠多。為隨機(jī)變量，它是非高斯的。How?How?3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.5線性系統(tǒng)輸出的概率分布

2023/1/3178分析：下面研究使非高斯隨機(jī)信號激勵下的線性系統(tǒng)輸出端的隨機(jī)信號的分布趨于高斯分布的條件。輸入隨機(jī)過程采樣值之間相互獨(dú)立的條件之間是互不相關(guān)的；隨機(jī)變量求和數(shù)目足夠多的條件設(shè)線性系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)的建立時間為，則輸出可近似寫成：其中，，顯然，隨機(jī)變量求和數(shù)目足夠多的條件是之間是統(tǒng)計獨(dú)立的。3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.5線性系統(tǒng)輸出的概率分布

若系統(tǒng)輸入端的平穩(wěn)隨機(jī)過程為非高斯分布，只要輸入過程的等效噪聲帶寬遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的通頻帶時，則系統(tǒng)輸出端便能得到接近于高斯分布的隨機(jī)過程。2023/1/3179物理解釋：線性動態(tài)系統(tǒng)具有惰性，不能立即對輸入信號作出響應(yīng)，它需要有一定的建立時間足夠小于是輸出過程的分布將與原輸入過程的分布相接近足夠大綜上所述，當(dāng)，或簡寫為時，輸出隨機(jī)過程Y(t)在任意時刻t上，皆為大量獨(dú)立隨機(jī)變量之和。因此，線性系統(tǒng)在非高斯隨機(jī)信號激勵下，其輸出隨機(jī)信號的分布趨于高斯分布，而與輸入隨機(jī)信號是否服從高斯分布無關(guān)。系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)h(t)近似于這時系統(tǒng)對輸入響應(yīng)極快，使輸入過程通過系統(tǒng)后失真很小這樣當(dāng)輸入為非高斯過程時，在輸出就不可能得到高斯分布的隨機(jī)過程。3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬2023/1/3180因為如果那么即輸入過程的相關(guān)時間與其等效噪聲帶寬成反比即系統(tǒng)建立時間與其3dB帶寬成反比線性系統(tǒng)的輸入過程的等效噪聲帶寬遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的通頻帶時，系統(tǒng)輸出過程的概率接近于高斯分布。

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.5線性系統(tǒng)輸出的概率分布

2023/1/31813.5希爾伯特變換和解析過程3.5.1希爾伯特變換

設(shè)有一個實值函數(shù)，它的希爾伯特變換記作（或記作）

2023/1/31823.5希爾伯特變換和解析過程3.5.1希爾伯特變換

希爾伯特變換的單位沖激響應(yīng)及其傳遞函數(shù)證明：由對稱性性質(zhì)：若，則因為，所以整理得：2023/1/31833.5希爾伯特變換和解析過程3.5.1希爾伯特變換

希爾伯特逆變換

為希爾伯特逆變換的單位沖激響應(yīng)證明：若輸入信號為通過一個濾波器輸出為2023/1/31843.5希爾伯特變換和解析過程3.5.1希爾伯特變換

證明：若輸入信號為通過一個濾波器輸出為顯然有：所以反變換2023/1/31853.5希爾伯特變換和解析過程3.5.1希爾伯特變換

希爾伯特變換相當(dāng)于一個正交濾波器2023/1/31863.5希爾伯特變換和解析過程3.5.2解析過程及其性質(zhì)

定義：給定任一實隨機(jī)過程定義一復(fù)隨機(jī)過程的希爾伯特變換是為實隨機(jī)過程的復(fù)解析過程，簡稱解析過程。2023/1/31873.5希爾伯特變換和解析過程3.5.2解析過程及其性質(zhì)

（1）若為實平穩(wěn)隨機(jī)過程，則也是實平穩(wěn)過程，且聯(lián)合平穩(wěn)。因為希爾伯特變換是線性變換，線性系統(tǒng)輸入為平穩(wěn)過程，輸出也為平穩(wěn)過程，且聯(lián)合平穩(wěn)。2023/1/31883.5希爾伯特變換和解析過程3.5.2解析過程及其性質(zhì)

（1）若為實平穩(wěn)隨機(jī)過程，則也是實平穩(wěn)過程，且聯(lián)合平穩(wěn)。（2）實函數(shù)與其希爾伯特變換的相關(guān)函數(shù)和功率譜相同經(jīng)付氏反變換，得：2023/1/31893.5希爾伯特變換和解析過程3.5.2解析過程及其性質(zhì)

（1）若為實平穩(wěn)隨機(jī)過程，則也是實平穩(wěn)過程，且聯(lián)合平穩(wěn)。（2）實函數(shù)與其希爾伯特變換的相關(guān)函數(shù)和功率譜相同（3）證明代入令2023/1/31903.5希爾伯特變換和解析過程3.5.2解析過程及其性質(zhì)

（1）若為實平穩(wěn)隨機(jī)過程，則也是實平穩(wěn)過程，且聯(lián)合平穩(wěn)。（2）實函數(shù)與其希爾伯特變換的相關(guān)函數(shù)和功率譜相同（3）證明2023/1/31913.5希爾伯特變換和解析過程3.5.2解析過程及其性質(zhì)

（1）若為實平穩(wěn)隨機(jī)過程，則也是實平穩(wěn)過程，且聯(lián)合平穩(wěn)。（2）實函數(shù)與其希爾伯特變換的相關(guān)函數(shù)和功率譜相同（3）（4）2023/1/31923.5希爾伯特變換和解析過程3.5.2解析過程及其性質(zhì)

（5）證明：=2023/1/31933.5希爾伯特變換和解析過程3.5.2解析過程及其性質(zhì)

（5）（6）（7）2023/1/31943.5希爾伯特變換和解析過程3.5.2解析過程及其性質(zhì)

（5）（6）（7）（8）證明：由性質(zhì)3，=兩邊取付氏變換得2023/1/31953.5希爾伯特變換和解析過程3.5.2解析過程及其性質(zhì)

（5）（6）（7）（8）（9）證明：由性質(zhì)7，兩邊取付氏變換2023/1/31963.6窄帶隨機(jī)過程表示3.6.1窄帶隨機(jī)過程

定義：若的功率譜密度滿足

且，稱為高頻窄帶隨機(jī)過程，簡稱窄帶隨機(jī)過程2023/1/31973.6窄帶隨機(jī)過程表示3.6.1窄帶隨機(jī)過程

2023/1/31983.6窄帶隨機(jī)過程表示3.6.2窄帶隨機(jī)過程的表達(dá)式

包絡(luò)相位中心頻率2023/1/31993.6窄帶隨機(jī)過程表示3.6.2窄帶隨機(jī)過程的表達(dá)式

包絡(luò)相位中心頻率萊斯表達(dá)式2023/1/311003.6窄帶隨機(jī)過程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

都是實隨機(jī)過程都是平穩(wěn)隨機(jī)過程，且聯(lián)合平穩(wěn)為平穩(wěn)過程，且假設(shè)其均值為0。

2023/1/311013.6窄帶隨機(jī)過程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

都是實隨機(jī)過程證明：因為和都是實過程。由都是實隨機(jī)過程所以2023/1/311023.6窄帶隨機(jī)過程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

都是實隨機(jī)過程都是平穩(wěn)隨機(jī)過程，且聯(lián)合平穩(wěn)2023/1/311033.6窄帶隨機(jī)過程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

證明：因為由假設(shè)，所以，因此，2023/1/311043.6窄帶隨機(jī)過程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

都是實隨機(jī)過程都是平穩(wěn)隨機(jī)過程，且聯(lián)合平穩(wěn)2023/1/311053.6窄帶隨機(jī)過程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

都是平穩(wěn)隨機(jī)過程，且聯(lián)合平穩(wěn)證明：+++因為：，所以它與t無關(guān)2023/1/311063.6窄帶隨機(jī)過程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

都是實隨機(jī)過程都是平穩(wěn)隨機(jī)過程，且聯(lián)合平穩(wěn)2023/1/311073.6窄帶隨機(jī)過程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

證明：由性質(zhì)3，當(dāng)2023/1/311083.6窄帶隨機(jī)過程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

都是實隨機(jī)過程都是平穩(wěn)隨機(jī)過程，且聯(lián)合平穩(wěn)2023/1/311093.6窄帶隨機(jī)過程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

證明：++2023/1/311103.6窄帶隨機(jī)過程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

都是實隨機(jī)過程都是平穩(wěn)隨機(jī)過程，且聯(lián)合平穩(wěn)2023/1/311113.6窄帶隨機(jī)過程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

證明：由性質(zhì)5，2023/1/311123.6窄帶隨機(jī)過程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

都是實隨機(jī)過程都是平穩(wěn)隨機(jī)過程，且聯(lián)合平穩(wěn)2023/1/311133.6窄帶隨機(jī)過程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

證明：+2023/1/311143.6窄帶隨機(jī)過程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

都是實隨機(jī)過程都是平穩(wěn)隨機(jī)過程，且聯(lián)合平穩(wěn)2023/1/311153.6窄帶隨機(jī)過程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

證明：由性質(zhì)3，有兩邊取付氏變換，注意=2023/1/311163.6窄帶隨機(jī)過程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

證明：2023/1/311173.6窄帶隨機(jī)過程表示3.6.3萊斯表達(dá)式的性質(zhì)

2023/1/311183.7窄帶隨機(jī)過程包絡(luò)和相位的特性3.7.1窄帶隨機(jī)過程包絡(luò)與相位的慢變化特性定理：當(dāng)為窄帶隨機(jī)過程，即的功率譜帶寬是慢變換的隨機(jī)過程。和，證明：因為是低頻限帶隨機(jī)過程，即它們的功率譜只在區(qū)間內(nèi)非0，且則=2023/1/311193.7窄帶隨機(jī)過程包絡(luò)和相位的特性證明：此式說明：若，在t到的時間內(nèi)，的變化的均方值遠(yuǎn)小于的均方值。因為，即，令由切比雪夫不等式：令，注意帶入上式，得：2023/1/311203.7窄帶隨機(jī)過程包絡(luò)和相位的特性證明：即，即足夠小時，對于給定的右式趨近于0。這就是說，為窄帶隨機(jī)過程時，在一個高頻周期內(nèi)，的變化大于的概率趨于0。也就是說，為慢變換的隨機(jī)過程，同理，也為慢變化隨機(jī)過程，則包絡(luò)，相位也是慢變化的隨機(jī)過程。2023/1/311213.7窄帶隨機(jī)過程包絡(luò)和相位的特性3.7.2包絡(luò)和相位的一維概率密度假設(shè)窄帶高斯實隨機(jī)過程的均值為0，方差為表示成萊斯表示式令t固定，邊沿概率密度二維r.v.函數(shù)的概率密度變換2023/1/311223.7窄帶隨機(jī)過程包絡(luò)和相位的特性3.7.2包絡(luò)和相位的一維概率密度關(guān)于at和bt的統(tǒng)計特性2023/1/311233.7窄帶隨機(jī)過程包絡(luò)和相位的特性3.7.2包絡(luò)和相位的一維概率密度利用二維隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度變換有：式中J為雅可比行列式，有==2023/1/311243.7窄帶隨機(jī)過程包絡(luò)和相位的特性3.7.2包絡(luò)和相位的一維概率密度2023/1/311253.7窄帶隨機(jī)過程包絡(luò)和相位的特性3.7.3窄帶高斯隨機(jī)過程包絡(luò)平方的概率密度已經(jīng)推導(dǎo)出=概率密度為指數(shù)函數(shù)2023/1/311263.8正弦信號與窄帶SP之和的包絡(luò)和相位的特性3.8.1正弦信號與窄帶隨機(jī)過程之和的包絡(luò)與相位概率密度函數(shù)假設(shè)式中a、為已知常數(shù)；均勻分布的隨機(jī)變量平穩(wěn)窄帶實高斯隨機(jī)過程，具有零均值和方差功率譜密度對稱于表示成萊斯表示式2023/1/311273.8正弦信號與窄帶SP之和的包絡(luò)和相位的特性3.8.1正弦信號與窄帶隨機(jī)過程之和的包絡(luò)與相位概率密度函數(shù)令于是，低頻限帶隨機(jī)過程同樣準(zhǔn)正弦振蕩慢變化隨機(jī)過程概率密度函數(shù)?2023/1/311283.8正弦信號與窄帶SP之和的包絡(luò)和相位的特性3.8.1正弦信號與窄帶隨機(jī)過程之和的包絡(luò)與相位概率密度函數(shù)先把固定，再把t固定，得到隨機(jī)變量1、求條件二維聯(lián)合概率密度函數(shù)互相獨(dú)立的高斯變量2023/1/311293.8正弦信號與窄帶SP之和的包絡(luò)和相位的特性3.8.1正弦信號與窄帶隨機(jī)過程之和的包絡(luò)與相位概率密度函數(shù)2、由隨機(jī)變量的函數(shù)的概率分布求2023/1/311303.8正弦信號與窄帶SP之和的包絡(luò)和相位的特性3.8.1正弦信號與窄帶隨機(jī)過程之和的包絡(luò)與相位概率密度函數(shù)2023/1/311313.8正弦信號與窄帶SP之和的包絡(luò)和相位的特性3.8.1正弦信號與窄帶隨機(jī)過程之和的包絡(luò)與相位概率密度函數(shù)3.由邊沿分布求的條件概率密度為因此正弦型信號加窄帶高斯噪聲包絡(luò)的一維概率密度為132時域分析法

1、輸出表達(dá)式（零狀態(tài)響應(yīng)，因果系統(tǒng)）隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析對于隨機(jī)信號任意一個樣本函數(shù)均成立。：

那么對于所有的試驗結(jié)果，系統(tǒng)輸出為一族樣本函數(shù)，這族樣本函數(shù)構(gòu)成隨機(jī)過程2、輸出的均值

若為平穩(wěn)SP，則3、系統(tǒng)輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)

若輸入為平穩(wěn)隨機(jī)過程2023/1/31134時域分析法

4、系統(tǒng)輸出的自相關(guān)函數(shù)

2023/1/31134

2023/1/31135平穩(wěn)性和遍歷性結(jié)論1：若輸入是寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)輸出也是寬平穩(wěn)的，且輸入與輸出聯(lián)合寬平穩(wěn)。若輸入為寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，則有：

2023/1/31136平穩(wěn)性和遍歷性結(jié)論1：若輸入是寬平穩(wěn)的，則系統(tǒng)輸出也是寬平穩(wěn)的，且輸入與輸出聯(lián)合寬平穩(wěn)。

2023/1/31137平穩(wěn)性和遍歷性結(jié)論2：若輸入是嚴(yán)平穩(wěn)的，則輸出也是嚴(yán)平穩(wěn)的。因為

對于時不變系統(tǒng)，若時移常數(shù)T，有輸出和分別是輸入和與的卷積，即可以表示成級數(shù)和的形式。由于隨機(jī)信號是嚴(yán)平穩(wěn)的，所以與具有相同的n維概率密度函數(shù)，這樣與也應(yīng)該具有相同的n維概率密度函數(shù)，即是嚴(yán)平穩(wěn)的。2023/1/31138平穩(wěn)性和遍歷性由的寬遍歷的定義得結(jié)論3：若輸入是寬遍歷性的，則輸出也是寬遍歷性的，且聯(lián)合遍歷則輸出的時間平均2023/1/31139平穩(wěn)性和遍歷性結(jié)論3：若輸入是寬遍歷性的，則輸出也是寬遍歷性的，且聯(lián)合遍歷

2023/1/31140隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析

例3.1如圖3.1所示的低通電路，已知輸入信號是寬平穩(wěn)的穩(wěn)定的隨機(jī)信號，其均值為，假設(shè)是相關(guān)函數(shù)為的白噪聲，求：①求輸出均值；②輸出的自相關(guān)函數(shù)；③輸出平均功率；④輸入與輸出間互相關(guān)函數(shù)：2023/1/31141隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析

例3.2應(yīng)用舉例：設(shè)某線性系統(tǒng)輸入為相關(guān)函數(shù)的白噪聲，如果測得系統(tǒng)輸入和輸出的互相關(guān)函數(shù)，求這個線性系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。2023/1/31142頻域分析法

隨機(jī)信號通過連續(xù)時間系統(tǒng)的分析1、輸出的均值2023/1/31

由，兩邊取付氏變換得：

表示，有：

2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度2023/1/31143頻域分析法

1、輸出的均值

2、系統(tǒng)輸出的功率譜密度

3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度

4、拉氏變換與付氏變換關(guān)系

由，兩邊取付氏變換得：

表示，有：

2023/1/31頻域分析法3、系統(tǒng)輸入與輸出間互譜密度2023/1/311453.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.1白噪聲通過線性系統(tǒng)分析輸出自相關(guān)函數(shù)為

輸出平均功率為

注意：上式表明，若輸入端是具有均勻譜的白噪聲，則輸出端隨機(jī)信號的功率譜密度主要由系統(tǒng)的幅頻特性決定，不再保持常數(shù)。這是因為無線電系統(tǒng)都具有一定的選擇性，系統(tǒng)只允許與其頻率特性一致的頻率分量通過的原因。

2023/1/311463.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.23dB帶寬2023/1/311473.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.3等效噪聲帶寬當(dāng)系統(tǒng)比較復(fù)雜時，計算系統(tǒng)輸出噪聲的統(tǒng)計特性是困難的。在實際中為了計算方便，常常用一個幅頻響應(yīng)為矩形的理想系統(tǒng)等效代替實際系統(tǒng)，在等效時要用到一個非常重要的概念——等效噪聲帶寬，它被定義為理想系統(tǒng)的帶寬。2023/1/31148等效的原則

理想系統(tǒng)與實際系統(tǒng)在同一白噪聲激勵下,兩個系統(tǒng)的輸出平均功率相等理想系統(tǒng)的增益等于實際系統(tǒng)的最大增益3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.3等效噪聲帶寬2023/1/31149計算實際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬H(0)|H(w)|max|H(w)|0wK|HI(w)|0w功率譜密度為白噪聲激勵

消耗在1電阻上的系統(tǒng)輸出端總平均功率為

理想線性系統(tǒng)對同一白噪聲輸入的輸出總平均功率為3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.3等效噪聲帶寬2023/1/31150實際系統(tǒng)的等效噪聲帶寬為

對于一般的低通濾波器的最大值出現(xiàn)在＝0處，即對于中心頻率為帶通系統(tǒng)(如單調(diào)諧回路)

的最大值出現(xiàn)在處，即3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.3等效噪聲帶寬2023/1/31151A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時間

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過理想低通線性系統(tǒng)

2023/1/31152A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時間

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過理想低通線性系統(tǒng)

2023/1/31153A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時間

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過理想低通線性系統(tǒng)

2023/1/31154A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時間

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過理想低通線性系統(tǒng)

2023/1/31155A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時間

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過理想低通線性系統(tǒng)

2023/1/31156A0設(shè)白噪聲的物理譜輸出的物理譜

輸出的自相關(guān)函數(shù)

輸出平均功率

輸出相關(guān)系數(shù)

輸出相關(guān)時間

3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過理想低通線性系統(tǒng)

該式表明：輸出隨機(jī)信號的相關(guān)時間與系統(tǒng)的帶寬成反比。這就是說，系統(tǒng)帶寬越寬，相關(guān)時間越小，輸出隨機(jī)信號隨時間變化(起伏)越劇烈；反之，系統(tǒng)帶寬越窄，則越大，輸出隨機(jī)信號隨時間變化就越緩慢。

2023/1/31157A|H

(w)|0系統(tǒng)的中心頻率遠(yuǎn)大于系統(tǒng)的帶寬，則稱這樣的系統(tǒng)為窄帶系統(tǒng)。3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過理想帶通線性系統(tǒng)

2023/1/311583.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過理想帶通線性系統(tǒng)

若輸入白噪聲的物理，則輸出的物理譜為

2023/1/311593.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過理想帶通線性系統(tǒng)

輸出相關(guān)函數(shù)為

2023/1/31160輸出自相關(guān)函數(shù)等于與的乘積，其中只包含的成分。當(dāng)滿足時，與相比，是的慢變化函數(shù)，而是的快變化函數(shù)?？梢娛荝Y()的慢變化部分是RY()的包絡(luò)。而是RY()的快變化部分．

理想帶通系統(tǒng)輸出的相關(guān)函數(shù)等于其相應(yīng)的低通系統(tǒng)輸出的相關(guān)函數(shù)與的乘積。3.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過理想帶通線性系統(tǒng)

2023/1/311613.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過理想帶通線性系統(tǒng)

2023/1/311623.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4白噪聲通過理想帶通線性系統(tǒng)

輸出的相關(guān)系數(shù)為

帶通系統(tǒng)輸出的平均功率為

帶通系統(tǒng)的相關(guān)時間是由相關(guān)系數(shù)的慢變部分定義的，因此帶通系統(tǒng)的相關(guān)時間與低通系統(tǒng)的相關(guān)時間一致：2023/1/311633.43dB帶寬和等效噪聲帶寬3.4.4