《變化率與導數(shù)》沖刺3

《變化率與導數(shù)》試卷一、選擇題(每小題7分，共42分)1．(2010·佛山模擬)一質(zhì)點沿直線運動，如果由始點起經(jīng)過t秒后的位移為s＝eq\f(1,3)t3－eq\f(3,2)t2＋2t，那么速度為零的時刻是 ()A．0秒 B．1秒末C．2秒末 D．1秒末和2秒末解析∵s＝eq\f(1,3)t3－eq\f(3,2)t2＋2t，∴v＝s′(t)＝t2－3t＋2，令v＝0，得t1＝1，t2＝2.答案D2．(2009·臨沂模擬)若點P是曲線y＝x2－lnx上任意一點，則點P到直線y＝x－2的最小距離為 ()A．1 \r(2) \f(\r(2),2) \r(3)解析過點P作y＝x－2的平行直線，且與曲線y＝x2－lnx相切，設(shè)P(x0，xeq\o\al(2,0)－lnx0)，則k＝y(tǒng)′|x＝x0＝2x0－eq\f(1,x0)，∴2x0－eq\f(1,x0)＝1，∴x0＝1或x0＝－eq\f(1,2)(舍去)．∴P(1,1)，∴d＝eq\f(|1－1－2|,\r(1＋1))＝eq\r(2).答案B3．(2009·潮州一模)若曲線y＝x4的一條切線l與直線x＋4y－8＝0垂直，則l的方程為()A．4x－y－3＝0 B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0解析y′＝4x3＝4，得x＝1，即切點為(1,1)，所以過該點的切線方程為y－1＝4(x－1)，整理得4x－y－3＝0.答案A4．(2010·聊城模擬)曲線y＝ex在點(2，e2)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為()\f(9,4)e2 B．2e2 C．e2 \f(e2,2)解析∵點(2，e2)在曲線上，∴切線的斜率k＝y(tǒng)′|x＝2＝ex|x＝2＝e2，∴切線的方程為y－e2＝e2(x－2)．即e2x－y－e2＝0.與兩坐標軸的交點坐標為(0，－e2)，(1,0)，∴S△＝eq\f(1,2)×1×e2＝eq\f(e2,2).答案D5．(2009·全國Ⅰ理，9)已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a的值為()A．1 B．2 C．－1 解析設(shè)直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)的切點為(x0，y0)，則y0＝1＋x0，y0＝ln(x0＋a)，又y′＝eq\f(1,x＋a)，∴y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0))＝eq\f(1,x0＋a)＝1，即x0＋a＝1.又y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，∴x0＝－1，∴a＝2.答案B6．(2009·安徽文，9)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(sinθ,3)x3＋eq\f(\r(3)cosθ,2)x2＋tanθ，其中θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,12)))，則導數(shù)f′(1)的取值范圍是 ()A．[－2,2] B．[eq\r(2)，eq\r(3)]C．[eq\r(3)，2] D．[eq\r(2)，2]解析由已知f′(x)＝sinθ·x2＋eq\r(3)cosθ·x，∴f′(1)＝sinθ＋eq\r(3)cosθ＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))，又θ∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,12))).∴eq\f(π,3)≤θ＋eq\f(π,3)≤eq\f(3π,4)，∴eq\f(\r(2),2)≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))≤1，∴eq\r(2)≤f′(1)≤2.答案D二、填空題(每小題6分，共18分)7.（2010·廈門調(diào)研）如圖所示，函數(shù)f(x)的圖象是折線段ABC，其中A，B，C的坐標分別為（0，4），（2，0），（6，4），則f（f（0））=；0eq\f(f(1＋Δx)－f(1),Δx)＝________.(用數(shù)字作答)解析由A(0,4)，B(2,0)可得線段AB所在直線的方程為f(x)＝－2x＋4(0≤x≤2)．同理BC所在直線的方程為f(x)＝x－2(2<x≤6)．所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋4(0≤x≤2)，,x－2(2<x≤6)，))所以f(0)＝4，f(4)＝2.答案2－28．(2009·福建理，14)若曲線f(x)＝ax5＋lnx存在垂直于y軸的切線，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析∵f′(x)＝5ax4＋eq\f(1,x)，x∈(0，＋∞)，∴由題知5ax4＋eq\f(1,x)＝0在(0，＋∞)上有解．即a＝－eq\f(1,5x5)在(0，＋∞)上有解．∵x∈(0，＋∞)，∴－eq\f(1,5x5)∈(－∞，0)．∴a∈(－∞，0)．答案(－∞，0)9．(2009·江蘇，9)在平面直角坐標系xOy中，點P在曲線C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限內(nèi)，已知曲線C在點P處的切線斜率為2，則點P的坐標為________．解析設(shè)P(x0，y0)(x0<0)，由題意知：y′|x＝x0＝3xeq\o\al(2,0)－10＝2，∴xeq\o\al(2,0)＝4.∴x0＝－2，∴y0＝15.∴P點的坐標為(－2,15)．答案(－2,15)三、解答題(共40分)10．(13分)(2009·衡陽模擬)求曲線f(x)＝x3－3x2＋2x過原點的切線方程．解f′(x)＝3x2－6x＋2.設(shè)切線的斜率為k.(1)當切點是原點時k＝f′(0)＝2，所以所求曲線的切線方程為y＝2x.(2)當切點不是原點時，設(shè)切點是(x0，y0)，則有y0＝xeq\o\al(3,0)－3xeq\o\al(2,0)＋2x0，k＝f′(x0)＝3xeq\o\al(2,0)－6x0＋2，①又k＝eq\f(y0,x0)＝xeq\o\al(2,0)－3x0＋2，②由①②得x0＝eq\f(3,2)，k＝eq\f(y0,x0)＝－eq\f(1,4).∴所求曲線的切線方程為y＝－eq\f(1,4)x.11．(13分)(2010·紹興月考)設(shè)t≠0，點P(t,0)是函數(shù)f(x)＝x3＋ax與g(x)＝bx2＋c的圖象的一個公共點，兩函數(shù)的圖象在點P處有相同的切線．試用t表示a，b，c.解因為函數(shù)f(x)，g(x)的圖象都過點(t,0)，所以f(t)＝0，即t3＋at＝0.因為t≠0，所以a＝－t2.g(t)＝0，即bt2＋c＝0，所以c＝ab.又因為f(x)，g(x)在點(t,0)處有相同的切線，所以f′(t)＝g′(t)．而f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2bx，所以3t2＋a＝2bt.將a＝－t2代入上式得b＝t.因此c＝ab＝－t3.故a＝－t2，b＝t，c＝－t3.12．(14分)(2010·廈門模擬)設(shè)有拋物線C：y＝－x2＋eq\f(9,2)x－4，通過原點O作C的切線y＝kx，使切點P在第一象限．(1)求k的值；(2)過點P作切線的垂線，求它與拋物線的另一個交點Q的坐標．解(1)設(shè)點P的坐標為(x1，y1)，則y1＝kx1.①y1＝－xeq\o\al(2,1)＋eq\f(9,2)x1－4.②①代入②得xeq\o\al(2,1)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－\f(9,2)))x1＋4＝0.∵P為切點，∴Δ＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(k－\f(9,2)))2－16＝0，得k＝eq\f(17,2)或k＝eq\f(1,2).當k＝eq\f(17,2)時，x1＝－2，y1＝－17.當k＝eq\f(1,2)時，x1＝2，y1＝1