FIR數(shù)字濾波器的基本原理及設(shè)計(jì)方法

第一章FIR數(shù)字濾波器的基本原理及設(shè)計(jì)方法有限長單位脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器（FIRDF，F(xiàn)initeImpulseResponseDigitalFilter）IIRDF主要對幅頻特性進(jìn)行逼FIRDFIIRDF高的多，但是同時(shí)考慮幅頻特性指標(biāo)和線FIRDF。FIRDFMATLAB工具箱函數(shù)的介紹。FIR數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)方法有窗函數(shù)法、頻率采樣法和基于firls函數(shù)和remez函數(shù)的最優(yōu)化方法。MATLAB語言中的數(shù)字信號處理工具箱，提供了一些濾波器的函數(shù)，使FIR濾波器的運(yùn)算更加方便和快捷。在MATLAB中提供的fir1(),FIRFIRfmm分別為濾波器的期望幅頻響應(yīng)的頻率相Firls()remez()IIIFIR濾波器，III型的區(qū)別是偶函數(shù)還是奇函數(shù)。freqz()用于求數(shù)字濾波器的頻率1.1 窗函數(shù)法設(shè)計(jì)FIR設(shè)我們所要設(shè)計(jì)的FIR濾波器的傳輸函數(shù)是Hd位脈沖響應(yīng)，因此

(ej ),hd

是與其對應(yīng)的單H (ej)d

hdn

(n)ej

（1-1）h(n) 1d

H

(ej)ejnd

（1-2)如果我們能夠在Hd

(ej)已知的情況下，求出hd

(n)，經(jīng)過Z變換可得到濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。通常情況下理想數(shù)字濾波器的單位脈沖相應(yīng)hd

(n)是無限長的，且是非因果序列。獲得有限脈沖響應(yīng)濾波器的一種可能方法是對hd

(n)截取一段h(n)來近似代替hd差。

(n)，可是這樣會改變原來的濾波器指標(biāo)，出現(xiàn)吉布斯效應(yīng)誤窗函數(shù)法就是用被稱為窗函數(shù)的有限加權(quán)序列w(n)來修正式(1)的傅里葉基數(shù)以求得要求的有限脈沖響應(yīng)序列h(n)，即dh(n)h(n)w(n) （1-3）dw(n)是有限長序列，當(dāng)n<0或n>N-1時(shí)，w(n)=0。這種方法的重點(diǎn)在于選擇某種合適的窗函數(shù)。要求窗函數(shù)主瓣寬度盡可能衰減大。下面介紹幾種常用的窗函數(shù)：1.矩形窗(RectangleWindow)其頻率函數(shù)為：

w (n)RR

(n) （3-4）Rsin(N/2) jNRW(ej) sin(/2) e

（3-5）三角形窗(BartlettWindow) 2n , 0n1(N1) N1 2w (n)

2n 1

（3-6）Br 2 , (N1)nN1 N1 2其頻率函數(shù)為：2

W(ej)

ej 2

（3-7)Br N2)漢寧(Hanning)窗，又稱升余弦窗w (n)11cos()

(n) （3-8）Hn 2N1N利用傅里葉變換得到頻率函數(shù)為： NW(e)

(N

)W

(N

)e 2 R 2W N2Hn

1 R 1

（3-9）當(dāng)N 1時(shí)，N1N，所以窗函數(shù)的幅度函數(shù)為W

0.25 )W)

(3-10)N N Hn

R R 漢明(Hamming)窗，又稱改進(jìn)的升余弦窗w

0.46cos( )

(n)

（3-11）Hm

N1N其幅度函數(shù)為：W

(

)

(

2)NN

（3-12）Hm R R R 布萊克曼(Blankman)窗，又稱二階升余弦窗 w (n)0.420.5cos(N

)0.08cos(N

)R

(n) （3-13)Bl 1其幅度函數(shù)為：

1 NW

(

2)W

(

2)N1 N1Bl 0.04

(

R4)

(

R)

(3-14）N1 W N1 R R凱澤(Kaiser)窗I(1[12nI(1[12n/(N1)]2)0

0nN1 （3-15）k I()0其中：β是一個(gè)可自由選擇的參數(shù)，I0(x)是第一類修正零階貝塞爾函數(shù)[10].上述窗函數(shù)的基本參數(shù)如下表窗函數(shù)旁瓣峰值幅度/db過渡帶寬阻帶最小衰減/db矩形窗-134/N-21三角形窗-268/N-25漢寧窗-318/N-44漢明窗-408/N-53布萊克曼窗-5712/N-74凱澤窗-5710/N-80窗函數(shù)法設(shè)計(jì)濾波器的步驟：根據(jù)技術(shù)要求確定待求濾波器的單位取樣響應(yīng)h(n。dN。h(n)：h(n)h(n)(n) （3-16)d式中,(n)是前面所選擇好的窗函數(shù)。檢驗(yàn)技術(shù)指標(biāo)是否滿足要求。根據(jù)下式計(jì)算：H(e

j)N1h(n)ejnn0

(3-17)H(e不滿足要求，根據(jù)具體情況重復(fù)步驟(2)(3)(4)為止。本文以一個(gè)FIR濾波器的設(shè)計(jì)為例說明如何使用MATLAB設(shè)計(jì)數(shù)字濾波器FIRWp=0.4*,Ws=0.5*,3db40db。程序如下：Wp=0.4*pi;Ws=0.5*pi;Wdel=Ws-Wp;N=ceil(8*pi/Wdel);Wn=(0.4+0.5)*pi/2;window=hanning(N+1);b=fir1(N,Wn/pi,window);freqz(b,1,512)程序執(zhí)行后得幅頻和相頻如下圖所示：M

500-50-100-1500 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 NormalizedFrequency( rad/sample)

0.9 1edeaP

0-1000-2000-3000-40000 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 NormalizedFrequency( rad/sample)

0.9 1圖1.1頻率采樣法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器對理想濾波器的系統(tǒng)函數(shù) Hd(z)進(jìn)行頻率采樣以得到系統(tǒng)的理想頻響Hd(ejw)的等間隔采樣值H(k)H(k)實(shí)際上是所要求的濾波器的單位采樣響應(yīng)(h(n))的離散傅里葉變換（DF，如下試：N1

1

jwN1N

j

sin(Nw)2H(ejw)

Nk0N

H(k)(wk ) eN N

2k0

k)2 N

(3-18)h(n)

1N1H(k)Nk0

2j knN (3-19)為了減小H（k）的通帶邊緣由于抽樣點(diǎn)的變化而引起的起伏振蕩，可以增加過渡點(diǎn)，加寬過渡帶以減小通帶的起伏。sin(Nw)/sin(w)成正比，并位移（2k）/N的頻2 2H（k）FIR點(diǎn)過渡可以使阻帶衰減提高到-44~54dB,二點(diǎn)過渡衰減-65~75,三點(diǎn)過渡衰減-85~95dB.如果不能使過渡帶太寬，同時(shí)要求增大阻帶衰減，可以增加取樣點(diǎn)數(shù)N，但這樣會增加計(jì)算量、延時(shí)和誤差。FIR濾波器設(shè)計(jì)步驟：(1)Hd(ejw)(2)根據(jù)過渡帶寬和阻帶衰減確定過渡點(diǎn)數(shù)和h(n)的長度N。 H(k)H (z) d ze2 jk/N(3)由IFFT計(jì)算IDFT得到：H(n)

1N1 j2knH(k)H(k)ek0低通帶邊緣：w1p=0.35*;高通帶邊緣：w2p=0.65*;高阻帶邊緣：w2s=0.8*。t1t2t1=0.109021,t2=0.59417456。設(shè)計(jì)程序如下：M=40;al=(M-1)/2;l=0:M-1;t1=0.109021;t2=0.59417456;Hrs=[zeros(1,5),t1,t2,ones(1,7),t2,t1,zeros(1,9),t1,t2,ones(1,7),t2,t1,zeros(1,4)];k1=0:floor((M-1)/2);k2=floor((M-1)/2)+1:M-1;angh=[-al*(2*pi)/M*k1,al*(2*pi)/M*(M-k2)];H=Hrs.*exp(j*angh);h=real(ifft(H,M));freqz(h,1,512,1000)實(shí)驗(yàn)得幅頻相頻特性如下圖所示：(uaM

2000-200-4000 50 100 150 200 250 Frequency(Hz)

350 400 450 500e(hP

10000-1000-20000 50 100 150 200 250 Frequency(Hz)

350 400 450 500圖1.2等波紋最優(yōu)化方法設(shè)計(jì)FIR數(shù)字濾波器在數(shù)字信號處理中,利用數(shù)字濾波器可改變信號中所含頻率分量的相對比例或?yàn)V除某些頻率分量,使其達(dá)到所需要的效果.其中數(shù)字FIR濾波器由于具有精確的線性相位,且系統(tǒng)穩(wěn)定,所以廣泛應(yīng)用于通信、數(shù)字圖象處理、語音信號處理、自適應(yīng)處理、雷達(dá)/聲納系統(tǒng)等方面.目前,FIR濾波器[1,2]的設(shè)計(jì)主要有窗函數(shù)設(shè)計(jì)法和頻率采樣設(shè)計(jì)法.但是,這2種方法都不易精確控制通帶邊界頻率Wp與阻帶邊界頻率Ws,所以,在實(shí)際應(yīng)用中具有一定的局限性.而以最大誤差最小化準(zhǔn)則支持的切比雪夫逼近法是一種優(yōu)異的設(shè)計(jì)方法,易于精確控制Wp與Ws.最低。等波紋最佳逼近法設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)證明復(fù)雜已超出本科生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)所以們略去等波紋最佳逼近法復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，只介紹基本思想和實(shí)現(xiàn)線性相位FIRDF的等波紋最佳逼近設(shè)計(jì)的 MATLAB信號處理工具箱函數(shù)remezremezordRemezremezFIRDFh(n),由于切比雪夫和雷米茲(remez)對解決該問題做出了貢獻(xiàn)，所以又稱之為切比雪夫逼近法或者雷米茲逼近法。第二章設(shè)計(jì)步驟等波紋濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法主要有2種,第1.它的思路是在給定的一些離散點(diǎn)上,使實(shí)際的幅頻特性和理想幅頻特性之間的誤差的平方和為最小.第2種是最優(yōu)化等波紋設(shè)計(jì)法,也稱為雷米茲法或切比雪夫逼近法.該類型濾波器幅頻特性在通帶和阻帶上的誤差峰值是均勻分布的,差具有等波紋特性,因而把波紋的幅度控制到最小,或在同等指標(biāo)下減小它的階次.第1種方法是連續(xù)最小的平方法的推廣,容易理解,但它的指標(biāo)與濾波器沒有直接關(guān)聯(lián),誤差平方小的濾波器不能保證沒有窄而大的波紋出現(xiàn),像吉布斯效應(yīng)那樣.第2種方法直接控制通帶波動和阻帶衰減,最具針對性,是濾波器的最優(yōu)化設(shè)計(jì)方法.因此,采用MATLAB信號處理工具箱提供的函數(shù),紋設(shè)計(jì)法實(shí)現(xiàn)數(shù)字FIR濾波器的設(shè)計(jì)和仿真.。完整的最優(yōu)化等波紋濾波器設(shè)計(jì),除了切比雪夫等波紋逼近公式外,還要考慮:(1)濾波器采樣點(diǎn)數(shù)n的確定.(2)極值數(shù)目的確定.最優(yōu)化等波紋濾波器的誤差函數(shù)在給定的頻率上有(L+2)或(L+3)個(gè)極值,L為多項(xiàng)式的階數(shù).Wp,Ws的組合得到有(L+個(gè)極值的濾波器.此時(shí),L=floor((n-1)/2).(3)建立頻率修正的算法.在程序中自動進(jìn)行反復(fù)的迭代修正,直到達(dá)到要求的精度為止.交替定理能保證切比雪夫逼近問題的解存在并且惟一,并沒有說如何得到該解,既不知n(L),也不知極值的頻率δ和波紋系W.ParksMcClellanRemez.n,并且設(shè)δ1=δ2,就可得到解,其中,δ系數(shù),δ2為阻帶波動系數(shù).δ和n是相關(guān)的,n越大,δ越小.濾波器的技術(shù)指標(biāo)中給出了通帶波動系數(shù)δ1和δ2,Wp,Ws,因此需要設(shè)定n.凱澤提出逼近n的公式:ParksMcClellan算法首先猜設(shè)(L+2)個(gè)極值頻率{Wi},最大誤差及其Wi},由這些新的頻率點(diǎn)擬合出一個(gè)新的L階多項(xiàng)式,過程,直到找出最優(yōu)集和全局最大波紋系數(shù)δ1為止.d(n),最后算出濾波器脈沖響應(yīng)h(n).n是近似的,δ1可能不等于δ2若δ1>δ2則增加n;若δ1<δ2則減小n,然后再次用Remezδ.重復(fù)此過程,直至δ1≈δ2,這樣就可得到等波紋濾波器.性能分析比較分別采用窗口法、頻率取樣法和優(yōu)化設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)雙帶濾波器，其指標(biāo)要求為：1）第一帶通濾波器fp1=4kHz,fp2=5kHz， fr1=3.6kHz，fr2=5.42）第二帶通濾波器fp3=6kHz，fp4=7kHz，fr3=5.6kHz，fr4=7.4Hz；3）通帶衰耗：Ap<3rad，阻帶衰耗：Ar>40dBfs=20kHzMATLAB模擬結(jié)果如下。圖FIR獲得廣泛的應(yīng)用。第三章MATLAB的實(shí)現(xiàn)MATLAB函數(shù)介紹MATLABremezordremez7.4.2所示。圖7.4.2給出了等波紋濾波器技術(shù)指標(biāo)的兩種描述參數(shù)。7.4.2(a)dB數(shù)描述，即ωp=π／2，αp=2dB,ωs=11π／20,s=20dB.這是工程實(shí)際中常用的指標(biāo)描述方法。但是，用等波紋最佳逼近設(shè)計(jì)法NW(ω)紋幅度δ1和δ(b)給出了用通帶和阻帶的振蕩波紋幅度δ1和δ2顯然，兩種描述參數(shù)之間可以換算。如果設(shè)計(jì)指標(biāo)以αp和αs給出，為了調(diào)用MATLABαp和αs換算出通帶和阻帶的振蕩波紋幅度δ1和δ2。對比圖7.4.2(a)和圖7.4.2(b)得出關(guān)系式：αp=-20lg[（1-δ1）／（1+δ1）]=20lg[（1+δ1）／（1-δ1）](7.4.2)αs=-20lg[δ2／（1+δ1）]≈-20lgδ2 (7.4.3)由式(7.4.2)和(7.4.3)得到δ1=(10^αp/20-1)/(10^αp/20+1) (7.4.4)δ2=10^(-αs)/20 (7.4.5)按照式和(7.4.4和(7.4.5)7.4.（bδ1=0.114δ2=0.1.實(shí)際中δ1和δ2δ1和δ2特意取較大值。1Remez函數(shù)remezFIR用格式為：hn=remez(M，f,m,w)hnM：FIRDF階數(shù)，hnN=M+1。f和m：給出希望逼近的幅度特性。f為邊界頻率向量，0≤f≤1，要求為f為單調(diào)增向量（即f(k)＜f（k+1），01結(jié)束，1對應(yīng)數(shù)字頻率ω=π（Fs／2，F(xiàn)s時(shí)域采樣頻率。mff表示頻點(diǎn)f(k)的頻響應(yīng)值。如果用命令畫出幅頻響應(yīng)曲線，則k[f(k),f(k+1)]上的幅頻響應(yīng)就是期望逼近的幅頻響應(yīng)值，頻段[f（k+，（k+）]簡言之，Plot（f，m）命令畫出的幅頻響應(yīng)就是期望逼近的幅頻響應(yīng)值，頻段[fk+（k+]Plot(f,m始頻段為第一段，奇數(shù)頻段為逼近區(qū)，偶數(shù)頻段為無關(guān)區(qū)。W/g10下。設(shè)計(jì)希爾伯特變換器的調(diào)用格式為：hn=remez（M，f,m,w,’hilbert’）hn具有奇對稱特性：hn(n)=﹣hn（M+1-f給定的通帶1.f=[a,b]，m=[1,1],fa0＜a＜b＜1.這是因?yàn)橄柌刈儞Q器屬于第二類線性相位濾波器，且N為奇數(shù)，所以只能實(shí)現(xiàn)帶通濾波器。設(shè)計(jì)數(shù)字微分器調(diào)用格式為：hn=remez（M,f,m,w,’defferentiator’）下一節(jié)將介紹希爾伯特變換器和數(shù)字微分器的設(shè)計(jì)和應(yīng)用。Remez函數(shù)的調(diào)用參數(shù)（M，f,m,remezord2.remezordFIRDFm、誤差加權(quán)Mfremez函數(shù)的調(diào)用參數(shù)。其調(diào)用格式為：[M,fo,mo,w]=remezord（f,m,rip,Fs）參數(shù)說明如下。返回參數(shù)作為remezf,m,ripFsfremez中類似，這里f可以是模擬頻率0Fs／2（1）結(jié)束，而且其0Fs／2FsFs=2Hz。但是這里f（0Fs／2兩個(gè)頻點(diǎn)mmf給定的一個(gè)逼近頻段上希望逼近的幅度值。例如，對圖16]；m=[1，0]。圖3.1Fs時(shí)，fM略小，使設(shè)計(jì)結(jié)果達(dá)不到指標(biāo)要求，這時(shí)要取M+1或M+2（必須注意對濾波器長度N=M+1的奇偶性要求（過渡帶FS／2時(shí)，設(shè)計(jì)結(jié)果不正確。ripfm描述的各逼近頻段允許的波紋振幅（幅頻響應(yīng)最大偏差rip的兩倍。一般以[N,fo,mo,w]=remezord（f,m,rip,Fs）remez數(shù)，計(jì)算單位脈沖響應(yīng)：hn=reme（，fo,mo,wremezremezordN，fo,mow的含義。remezremezordFIRDFremezordf,m,ripFsFs的，或根據(jù)實(shí)際信號處理要求（按照采樣定理）確定。下面給出由給定的各種濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)確定remezord調(diào)用參數(shù)f,m,和rip的公式，編程時(shí)直接誒套用即可。低通濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)最小衰減：αsdB。remezord調(diào)用參數(shù)：f=[ωp／π，ωs／π]，m=1，0]，rip=δ1，δ2] 0和δ2分別為通帶和阻帶波紋幅度，由式（7.4.4）和式（7.4.5）計(jì)算得到，下面相同。高通濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)最小衰減：αsdB。remezord調(diào)用參數(shù)：f=(7.4.7)帶通濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)逼近通帶：[ωp1，ωpu]，通帶最大衰減：αpdB；逼近阻帶：[0，ωs1]，[ωsu,π]，阻帶最小衰減：αsdB。remezord調(diào)用參數(shù)：f=[δ2，δ1,δ2] (7.4.8)帶阻濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)逼近阻帶：[ωs1，ωsu]，阻帶最大衰減：αsdB；逼近阻帶：[0，ωp1]，[ωpu,π]，通帶最小衰減：αpdB。remezord調(diào)用參數(shù)：f=[δ1,δ2,δ1] (7.4.9)設(shè)計(jì)舉例1FIR率ω?p=0.65π,阻帶上截止頻率ω?s=0.8π,通帶最大衰減αp=1dB,阻帶最小衰減αs=60dB。remezordremezremezordremezordremezh(n)。將設(shè)計(jì)指標(biāo)帶入式remezordep741.m。%ep741.m:例7.4.1用remez函數(shù)設(shè)計(jì)帶通濾波f=[0.2,0.35,0.65,0.8]; %省去了0，1m=[0,1,0];rp=1;rs=60;%由式(7.4.4)和式(7.4.5)dat1Dat1=(10∧(rp／20)-1)／(10∧(rp／20)+1);Dat2=10∧(-rs／20);Rip=[dat2,dat1,dat2];[M,fo,mo,w]=remezord(f,m,rip);M=M+2;%remezord估算的階數(shù)偏小，加2才滿足要求Hn=remez(M,fo,mo,w);繪圖部分略去M=28h(nN=2h(n)7.4.5所示。而用窗函數(shù)設(shè)計(jì)的FIR80佳逼近法可以使濾波器的階數(shù)大大降低。圖3.2圖