2021-2022高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何1空間向量及其運(yùn)算4空間向量的正交分解及其坐標(biāo)運(yùn)算1教案新人教A版選修2-120220309234

PAGEPAGE7空間向量的正交分解及坐標(biāo)表示【學(xué)情分析】：本小節(jié)首先把平面向量的基本定理推廣到空間向量的基本定理這種推廣對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)已無困難但仍要一步步地進(jìn)行，學(xué)生要時(shí)刻牢記，現(xiàn)在研究的范圍已由平面擴(kuò)大到空間這樣做，一方面復(fù)習(xí)了平面向量、學(xué)習(xí)了空間向量，另一方面可加深學(xué)生的空間觀念讓學(xué)生從二維到三維發(fā)現(xiàn)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生的探索創(chuàng)新能力?！窘虒W(xué)目標(biāo)】：（1）知識(shí)與技能：掌握空間向量基本定理，會(huì)判斷空間向量共面（2）過程與方法：正交分解推導(dǎo)入手，掌握空間向量基本定理（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀：認(rèn)識(shí)將空間向量的正交分解，能夠?qū)⒖臻g向量在某組基上進(jìn)行分解【教學(xué)重點(diǎn)】：空間向量正交分解，空間向量的基本定理地使用【教學(xué)難點(diǎn)】：空間向量的分解【課前準(zhǔn)備】：課件【教學(xué)過程設(shè)計(jì)】：教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖一．溫故知新回顧平面向量的正交分解和平面向量的基本定理由此為基礎(chǔ)，推導(dǎo)空間向量的正交分解和基本定理二．新課講授1．空間向量的正交分解設(shè)，，是空間的三個(gè)兩兩垂直的向量，且有公共起點(diǎn)O。對(duì)于空間任意一個(gè)向量，設(shè)Q為點(diǎn)P在，所確定的平面上的正投影，由平面向量基本定理可知，在，所確定的平面上，存在實(shí)數(shù)z，使得而在，所確定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在有序?qū)崝?shù)對(duì)，使得從而由此可知，對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)有序?qū)崝?shù)組{}，使得，稱，，為向量在，，上的分向量。2．空間向量的基本定理如果三個(gè)向量不共面，那么對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，使由此定理，若三向量不共面，那么空間的任一向量都可由線性表示，我們把{}叫做空間的一個(gè)基底，叫做基向量?？臻g任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底如果空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量?jī)蓛苫ハ啻怪?，那么這個(gè)基底叫做正交基底，特別地，當(dāng)一個(gè)正交基底的三個(gè)基向量都是單位向量時(shí)，稱這個(gè)基底為單位正交基底，對(duì)空間任一向量，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組，使記推論：設(shè)是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)，使以平面向量的基本定理為基礎(chǔ)，層層遞進(jìn)，得到空間向量的正交分解形式。注意介紹單位正交基、正交基、基的特殊與一般的關(guān)系，以幫助學(xué)生理解概念。三．典例講練例1．如圖，已知空間四邊形，其對(duì)角線，分別是對(duì)邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且，用基底向量表示向量解：∴向量的分解過程中注意向量的運(yùn)算的正確使用。四．練習(xí)鞏固1、如圖，在正方體中，，點(diǎn)E是AB與OD的交點(diǎn),M是OD/與CE的交點(diǎn)，試分別用向量表示和解：課本P102練習(xí)1、2、3五．拓展與提高1．設(shè)A、B、C、D是空間任意四個(gè)點(diǎn)，令u＝，v＝，w＝，則u、v、w三個(gè)向量 （） A．互不相等 B．至多有兩個(gè)相等 C．至少有兩個(gè)相等D．有且只有兩個(gè)相等2．若a、b、c是空間的一個(gè)基底，下列各組①la、mb、nc(lmn≠0)；②a+2b、2b+3c、3a－③a+2b、b+2c、c+2④a+3b、3b+2c、－2a中，仍能構(gòu)成空間基底的是 （）A．①②B．②③C．①③D．②④3．已知分別是空間四邊形的邊的中點(diǎn)，（1）用向量法證明四點(diǎn)共面；（2）用向量法證明：//平面；（3）設(shè)是和的交點(diǎn)，求證：對(duì)空間任一點(diǎn)，有

充分認(rèn)識(shí)基底的特征，即線性無關(guān)的三個(gè)向量就可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。六．小結(jié)1．正交分解的推導(dǎo)和空間向量基本定理2．如何將向量用坐標(biāo)表示3．任意空間向量在某組基底下的分解七．作業(yè)課本P106習(xí)題3.1第6題練習(xí)與測(cè)試：（基礎(chǔ)題）1如圖，在正方體中，，點(diǎn)E是AB與OD的交點(diǎn),M是OD/與CE的交點(diǎn)，試分別用向量表示和解：2．設(shè)向量是空間一個(gè)基底，則一定可以與向量構(gòu)成空間的另一個(gè)基底的向量是 （） A． B． C． D．3．設(shè)A、B、C、D是空間任意四個(gè)點(diǎn)，令u＝，v＝，w＝，則u、v、w三個(gè)向量 （） A．互不相等 B．至多有兩個(gè)相等 C．至少有兩個(gè)相等D．有且只有兩個(gè)相等4．若a、b、c是空間的一個(gè)基底，下列各組 ①la、mb、nc(lmn≠0)； ②a+2b、2b+3c、3a－ ③a+2b、b+2c、c+2a； ④a+3b、3b+2c、－ 中，仍能構(gòu)成空間基底的是 （） A．①② B．②③ C．①③ D．②④5．設(shè)A，B，C，D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足，，，則△BCD是()A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．不確定6．已知S是△ABC所在平面外一點(diǎn)，D是SC的中點(diǎn)，若＝，則x＋y＋z＝．7．在空間四邊形ABCD中，AC和BD為對(duì)角線，G為△ABC的重心，E是BD上一點(diǎn)，BE＝3ED，以｛，，｝為基底，則＝．（中等題）8．已知四面