高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷及答案

本文格式為Word版，下載可任意編輯——高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷及答案不去耕耘，不去播種，再肥的沃土也長不出莊稼，不去奮斗，不去創(chuàng)造，再美的青春也結(jié)不出碩果。不要讓追求之舟泊岸在空想的港灣，而應(yīng)揚起奮斗的風(fēng)帆，駛向現(xiàn)實生活的大海。我高一頻道為正在拼搏的你整理了《高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷及答案》，夢想對你有扶助！

一、選擇題：（共15個小題，每題4分，共60分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合要求的）

1．已知全集U=R，A=，B=x|lnx＜0，那么A∪B=（）

A．x|﹣1≤x≤2B．x|﹣1≤x＜2C．x|x＜﹣1或x≥2D．x|0＜x＜2

2．已知，那么cosα=（）

A．B．C．D．

3．已知D為△ABC的邊BC的中點，△ABC所在平面內(nèi)有一個點P，得志=+，那么的值為（）

A．B．C．1D．2

4．△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=60°，那么cosC=（）

A．B．C．D．

5．已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，那么（﹣2）（3﹣4）=（）

A．﹣B．﹣C．﹣6﹣D．﹣6+

6．設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若S3=9，S6=36，那么a7+a8+a9=（）

A．63B．45C．36D．27

7．已知角α是其次象限角，且|cos|=﹣cos，那么角是（）

A．第一象限角B．其次象限角C．第三象限角D．第四象限角

8．已知某等差數(shù)列共有10項，其奇數(shù)項之和為15，偶數(shù)項之和為30，那么其公差為（）

A．5B．4C．3D．2

9．對任意一個確定的二面角α﹣l﹣β，a和b是空間的兩條異面直線，在下面給出的四個條件中，能使a和b所成的角也確定的是（）

A．a(chǎn)∥a且b∥βB．a(chǎn)∥a且b⊥βC．a(chǎn)α且b⊥βD．a(chǎn)⊥α且b⊥β

10．定義2×2矩陣=a1a4﹣a2a3，若f（x）=，那么f（x）的圖象向右平移個單位得到函數(shù)g（x），那么函數(shù)g（x）解析式為（）

A．g（x）=﹣2cos2xB．g（x）=﹣2sin2x

C．D．

11．已知一個幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的體積為（）

A．7B．7C．7D．8

12．若sin（π+α）=，α是第三象限的角，那么=（）

A．B．C．2D．﹣2

13．已知，記數(shù)列an的前n項和為Sn，那么使Sn＞0的n的最小值為（）

A．10B．11C．12D．13

14．（1+tan18°）（1+tan27°）的值是（）

A．B．

C．2D．2（tan18°+tan27°）

15．?dāng)?shù)列an得志：且an是遞增數(shù)列，那么實數(shù)a的范圍是（）

A．B．C．（1，3）D．（2，3）

二、填空題（共5小題，每題4分，共20分，將答案填在答題紙上）

16．已知向量=（k，12），=（4，5），=（﹣k，10），且A、B、C三點共線，那么k=．

17．已知向量、得志||=1，||=1，與的夾角為60°，那么|+2|=．

18．在△ABC中，BD為∠ABC的平分線，AB=3，BC=2，AC=，那么sin∠ABD等于．

19．在四棱錐S﹣ABCD中，SA⊥面ABCD，若四邊形ABCD為邊長為2的正方形，SA=3，那么此四棱錐外接球的外觀積為．

20．設(shè)數(shù)列an的通項為an=2n﹣7（n∈N*），那么|a1|+|a2|+…+|a15|=．

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解允許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

21．已知平面向量=（1，x），=（2x+3，﹣x）（x∈R）．

（1）若∥，求|﹣|

（2）若與夾角為銳角，求x的取值范圍．

22．（文科）已知an是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，首項a1=3，前n項和為Sn，數(shù)列bn是等比數(shù)列，首項b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20．

（Ⅰ）求an和bn的通項公式．

（Ⅱ）令Cn=nbn（n∈N+），求cn的前n項和Tn．

23．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2cos2cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．

（Ⅰ）求cosA的值；

（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．

24．已知如圖：四邊形ABCD是矩形，BC⊥平面ABE，且AE=2，EB=BC=2，點F為CE上一點，且BF⊥平面ACE．

（1）求證：AE∥平面BFD；

（2）求三棱錐A﹣DBE的體積；

（3）求二面角D﹣BE﹣A的大?。?/p>

25．如圖，函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|≤）的圖象與坐標(biāo)軸的三個交點為P，Q，R，且P（1，0），Q（m，0）（m＞0），∠PQR=，M為QR的中點，|PM|=．

（Ⅰ）求m的值及f（x）的解析式；

（Ⅱ）設(shè)∠PRQ=θ，求tanθ．

26．設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，a1=10，an+1=9Sn+10．

（Ⅰ）求證：lgan是等差數(shù)列；

（Ⅱ）設(shè)Tn是數(shù)列的前n項和，求Tn；

（Ⅲ）求使Tn＞（m2﹣5m）對全體的n∈N*恒成立的整數(shù)m的取值集合．

2022-2022學(xué)年河北省衡水市冀州中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）

參考答案與試題解析

一、選擇題：（共15個小題，每題4分，共60分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合要求的）

1．已知全集U=R，A=，B=x|lnx＜0，那么A∪B=（）

A．x|﹣1≤x≤2B．x|﹣1≤x＜2C．x|x＜﹣1或x≥2D．x|0＜x＜2

并集及其運算．

求出A與B中不等式的解集，分別確定出A與B，找出兩集合的并集即可．

解：由A中不等式變形得：≤0，即（x+1）（x﹣2）＜0，且x﹣2≠0，

解得：﹣1≤x＜2，即A=x|﹣1≤x＜2，

由B中不等式變形得：lnx＜0=ln1，得到0＜x＜1，即B=x|0＜x＜1，

那么A∪B=x|﹣1≤x＜2，

應(yīng)選：B．

2．已知，那么cosα=（）

A．B．C．D．

誘導(dǎo)公式的作用．

已知等式中的角變形后，利用誘導(dǎo)公式化簡，即可求出cosα的值．

解：sin（+α）=sin（2π++α）=sin（+α）=cosα=．

應(yīng)選C．

3．已知D為△ABC的邊BC的中點，△ABC所在平面內(nèi)有一個點P，得志=+，那么的值為（）

A．B．C．1D．2

平面向量的根本定理及其意義．

如下圖，由于=+，可得：PA是平行四邊形PBAC的對角線，PA與BC的交點即為BC的中點D．即可得出．

解：如下圖，

∵=+，

∴PA是平行四邊形PBAC的對角線，PA與BC的交點即為BC的中點D．∴=1．

應(yīng)選：C．

4．△ABC中，AB=2，AC=3，∠B=60°，那么cosC=（）

A．B．C．D．

正弦定理．

由已知及正弦定理可得sinC==，又AB＜AC，利用大邊對大角可得C為銳角，根據(jù)同角三角函數(shù)根本關(guān)系式即可求得cosC得值．

解：∵AB=2，AC=3，∠B=60°，

∴由正弦定理可得：sinC===，

又∵AB＜AC，C為銳角，

∴cosC==．

應(yīng)選：D．

5．已知△ABC是邊長為1的等邊三角形，那么（﹣2）（3﹣4）=（）

A．﹣B．﹣C．﹣6﹣D．﹣6+

平面向量數(shù)量積的運算．

將式子開展計算．

解：（﹣2）（3﹣4）=3﹣4﹣6+8

=3×1×1×cos120°﹣4×1×1×cos60°﹣6×12+8×1×1×cos60°

=﹣﹣2﹣6+4

=﹣．

應(yīng)選：B．

6．設(shè)等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若S3=9，S6=36，那么a7+a8+a9=（）

A．63B．45C．36D．27

等差數(shù)列的性質(zhì)．

查看下標(biāo)間的關(guān)系，知應(yīng)用等差數(shù)列的性質(zhì)求得．

解：由等差數(shù)列性質(zhì)知S3、S6﹣S3、S9﹣S6成等差數(shù)列，即9，27，S9﹣S6成等差，∴S9﹣S6=45

∴a7+a8+a9=45

應(yīng)選B．

7．已知角α是其次象限角，且|cos|=﹣cos，那么角是（）

A．第一象限角B．其次象限角C．第三象限角D．第四象限角

三角函數(shù)值的符號．

根據(jù)α的范圍判斷出的范圍，再由含有十足值的式子得到角的余弦值的符號，根據(jù)“一全正二正弦三正切四余弦”再進(jìn)一步判斷的范圍．

解：由α是其次象限角知，是第一或第三象限角．

又∵|cos|=﹣cos，∴cos＜0，

∴是第三象限角．

應(yīng)選C．

8．已知某等差數(shù)列共有10項，其奇數(shù)項之和為15，偶數(shù)項之和為30，那么其公差為（）

A．5B．4C．3D．2

等差數(shù)列的通項公式．

寫出數(shù)列的第一、三、五、七、九項的和即5a1+（2d+4d+6d+8d），寫出數(shù)列的其次、四、六、八、十項的和即5a1+（d+3d+5d+7d+9d），都用首項和公差表示，兩式相減，得到結(jié)果．

解：，

應(yīng)選C．

9．對任意一個確定的二面角α﹣l﹣β，a和b是空間的兩條異面直線，在下面給出的四個條件中，能使a和b所成的角也確定的是（）

A．a(chǎn)∥a且b∥βB．a(chǎn)∥a且b⊥βC．a(chǎn)α且b⊥βD．a(chǎn)⊥α且b⊥β

異面直線及其所成的角．

作輔佐線，利用二面角的定義和線線角的定義證明兩角互補即可．

解：如圖，若a⊥α且b⊥β，

過A分別作直線a、b的平行線，交兩平面α、β分別為C、B

設(shè)平面ABC與棱l交點為O，連接BO、CO，

易知四邊形ABOC為平面四邊形，可得∠BOC與∠BAC互補

∵α﹣l﹣β是大小確定的一個二面角，而∠BOC就是它的平面角，

∴∠BOC是定值，∴∠BAC也是定值，

即a，b所成的角為定值．

應(yīng)選D

10．定義2×2矩陣=a1a4﹣a2a3，若f（x）=，那么f（x）的圖象向右平移個單位得到函數(shù)g（x），那么函數(shù)g（x）解析式為（）

A．g（x）=﹣2cos2xB．g（x）=﹣2sin2x

C．D．

函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．

利用三角恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式，再利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，求得函數(shù)g（x）解析式．

解：由題意可得f（x）==cos2x﹣sin2x﹣cos（+2x）

=cos2x+sin2x=2cos（2x﹣），

那么f（x）的圖象向右平移個單位得到函數(shù)g（x）=2cos[2（x﹣）﹣]=2cos（2x﹣π）=﹣2cos2x，

應(yīng)選：A．

11．已知一個幾何體的三視圖如下圖，那么該幾何體的體積為（）

A．7B．7C．7D．8

由三視圖求面積、體積．

根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是棱長為2的正方體，去掉兩個三棱錐剩余的片面，結(jié)合圖中數(shù)據(jù)即可求出它的體積．

解：根據(jù)幾何體的三視圖知，該幾何體是棱長為2的正方體，去掉兩個三棱錐剩余的片面，

如下圖；

所以該幾何體的體積為

V=V正方體﹣﹣

=23﹣××12×2﹣××1×2×2

=7．

應(yīng)選：A．

12．若sin（π+α）=，α是第三象限的角，那么=（）

A．B．C．2D．﹣2

運用誘導(dǎo)公式化簡求值．

已知等式利用誘導(dǎo)公式化簡求出sinα的值，根據(jù)α為第三象限角，利用同角三角函數(shù)間根本關(guān)系求出cosα的值，原式利用誘導(dǎo)公式化簡，整理后將各自的值代入計算即可求出值．

解：∵sin（π+α）=﹣sinα=，即sinα=﹣，α是第三象限的角，

∴cosα=﹣，

那么原式====﹣，

應(yīng)選：B．

13．已知，記數(shù)列an的前n項和為Sn，那么使Sn＞0的n的最小值為（）

A．10B．11C．12D．13

數(shù)列的求和．

由，可得a1+a10=a2+a9=…=a5+a6=0，a11＞0，那么有S9＜0，S10=0，S11＞0可求

解：由，

可得a1+a10=a2+a9=…=a5+a6=0，a11＞0

∴S9＜0，S10=0，S11＞0

使Sn＞0的n的最小值為11

應(yīng)選：B

14．（1+tan18°）（1+tan27°）的值是（）

A．B．

C．2D．2（tan18°+tan27°）

兩角和與差的正切函數(shù)．

要求的式子即1+tan18°+tan27°+tan18°tan27°，再把tan18°+tan27°=tan45°（1﹣tan18°tan27°）代入，化簡可得結(jié)果．

解：（1+tan18°）（1+tan27°）=1+tan18°+tan27°+tan18°tan27°=1+tan45°（1﹣tan18°tan27°）+tan18°tan27°=2，

應(yīng)選C．

15．?dāng)?shù)列an得志：且an是遞增數(shù)列，那么實數(shù)a的范圍是（）

A．B．C．（1，3）D．（2，3）

數(shù)列的函數(shù)特性；分段函數(shù)的解析式求法及其圖象的作法；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明．

根據(jù)題意，首先可得an通項公式，這是一個類似與分段函數(shù)的通項，結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性的判斷方法，可得；解可得答案．

解：根據(jù)題意，an=f（n）=；

要使an是遞增數(shù)列，必有；

解可得，2＜a＜3；

應(yīng)選D．

二、填空題（共5小題，每題4分，共20分，將答案填在答題紙上）

16．已知向量=（k，12），=（4，5），=（﹣k，10），且A、B、C三點共線，那么k=．

平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示；三點共線．

利用三點共線得到以三點中的一點為起點，另兩點為終點的兩個向量平行，利用向量平行的坐標(biāo)形式的充要條件列出方程求出k．

解：向量，

∴

又A、B、C三點共線

故（4﹣k，﹣7）=λ（﹣2k，﹣2）

∴k=

故答案為

17．已知向量、得志||=1，||=1，與的夾角為60°，那么|+2|=．

平面向量數(shù)量積的運算．

根據(jù)條件舉行數(shù)量積的計算便可得出，從而便可求出，這樣即可求出的值．

解：根據(jù)條件，；

∴；

∴．

故答案為：．

18．在△ABC中，BD為∠ABC的平分線，AB=3，BC=2，AC=，那么sin∠ABD等于．

正弦定理．

利用余弦定理求得cos∠ABC=cos2θ的值，可得θ的值．

解：∵△ABC中，BD為∠ABC的平分線，AB=3，BC=2，AC=，

設(shè)∠ABD=θ，那么∠ABC=2θ，

由余弦定理可得cos2θ===，

∴2θ=，∴θ=，

故答案為：．

19．在四棱錐S﹣ABCD中，SA⊥面ABCD，若四邊形ABCD為邊長為2的正方形，SA=3，那么此四棱錐外接球的外觀積為17π．

球內(nèi)接多面體．

如下圖，連接AC，BD相交于點O1．取SC的中點，連接OO1．利用三角形的中位線定理可得OO1∥SA．由于SA⊥底面ABCD，可得OO1⊥底面ABCD．可得點O是四棱錐S﹣ABCD外接球的球心，SC是外接球的直徑．

解：如下圖

連接AC，BD相交于點O1．取SC的中點，連接OO1．

那么OO1∥SA．

∵SA⊥底面ABCD，

∴OO1⊥底面ABCD．

可得點O是四棱錐S﹣ABCD外接球的球心．

因此SC是外接球的直徑．

∵SC2=SA2+AC2=9+8=17，∴4R2=17，

∴四棱錐P﹣ABCD外接球的外觀積為4πR2=π17=17π．

故答案為：17π

20．設(shè)數(shù)列an的通項為an=2n﹣7（n∈N*），那么|a1|+|a2|+…+|a15|=153．

等差數(shù)列的前n項和．

先根據(jù)數(shù)列的通項公式大于等于0列出關(guān)于n的不等式，求出不等式的解集即可得到數(shù)列的前三項為負(fù)數(shù)，利用負(fù)數(shù)的十足值等于它的相反數(shù)，求出前三項的十足值，正數(shù)的十足值等于本身把第四項及后面的各項化簡，然后利用等差數(shù)列的前n項和的公式即可求出所求式子的值．

解：由an=2n﹣7≥0，解得n≥，所以數(shù)列的前3項為負(fù)數(shù)，

那么|a1|+|a2|+…+|a15|

=5+3+1+1+3+5+…+23

=9+12×1+×2

=153．

故答案為：153

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解允許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

21．已知平面向量=（1，x），=（2x+3，﹣x）（x∈R）．

（1）若∥，求|﹣|

（2）若與夾角為銳角，求x的取值范圍．

平面向量數(shù)量積的運算；平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．

（1）根據(jù)向量平行與坐標(biāo)的關(guān)系列方程解出x，得出的坐標(biāo)，再計算的坐標(biāo)，再計算||；

（2）令得出x的范圍，再去掉同向的處境即可．

解：（1）∵，∴﹣x﹣x（2x+3）=0，解得x=0或x=﹣2．

當(dāng)x=0時，=（1，0），=（3，0），∴=（﹣2，0），∴||=2．

當(dāng)x=﹣2時，=（1，﹣2），=（﹣1，2），∴=（2，﹣4），∴||=2．

綜上，||=2或2．

（2）∵與夾角為銳角，∴，

∴2x+3﹣x2＞0，解得﹣1＜x＜3．

又當(dāng)x=0時，，

∴x的取值范圍是（﹣1，0）∪（0，3）．

22．（文科）已知an是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，首項a1=3，前n項和為Sn，數(shù)列bn是等比數(shù)列，首項b1=1，且a2b2=12，S3+b2=20．

（Ⅰ）求an和bn的通項公式．

（Ⅱ）令Cn=nbn（n∈N+），求cn的前n項和Tn．

等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；數(shù)列的求和．

（Ⅰ）設(shè)公差為d，公比為q，那么a2b2=（3+d）q=12①，S3+b2=3a2+b2=3（3+d）+q=20②

聯(lián)立①②結(jié)合d＞0可求d，q，利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的通項公式可求an，bn

（Ⅱ）由（I）可得，bn=2n﹣1，cn=n2n﹣1，考慮利用錯位相減求解數(shù)列的和即可

解：（Ⅰ）設(shè)公差為d，公比為q，

那么a2b2=（3+d）q=12①

S3+b2=3a2+b2=3（3+d）+q=20②

聯(lián)立①②可得，（3d+7）（d﹣3）=0

∵an是單調(diào)遞增的等差數(shù)列，d＞0．

那么d=3，q=2，

∴an=3+（n﹣1）×3=3n，bn=2n﹣1…

（Ⅱ）bn=2n﹣1，cn=n2n﹣1，

∴Tn=c1+c2+…+cnTn=120+221+322+…+n2n﹣12Tn=121+222+…+（n﹣1）2n﹣1+n2n…

兩式相減可得，﹣Tn=120+121+122+…+12n﹣1﹣n2n∴﹣Tn==2n﹣1﹣n2n

∴Tn=（n﹣1）2n+1…

23．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且2cos2cosB﹣sin（A﹣B）sinB+cos（A+C）=﹣．

（Ⅰ）求cosA的值；

（Ⅱ）若a=4，b=5，求向量在方向上的投影．

兩角和與差的余弦函數(shù)；向量數(shù)乘的運算及其幾何意義；二倍角的正弦；二倍角的余弦；余弦定理．

（Ⅰ）由已知條件利用三角形的內(nèi)角和以及兩角差的余弦函數(shù)，求出A的余弦值，然后求sinA的值；

（Ⅱ）利用，b=5，結(jié)合正弦定理，求出B的正弦函數(shù)，求出B的值，利用余弦定理求出c的大?。?/p>

解：（Ⅰ）由

可得，

可得，

即，

即，

（Ⅱ）由正弦定理，，所以=，

由題意可知a＞b，即A＞B，所以B=，

由余弦定理可知．

解得c=1，c=﹣7（舍去）．

向量在方向上的投影：=ccosB=．

24．已知如圖：四邊形ABCD是矩形，BC⊥平面ABE，且AE=2，EB=BC=2，點F為CE上一點，且BF⊥平面ACE．

（1）求證：AE∥平面BFD；

（2）求三棱錐A﹣DBE的體積；

（3）求二面角D﹣BE﹣A的大?。?/p>

二面角的平面角及求法；棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面平行的判定．

（1）連接AC交BD于G，連結(jié)GF，那么G為AC的中點，推導(dǎo)出BF⊥CE，F(xiàn)G為△ACE的中位線，由此能證明AE∥平面BFD．

（2）推導(dǎo)出BF⊥AE，BC⊥AE，AD⊥平面ABE，從而AE⊥BE，由VA﹣DBE=VD﹣ABE，能求出三棱錐A﹣DBE的體積．

（3）由AE⊥BE，AD⊥BE，得到∠DEA是二面角D﹣BE﹣A的平面角，由此能求出二面角D﹣BE﹣A的大?。?/p>

證明：（1）連接AC交BD于G，連結(jié)GF，

∵ABCD是矩形，∴G為AC的中點，…1分

由BF⊥平面ACE得：BF⊥CE，

由EB=BC知：點F為CE中點，…2分

∴FG為△ACE的中位線，

∴FG∥AE，…3分

∵AE平面BFD，F(xiàn)G平面BFD，

∴AE∥平面BFD．…4分

解：（2）由BF⊥平面ACE得：BF⊥AE，

由BC⊥平面ABE及BC∥AD，得：BC⊥AE，AD⊥平面ABE，

∵BC∩BF=F，∴AE⊥平面BCE，那么AE⊥BE，…6分

∴VA﹣DBE=VD﹣ABE=，

即三棱錐A﹣DBE的體積為．…8分

（3）由（2）知：AE⊥BE，AD⊥BE，

∴BE⊥平面ADE，那么BE⊥DE，

∴∠DEA是二面角D﹣BE﹣A的平面角，…10分

在Rt△ADE中，DE==4，

∴AD=DE，那么∠DEA=30°，

∴二面角D﹣BE﹣A的大小為30°．…12分．

25．如圖，函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|≤）的圖象與坐標(biāo)軸的三個交點為P，Q，R，且P（1，0），Q（m，0）（m＞0），∠PQR=，M為QR的中點，|PM|=．

（Ⅰ）求m的值及f（x）的解析式；

（Ⅱ）設(shè)∠PRQ=θ，求tanθ．

由y=Asin（ωx+φ）的片面圖象確定其解析式；同角三角函數(shù)間的根本關(guān)系．

（Ⅰ）由已知可得=，從而解得m的值，由圖象可求T，由周期公式可求ω，把p（1，0）代入f（x），結(jié)合|φ|≤，即可求得φ的值，把R（0，﹣4）代入f（x）=Asin（x﹣），即可解得A的值，從而可求f（x）的解析式．

（Ⅱ）由∠ORP=﹣θ，tan∠ORP=，根據(jù)tan（﹣θ）=即可解得tanθ的值．

解：（Ⅰ）∵∠PQR=，∴OQ=OR，∵Q（m，0），∴R（0，﹣m），…

又M為QR的中點，∴M（，﹣），又|PM|=，

=，m2﹣2m﹣8=0，m=4，m=﹣2（舍去），…

∴R（0，4），Q（4，0），=3，T=6，=6，，…

把p（1，0）代入f（x）=Asin（x+φ），Asin（+φ）=0，

∵|φ|≤，∴φ=﹣．…

把R（0，﹣4）代入f（x）=Asin（x﹣），Asin（﹣）=﹣4，A=．…

f（x）的解析式為f（x）=sin（x﹣）．

所以m的值為4，f（x）的解析式為f（x）=sin（x﹣）．…

（Ⅱ）在△OPR中，∠ORP=﹣θ，tan∠ORP=，

∴tan（﹣θ）=，…

∴=，解得tanθ=．…

26．設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，a1=10，an+1=9Sn+10．

（Ⅰ）求證：lgan是等差數(shù)列；

（Ⅱ）設(shè)Tn是數(shù)列的前n項和，求Tn；

（Ⅲ）求使Tn＞（m2﹣5m）對全體的n∈N*恒成立的整數(shù)m的取值集合．

數(shù)列的求和；等差關(guān)系確實定．

（I）根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明lgan是等差數(shù)列；

（Ⅱ）求出的通項公式，利用裂項法即可求Tn；

（Ⅲ）直接解不等式即可得到結(jié)論．

解：（I）∵a1=10，an+1=9Sn+10．

∴當(dāng)n=1時，a2=9a1+10=100，

故，

當(dāng)n≥1時，an+1=9Sn+10①，

an+2=9Sn+1+10②，

兩式相減得an+2﹣an+1=9an+1，

即an+2=10an+1，

即，

即an是首項a1=10，公比q=10的等比數(shù)列，

那么數(shù)列an的通項公式；

那么lgan=lg10n=n，

那么lgan﹣lgan﹣1=n﹣（n﹣1）=1，為常數(shù)，

即lgan是等差數(shù)列；

（Ⅱ）∵lgan=n，那么=（﹣），

那么Tn=3（1﹣+…+﹣）=3（1﹣）=3﹣，

（Ⅲ）∵Tn=3﹣≥T1=，

∴要使Tn＞（m2﹣5m）對全體的n∈N*恒成立，

那么＞（m2﹣5m）對全體的n∈N*恒成立，

解得﹣1＜m＜6，

故整數(shù)m的取值集合0，1，2，3，4，5．

一、選擇題（共12小題，每題5分，總分值60分）

1．點P從（﹣1，0）啟程，沿單位圓x2+y2=1順時針方向運動π弧長到達(dá)Q，那么Q點坐標(biāo)（）

A．（﹣，）B．（﹣，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，）

2．從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件，設(shè)事情A=抽到一等品，事情B=抽到二等品，事情C=抽到三等品，且已知P（A）=0.65，P（B）=0.2，P（C）=0.1．那么事情“抽到的不是一等品”的概率為（）

A．0.7B．0.65C．0.35D．0.3

3．已知，為單位向量，其夾角為60°，那么（2﹣）=（）

A．﹣1B．0C．1D．2

4．sin（﹣15°）=（）

A．B．C．D．

5．已知向量=（﹣2，1），=（3，0），那么在方向上的正射影的數(shù)量為（）

A．﹣B．C．﹣2D．2

6．在△ABC中，a=1，b=x，∠A=30°，那么使△ABC有兩解的x的范圍是（）

A．B．（1，+∞）C．D．（1，2）

7．如圖的程序框圖，假設(shè)輸入三個實數(shù)a，b，c，要求輸出這三個數(shù)中的數(shù)，那么在空白的判斷框中，理應(yīng)填入下面四個選項中的（）

A．c＞xB．x＞aC．c＞bD．b＞c

8．△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c若＜cosA，那么△ABC為（）

A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．等邊三角形

9．設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點，且，，，那么與（）

A．反向平行B．同向平行

C．彼此垂直D．既不平行也不垂直

10．設(shè)函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線x=0對稱，那么（）

A．y=f（x）的最小正周期為π，且在上為增函數(shù)

B．y=f（x）的最小正周期為π，且在上為減函數(shù)

C．y=f（x）的最小正周期為，且在上為增函數(shù)

D．y=f（x）的最小正周期為，且在上為減函數(shù)

11．設(shè)O點在△ABC內(nèi)部，且有，那么△ABC的面積與△AOC的面積的比為（）

A．2B．C．3D．

12．已知在等邊△ABC中，AB=3，O為中心，過O的直線與△ABC的邊分別交于點M、N，那么+的值是（）

A．B．2C．D．

二、填空題（共4小題，每題5分，總分值20分）

13．高一某班有學(xué)生56人，現(xiàn)將全體同學(xué)隨機編號，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為8的樣本，那么需要將全班同學(xué)分成組．

14．已知tanα=2，tanβ=3，且α、β都是銳角，那么tan=．

15．有一解三角形的題目因紙張破損，有一條件不清，概括如下：在△ABC中，已知a=，2cos2=（﹣1）cosB，c=，求角A，若該題的答案是A=60°，請將條件補充完整．

16．在△ABC中，∠ACB為鈍角，AC=BC=1，且x+y=1，函數(shù)的最小值為，那么的最小值為．

三、解答題（共6小題，總分值70分）

17．已知函數(shù)f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的值是1，其圖象經(jīng)過點．

（1）求f（x）的解析式；

（2）已知，且，，求f（α﹣β）的值．

18．在銳角△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對的邊，且=2csinA

（1）確定角C的大??；

（2）若c=，且△ABC的面積為，求a+b的值．

19．如圖，已知=（2，1），=（1，7），=（5，1），設(shè)Z是直線OP上的一動點．

（1）求使取最小值時的；

（2）對（1）中求出的點Z，求cos∠AZB的值．

20．學(xué)校從加入高一年級期中考試的學(xué)生中抽出50名學(xué)生，并統(tǒng)計了他們的數(shù)學(xué)勞績（勞績均為整數(shù)且總分值為150分），數(shù)學(xué)勞績分組及各組頻數(shù)如下：

[60，75），2；[75，90），3；[90，105），14；[105，120），15；[120，135），12；[135，150]，4．

（1）在給出的樣本頻率分布表中，求A，B，C，D的值；

（2）估計勞績在120分以上（含120分）學(xué)生的比例；

（3）為了扶助勞績差的學(xué)生提高數(shù)學(xué)勞績，學(xué)校抉擇成立“二幫一”小組，即從勞績在[135，150]的學(xué)生中選兩位同學(xué)，共同扶助勞績在[60，75）中的某一位同學(xué)．已知甲同學(xué)的勞績?yōu)?2分，乙同學(xué)的勞績?yōu)?40分，求甲、乙兩同學(xué)恰好被安置在同一小組的概率．

樣本頻率分布表：

分組頻數(shù)頻率

[60，75）20.04

[75，90）30.06

[90，105）140.28

[105，120）150.30

[120，135）AB

[135，150]40.08

合計CD

21．某休閑農(nóng)莊有一塊長方形魚塘ABCD，AB=50米，BC=25米，為了便于游客休閑漫步，該農(nóng)莊抉擇在魚塘內(nèi)建三條如下圖的觀光走廊OE、EF和OF，考慮到整體規(guī)劃，要求O是AB的中點，點E在邊BC上，點F在邊AD上，且∠EOF=90°．

（1）設(shè)∠BOE=α，試將△OEF的周長l表示成α的函數(shù)關(guān)系式，并求出此函數(shù)的定義域；

（2）經(jīng)核算，三條走廊每米創(chuàng)辦費用均為4000元，試問如何設(shè)計才能使創(chuàng)辦總費用最低并求出最低總費用．

22．在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，已知向量=（﹣1，2），又點A（8，0），B（n，t），C（ksinθ，t）．（1）若⊥，且||=||，求向量；

（2）若向量與向量共線，常數(shù)k＞0，求f（θ）=tsinθ的值域；

（3）當(dāng)（2）問中f（θ）的值4時，求．

參考答案與試題解析

一、選擇題（共12小題，每題5分，總分值60分）

1．點P從（﹣1，0）啟程，沿單位圓x2+y2=1順時針方向運動π弧長到達(dá)Q，那么Q點坐標(biāo)（）

A．（﹣，）B．（﹣，﹣）C．（﹣，﹣）D．（﹣，）

弧長公式．

畫出圖形，結(jié)合圖形，求出∠xOQ的大小，即得Q點的坐標(biāo)．

解：如下圖，；

點P從（﹣1，0）啟程，沿單位圓x2+y2=1順時針方向運動π弧長到達(dá)Q，

那么∠POQ=﹣2π=，

∴∠xOQ=，

∴cos=﹣，sin=，

∴Q點的坐標(biāo)為（﹣，）；

應(yīng)選：A．

2．從一箱產(chǎn)品中隨機地抽取一件，設(shè)事情A=抽到一等品，事情B=抽到二等品，事情C=抽到三等品，且已知P（A）=0.65，P（B）=0.2，P（C）=0.1．那么事情“抽到的不是一等品”的概率為（）

A．0.7B．0.65C．0.35D．0.3

互斥事情的概率加法公式．

根據(jù)對立事情的概率和為1，結(jié)合題意，即可求出結(jié)果來．

解：根據(jù)對立事情的概率和為1，得；

∵事情A=抽到一等品，且P（A）=0.65，

∴事情“抽到的不是一等品”的概率為

P=1﹣P（A）=1﹣0.65=0.35．

應(yīng)選：C．

3．已知，為單位向量，其夾角為60°，那么（2﹣）=（）

A．﹣1B．0C．1D．2

平面向量數(shù)量積的運算．

由條件利用兩個向量的數(shù)量積的定義，求得、的值，可得（2﹣）的值．

解：由題意可得，=1×1×cos60°=，=1，

∴（2﹣）=2﹣=0，

應(yīng)選：B．

4．sin（﹣15°）=（）

A．B．C．D．

三角函數(shù)的化簡求值；運用誘導(dǎo)公式化簡求值．

利用兩角差的正弦公式，結(jié)合特殊角的三角函數(shù)，即可得出答案．

解：sin（﹣15°）=sin（30°﹣45°）

=sin30°cos45°﹣cos30°sin45°

=×﹣×

=．

應(yīng)選：D．

5．已知向量=（﹣2，1），=（3，0），那么在方向上的正射影的數(shù)量為（）

A．﹣B．C．﹣2D．2

平面向量數(shù)量積的運算．

根據(jù)向量數(shù)量積的關(guān)系舉行化簡，結(jié)合向量投影的定義舉行求解即可．

解：∵向量=（﹣2，1），=（3，0），

∴在方向上的正射影為||cos＜，＞===﹣2，

應(yīng)選：C

6．在△ABC中，a=1，b=x，∠A=30°，那么使△ABC有兩解的x的范圍是（）

A．B．（1，+∞）C．D．（1，2）

正弦定理．

根據(jù)題意畫出圖形，由題意得到三角形有兩解的條件為b=x＞a，bsinA＜a，即可確定出x的范圍．

解：結(jié)合圖形可知，三角形有兩解的條件為b=x＞a，bsinA＜a，

∴b=x＞1，xsin30°＜1，

那么使△ABC有兩解的x的范圍是1＜x＜2，

應(yīng)選：D．

7．如圖的程序框圖，假設(shè)輸入三個實數(shù)a，b，c，要求輸出這三個數(shù)中的數(shù)，那么在空白的判斷框中，理應(yīng)填入下面四個選項中的（）

A．c＞xB．x＞aC．c＞bD．b＞c

程序框圖．

根據(jù)流程圖所示的依次，逐框分析程序中各變量、各語句的作用，由于該題的目的是選擇數(shù)，因此根據(jù)第一個選擇框作用是對比x與b的大小，故其次個選擇框的作用理應(yīng)是對比x與c的大小，而且條件成立時，保存值的變量X=C．

解：由流程圖可知：

第一個選擇框作用是對比x與b的大小，

故其次個選擇框的作用理應(yīng)是對比x與c的大小，

∵條件成立時，保存值的變量X=C

應(yīng)選A．

8．△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c若＜cosA，那么△ABC為（）

A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．等邊三角形

三角形的外形判斷．

由已知結(jié)合正弦定理可得sinC＜sinBcosA利用三角形的內(nèi)角和及誘導(dǎo)公式可得，sin（A+B）＜sinBcosA整理可得sinAcosB+sinBcosA＜0從而有sinAcosB＜0結(jié)合三角形的性質(zhì)可求

解：∵＜cosA，

由正弦定理可得，sinC＜sinBcosA

∴sin（A+B）＜sinBcosA

∴sinAcosB+sinBcosA＜sinBcosA

∴sinAcosB＜0又sinA＞0

∴cosB＜0即B為鈍角

應(yīng)選：A

9．設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點，且，，，那么與（）

A．反向平行B．同向平行

C．彼此垂直D．既不平行也不垂直

平行向量與共線向量．

根據(jù)向量的定必分點性質(zhì)可分別表示出，，，

然后三者相加即可得到答案．

解：由定比分點的向量式得：，，，

以上三式相加得，

應(yīng)選A

10．設(shè)函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線x=0對稱，那么（）

A．y=f（x）的最小正周期為π，且在上為增函數(shù)

B．y=f（x）的最小正周期為π，且在上為減函數(shù)

C．y=f（x）的最小正周期為，且在上為增函數(shù)

D．y=f（x）的最小正周期為，且在上為減函數(shù)

兩角和與差的正弦函數(shù)．

將函數(shù)解析式提取2，利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的余弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式，求出函數(shù)的最小正周期，再由函數(shù)圖象關(guān)于直線x=0對稱，將x=0代入函數(shù)解析式中的角度中，并令結(jié)果等于kπ（k∈Z），再由φ的范圍，求出φ的度數(shù)，代入確定出函數(shù)解析式，利用余弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間確定出函數(shù)的得到遞減區(qū)間為[kπ，kπ+]（k∈Z），可得出（0，）[kπ，kπ+]（k∈Z），即可得到函數(shù)在（0，）上為減函數(shù)，進(jìn)而得到正確的選項．

解：f（x）=cos（2x+φ）+sin（2x+φ）

=2[cos（2x+φ）+sin（2x+φ）]

=2cos（2x+φ﹣），

∵ω=2，

∴T==π，

又函數(shù)圖象關(guān)于直線x=0對稱，

∴φ﹣=kπ（k∈Z），即φ=kπ+（k∈Z），

又|φ|＜，

∴φ=，

∴f（x）=2cos2x，

令2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），解得：kπ≤x≤kπ+（k∈Z），

∴函數(shù)的遞減區(qū)間為[kπ，kπ+]（k∈Z），

又（0，）[kπ，kπ+]（k∈Z），

∴函數(shù)在（0，）上為減函數(shù)，

那么y=f（x）的最小正周期為π，且在（0，）上為減函數(shù)．

應(yīng)選B

11．設(shè)O點在△ABC內(nèi)部，且有，那么△ABC的面積與△AOC的面積的比為（）

A．2B．C．3D．

向量在幾何中的應(yīng)用．

根據(jù)，變形得∴，利用向量加法的平行四邊形法那么可得2=﹣4，從而確定點O的位置，進(jìn)而求得△ABC的面積與△AOC的面積的比．

解：分別取AC、BC的中點D、E，

∵，

∴，即2=﹣4，

∴O是DE的一個三等分點，

∴=3，

應(yīng)選C．

12．已知在等邊△ABC中，AB=3，O為中心，過O的直線與△ABC的邊分別交于點M、N，那么+的值是（）

A．B．2C．D．

解三角形的實際應(yīng)用．

如下圖，設(shè)∠AOM=θ．由點O是正△ABC的中心，AC=3．可得AD═ACsin60°，AO=AD．在△AMO中，由正弦定理可得：OM==，同理在△ANO中，可得：ON=．代入即可得出．

解：如下圖，設(shè)∠AOM=θ．

∵點O是正△ABC的中心，AC=3．

∴AD═ACsin60°=，AO=AD=．

在△AMO中，由正弦定理可得：=，

∴OM==，

同理在△ANO中，由正弦定理可得：ON=．

∴=+==2sinθ．

∵，由過O的直線交AB于M，交AC于N，

可得，

因此當(dāng)時，取得值2．

應(yīng)選：B．

二、填空題（共4小題，每題5分，總分值20分）

13．高一某班有學(xué)生56人，現(xiàn)將全體同學(xué)隨機編號，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為8的樣本，那么需要將全班同學(xué)分成8組．

系統(tǒng)抽樣方法．

根據(jù)系統(tǒng)抽樣舉行求解即可．

解：高一某班有學(xué)生56人，系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為8的樣本，

那么56÷8=7，

即樣本間隔為7，每7人一組，共需要分成8組，

故答案為：8

14．已知tanα=2，tanβ=3，且α、β都是銳角，那么tan=1+．

兩角和與差的正切函數(shù)；半角的三角函數(shù)．

先利用正切的兩角和公式求得tan（α+β）的值，進(jìn)而求得α+β，的值，利用二倍角的正切函數(shù)公式即可計算得解．

解：tan（α+β）===﹣1，

∵α、β都是銳角，

∴α+β=，可得：=，tan＞0，

∵tan（α+β）=﹣1=，整理可得：tan2﹣2tan﹣1=0，

∴解得：tan=1+，或1﹣（舍去）．

故答案為：1+．

15．有一解三角形的題目因紙張破損，有一條件不清，概括如下：在△ABC中，已知a=，2cos2=（﹣1）cosB，c=，求角A，若該題的答案是A=60°，請將條件補充完整．

余弦定理．

利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式求得B，再利用兩角和的正弦公式求得sin75°的值，再利用正弦定理求得c的值．

解：在△ABC中，∵已知a=，2cos2=（﹣1）cosB，

∴1+cos（A+C）=（﹣1）cosB，

即1﹣cosB=（﹣1）cosB，∴cosB=，∴B=．

若A=60°，那么C=180°﹣A﹣B=75°，sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=，

那么由正弦定理可得=，求得c=，

故答案為：．

16．在△ABC中，∠ACB為鈍角，AC=BC=1，且x+y=1，函數(shù)的最小值為，那么的最小值為．

向量加減混合運算及其幾何意義．

在△ABC中，∠ACB為鈍角，AC=BC=1，函數(shù)f（m）的最小值為．利用數(shù)量積的性質(zhì)可得∠ACB，進(jìn)而再利用數(shù)量積的性質(zhì)和二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解：在△ABC中，∠ACB為鈍角，AC=BC=1，函數(shù)f（m）的最小值為．

∴函數(shù)==，

化為4m2﹣8mcos∠ACB+1≥0恒成立．

當(dāng)且僅當(dāng)m==cos∠ACB時等號成立，代入得到，∴．

∴===x2+（1﹣x）2﹣x（1﹣x）=，

當(dāng)且僅當(dāng)x==y時，取得最小值，

∴的最小值為．

故答案為：．

三、解答題（共6小題，總分值70分）

17．已知函數(shù)f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，0＜φ＜π），x∈R的值是1，其圖象經(jīng)過點．

（1）求f（x）的解析式；

（2）已知，且，，求f（α﹣β）的值．

由y=Asin（ωx+φ）的片面圖象確定其解析式；兩角和與差的余弦函數(shù)．

（1）根據(jù)題意求出A，圖象經(jīng)過點，代入方程求出φ，然后求f（x）的解析式；

（2），且，，求出，然后求出sinα，sinβ，利用兩角差的余弦函數(shù)求f（α﹣β）的值．

解：（1）依題意有A=1，那么f（x）=sin（x+φ），將點代入得，而0＜φ＜π，∴，∴，故．

（2）依題意有，而，∴，．

18．在銳角△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C所對的邊，且=2csinA

（1）確定角C的大??；

（2）若c=，且△ABC的面積為，求a+b的值．

解三角形．

（1）利用正弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化成角的正弦，整理可求得sinC，進(jìn)而求得C．

（2）利用三角形面積求得ab的值，利用余弦定理求得a2+b2的值，結(jié)果求得a+b的值．

解：（1）∵=2csinA

∴正弦定理得，

∵A銳角，

∴sinA＞0，

∴，

又∵C銳角，

∴

（2）三角形ABC中，由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC

即7=a2+b2﹣ab，

又由△ABC的面積得．

即ab=6，

∴（a+b）2=a2+b2+2ab=25

由于a+b為正，所以a+b=5．

19．如圖，已知=（2，1），=（1，7），=（5，1），設(shè)Z是直線OP上的一動點．

（1）求使取最小值時的；

（2）對（1）中求出的點Z，求cos∠AZB的值．

平面向量的綜合題．

（1）運用向量共線的坐標(biāo)表示，求得向量ZA，ZB的坐標(biāo)，由數(shù)量積的標(biāo)準(zhǔn)表示，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，可得最小值，及向量OZ；

（2）求得t=2的向量ZA，ZB，以及模的大小，由向量的夾角公式，計算即可得到．

解：（1）∵Z是直線OP上的一點，

∴∥，

設(shè)實數(shù)t，使=t，

∴=t（2，1）=（2t，t），

那么=﹣=（1，7）﹣（2t，t）=（1﹣2t，7﹣t），

=﹣=（5，1）﹣（2t，t）=（5﹣2t，1﹣t）．

∴=（1﹣2t）（5﹣2t）+（7﹣t）（1﹣t）

=5t2﹣20t+12=5（t﹣2）2﹣8．

當(dāng)t=2時，有最小值﹣8，

此時=（2t，t）=（4，2）．

（2）當(dāng)t=2時，=（1﹣2t，7﹣t）=（﹣3，5），||=，

=（5﹣2t，1﹣t）=（1，﹣1），||=．

故cos∠AZB═=

=﹣=﹣．

20．學(xué)校從加入高一年級期中考試的學(xué)生中抽出50名學(xué)生，并統(tǒng)計了他們的數(shù)學(xué)勞績（勞績均為整數(shù)且總分值為150分），數(shù)學(xué)勞績分組及各組頻數(shù)如下：

[60，75），2；[75，90），3；[90，105），14；[105，120），15；[120，135），12；[135，150]，4．

（1）在給出的樣本頻率分布表中，求A，B，C，D的值；

（2）估計勞績在120分以上（含120分）學(xué)生的比例；

（3）為了扶助勞績差的學(xué)生提高數(shù)學(xué)勞績，學(xué)校抉擇成立“二幫一”小組，即從勞績在[135，150]的學(xué)生中選兩位同學(xué)，共同扶助勞績在[60，75）中的某一位同學(xué)．已知甲同學(xué)的勞績?yōu)?2分，乙同學(xué)的勞績?yōu)?40分，求甲、乙兩同學(xué)恰好被安置在同一小組的概率．

樣本頻率分布表：

分組頻數(shù)頻率

[60，75）20.0