2023年數(shù)值實驗報告

北京XX大學計算機與通信工程學院實驗報告實驗名稱：《數(shù)值計算方法》課程實驗學生姓名:XX專業(yè):計算機科學與技術(shù)班級：XXXX學號：XXXXXX指導(dǎo)教師：XXXXX實驗成績:實驗地點：XXXXXXX實驗時間:2023年—6—月—6—日endendendfor1=1：6form=:11F(l)=f(X(m),1).*Y(m)+F(1);endenda=D\F%求解end得出的結(jié)果如下：a=-2.00060.0006-1.000000001.0000-5.0008所以，擬合出的復(fù)合函數(shù)應(yīng)為f(x)=-2.0006+0.0006X-lx2+3x3+ex-5.00081n(x)3、實驗3（1）實驗內(nèi)容?選擇一種數(shù)值積分方法求解下列函數(shù)在區(qū)間［0,2］內(nèi)的積分值，規(guī)定精度小于

10-5:f(x)(3x-x2+x3+ex)0.5給出迭代步數(shù)和最終的步長，并分析你所采用方法的優(yōu)缺陷。10-5:f(x)(3x-x2+x3+ex)0.5(2)重要環(huán)節(jié)在積分難求出解析解時通常用數(shù)值解的方法求積分結(jié)果的近似值，在本題的實現(xiàn)方法上選用復(fù)合Simpson公式進行數(shù)值積分的計算，并從步數(shù)n=2,步長1h=2開始逐步細化步長，增大步數(shù),直到精度滿足題目中的規(guī)定10-5。一方面在定義一個題目中給出的待積分的函數(shù)，C語言代碼如下：doublefunction(doublex)(doub1es;s=sqrt(3*x-x*x+x*x*x+exp(x))?returns；}然后編寫復(fù)合Simpson公式，將其定義在一個獨立的函數(shù)中,C代碼如下：doubleReiterationOfSimpson(doublea,doub1ebzdoublen,doublef(doublex))(doublehzfa,fb,xk,xj；h=(b-a)/n;fa=f(a)；fb=f(b)；doublesl=0.0；doubles2=0.0;intk,j;for(k=I;k<n；k++)(xk=a+k*h;s1=sl+f(xk);)for(j=0;j<n;j++)(xj=a+(j+0.5)*h;s2=s2+f(xj);)doublesn;sn=h/6*(fa+fb+2*sl+4*s2);returnsn;最后在主函數(shù)中定義初始步數(shù)n為2,初始步長h為0.5,并通過for循環(huán)逐步增大n,直到相鄰兩次誤差小于1°■工具體的C代碼如下：voidmain()(doublen=2;doub1eh=1/n;inti;doubleS[MAXn];printf("====================復(fù)合Simpson公式法=====================\n\n");Printf("迭代步數(shù)\t步長't\t積分數(shù)值誤差\n”);S[O]=ReiterationOfsimpson(0,2,n,function);printf("%d\t\t%f\t%f\nn,(int)n,h,S[0]);n++；h=i/n;S[1]=ReiterationOfSimpson(0,2zn,function)；printf("%d\t\t%f\t%f\t%f\n",(int)n,h,S[1],S[1]-S[0]);for(i=2;S[i-I]-S[i-2]>=Le-5;i++)n=i+2;h=l/n；S[i]=ReiterationOfSimpson(0,2znzfunction);Printf("\t\t%f\t^f\t%f\n",(int)nzh,S[i],S[i]-S[i-1])；}程序執(zhí)行的結(jié)果如下:復(fù)合Simpson公式法=====================迭代步數(shù)步長積分數(shù)值誤差20.5000004.93742530.3333334.9400870.00266240.2500004.9407210.00063450.20OQ0O4.9409340.00021360.1666674.9410220.00008870.1428574.9410630.00004180.1250004.9410850.00002190.1111114.9410970.000012100.1000004.9411040.000007可見，在迭代步數(shù)n為10時，即步長為0.1時,精度達成規(guī)定，且此時的積分數(shù)值約為4.941104o優(yōu)劣性分析見實驗結(jié)果與分析。四：實驗結(jié)果與分析實驗1:通過采用簡樸迭代法和牛頓迭代法解決同一問題，觀測達成指定精度時所需的不同迭代次數(shù)，簡樸迭代法通過7步之后誤差小于10-1牛頓迭代法通過6步之后誤差小于1°",所以在收斂速度上來講，牛頓迭代法的性能優(yōu)于簡樸迭代法。實驗2:通過采用最小二乘法擬合一個由不超過3階多項式和指數(shù)、對數(shù)函數(shù)線性組合形成的復(fù)合函數(shù)，通過解法方程組求解，在求解過程中熟悉了最小二乘法的求解方法和基本概念，涉及最小二乘法和插值的區(qū)別所在。在計算機中可以通過循環(huán)較容易地求得各個基函數(shù)的內(nèi)積，從而構(gòu)建求解法方程組。實驗3:通過用數(shù)值積分方法求解一個函數(shù)在一個積分區(qū)間的積分值，并根據(jù)具體的精度規(guī)定給出迭代步數(shù)和最終步長。在方法上我選用了復(fù)合Simpson公式法，復(fù)合Simpson公式在Simpson公式的基礎(chǔ)上提高/求積的精度，將［a,b］等提成n個子區(qū)間，在每個子區(qū)間上使用低階求積公式計算，然后把所有子區(qū)間上的計算結(jié)果求和。復(fù)合Simpson公式的優(yōu)點在于通過增長子區(qū)間的個數(shù)可以縮小誤差提高精度，這一點比單純的Simpson公式，梯形公式和Cotes公式要好。但是缺陷在于復(fù)合Simpson公式是4階收斂的，在收斂速度上沒有復(fù)合Cotes公式收斂的快，所以需要n=10時才干達成精度規(guī)定。五：結(jié)論（討論）1、實驗結(jié)論在本次數(shù)值計算實驗課中一共完畢了三個實驗，分別相應(yīng)理論課程中三章的內(nèi)容，分別復(fù)習并實踐了非線性方程的迭代解法，插值與擬合，積分的數(shù)值解法等內(nèi)容。這三個實驗涉及到了數(shù)值計算方法的重要內(nèi)容，熟悉了數(shù)值計算方法的理論知識，并加以應(yīng)用，在有一定創(chuàng)新度并結(jié)合各種具體編程環(huán)境的基礎(chǔ)上，在實踐中體會到了數(shù)值計算方法在實際問題中的作用。在具體實現(xiàn)上，分別用C語言實現(xiàn)了1,3兩個實驗，用MATLAB實現(xiàn)了第2個實驗，鍛煉了把數(shù)值計算方法結(jié)合到不同應(yīng)用場景的能力,為此后在各領(lǐng)域的使用打下基礎(chǔ)。在具體的實驗上，在第一個實驗中,應(yīng)用了簡樸迭代法和牛頓迭代法解常見的非線性方程，熟悉了各種非線性方程的解法，涉及二分法，簡樸迭代法，牛頓迭代法弦截法和牛頓下山法等。其中應(yīng)用簡樸迭代法和牛頓迭代法求解了題目中的問題，理解了兩者的區(qū)別，牛頓迭代法直接通過迭代函數(shù)的一般形式給出具體的迭代函數(shù)，且收斂速度比簡樸迭代法要快。在第二個實驗中，應(yīng)用了最小二乘法擬合一個由不超過3階多項式和指數(shù)、對數(shù)函數(shù)線性組合形成的復(fù)合函數(shù)，熟悉了最小二乘法的概念及求解方法，通過構(gòu)造法方程組來求解最小二乘法擬合的問題，并在一定限度上了解了最小二乘法擬合后平方誤差的計算方法。在第三個實驗中，應(yīng)用了數(shù)值積分方法中的復(fù)合Simpson公式法解一個函數(shù)在固定區(qū)間中的積分值。由于復(fù)雜的函數(shù)在一定情況下難以找到解析解，所以要通過數(shù)值積分的方法求數(shù)值解。在求數(shù)值解的方法上重要有梯形公式，Simpson公式,Cotes公式,復(fù)合梯形公式，復(fù)合Simps。n公式，復(fù)合Cotes公式等,其中復(fù)合的公式通過在區(qū)間內(nèi)等分子區(qū)間提高數(shù)值積分的精度，子區(qū)間個數(shù)越多，精度越高,直到達成目的的精度為止。在實驗中重要應(yīng)用了復(fù)合Simpson公式求解積分，熟悉并理解了相關(guān)的理論知識并加以實踐，在一定限度上掌握了相關(guān)的方法。2、討論在本次數(shù)值計算實驗課程中，完畢了課程中規(guī)定的實驗，進一步掌握了實驗中涉及的知識點，涉及非線性方程的解法，最小二乘法擬合，數(shù)值積分法等等，但是對于實驗題目中未涉及到的內(nèi)容仍有些掌握不牢，比如說線性方程組的解法，插值，常微分方程的數(shù)值解法等等，所以我認為實驗課中涉及的知識點可以覆蓋到各章最佳，這將在熟悉知識點上提供很大的幫助。六、教師評審教師評語實驗成績署名：日期：一、實驗?zāi)康呐c實驗規(guī)定1、實驗?zāi)康膶嶒?:探究非線性方程的解法，比較不同解法的優(yōu)劣性，針對具體問題對解法進行實踐，并迭代達成指定的精確度。實驗2:探究一般化曲線擬合的方法，采用最小二乘法對具有多項式，指數(shù)和對數(shù)多種形式的函數(shù)進行擬合，擬定擬合結(jié)果中的系數(shù)。實驗3:探究多種積分的數(shù)值解法，根據(jù)給定的精度，選擇恰當?shù)臄?shù)值積分方法，擬定迭代步數(shù)與步長，分析積分數(shù)值解法的優(yōu)劣性。2、實驗規(guī)定實驗1:采用兩種算法求解非線性方程，比較兩種算法的性能。實驗2：用最小二乘法擬合由不超過三階多項式和指數(shù)、對數(shù)函數(shù)線性組合成的符合函數(shù)，擬定各個項的系數(shù)實驗3:自選一種數(shù)值積分方法求解積分值，根據(jù)規(guī)定的精度給出最終的迭代步數(shù)和步長，分析優(yōu)缺陷。二、實驗設(shè)備（環(huán)境）及規(guī)定實驗1,3采用C語言編寫，編譯環(huán)境為DEVC++。實驗2涉及矩陣操作，故采用MATLAB編寫。三、實驗內(nèi)容與環(huán)節(jié)1、實驗1(1)實驗內(nèi)容?采用至少兩種不同的算法求解ex+3*x3-x2-2=0在［0,1］范圍內(nèi)的一個根,規(guī)定兩次迭代誤差小于10-4o?根據(jù)實驗結(jié)果，比較分析不同算法的性能。(2)重要環(huán)節(jié)。本實驗由C語言實現(xiàn)。在兩種不同的算法上選用簡樸迭代法和牛頓迭代法。簡樸迭代法是將方程化成一個與原方程同解的方程，方程一端化成自變量x,然后判斷迭代函數(shù)是否收斂,假如收斂的話，不斷地迭代將使x趨于一個定值，這個定值就是原方程的近似解。而牛頓迭代法是直接給出形如1="一府的迭代函數(shù)進行迭代，假如滿足兩個端點異號,f'(x)在［a,b］上不等于零，產(chǎn)(x)在［a,b］上不變號且初值x。滿足條件f(xo)f“(xo)》(),則由牛頓迭代法產(chǎn)生的序列單調(diào)收斂于［a,b］內(nèi)的唯一根。。兩種算法在理論上，牛頓迭代法的收斂速度要大于簡樸迭代法，以下進行迭代解非線性方程組并驗證收斂速度的差異。1.簡樸迭代法：璃爐移項，整理，得到迭代函數(shù)如下：_3卜。'+?+2一3一,選取收斂的初值點無。=0。在實現(xiàn)上運用for循環(huán)進行迭代，直到相鄰兩次的誤差小于C語言代碼如下：簡樸迭代函數(shù)：floatSimplelteration(f1oatx)//簡樸迭代(returnpow((x*x+2-exp(x))/3.0,1.0/3);//Pow(doublex,doubley);函數(shù)為求x的y次方)主函數(shù)中簡樸迭代法部分：a[0]=SimpleIteration(0)；//簡樸迭代法printf("簡樸迭代法:\n");printf送代俏\t\t相鄰[卜.")；Printf("%f\n"，a[C])；for(i=1;;i++)(a[i]=Simplelteration(a[i—1]);dl=fabs(a[i]-a[i-1]);printf("%f\t%f\n*\a[i],d1);if(d1<le—4)break；}2.牛頓迭代法：根據(jù)牛頓迭代法迭代函數(shù)的一般形式可以得到具體的迭代函數(shù)如下：ex+3x3-x2-2X-e'+9，_2x，選取與簡樸迭代法相同的初值C語言代碼如下：牛頓迭代函數(shù)：floatNewtonlteration(floatx)//牛頓迭代(returnx-(exp(x)+3*x*x*x—x*x-2)/(exp(x)+9*x*x-2*x);主函數(shù)中牛頓迭代法的部分：b[(]=Newtoniteration(C);//牛頓迭代法pri牛頓迭代法：;printf("迭代值't\t相鄰兩次誤差\n");printf(',%f\n"?b[0]);for(j=l?;j++){b[j]=Newtoniteration(b[;d2=fabs(b[j]-b[j-1]);printf(u%f\t%f\n",b[j],d2);if(d2<lc-4)break;)兩個迭代法完整C語言代碼如下：include<stdio.h>inelude<math.h>include<std1ib.h>defineMAXSIZE30floatSimplelteration(floatx)〃簡樸迭代(returnpow((x*x+2-exp(x))/3.0,I.0/3)；//pov;(doub1ex,doubley)；函數(shù)為求x的y次方)floatNewtonIteration(floatx)//牛頓迭代(returnx-(exp(x)+3*x*x*x—x*x—2)/(exp(x)+9*x*x-2*x)；}voidmain()(floata[MAXSIZE]；floatb[MAXSIZE];f1oatdl=1;floatd2=1;inti,j；a[0]=Simp1eIteration(0)；//簡樸迭代法print￡("簡樸迭代法：\n”);printf(“迭代值\E\t相鄰兩次誤差\n；printf("%f\n'\a[0]);for(i=L;;i++)(a[i]=Simplelteration(a[i-1]);dl=fabs(a[i]-a[i-l]);printf("%f\t%f\n",a[i],dl);if(dl<1e-4)break;)b[c]=NewtonIterati0n(0);//牛頓迭代法printf("\n牛頓迭代法：\n");printf("迭代值\t\t相鄰兩次誤差\n");printf("%f\n",b[o]);for(j=l;;j++)(b[j]=Newtonlteration(b[j-1])；d2=fabs(b[j]-b[j-1]);printf("%f\t%f\n",b[j],d2)；if(d2<Le-4)break；執(zhí)行程序，結(jié)果如下:簡單迭代法：迭代值相鄰兩次誤差0.6933610.5430050.1503570.5761250.0331210.569G4U0.0070810.5705650.0015210.5702390.0003260.5703090.000070牛頓迭代法：迭代值相鄰兩次誤差1.0000000.7202920.2797080.5958900.1244Q20.5711860.0247040.5702980.0008880.5702970.000001可見，牛頓迭代法的收斂速度大于簡樸迭代法,具體詳見實驗結(jié)果與分析。2、實驗2(1)實驗內(nèi)容?已知如下數(shù)據(jù)：x：1.00001.40001.80002.20232.60003.00003.40003.80004.20234.60005.0000y：2.71836.644815.366730.186752.654284.5925128.1972186.2023262.1349360.7020488.3660?數(shù)據(jù)也許來自于不超過3階多項式和指數(shù)、對數(shù)函數(shù)線性組合形成的復(fù)合函數(shù)([1,x,x2,x3,ex,ln(x)]),請采用最小二乘算法擬定復(fù)合函數(shù)中各個函數(shù)項的系數(shù)。(2)重要環(huán)節(jié)最小二乘法是在擬定函數(shù)形式的情況下，找出一條最靠近所有數(shù)據(jù)點的直線,其鑒定規(guī)則是％=。卬，相達成最小。在求解的過程中,用最小二乘法擬合復(fù)合函數(shù)的過程事實上就是求法方程組的過程。分別寫出各項的內(nèi)積（平?jīng)癉和（f?k）（＜POAPO）（＜POAPO）*

*然后求解方程組如,儀）（＜POAPO）*

*然后求解方程組如,儀）（＜POAPO）*

*然后求解方程組如,儀）（年0，伙）（＜Pn9）(t<Po),(f，(Pn)。根據(jù)題目中給出的數(shù)據(jù)點和復(fù)合函數(shù)形式，可以定義出如下的6種基函數(shù)，具體