高等數(shù)學(上)期末復習指導

PAGEword文檔可自由復制編輯高等數(shù)學（上）期末復習指導本學期我們學習了《高等數(shù)學》（上冊）的第一至第六章，內(nèi)容為一元函數(shù)微積分學．根據(jù)本科生對該課程的教學要求，按章編寫了期末復習指導，供同學們復習時參考．關(guān)于期末考試的說明：（1）期末總成績分為兩部分，平時成績（作業(yè)、期中考試）占30﹪，期末考試成績占70﹪（均以100分制，教務(wù)系統(tǒng)錄入后，自動統(tǒng)計）．兩項合計60分為及格，并取得相應(yīng)學分，60分以下為不及格，可隨下一屆同學在相應(yīng)學期補考．（2）考試題型為：一、填空題（共15分，每小題3分）或一、填空題（共15分，每小題3分）二、單項選擇題（共15分，每小題3分）二、計算題（共25分，每小題5分）三、計算題（共40分）三、解答題（共30分，每小題6分）四、應(yīng)用題（共12分）四、證明題（共16分，每小題8分）五、證明題（共12分）五、應(yīng)用題（共14分，每小題7分）六、綜合題（共6分）（3）試卷分A,B卷，A卷作正考時用，B卷作補考時用．（4）考試有違規(guī)、作弊行為，按規(guī)定處理．下面正式復習．第一章函數(shù)與極限（一）函數(shù)的概念函數(shù)是高等數(shù)學（微積分）的研究對象．函數(shù)是兩個數(shù)集之間的一種映射，或者說是一種對應(yīng)規(guī)律,記作.構(gòu)成函數(shù)有三因素：定義域，對應(yīng)規(guī)律和值域；把前兩者叫函數(shù)的兩要素．考點：①會用函數(shù)的兩要素判別兩個函數(shù)是否相同；②會求函數(shù)的自然定義域（使解析式表示函數(shù)的式子有意義的自變量的取值范圍）；③根據(jù)對應(yīng)規(guī)律求函數(shù)；④會判斷函數(shù)的奇偶性．【例1】（選擇題）：設(shè)，則（）解則，故選（A）．【例2】（填空題）已知函數(shù)，則．令，即，那么，即．【例3】（選擇題）下列各對函數(shù)中（）中的兩個函數(shù)相同．；；；．解A中與的定義域都是，且對應(yīng)規(guī)律也相同．【例4】（選擇題）設(shè)為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，則復合函數(shù)（）是奇函數(shù)．；；；．解設(shè)，則【例4′】若是連續(xù)的奇函數(shù)，證明是偶函數(shù)．【例5】（填空題）函數(shù)的定義域是．解．（二）數(shù)列的極限1.數(shù)列極限的定量定義：對恒成立，則稱數(shù)列的極限是常數(shù)，記作或．2.收斂數(shù)列的性質(zhì)．（見講義）定理1—4．3.數(shù)列收斂的判別定理：準則Ⅰ夾逼準則準則Ⅱ單調(diào)有界數(shù)列必有極限（三）函數(shù)的極限1.（）定義1；()定義.（見講義）2.左、右極限：3.極限的局部保號性．變量（數(shù)列、函數(shù)）的極限是的描述性定義（定性定義）：變量在其變化過程中，總有那么一個時刻，變到這個時刻以后，會無限趨近某個常數(shù)，即與之距能任意小，并保持任意小，通俗講：就是到了“要多小有多小”，就是“小到不能說”，甚至到了“一說就不小了”的程度，但是，這時我們就說，變量以常數(shù)為極限．（四）無窮小與無窮大1.無窮?。?）定義：以零為極限的變量稱為無窮小量．（2）無窮小的階（比較）（3）無窮小的運算性質(zhì)（見講義）特別是：有界函數(shù)與無窮小之積為無窮小．求極限時時，可用無窮小替換，記住幾個等價無窮?。骸?.無窮大（P.39）：絕對值無限增大的變量叫無窮大.無窮小與無窮大的關(guān)系：非零無窮小的倒數(shù)為無窮大，反之，無窮大的倒數(shù)為無窮小.（五）兩個重要極限第一個重要極限：是弦弧之比的極限，是的未定式，它的標準形式是第二個重要極限：是的未定式，它的標準形式是注意：這里，即它們互為倒數(shù)．（六）函數(shù)的連續(xù)性1.三個等價定義：其中，則稱函數(shù)在點處連續(xù)．函數(shù)在區(qū)間連續(xù)的定義．初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的．2.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)①有界性②最值定理③零點定理3.函數(shù)的間斷點及其分類考點：①討論分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性.②求垂直、水平漸近線.③求極限:初等方法和羅比達法則.注意:求函數(shù)的極限時一看自變量的變化過程，二看函數(shù)的變化趨勢.如各項的極限都存在（定式）時用四則運算法則即可求出它們的極限；如果遇到有理分式出現(xiàn)未定式時，可先消去不定因子后化為定式，然后求出極限，這叫求極限的初等方法（還可利用連續(xù)性和無窮小替換法）；對型的未定式則使用羅必達法則．【例6】填空題：函數(shù)的垂直漸近線是復習：，則直線是函數(shù)的水平漸近線；，則直線是函數(shù)的垂直漸近線.解，故為垂直漸近線.【例7】填空題：設(shè)在處連續(xù)，則＝4.解由于在處連續(xù)，即，即【例7′】設(shè)是在時取非負的連續(xù)函數(shù)，試求常數(shù)，在上連續(xù)．解：顯然是分段點，。要使在上連續(xù)，需有因此使得?！纠?】單項選擇題：當時，下列變量中（）是無窮小量．；；．解為無窮小，，即為有界變量，因而它們之積為無窮?。蔬x.【例9】單項選擇題：設(shè)在處連續(xù)，則）解原式＝，故選.【10】填空題：要使函數(shù)在處連續(xù)，則需定義的值為.解＝．計算題【例11】求極限解原式（由于為無窮大，為無窮小，，即為有界變量，故為無窮?。纠?2】求極限解原式（第一個重要極限）【例13】求極限解原式或（＝【例14】求極限解原式＝【例14′】解原式【例15】求極限解原式【例16】證明：函數(shù)在（-1，2）之間至少有兩個零點.證明在閉區(qū)間上連續(xù)，因此，由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點定理知，使得即在（-2，2）之間有兩個零點.第二章導數(shù)與微分下面復習一元函數(shù)微分學．微分學：（意為差的計算）（一）導數(shù)的概念1.函數(shù)在一點的導數(shù)與導函數(shù)的定義（導數(shù)是函數(shù)的差，自變量的差之比的極限，即差商的極限，平均變化率的極限）由于函數(shù)在一點的導數(shù)是由極限定義的，函數(shù)在一點的極限有左右極限之分，同樣函數(shù)在一點的導數(shù)也有左、右導數(shù)之分．左導數(shù)：右導數(shù)：它們之間的關(guān)系是：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的導數(shù)是點點可導，是一個函數(shù)，稱導函數(shù)：一個點的導數(shù)是導函數(shù)在處的函數(shù)值，即．2.導數(shù)的幾何意義與物理意義表示曲線在點處的切線的斜率．表示路線函數(shù)在時刻的瞬時速度．3.函數(shù)連續(xù)與可導的關(guān)系：函數(shù)在點可導，必連續(xù)，反之則不然．舉反例：在處連續(xù)，但不可導．因為曲線尖點處無切線．4.導數(shù)的四則運算法則(P.86)5.導數(shù)的基本公式：16個，背會，熟記．(二)求導方法1.復合函數(shù)的求導法—鎖鏈法則：在搞清復合關(guān)系下，由外向內(nèi)逐次由對中間變量導，直至對自變量的求導為止，要分步寫，別漏層；2.反函數(shù)的導數(shù)＝原函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)；3.參數(shù)方程的一、二階導數(shù)公式（見講義）4.隱函數(shù)求導法由方程確定隱函數(shù)，求有二種方法：（1）求導法：方程兩邊對求導，解出；（2）利用一階微分形式不變性：方程兩邊取微分，從中解出；5.取對數(shù)求導法適于：（?。﹥缰负瘮?shù)，（ⅱ）若干個冪的連乘、除.（三）高階導數(shù)，即一階一階導數(shù)求下去，并總結(jié)出一般規(guī)律.公式：.（四）微分1.定義：函數(shù)的微分是函數(shù)改變量的線性主要部分，用微分的第一個字母表示：2.可導與可微是等價關(guān)系：，故導數(shù)也叫微商．3.微分法則（參見講義）4.一階微分形式的不變性：不管是自變量還是中間變量，函數(shù)的微分總可以表為的形式.考點：①利用導數(shù)定義討論分段函數(shù)在分段點處的可導與連續(xù)性；②求導數(shù)或微分.【例17】單項選擇題：函數(shù)在點（1，2）處的切線方程是（），；；.【例18】單項選擇題：若在處可導，則有（）；；；【例19】填空題：曲線在處的切線方程為【例19′】過原點的切線方程為：?！纠?0】綜合題：已知，討論在點處的連續(xù)性可導性.解右極限左極限，又故在處連續(xù).右導數(shù)左導數(shù)，又故在處可導.【例21】單項選擇題：設(shè)函數(shù)，且，則（）解，已知，那么，故選【例22】單項選擇題：下列湊微分等式中（）是正確的．；；；.【例23】計算的微分解【例23′】1．，則?！纠?4】由所確定，求解根據(jù)隱函數(shù)求導法則，先求導函數(shù)方程兩邊對求導，得（乘法法則）解出，時，故【例25】求解．【例26】填空題：設(shè)函數(shù)在處可導，則2，.解由在處可導，即，又可導必連續(xù)，所以則又所以，又由，得【例27】設(shè)，求解（利用一階微分形式不變性）＝＝.【例28】求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù).解方程兩邊對求導，得解出.【例28′】設(shè)由方程確定，求.設(shè)由方程確定，求。解：方程兩邊同時對x求導將代入上式【例29】求由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù).解【例29′】設(shè)，求解【例30】，求解法一法二取對數(shù)，化為隱函數(shù)兩邊對求導，得.【例30′】求的導數(shù)解：【例31】，求解方程兩邊對求導，得解出【例32】用微分代替增量，求的近似值.解由近似公式：設(shè)或用近似公式：第三章中值定理與導數(shù)的應(yīng)用（一）中值定理架起了函數(shù)與導數(shù)之間的橋梁，因與區(qū)間的中間點有關(guān)，故叫中值定理，它由以下幾個定理構(gòu)成：（記住定理的條件和結(jié)論）.1.定理2.中值定理3.定理（二）法則：未定式的定值法，求型未定式的極限.使用羅必達法則時注意：（?。┝_法則是說，如果導數(shù)比的極限存在，則函數(shù)比的極限存在，反之，不一定成立．即，不是所有的未定式的極限都可用羅必達法則，法則不是萬能的．（ⅱ）對未定式可以連續(xù)使用羅必達法則，但每步必須檢驗條件，不是未定式時，則該用其他方法求出極限.（ⅲ）使用羅必達法則求未定式極限的過程中還要注意結(jié)合使用求極限的初等方法，以簡化計算過程.（三）函數(shù)的圖形1.用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性（定理1）2.函數(shù)的極值與最值（1）極值（局部概念）定義（2）極值的必要條件：函數(shù)的極值點發(fā)生在駐點（一階導函數(shù)為零的點）和導數(shù)不存在的點，合稱可疑點上.（3）極值的充分條件一：一階導數(shù)經(jīng)過“可疑點”是否變號；極值的充分條件二：將駐點帶入二階導數(shù)，大于零為極小點，小于零為極大點.（4）求函數(shù)最值（整體概念）的應(yīng)用題的步驟：先設(shè)變量，將問題化為一元函數(shù)的極值問題，令一階導數(shù)為零，求出唯一駐點，根據(jù)實際問題的意義，為問題的極值點也是最值點，最后寫出答.3.曲線的凹凸性與拐點（1）曲線的凹凸是用曲線在切線上下方，即曲線的縱坐標與切線縱坐標比較大小來定意的判別：用二階導數(shù)的符號，大于零為凹，小于零為凸.（2）拐點：凹凸的分界點.4.漸近線考點：①利用微分中值定理或函數(shù)單調(diào)性證明某些不等式；②求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間及拐點；③判別函數(shù)極值的條件，可導與連續(xù)的關(guān)系；④利用微分中值定理證明方程有實根的問題；⑤一元函數(shù)最值的應(yīng)用問題.【例33】證明不等式：證明取在上對應(yīng)用中值定理，，使得由于，故【例34】證明：當時，有證明設(shè)，則當時，顯然有，從而有因此，于是在上單調(diào)上升，這樣便有，即有不等式.【例35】填空題：曲線的拐點為解令，解得判別當時，當時，，則點是曲線的拐點．【例35′】．，時，點是曲線的拐點.，時，點是曲線的拐點.解【例36】單項選擇題：函數(shù)在區(qū)間（1，2）上是（）單調(diào)增加的；單調(diào)減少的；先單調(diào)增，后單調(diào)減；先單調(diào)減，后單調(diào)增.解令，解得駐點，在（1，2）外，例如可見，函數(shù)在（1，2）上是單調(diào)減少的，故選.【例37】填空題：曲線在區(qū)間內(nèi)是凹的曲線在區(qū)間內(nèi)是凹的【例38】單項選擇題：下列命題中不正確的是（）函數(shù)的極值點一定是駐點；若，則存在；函數(shù)在處可導，則一定在處連續(xù)；若在上恒有，則在右端點處達到最大值.【例39】證明題：設(shè)，證明有且僅有三個實根.證明是初等函數(shù)，在上連續(xù)，可導，從而在上連續(xù)，可導，則分別在上對應(yīng)用羅爾中值定理，得至少，使得，又是三次方程，故它至多有三個實根由上述有且僅有三個實根.【例40】應(yīng)用題：求半徑為得球內(nèi)接圓柱體的最大體積.解設(shè)圓柱體底半徑為，高為，則體積令，解得唯一駐點由實際問題意義，它為最大值點，答：當圓柱體底半徑時，有.【例41】應(yīng)用題：已知某建筑機械廠生產(chǎn)件產(chǎn)品的成本（單位：元），試問：要使平均成本最小，應(yīng)生產(chǎn)多少件產(chǎn)品？解設(shè)平均成本為，則，于是問題化為求一元函數(shù)的最小值令，解得唯一駐點舍去）由實際問題意義，此點即為極小值點，也是最小值點＇答：當生產(chǎn)1000件產(chǎn)品時，平均成本最小.【例42】應(yīng)用題：設(shè)矩形內(nèi)接于橢圓內(nèi)，求使其面積為最大的矩形的邊長.解設(shè)矩形邊長為，寬為則面積，于是問題化為求一元函數(shù)的最大值令解得唯一駐點舍去），由實際問題意義，它為極大值點，也是最大值點.答：內(nèi)接于橢圓的矩形邊長為，寬為時，其【例42′】求在上的最大值和最小值。解：最大值為，最小值為.第四章不定積分在數(shù)學中，一種運算的出現(xiàn)都伴隨著它的逆運算，導數(shù)的運算也有逆運算，這就是不定積分（一）原函數(shù)與不定積分1.原函數(shù)：或，則稱是的一個原函數(shù).（1）若在某區(qū)間上連續(xù)，則在上的原函數(shù)必存在..（2）若存在原函數(shù)，則它的原函數(shù)有無窮多個，且其不同的兩個原函數(shù)之間僅差一個常數(shù).2.不定積分：的全體原函數(shù)稱為它的不定積分，記作（二）不定積分的性質(zhì)1.為非零常數(shù)）2..3.，或（對先積后微，作用互相抵消）4.，或（對先微后積，結(jié)果只差任一常數(shù)）可見，不定積分與微分互為逆運算．（三）基本積分公式公式（1）－（15），補充公式（16）－（24）要求：背會，熟記.特別是冪函數(shù)的積分公式：時，指數(shù)函數(shù)的積分公式：不定積分的兩大積分法：求不定積分是求導運算的逆運算，較困難．這是因為，若函數(shù)存在導數(shù)，則根據(jù)導數(shù)的構(gòu)造性定義（差商的極限）或應(yīng)用求導公式，特別是對復合函數(shù)的鏈式法則，由表及里總能算出它的導數(shù).但計算函數(shù)的不定積分則不然，由于不定積分的定義是非構(gòu)造性的，應(yīng)用不定積分法則和公式只能計算出很少的、簡單的函數(shù)的不定積分，對計算較多的復合函數(shù)和乘積函數(shù)的不定積分，要因函數(shù)的不同形式或不同類型而選用不同的方法.因此計算不定積分有較大的靈活性和技巧，沒有一定的規(guī)律可循．計算不定積分最基本、最常用的有兩種積分法，這就是換元法和分部積分法，它們能將被積函數(shù)的表達式化繁為簡，最后簡化到能用不定積分表中公式進行計算.（四）換元積分法1.第一換元積分法（湊微分法）形式寫法如下：難積（積分表中無）將被積函數(shù)分為兩因子乘積將與dx湊成微分簡單、易積湊微分是相當靈活的方法，變化萬千，要記住一些常用的湊微分式.2.第二換元積分法－主要用于求解含有一、二次根式的積分.（不作考試要求）形式寫法如下：難積（積分表中無）易積對含有一次根式（簡單無理式）的積分，令對含有二次根式的積分，用弦換、用切換、用割換，去掉根式，易于積分，最后用小三角形法還原．（五）分部積分法－適于求解含有中任意兩個相乘的積分．（其中L－對數(shù)函數(shù)，I－反三角函數(shù)，A－代數(shù)函數(shù)，T－三角函數(shù)，E－指數(shù)函數(shù)）公式的意義是：難積將被積函數(shù)化為兩因子乘積將與dx部分后者易于積分湊成微分dv（前者）分部積分法中，要使后者vdu的積分比前者udv的積分容易，才能達到化難為易，化繁為簡的目的，為此u、v的恰當選擇是關(guān)鍵，口訣是：三指進微多不變，對反不動多項變．（即三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)進微分為v,多項式不變?yōu)閡；（對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)不動為u，多項式進微分為v）在三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)乘積求積時，u、v可任意選，但第二次積分時，u、v應(yīng)選同類函數(shù)，這時積分會出現(xiàn)循環(huán)，通過移項，除以系數(shù)得原式的積分.考點：①理解不定積分與微分運算互逆.②會用湊微分法和分部法求不定積分.【例43】單項選擇題：下列等式中正確的是（）；；；.【例44】填空題：設(shè)，則解.【例45】求不定積分解原式＝這時出現(xiàn)循環(huán)，移項除2，得原式＝【例45′】解：【例46】求不定積分解原式【例47】求不定積分解原式＝＝＝【例48】F(x)是cosx的一個原函數(shù)，F(xiàn)(0)=0,求。解由是的一個原函數(shù)得，又，所以。.【例48′】已知，則=.解已知，則=.第五章定積分（一）定積分的概念在有限區(qū)間上有界函數(shù)的定積分（又稱．黎曼積分）是特定構(gòu)造（經(jīng)四步即分割（化整為零）－近似代替（局部＂以直代曲＂，＂以不變代變＂）－求和（積零為整）－取極限（由近似到精確）的和式的極限，又稱＂高級和＂記作，，積分號＂是“和”的第一個字母拉