2023屆數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測(cè)：專題06 一網(wǎng)打盡外接球與內(nèi)切球問(wèn)題（精講精練）（解析版）

專題06一網(wǎng)打盡外接球與內(nèi)切球問(wèn)題【命題規(guī)律】縱觀近幾年高考對(duì)于組合體的考查，與球相關(guān)的外接與內(nèi)切問(wèn)題是高考命題的熱點(diǎn)之一．高考命題小題綜合化傾向尤為明顯，要求學(xué)生有較強(qiáng)的空間想象能力和準(zhǔn)確的計(jì)算能力，才能順利解答．從近幾年全國(guó)高考命題來(lái)看，這部分內(nèi)容以選擇題、填空題為主，大題很少見(jiàn)，此部分是重點(diǎn)也是一個(gè)難點(diǎn)，屬于中等難度．【核心考點(diǎn)目錄】核心考點(diǎn)一：正方體、長(zhǎng)方體外接球核心考點(diǎn)二：正四面體外接球核心考點(diǎn)三：對(duì)棱相等的三棱錐外接球核心考點(diǎn)四：直棱柱外接球核心考點(diǎn)五：直棱錐外接球核心考點(diǎn)六：正棱錐與側(cè)棱相等模型核心考點(diǎn)七：側(cè)棱為外接球直徑模型核心考點(diǎn)八：共斜邊拼接模型核心考點(diǎn)九：垂面模型核心考點(diǎn)十：二面角模型核心考點(diǎn)十一：坐標(biāo)法核心考點(diǎn)十二：圓錐圓柱圓臺(tái)模型核心考點(diǎn)十三：錐體內(nèi)切球核心考點(diǎn)十四：棱切球【真題回歸】1．（2022·全國(guó)·高考真題（文））已知球O的半徑為1，四棱錐的頂點(diǎn)為O，底面的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，則當(dāng)該四棱錐的體積最大時(shí)，其高為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】[方法一]：【最優(yōu)解】基本不等式設(shè)該四棱錐底面為四邊形ABCD，四邊形ABCD所在小圓半徑為r，設(shè)四邊形ABCD對(duì)角線夾角為，則（當(dāng)且僅當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)等號(hào)成立）即當(dāng)四棱錐的頂點(diǎn)O到底面ABCD所在小圓距離一定時(shí)，底面ABCD面積最大值為又設(shè)四棱錐的高為，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故選：C[方法二]：統(tǒng)一變量＋基本不等式由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高，(當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立)所以該四棱錐的體積最大時(shí)，其高.故選：C．[方法三]：利用導(dǎo)數(shù)求最值由題意可知，當(dāng)四棱錐為正四棱錐時(shí)，其體積最大，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，底面所在圓的半徑為，則，所以該四棱錐的高，，令，，設(shè)，則，，，單調(diào)遞增，，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)．故選：C.【整體點(diǎn)評(píng)】方法一：思維嚴(yán)謹(jǐn)，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是該題的最優(yōu)解；方法二：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，再利用基本不等式求最值；方法三：消元，實(shí)現(xiàn)變量統(tǒng)一，利用導(dǎo)數(shù)求最值，是最值問(wèn)題的常用解法，操作簡(jiǎn)便，是通性通法．2．（2021·全國(guó)·高考真題（理））已知A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個(gè)點(diǎn)，且，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，為等腰直角三角形，，則外接圓的半徑為，又球的半徑為1，設(shè)到平面的距離為，則，所以.故選：A.3．（2022·全國(guó)·高考真題）已知正三棱臺(tái)的高為1，上、下底面邊長(zhǎng)分別為和，其頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)正三棱臺(tái)上下底面所在圓面的半徑，所以，即，設(shè)球心到上下底面的距離分別為，球的半徑為，所以，，故或，即或，解得符合題意，所以球的表面積為．故選：A．4．（2022·全國(guó)·高考真題）已知正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵球的體積為，所以球的半徑,[方法一]：導(dǎo)數(shù)法設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時(shí)，，時(shí)，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以當(dāng)且僅當(dāng)取到，當(dāng)時(shí)，得，則當(dāng)時(shí)，球心在正四棱錐高線上，此時(shí)，，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是5．（2020·全國(guó)·高考真題（理））已知為球的球面上的三個(gè)點(diǎn)，⊙為的外接圓，若⊙的面積為，，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)圓半徑為，球的半徑為，依題意，得，為等邊三角形，由正弦定理可得，，根據(jù)球的截面性質(zhì)平面，，球的表面積.故選：A6．（2020·全國(guó)·高考真題（理））已知△ABC是面積為的等邊三角形，且其頂點(diǎn)都在球O的球面上.若球O的表面積為16π，則O到平面ABC的距離為（

）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】設(shè)球的半徑為，則，解得：.設(shè)外接圓半徑為，邊長(zhǎng)為，是面積為的等邊三角形，，解得：，，球心到平面的距離.故選：C.【方法技巧與總結(jié)】1、補(bǔ)成長(zhǎng)方體（1）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖1所示．（2）若三棱錐的四個(gè)面均是直角三角形，則此時(shí)可構(gòu)造長(zhǎng)方體，如圖2所示．（3）正四面體可以補(bǔ)形為正方體且正方體的棱長(zhǎng)，如圖3所示．（4）若三棱錐的對(duì)棱兩兩相等，則可將其放入某個(gè)長(zhǎng)方體內(nèi)，如圖4所示圖1圖2圖3圖4【核心考點(diǎn)】核心考點(diǎn)一：正方體、長(zhǎng)方體外接球【規(guī)律方法】1、正方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半．2、長(zhǎng)方體的外接球的球心為其體對(duì)角線的中點(diǎn)，半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半．【典型例題】例1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正方體外接球的體積是，那么正方體的體對(duì)角線等于（

）A． B．4 C． D．.【答案】B【解析】正方體外接球的直徑即為正方體的體對(duì)角線，設(shè)外接球的半徑為，則，解得，所以正方體的體對(duì)角線等于；故選：B例2．（2022·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)（文））長(zhǎng)方體的過(guò)一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別是2，4，4，則該長(zhǎng)方體外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】長(zhǎng)方體外接球直徑，所以該長(zhǎng)方體外接球的表面積故選：C.例3．（2022·貴州黔南·高三開(kāi)學(xué)考試（理））自2015年以來(lái)，貴陽(yáng)市著力建設(shè)“千園之城”，構(gòu)建貼近生活、服務(wù)群眾的生態(tài)公園體系，著力將“城市中的公園”升級(jí)為“公園中的城市”．截至目前，貴陽(yáng)市公園數(shù)量累計(jì)達(dá)到1025個(gè)．下圖為貴陽(yáng)市某公園供游人休息的石凳，它可以看做是一個(gè)正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的，如果被截正方體的的棱長(zhǎng)為，則石凳所對(duì)應(yīng)幾何體的外接球的表面積為_(kāi)_______．【答案】【解析】設(shè)正方體的中心為，為棱的中點(diǎn)，連接，則為矩形的對(duì)角線的交點(diǎn)，則，同理，到其余各棱的中點(diǎn)的距離也為，故石凳所對(duì)應(yīng)幾何體的外接球的半徑為20，其表面積為，故答案為：核心考點(diǎn)二：正四面體外接球【規(guī)律方法】如圖，設(shè)正四面體的的棱長(zhǎng)為，將其放入正方體中，則正方體的棱長(zhǎng)為，顯然正四面體和正方體有相同的外接球．正方體外接球半徑為，即正四面體外接球半徑為．【典型例題】例4．（2022·黑龍江·哈九中模擬預(yù)測(cè)（理））已知正四面體外接球表面積為，則該正四面體棱長(zhǎng)為_(kāi)_____；若為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則最小值為_(kāi)_____．【答案】

6

【解析】設(shè)該正四面體棱長(zhǎng)為，過(guò)點(diǎn)作面，則點(diǎn)為的重心，則，，又正四面體外接球表面積為，則，則，即，又，則，解得：；又為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，則，即點(diǎn)的軌跡為以為圓心，為半徑的圓，又，則由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可得最小值為：，故答案為：；．例5．（2022·江蘇南京·高三開(kāi)學(xué)考試）已知一個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，則其外接球與以其一個(gè)頂點(diǎn)為球心，1為半徑的球面所形成的交線的長(zhǎng)度為_(kāi)__________.【答案】【解析】設(shè)外接球半徑為，外接球球心到底面的距離為，則，所以，兩球相交形成形成的圖形為圓，如圖，在中，，，在中，，所以交線所在圓的半徑為，所以交線長(zhǎng)度為.故答案為：例6．（2022·福建·福州三中模擬預(yù)測(cè)）表面積為的正四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，則根據(jù)題意可得：，解得；該正四面體的外接球與棱長(zhǎng)為的正方體的外接球的半徑相等，又正方體的外接球半徑為，故該正四面體外接球的表面積.故選：B.核心考點(diǎn)三：對(duì)棱相等的三棱錐外接球【規(guī)律方法】四面體中，，，，這種四面體叫做對(duì)棱相等四面體，可以通過(guò)構(gòu)造長(zhǎng)方體來(lái)解決這類問(wèn)題．如圖，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，則，三式相加可得而顯然四面體和長(zhǎng)方體有相同的外接球，設(shè)外接球半徑為，則，所以．【典型例題】例7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在四面體中，，，，則其外接球的表面積為_(kāi)__________.【答案】【解析】如圖所示，將該四面體補(bǔ)成長(zhǎng)方體，設(shè)該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)?寬?高分別為，，，則解得所以，即，從而其外接球的半徑為，其外接球的表面積為.故答案為：．例8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知四面體中，，，，若該四面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則此球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意，四面體擴(kuò)充為長(zhǎng)方體，且面上的對(duì)角線分別為，，，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分為所以長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，球的半徑為，此球的表面積為．故選：C．例9．（2020·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)（文））在三棱錐中，若，，，其外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】三棱錐中，∵，，，顯然這六條棱長(zhǎng)恰為長(zhǎng)方體的六個(gè)面的面對(duì)角線的長(zhǎng)，設(shè)此長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高依次為、、，其對(duì)角線的長(zhǎng)恰為外接球的直徑，如圖所示．則有，則，易知長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為．則．故選:D核心考點(diǎn)四：直棱柱外接球【規(guī)律方法】如圖1，圖2，圖3，直三棱柱內(nèi)接于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）圖1圖2圖3第一步：確定球心的位置，是的外心，則平面；第二步：算出小圓的半徑，（也是圓柱的高）；第三步：勾股定理：，解出【典型例題】例10．（2022·河南新鄉(xiāng)·一模（理））已知正三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，若該正三棱柱的外接球體積為，當(dāng)最大時(shí)，該正三棱柱的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)檎庵饨忧虻捏w積為，所以，設(shè)球心為，底面外接圓圓心為，由正三棱錐可得，底面外接圓半徑，所以由勾股定理得，設(shè)，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，最大，聯(lián)立方程組得，由，得或（舍去），此時(shí)，，所以正三棱柱的體積，故選：B例11．（2022·湖南岳陽(yáng)·高三階段練習(xí)）已知直三棱柱中，，當(dāng)該三棱柱體積最大時(shí)，其外接球的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)槿庵鶠橹比庵?，所以，平面所以，要使三棱柱的體積最大，則面積最大，因?yàn)?，令因?yàn)?，所以，在中，，所以，，所以，，所以，?dāng)，即時(shí)，取得最大值，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，此時(shí)為等腰三角形，，所以，，所以，所以，由正弦定理得外接圓的半徑滿足，即，所以，直三棱柱外接球的半徑，即，所以，直三棱柱外接球的體積為.故選：C例12．（2021·四川瀘州·二模（文））直六棱柱的底面是正六邊形，其體積是，則該六棱柱的外接球的表面積的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)正六邊形的邊長(zhǎng)為，則底面面積為，設(shè)，則正六棱柱的體積為，解得，即，又由該六棱柱的外接球的直徑為，所以該六棱柱的外接球的表面積為：，令，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，所以該六棱柱的外接球的表面積的最小值為.故選：C.核心考點(diǎn)五：直棱錐外接球【規(guī)律方法】如圖，平面，求外接球半徑．解題步驟：第一步：將畫(huà)在小圓面上，為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑，連接，則必過(guò)球心；第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑(三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：=1\*GB3①；=2\*GB3②．【典型例題】例13．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·高三期中（文））三棱錐中，平面，為直角三角形，，，，則三棱錐的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由于三棱錐中，平面ABC，，，故將該三棱錐置于一個(gè)長(zhǎng)方體中，如下圖所示：則體對(duì)角線即為外接球的直徑，所以，故三棱錐的外接球表面積為．故選：D例14．（2022·福建·寧德市民族中學(xué)高三期中）已知三棱錐P-ABC中，底面ABC，PA＝AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】將三棱錐還原成直三棱柱，則三棱柱的外接球即為球，為上下底面的外心，為的中點(diǎn)，為底面外接圓的半徑，由余弦定理得由正弦定理得，由，得，所以球的表面積為．故選：C例15．（2021·四川成都·高三開(kāi)學(xué)考試（文））已知在三棱錐中，側(cè)棱平面，，，，，則三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，故，而，，，則，所以,又，平面PAB,故平面PAB,平面PAB,所以,所以都是以PC為斜邊的直角三角形，故取PC中點(diǎn)O，連接OA,OB,則,即O為三棱錐外接球的球心，,故三棱錐外接球的半徑為，故三棱錐外接球的表面積為，故選：A核心考點(diǎn)六：正棱錐與側(cè)棱相等模型【規(guī)律方法】1、正棱錐外接球半徑：．2、側(cè)棱相等模型：如圖，的射影是的外心三棱錐的三條側(cè)棱相等三棱錐的底面在圓錐的底上，頂點(diǎn)點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)．解題步驟：第一步：確定球心的位置，取的外心，則三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓的半徑，再算出棱錐的高（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：，解出．【典型例題】例16．（2022·江西·金溪一中高三階段練習(xí)（文））在正三棱錐S－ABC中，，△ABC的邊長(zhǎng)為2，則該正三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_____．【答案】【解析】，正三棱錐中，所以，側(cè)面是正三角形，則正三棱錐為正四面體．將正四面體補(bǔ)成正方體（正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)S，A，B，C均為正方體的頂點(diǎn)），則正四面體的外接球即為正方體的外接球，可得補(bǔ)成的正方體棱長(zhǎng)為，則其外接球的半徑，所以該正三棱錐外接球的表面積為．故答案為：．例17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正三棱錐，其外接球球的半徑為，則該正三棱錐的體積的最大值為_(kāi)_________．【答案】【解析】如圖，設(shè)正三棱錐的高，則由射影定理可得，，，，當(dāng)，即時(shí)，.例18．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知正三棱錐的棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為6．則該正三棱錐外接球的表面積為_(kāi)______．【答案】【解析】如圖，∵正三棱錐中，頂點(diǎn)在底面的射影為，該正三棱錐外接球的球心設(shè)為，因?yàn)榈酌孢呴L(zhǎng)為6，所以，∴高．由球心O到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，在直角三角形中，，，由，得，，∴外接球的表面積為：．故答案為：．例19．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）三棱錐體積為，且，則三棱錐外接球的表面積為_(kāi)___________．【答案】【解析】三棱錐中，取BC中點(diǎn)D，連PD，連AD并延長(zhǎng)至O1，使DO1=AD，連接BO1，CO1，PO1，如圖：于是得四邊形為平行四邊形，而，是菱形，在中，，由余弦定理有，即，則，是正三角形，，于是得O1是外接圓圓心，因，D為BC中點(diǎn)，則PD⊥BC，又AO1⊥BC，，平面，從而有平面，，同理，而，從而得平面，由球的截面小圓性質(zhì)知，三棱錐外接球球心O在直線上，又，則，解得，設(shè)球O的半徑為R，則，，中，，即，解得，則球O的表面積為，所以三棱錐外接球的表面積為.故答案為：例20．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在三棱錐中，，，則三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)__________.【答案】【解析】在中，，，所以，所以，在中，，，所以，所以.又，，平面，所以平面，在中，，所以的外接圓半徑為，不妨設(shè)的外接圓圓心為，三棱錐的外接球球心為連接，由于，故在線段的垂直平分線上，即故三棱錐的外接球半徑，外接球的表面積為.故答案為：核心考點(diǎn)七：側(cè)棱為外接球直徑模型【規(guī)律方法】找球心，然后作底面的垂線，構(gòu)造直角三角形．【典型例題】例21．（2022·河南河南·一模（文））三棱錐的外接球的表面積為是該球的直徑，，則三棱錐的體積為_(kāi)____.【答案】【解析】如圖，設(shè)球的半徑為，由已知得，解得，則，又由，所以，取中點(diǎn)，為所在外接圓的圓心，故平面，又因?yàn)椋?，平面，得到，在中，由，，得到，所以，，所以，故答案為：?2．（2022·河南·一模（理））三棱錐的外接球的表面積為，AD是該球的直徑，是邊長(zhǎng)為的正三角形，則三棱錐的體積為_(kāi)_____．【答案】【解析】設(shè)三棱錐的外接球的球心為O,半徑為R，則，解得，設(shè)的外接圓圓心為，半徑為，則，連接，∵，即，則點(diǎn)D到平面ABC的距離為2，∴三棱錐的體積.故答案為：.例23．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知三棱錐P﹣ABC中，，AC=2，PA為其外接球的一條直徑，若該三棱錐的體積為，則外接球的表面積為_(kāi)__________．【答案】【解析】由題意可得為等腰直角三角形，，同時(shí)為其外接球的一條直徑，則都是直角，設(shè)球心為，取的中點(diǎn)為，則平面，因?yàn)?，則平面，則，故，由勾股定理得，則外接球的半徑為2，表面積為故答案為：核心考點(diǎn)八：共斜邊拼接模型【規(guī)律方法】如圖，在四面體中，，，此四面體可以看成是由兩個(gè)共斜邊的直角三角形拼接而形成的，為公共的斜邊，故以“共斜邊拼接模型”命名之．設(shè)點(diǎn)為公共斜邊的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半的結(jié)論可知，，即點(diǎn)到，，，四點(diǎn)的距離相等，故點(diǎn)就是四面體外接球的球心，公共的斜邊就是外接球的一條直徑．【典型例題】例24．在矩形中，，沿將矩形折成一個(gè)直二面角，則四面體的外接球的體積為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為，則由矩形對(duì)角線互相平分，可知．∴點(diǎn)到四面體的四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)為四面體的外接球的球心，如圖2所示．∴外接球的半徑．故．選C．例25．三棱錐中，平面平面，，，，則三棱錐的外接球的半徑為【答案】1【解析】是公共的斜邊，的中點(diǎn)是球心，球半徑為．例26．在平行四邊形中，滿足，，若將其沿折成直二面角，則三棱錐的外接球的表面積為A． B． C． D．【答案】C【解析】平行四邊形中，，，，沿折成直二面角，平面平面三棱錐的外接球的直徑為，外接球的半徑為1，故表面積是．故選：．核心考點(diǎn)九：垂面模型【規(guī)律方法】如圖1所示為四面體，已知平面平面，其外接球問(wèn)題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過(guò)和作平面和平面的垂線，其交點(diǎn)為球心，記為．（3）過(guò)作的垂線，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓且為該圓的直徑．圖1圖2【典型例題】例27．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）三棱錐中，平面平面，，，，則三棱錐的外接球的半徑為_(kāi)_____【答案】1【解析】因?yàn)?，，故是公共的斜邊，的中點(diǎn)是球心，球半徑為．故答案為：1例28．（2022·安徽馬鞍山·一模（文））三棱錐中，與均為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，平面平面，則該三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)_______．【答案】【解析】等邊三角形、等邊三角形的高為，等邊三角形、等邊三角形的外接圓半徑為，設(shè)分別是等邊三角形、等邊三角形的中心，設(shè)是三棱錐的外接球的球心，是外接球的半徑，則，所以外接球的表面積為.故答案為：例29．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）三棱錐中，是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，平面平面，則該三棱錐的外接球的體積為_(kāi)_____【答案】【解析】等邊三角形的高為，等邊三角形的外接圓半徑為三角形的外接圓半徑為，設(shè)分別是等邊三角形、等邊三角形的中心，設(shè)是三棱錐的外接球的球心，是外接球的半徑，則，所以外接球的體積為.故答案為：例30．（2021·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知在三棱錐中，，平面平面，則三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_________．【答案】【解析】如圖分別為的外心.由，即為中點(diǎn)，取的中點(diǎn)則，又面面，面面，面，即面設(shè)球心為，則平面∴，又，面，面面，面面，∴平面，又平面.∴，即四邊形為矩形.由正弦定理知：，即，∴若外接球半徑為R，則，∴.故答案為：.核心考點(diǎn)十：二面角模型【規(guī)律方法】如圖1所示為四面體，已知二面角大小為，其外接球問(wèn)題的步驟如下：（1）找出和的外接圓圓心，分別記為和．（2）分別過(guò)和作平面和平面的垂線，其交點(diǎn)為球心，記為．（3）過(guò)作的垂線，垂足記為，連接，則．（4）在四棱錐中，垂直于平面，如圖2所示，底面四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓且為該圓的直徑．【典型例題】例31．（2022·貴州·模擬預(yù)測(cè)（理））如圖，在三棱錐中，是邊長(zhǎng)為的正三角形，，二面角的余弦值為，則三棱錐外接球的表面積為_(kāi)_____.【答案】【解析】如圖1，取AC中點(diǎn)E，連接BE，DE，與為等邊三角形，則,平面,故平面,故二面角的平面角為，又平面,所以平面平面，平面平面，過(guò)作于，平面,所以平面，由題意得，，∴，則，設(shè)外接圓圓心為，則在上，半徑為，過(guò)作平面的垂線，則三棱錐外接球的球心一定在直線上.∵，∴，過(guò)D作的平行線交于點(diǎn)F，則，∵D，B在球面上，外接球球心可能在三棱錐內(nèi)也可能在三棱錐外，取截面如圖，設(shè)外接球球心O，半徑R，令，則，，∴,當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得，舍去，當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得，得，∴,故答案為：.例32．（2022·江西贛州·高三階段練習(xí)（文））已知菱形的邊長(zhǎng)為2，且，沿把折起，得到三棱錐，且二面角的平面角為，則三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)__________.【答案】【解析】取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)闉榱庑?，所以，，故為二面角的平面角，則，由題意可知，為正三角形，則外接球球心位于過(guò)，的中心且和它們所在面垂直的直線上，故分別取，的重心為，，過(guò)點(diǎn)，分別作兩個(gè)平面的垂線，交于點(diǎn)，點(diǎn)即為三棱錐的外接球的球心，由題意可知，球心到面和面的距離相等，即，連接，，則，菱形的邊長(zhǎng)為，∴，，∴，即三棱錐的外接球的半徑，所以其外接球的表面積為.故答案為：例33．（2022·江蘇·南京市金陵中學(xué)河西分校高三階段練習(xí)）在三棱錐中，△是邊長(zhǎng)為3的正三角形，且，，二面角的大小為，則此三棱錐外接球的體積為_(kāi)_______．【答案】【解析】根據(jù)題意，，所以，取中點(diǎn)為E，中點(diǎn)，則，，，是正三角形，，是二面角A﹣BD﹣C的平面角，，，是的外心，設(shè)是的外心，設(shè)過(guò)與平面垂直的直線與過(guò)垂直于平面的直線交于點(diǎn)，則是三棱錐外接球球心，，，又，由于平面MNO與MEO同時(shí)垂直于BD，所以共面，在四邊形中，由，，，，可得：，外接球半徑為，體積為．故答案為：例34．（2022·廣東汕頭·高三階段練習(xí)）在邊長(zhǎng)為2的菱形中，，將菱形沿對(duì)角線對(duì)折，使二面角的余弦值為，則所得三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)__________.【答案】【解析】依題意在邊長(zhǎng)為的菱形中，，所以，如下圖所示，易知和都是等邊三角形，取的中點(diǎn)，則，．，平面，所以平面，所以是二面角的平面角，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，由平面，平面，所以，，平面，所以平面．因?yàn)樵谥校?，所以，則．故三棱錐為正四面體，由平面，所以為底面的重心，所以，，則，設(shè)外接球的半徑為，則，解得．因此，三棱錐的外接球的表面積為．故答案為：．核心考點(diǎn)十一：坐標(biāo)法【規(guī)律方法】對(duì)于一般多面體的外接球，可以建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)球心坐標(biāo)為，利用球心到各頂點(diǎn)的距離相等建立方程組，解出球心坐標(biāo)，從而得到球的半徑長(zhǎng)．坐標(biāo)的引入，使外接球問(wèn)題的求解從繁瑣的定理推論中解脫出來(lái)，轉(zhuǎn)化為向量的計(jì)算，大大降低了解題的難度．【典型例題】例35．（2022·黑龍江·大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）直角中，是斜邊上的一動(dòng)點(diǎn)，沿將翻折到，使二面角為直二面角，當(dāng)線段的長(zhǎng)度最小時(shí)，四面體的外接球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解：根據(jù)題意，圖1的直角三角形沿將翻折到使二面角為直二面角，所以，過(guò)點(diǎn)作交延長(zhǎng)線于，過(guò)點(diǎn)作交于，再作，使得與交于點(diǎn)，所以，由二面角為直二面角可得，設(shè)，即，則，因?yàn)椋?，所以，在中，，在中，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，，，，在圖1中，由于，即為角的角平分線，所以，即，所以，所以，，由題知，兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向?yàn)檎较蚪⒖臻g直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)四面體的外接球的球心為，則，即，即，解得，，即，所以四面體的外接球的半徑為

，所以四面體的外接球的表面積為．故選：D例36．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））如圖，在長(zhǎng)方體中，，，，是棱上靠近的三等分點(diǎn)，分別為的中點(diǎn)，是底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，若直線與平面垂直，則三棱錐的外接球的表面積是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)，，，，平面，，解得：，與重合，三棱錐的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，外接球，外接球表面積.故選：B.例37．（2022·山西·一模（理））如圖①，在中，，，D，E分別為，的中點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，如圖②.若F是的中點(diǎn)，則四面體的外接球體積是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：依題意，，，平面，所以平面，又，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，依題意為直角三角形，所以的外接圓的圓心在的中點(diǎn)，設(shè)外接球的球心為，半徑為，則，即，解得，所以，所以外接球的體積；故選：B核心考點(diǎn)十二：圓錐圓柱圓臺(tái)模型【規(guī)律方法】1、球內(nèi)接圓錐如圖，設(shè)圓錐的高為，底面圓半徑為，球的半徑為．通常在中，由勾股定理建立方程來(lái)計(jì)算．如圖，當(dāng)時(shí)，球心在圓錐內(nèi)部；如圖，當(dāng)時(shí)，球心在圓錐外部．和本專題前面的內(nèi)接正四棱錐問(wèn)題情形相同，圖2和圖3兩種情況建立的方程是一樣的，故無(wú)需提前判斷．由圖、圖可知，或，故，所以．2、球內(nèi)接圓柱如圖，圓柱的底面圓半徑為，高為，其外接球的半徑為，三者之間滿足．例38．球內(nèi)接圓臺(tái)，其中分別為圓臺(tái)的上底面、下底面、高．【典型例題】例39．（2022·廣東·廣州市第十六中學(xué)高三階段練習(xí)）已知一圓臺(tái)高為7，下底面半徑長(zhǎng)4，此圓臺(tái)外接球的表面積為，則此圓臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖為圓臺(tái)及其外接球的軸截面，為外接球球心，，為等腰梯形的下底和上底的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)橥饨忧虻谋砻娣e為，所以外接球的半徑為，圓臺(tái)下底面半徑為4，所以，，則，，即圓臺(tái)上底面半徑為3，所以圓臺(tái)的體積為.故選：C.例40．（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））已知圓錐的底面半徑為，側(cè)面積為，則該圓錐的外接球的表面積為_(kāi)_____．【答案】【解析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為，則側(cè)面積為，解得，故圓錐的高為，設(shè)該圓錐的外接球的半徑為，由球的性質(zhì)知，，解得，故外接球的表面積為．故答案為：.例41．（2022·上?！げ軛疃懈呷A段練習(xí)）已知圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，P為上底面圓的圓心，AB為下底面圓的直徑，E為下底面圓周上一點(diǎn)，則三棱錐外接球的表面積為_(kāi)__________.【答案】【解析】由于AB為下底面圓的直徑，E為下底面圓周上一點(diǎn)，所以為直角三角形，，如圖所示，設(shè)外接球半徑為，底面圓心為，外接球球心為，由外接球的定義，，易得在線段上，又圓柱的軸截面是邊長(zhǎng)為2的正方形，所以底面圓半徑，，則，解得，外接球表面積為．故答案為：例42．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的內(nèi)切球（球與圓錐的底面和側(cè)面均相切）的表面積為_(kāi)_____.【答案】【解析】有題意可知，，所以所以，圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為的正三角形，圓錐的內(nèi)切球的半徑等于該正三角形的內(nèi)切圓的半徑，所以，所以該圓錐的內(nèi)切球的表面積為.故答案為：核心考點(diǎn)十三：錐體內(nèi)切球【規(guī)律方法】等體積法，即【典型例題】例43．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）球O是棱長(zhǎng)為1的正方體的內(nèi)切球，球與面、面、面、球O都相切，則球的表面積是_______________．【答案】【解析】設(shè)球的半徑為，依題可知，，即，解得，所以球的表面積是．故答案為：．例44．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若正四棱錐內(nèi)接于球，且底面過(guò)球心，則球的半徑與正四棱錐內(nèi)切球的半徑之比為_(kāi)_________.【答案】【解析】設(shè)外接球半徑為R，由題意可知，OA=OB=OC=OD=OP=R，設(shè)四棱錐P-ABCD的內(nèi)切球半徑為r，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，因?yàn)榈酌孢^(guò)球心，所以有，該正四棱錐的各側(cè)面的高為，設(shè)該正四棱錐的表面積為，由等體積法可知：，故答案為：例45．（2022·山東濟(jì)南·二模）在高為2的直三棱柱中，AB⊥AC，若該直三棱柱存在內(nèi)切球，則底面△ABC周長(zhǎng)的最小值為_(kāi)__________.【答案】【解析】因?yàn)橹比庵母邽?，設(shè)內(nèi)切球的半徑為，所以，所以，又因?yàn)锳B⊥AC，所以設(shè)，所以.，因?yàn)?，所以△ABC周長(zhǎng)的最小值即為面積的最小值，而，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取等.當(dāng)時(shí)，底面△ABC周長(zhǎng)最小，所以，所以，所以此時(shí)△ABC周長(zhǎng)的最小值：.故答案為：.核心考點(diǎn)十四：棱切球【規(guī)律方法】找切點(diǎn)，找球心，構(gòu)造直角三角形【典型例題】例46．（2022?涪城區(qū)校級(jí)開(kāi)學(xué)）一個(gè)正方體的內(nèi)切球、外接球、與各棱都相切的球的半徑之比為A． B． C． D．【答案】C【解析】解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，正方體的內(nèi)切球的直徑為正方體的棱長(zhǎng)，即：1，外接球的直徑為正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為：；正方體的棱相切的球的直徑是正方體的面對(duì)角線的長(zhǎng)為：，所以，正方體的內(nèi)切球、外接球、與各棱都相切的球的半徑之比為：．故選：．例47．（2022?江蘇模擬）正四面體的棱長(zhǎng)為4，若球與正四面體的每一條棱都相切，則球的表面積為A． B． C． D．【答案】B【解析】解：將正四面體，補(bǔ)成正方體，則正四面體的棱為正方體的面上對(duì)角線，正四面體的棱長(zhǎng)為4，正方體的棱長(zhǎng)為，球與正四面體的各棱都相切，且球心在正四面體的內(nèi)部，球是正方體的內(nèi)切球，其直徑為，球的表面積為，故選：．例48．（2022?昆都侖區(qū)校級(jí)一模）已知正三棱柱的高等于1，一個(gè)球與該正三棱柱的所有棱都相切，則該球的體積為A． B． C． D．【答案】B【解析】解：如圖，正三棱柱的高等于1，設(shè)上底面中心為，下底面中心為，連接，則球的球心在的中點(diǎn)上，設(shè)球切棱于，切棱于，則、分別為所在棱的中點(diǎn)，設(shè)底面邊長(zhǎng)為，則，，又，，，解得．則球的半徑為，球的體積．故選：．【新題速遞】一、單選題1．（2022·湖北·高三階段練習(xí)）已知某圓臺(tái)的體積為，其上底面和下底面的面積分別為，且該圓臺(tái)兩個(gè)底面的圓周都在球O的球面上，則球O的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)該圓臺(tái)的高為h，則，解得．由題意得：上底面圓的半徑為，下底面圓的半徑為，設(shè)球心O到下底面的距離為t，即，則，由勾股定理得：，即，解得，則球O的半徑，故球O的表面積為.故選：D2．（2022·甘肅·高臺(tái)縣第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（文））已知A，B，C均在球O的球面上運(yùn)動(dòng)，且滿足，若三棱錐體積的最大值為6，則球O的體積為（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于平面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)球O的半徑為R，此時(shí)，故，則球O的體積為.故選：C．3．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）已知，，，為球的球面上的四點(diǎn)，記的中點(diǎn)為，且，四棱錐體積的最大值為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因，則平面過(guò)球O的球心O，又的中點(diǎn)為，則點(diǎn)E是以AB為直徑的球的截面小圓圓心，連接，如圖，則，四邊形為梯形，令球O的半徑為，設(shè)，則，四棱錐體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)梯形面積最大，并且點(diǎn)D到平面的距離最大，顯然球面上的點(diǎn)D到平面的最大距離為R，梯形面積，令，，求導(dǎo)得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上遞增，在是遞減，因此當(dāng)時(shí)，，，于是得四棱錐體積的最大值為，解得，所以球的表面積為.故選：C4．（2022·黑龍江·海倫市第一中學(xué)高三期中）已知四面體ABCD的所有頂點(diǎn)在球O的表面上，平面BCD，，，，則球O的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，設(shè)底面的外接圓的圓心為，外接圓的半徑為r，由正弦定理得，過(guò)作底面BCD的垂線，與過(guò)AC的中點(diǎn)E作側(cè)面ABC的垂線交于O，則O就是外接球的球心，并且，外接球的半徑，球O的體積為；故選：D.5．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（文））已知正四棱錐的所有頂點(diǎn)都在體積為的球的球面上，若該正四棱錐的高為，且，則該正四棱錐的體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)球的半徑為，因?yàn)榍虻捏w積為，所以，解得.當(dāng)時(shí)，如圖，設(shè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，則有，整理得.同理，當(dāng)時(shí)，有，整理得.所以正四棱錐的體積.由，得或.因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.所以當(dāng)時(shí)，正四棱錐的體積取得最大值，最大值為.又，，所以，該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.6．（2022·貴州·高三階段練習(xí)（文））已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為6，體積為，A，B，C三點(diǎn)均在以S為球心的球S的球面上，P是該球面上任意一點(diǎn)，則三棱錐體積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)三棱錐的高為，所以有，在直角三角形中，，，當(dāng)共線時(shí)，三棱錐體積的最大，顯然，如圖所示：最大值為：，故選：D7．（2022·全國(guó)·高三階段練習(xí)（理））已知體積為的正三棱柱的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，當(dāng)球的表面積取得最小值時(shí)，該正三棱柱的底面邊長(zhǎng)與高的比值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，設(shè)正三棱柱的上、下底面的中心分別為和，則的中點(diǎn)為O．設(shè)球O的半徑為R，則．設(shè)，，則，，．所以正三棱柱的體積，所以．在中，，球O的表面積．方法一，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，S取得最小值．方法二：由，得，所以．令，則．令，得，當(dāng)時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．所以當(dāng)時(shí)，S取得最小值，此時(shí)，所以．故選:D．8．（2022·福建·浦城縣第三中學(xué)高三期中）《九章算術(shù)·商功》：“斜解立方，得兩塹堵，其一為陽(yáng)馬，一為鱉臑，陽(yáng)馬居二，鱉臑居一.”下圖解釋了這段話中由一個(gè)長(zhǎng)方體得到塹堵、陽(yáng)馬、鱉臑的過(guò)程.在一個(gè)長(zhǎng)方體截得的塹堵和鱉臑中，若塹堵的內(nèi)切球（與各面均相切）半徑為1，則鱉臑體積的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】依題意，塹堵的內(nèi)切球（與各面均相切）半徑為，所以直角三角形的內(nèi)切圓半徑為，，設(shè)，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則，所以鱉臑體積.故選：C二、多選題9．（2022·浙江·慈溪中學(xué)高三期中）已知棱長(zhǎng)為1的正方體，以正方體中心為球心的球與正方體的各條棱相切，點(diǎn)為球面上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．球在正方體外部分的體積為B．若點(diǎn)在球的正方體外部（含正方體表面）運(yùn)動(dòng)，則C．若點(diǎn)在平面下方，則直線與平面所成角的正弦值最大為D．若點(diǎn)??在球的正方體外部（含正方體表面）運(yùn)動(dòng)，則最小值為【答案】BD【解析】對(duì)于A，正方體的棱切球的半徑，如下圖所示，球在正方體外部的體積，或者可根據(jù)球在平面上方球缺部分的體積，為球缺的高，所以球在正方體外部的體積為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B，取中點(diǎn)，可知在球面上，可得，所以，點(diǎn)在球的正方體外部（含正方體表面）運(yùn)動(dòng)，所以（當(dāng)為直徑時(shí)，），所以，B選項(xiàng)正確；對(duì)于C，

若正方體上底面字母為，則直線與平面所成角的正弦值最大時(shí)，如上圖所示點(diǎn)位置，此時(shí)正弦值最大為1，若正方體下底面字母為，設(shè)平面的中心為,直線與平面所成角即為直線與平面所成角，則直線與平面所成角最大時(shí)，直線正好與平面下方球相切，過(guò)作平面下方球的切線，切點(diǎn)為，將正方體及其棱切球的截面畫(huà)出，如下圖所示，可得，，，，，所以，，，所以直線與平面所成角最大時(shí)為，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D，，記向量與向量的夾角為，，因?yàn)椋?，所以，令，所以上式可化為，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，根據(jù)題意可知此條件顯然成立，D選項(xiàng)正確.故選：BD.10．（2022·福建泉州·高三開(kāi)學(xué)考試）已知正四棱臺(tái)的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，，為內(nèi)部（含邊界）的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．平面 B．球的表面積為C．的最小值為 D．與平面所成角的最大值為60°【答案】ACD【解析】對(duì)于A，如圖1，由棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征易知與的延長(zhǎng)線必交于一點(diǎn)，故共面，又面面，而面面，面面，故，即；由平面幾何易得，即；所以四邊形是平行四邊形，故，而面，面，故平面，故A正確；.對(duì)于B，如圖2，設(shè)為的中點(diǎn)，為正四棱臺(tái)外接球的球心，則，在等腰梯形中，易得，即，為方便計(jì)算，不妨設(shè)，則由，即，即，又，解得，即與重合，故，故球的表面積為，故B錯(cuò)誤；.對(duì)于C，由圖2易得，，，面，故面，不妨設(shè)落在圖3處，過(guò)作，則面，故，故在中，（勾股邊小于斜邊）；同理，，所以，故動(dòng)點(diǎn)只有落在上，才有可能取得最小值；再看圖4，由可知，故，故C正確，.對(duì)于D，由選項(xiàng)C可知，面，面，故面面，在面內(nèi)過(guò)作交于，如圖5，則面，面面，故面，故為與平面所成角，在中，，故當(dāng)取得最小值時(shí)，取得最大值，即取得最大值，顯然，動(dòng)點(diǎn)與重合時(shí)，取得最小值，即取得最大值，且，在中，，，，故為正三角形，即，即與平面所成角的最大值為，故D正確.故選：ACD.11．（2022·廣東·鐵一中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，已知圓錐頂點(diǎn)為，其軸截面是邊長(zhǎng)為6的為正三角形，為底面的圓心，為圓的一條直徑，球內(nèi)切于圓錐（與圓錐底面和側(cè)面均相切），點(diǎn)是球與圓錐側(cè)面的交線上一動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．圓錐的表面積是 B．球的體積是C．四棱錐體積的最大值為 D．的最大值為【答案】BCD【解析】依題意，動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是圓，所在平面與圓錐底面平行，令其圓心為，連接，如圖，正內(nèi)切圓即為球O的截面大圓，球心O、截面圓圓心都在線段上，連，，則球O的半徑，顯然，，，，對(duì)于A，圓錐的表面積是，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，球O的體積是，B正確；對(duì)于C，因Q到平面AEBF的距離與截面圓圓心到平面的距離相等，均為，則當(dāng)四邊形AEBF的面積最大時(shí)，四棱錐的體積最大，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，則四棱錐體積的最大值為，C正確；對(duì)于D，因，則有，即，因此，由均值不等式得：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”，D正確.故選：BCD12．（2022·湖南·長(zhǎng)沙一中模擬預(yù)測(cè)）傳說(shuō)古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑上刻著一個(gè)圓柱，圓柱內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球，這個(gè)球的直徑恰好與圓柱的高相等“圓柱容球”是阿基米德最為得意的發(fā)現(xiàn)；如圖是一個(gè)圓柱容球，為圓柱上下底面的圓心，為球心，EF為底面圓的一條直徑，若球的半徑，則（

）A．球與圓柱的表面積之比為B．平面DEF截得球的截面面積最小值為C．四面體CDEF的體積的取值范圍為D．若為球面和圓柱側(cè)面的交線上一點(diǎn)，則的取值范圍為【答案】BCD【解析】由球的半徑為，可知圓柱的底面半徑為，圓柱的高為，則球表面積為，圓柱的表面積，所以球與圓柱的表面積之比為，故A錯(cuò)誤；過(guò)作于，則由題可得，設(shè)到平面DEF的距離為，平面DEF截得球的截面圓的半徑為，則，，所以平面DEF截得球的截面面積最小值為，故B正確；由題可知四面體CDEF的體積等于，點(diǎn)到平面的距離，又，所以，故C正確；由題可知點(diǎn)在過(guò)球心與圓柱的底面平行的截面圓上，設(shè)在底面的射影為，則，設(shè)，則，，所以，所以，故D正確.故選：BCD.13．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在五面體中，底面為矩形，和均為等邊三角形，平面，，，且二面角和的大小均為．設(shè)五面體的各個(gè)頂點(diǎn)均位于球的表面上，則（

）A．有且僅有一個(gè)，使得五面體為三棱柱B．有且僅有兩個(gè)，使得平面平面C．當(dāng)時(shí)，五面體的體積取得最大值D．當(dāng)時(shí)，球的半徑取得最小值【答案】ABC【解析】對(duì)于選項(xiàng)A:∵平面,經(jīng)過(guò)的平面與平面交于直線,∴,取的中點(diǎn)分別為,連接,則連接,∵和均為等邊三角形，∴,又∵底面為矩形，∴垂直,故得二面角的平面角為,二面角的平面角為,因?yàn)椋謩e在平面和平面中，平面與平面和分別交于直線，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，平面平面,故當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，平面平面,即五面體為三棱柱，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B:當(dāng)平面和平面不平行時(shí)，它們的交線為,由于,平面，平面，∴平面,又∵平面,平面平面=直線，∴，∴同理，∴當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，平面平面，由于四邊形為等腰梯形，∴當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，,∴當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)，平面平面，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C:設(shè)的補(bǔ)角為，過(guò)A作直線AR與直線PQ垂直相交，垂足為R，連接DR,∵AD⊥EF,EF//PQ,∴AD⊥PQ,又∵AD∩AR=A,AD,AR?平面ADF,∴平面ADR⊥