二次函數(shù)中存在性問題

二次函數(shù)中存在性問題典例分析例1.已知，如圖，已知拋物線歹=ax2+bx<3與x軸交于A(3,0),B(1,0)兩點，與歹軸交于點C，連接AC，BC，若點M是x軸上的動點(不與點B重合)，MN工AC于點N,連接CM.(1)求拋物線的解析式；(2)當MN=1時，求點N的坐標；(3)是否存在以點C,M,N為頂點的三角形與4ABC相似，若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由.否用餐例2.如圖，已知拋物線歹=ax2+bx+c的圖象與x軸交于點A,B(點A在點B的右側)，且與歹軸交于點。，若OA=。。，一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為1和3,點P是該拋物線上的一動點，從點C沿拋物線向點A運動(點P與A不重合)，過點P作PD〃歹軸，交AC于點D.(1)求該拋物線的函數(shù)關系式；(2)當4ADP是直角三角形時，求點P的坐標；(3)在題(2)的結論下，若點E在x軸上，點F在拋物線上，問是否存在以A、P、E、F為頂點的平行四邊形？若存在，求點F的坐標；若不存在，請說明理由.同步練習：1、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax24ax+1與x軸正半軸交于點A和點B，與y軸交于點。，且OB=3。。，點P是第一象限內(nèi)的點，聯(lián)結BC,APBC是以BC為斜邊的等腰直角三角形.(1)求這個拋物線的解析式；(2)求點P的坐標；(3)點Q在x軸上，若以Q、O、P為頂點的三角形與以C、A、B為頂點的三角形相似，求點Q的坐標.，一，… … 32、如圖1,經(jīng)過原點。的拋物線y=ax2+bx(aW0)與x軸交于另一點A(—,0),在第一象限內(nèi)與直線y=x交于點B(2,t).(1)求這條拋物線的表達式;(2)在第四象限內(nèi)的拋物線上有一點。，滿足以B，O,C為頂點的三角形的面積為2,求點C的坐標;(3)如圖2,若點M在這條拋物線上，且NMBO=ZABO,在(2)的條件下，是否存在點尸，使得△POC-△MOB?若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.參考答案例1、答案：(1)：拋物線ya=ax2+bx<3與x軸交于A(3,0),B(1,0)兩點，0=9a+3b-下得0=a—b—V3,亙解得:2v3

x解得:2v3

x32<3― 3(2)???嚴史X2—空X—v33 3?,.當x=0時，y=―、3,AC(0,—、；3)，???OC=<3,VA(3,0),AOA=3,AZOAC=30°,?「MN=1,ZMNA=90°,在Rt△AMN中，AN=<3,過點N過點N作NH±x軸于點H,ANHANH=雪3AH=-,23 、3、當點M在點A左側時，N的坐標為（7,—）,22當點M在點A右側時，N的坐標為（/，一）,綜上，點N的坐標為（3,力）或（1,方3）(3)設M點為(x,0),

則由(2)可得AB=4,BC=、:'12+43/=2,AC={32+\3/=2X5,?「BC2+AC2=AB2,AAABC是直角三角形，NBCA=90°,又由2S =AMXOC=ACXMN/c^ma得：MN2V3\Kx-3)2<3_v;(x-3)2得：MN2V3???若以點C,M,N為頂點的三角形與^ABC相似，即6x=6,所以x=1,此時M為(1,0)；的典—史即^32—…②：c.處,即f ,即x2+3x=0,解之可得：x=0或x=3,???M為(0,0)或(3,0),綜上所述，存在以點C,M,N為頂點的三角形與4ABC相似，且M的坐標為(1,0)或(0,0)或(3,0).分析：(1)把A、B兩點坐標代入解析式求出a、b后可以得解；(2)過點N作NH±x軸于點H,則根據(jù)題意可以得到NH及AH的值，再分點M在點A左側和點M在點A右側兩種情況分別寫出點N坐標即可；(3)由題意可得4ABC為直角三角形，所以若以點C,M,N為頂點的三角形與4ABC相MNCMMNCM似，則=或二 ，由這兩種情況分別求出M的坐標即可.CBABCAAB例2、答案：(1)二?一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為1和3,AOA=OC=3,OB=1,?..點C(0,3),設二次函數(shù)的表達式歹=a(x1)(x3),Aa(01)(03)=3,.Aa=1,Ay=(x1)(x3),.,.拋物線解析式為：y=x24x+3；(2)分兩種情況：①如圖1,當點P1為直角頂點時，點P1與點B重合，則P1(1,0),②如圖2,當點A為^APD2的直角頂點，'：OA=OC,ZAOC=90°,：.ZOAD2=45°,當/尸2=9°。時，N。/尸2=45。，.??4。平分尸2。又\?尸2。2〃》軸，???尸2。2，/。，???點尸2,2關于1軸對稱，設直線4。的函數(shù)關系式為歹=區(qū)+4（3k+b=Q由題意得：〈7 ° ,[b=3%=—1???Lo，，直線/C的解析式為：歹=x+3,[b—5,二。2在歹=X+3上，尸2在V=X24x+3上，.?.設。2（X，X+3）,尸2（X，X24x+3）,（x+3）+（x24x+3）=0,.*.X25x+6=0,.*.x1=2,x2=3（舍）,.,.當x=2時，歹=X24x+3=224X2+3=1,???尸2的坐標為尸2（2^1），綜上所得尸點坐標為尸[（1，0）,p2（2,1）；（3）分兩種情況考慮:①以/尸為邊構造平行四邊形，平移直線/尸交x軸于點￡,交拋物線于點方,??設點F的坐標為（x,1）,二x24x+3=1,解得：x尸222,x2=2+q2,??點F的坐標為（2<2,1）和（2+、2,1）；②以AP為對角線進行構造平行四邊形，??點A,E的縱坐標為0,??點F的縱坐標為1,此時點P,F重合，?.不存在這種情況，舍去.綜上所述，符合條件的F點有兩個，即（222,1）和（2+%.：2,1）.分析：（1）先求出點C坐標，代入解析式可求解；（2）分兩種情況討論，由直角三角形的性質可求解；（3）分兩種情況討論，利用平行四邊形的性質可求解.同步練習：1、解：（1）二?拋物線>=以2—4以+1.?.點C的坐標為（0,1）1「OB=3OC.?.點B的坐標為（3,0）.，.9a—12a+1=0/.a=3（2）如圖，過點P作PMLy軸，PN±x軸，垂足分別為點M,N.VZMPC=90°ZCPN,ZNPB=90°ZCPN,?，./MPC=ZNPB在^PCM和^PBN中，'/PMC=ZPNB/MPC=/NPBPC=PB??△PCM^APBN,：.PM=PN.設點P(a,a)./PC2=PB2,:.a2+(a一1)2=(a-3)2+a2,解得a-2, p(2,2).該拋物線對稱軸為x-2,B(3,0),.A(1,0).P(2,2),A(1,0),B(3,0),C(0,1),,PO-2<2,AC=2、；2,AB-2.OC1/CAB-135。，/POB-45。，在RtABOC中，tan/OBC= --,' ' OB3/OBC牛45。,/OCB<90。,在RtAOAC中，OC-OA,/OCA=45。,/ACB<45。,當AOPQ與AABC相似時，點。只有在點O左側時:(1)當ACOP2(1)當ACOP22*2——二——時，. ABOQ2OQ，?二OQ-4,.Q(-4,0)當ACOQ時.v2_OQ.(2)當AB=O時，…T- -2…Q(-2,0)當點Q在點A右側時，綜上所述，點Q的坐標為（一4,0）或（一2,0）2、解:（1）VB（2，力在直線歹=x上，???/=2，???B（2，2），把AB兩點坐標代入拋物線解析式可得]9a+3b=0，[4 2???拋物線解析式為歹=2x23x；,,??點C是拋物線上第四象限的點，??可設C(t,2123t),則E(t,0),D(t,t),??OE=t,BF=2t,CD=t(2123t)=212+41,1 1二Sn?=Sc+SSr=CD-OE+-CD?BF△OBC △CDO△CDBn n=—(212+41)(t+2t)=212+41,「△OBC的面積為2,??.212+41=2,解得11=12=1,AC(1,1)；「B(2,2),AZAOB=ZNOB=45在^AOB和^NOB中

/AOB=/NOBOB=OBNABO=NNBO3??△AOB/△NOB(ASA),??.ON=OA=-,233??N(0,5),??.可設直線BN解析式為歹=kx+-,3 1 1 3把B點坐標代入可得2=2k+-，解得k=1,??.直線BN的解析式為歹=-x+-,3x———聯(lián)立直線BN聯(lián)立直線BN和拋物線解析式可得45y― 3245前）VC(1,1),,NCOA=NAOB=45°,且B(2,2),,OB=2%2,OC=J2,「△POCs^MOB,?OOM=OC=2,NPOC=NBOM,當點P在第一象限時，如圖3,過M作MG±歹軸于點G，過P作PH±x軸于點H,VNCOA=NBOG=45°,,NMOG=NPOH，且NPHO=NMGO,,△MOGs△POH,OMMGOG— — =2OPPHOH45—),45323245323,MG=-,81 3 1 45,PH=—MG=—,OH=—OG=—,2 16 2 6445 3；?P( ,――).6416根據(jù)對稱性可知，作點P