專題十二 最不利原則

8/8專題十二最不利原則在國內(nèi)外數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，常出現(xiàn)一些在自然數(shù)范圍內(nèi)變化的量的最值問題，我們稱之為離散最值問題.解決這類非常規(guī)問題，尚無統(tǒng)一的方法，對(duì)不同的題目要用不同的策略和方法,就具體的題目而言，大致可從以下幾個(gè)方面著手：１。著眼于極端情形;2．分析推理—-確定最值;3。枚舉比較——確定最值；４。估計(jì)并構(gòu)造。常常需要從最不利的情況出發(fā)分析問題，這就是最不利原則。例1口袋里有同樣大小和同樣質(zhì)地的紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球各２0個(gè)。問：一次最少摸出幾個(gè)球，才能保證至少有４個(gè)小球顏色相同？分析與解答:如果碰巧,可能你一次取出的４個(gè)小球的顏色都相同。但顯然，僅僅摸出4個(gè)小球，并不能保證它們的顏色相同，因?yàn)樗鼈兊念伾部赡懿幌嗤Ｒ虼?，為了“保證至少有4個(gè)小球顏色相同”，我們就要從最“不利”的情況出發(fā)來考慮。如果最不利的情況都滿足題目要求,那么其它情況必然也能滿足題目要求?！白畈焕钡那闆r是什么呢?它就是我們俗話說的運(yùn)氣最差的情況，實(shí)際總是與所希望的相反。那么，在這里，什么樣的情況最“慘"呢?那就是我們摸出了３個(gè)紅球、3個(gè)黃球和3個(gè)藍(lán)球,此時(shí)三種顏色的球都是３個(gè),卻無4個(gè)球同色。為什么說這就是最不利的了呢？因?yàn)檫@時(shí)我們接著再摸出一個(gè)球的話，無論是紅色還是黃色或者藍(lán)色，都能保證有４個(gè)小球顏色相同。所以，一次最少摸出10個(gè)球，才能保證至少有4個(gè)小球顏色相同.由此我們看到了,最不利原則就是從“極端糟糕"、從“運(yùn)氣最差”的角度來考慮問題。什么樣的情況我們要用最不利原則來考慮呢?那就是題目中出現(xiàn)要“保證……”時(shí)，這“保證”二字就要求我們必須從最不利的情況去分析問題。例2口袋里有同樣大小和同樣質(zhì)地的紅、黃、藍(lán)三種顏色的小球共18個(gè)。其中紅球3個(gè)、黃球５個(gè)、藍(lán)球10個(gè)。現(xiàn)在一次從中任意取出幾個(gè)，為保證這幾個(gè)小球至少有5個(gè)同色，那么最少要取多少個(gè)?分析與解答：與上例類似，這也要從“最不利”的情況考慮。最不利的情況是什么呢？是取了3個(gè)紅球、４個(gè)黃球和4個(gè)藍(lán)球,共11個(gè).此時(shí)袋中只剩下黃球和藍(lán)球，所以再取一個(gè)球，無論是黃球還是藍(lán)球，都可以保證有5個(gè)球顏色相同。因此，所求的最小值是1２。

例3一把鑰匙只能開一把鎖，現(xiàn)有１0把鑰匙和1０把鎖，最少要試驗(yàn)多少次就一定能使全部的鑰匙和鎖相匹配?分析與解答：最不利的情形、拿出第一把鑰匙試了９把鎖都不對(duì)，這時(shí)不用再試,這把鑰匙必定是剩下的最后一把鎖的。即第一把鎖最不利的情況是試驗(yàn)了9次.同理,第二把鑰匙最不利的情形是前8次都沒打開，即試了８次?！?，要使全部的鑰匙和鎖相匹配，最不利的情形共要試驗(yàn)、9＋８＋7＋…＋2+1＝45次。例4在一副撲克牌中,最少要取出多少張，才能保證取出的牌中四種花色都有？分析與解答：一副撲克牌有大、小王牌各1張，“紅桃”、“黑桃”、“方塊”、“梅花”四種花色各13張，共計(jì)有54張牌。最不利的情形是、取出四種花色中的三種花色的牌各13張,再加上２張王牌。這41張牌中沒有四種花色。剩下的正好是另一種花色的１3張牌,再抽1張，四種花色都有了。因此，最少要拿出42張牌,才能保證四種花色都有。練習(xí)一1。有紅、黃、藍(lán)三種顏色的小珠子各4顆混放在口袋里,為了保證一次能取到2顆顏色相同的珠子，一次至少要取多少顆？如果要保證一次取到兩種不同顏色的珠子各2顆,那么一定至少要取出多少顆？２一付撲克牌共有54張(包括大王、小王),至少從中取多少張牌，才能保證其中必有3種花色？

3。在一付撲克牌中（５4張),最少要拿出多少張,才能保證在拿出的牌中四種花色都有？4．在一個(gè)口袋中有1０個(gè)黑球、6個(gè)白球、4個(gè)紅球。問:至少從中取出多少個(gè)球，才能保證其中有白球？5．口袋中有三種顏色的筷子各10根，問：（1)至少取多少根才能保證三種顏色都取到?（2)至少取多少根才能保證有2雙顏色不同的筷子?（3)至少取多少根才能保證有2雙顏色相同的筷子?6.袋里有紅、白、藍(lán)、黑四種顏色的單色球，從袋中任意取出若干個(gè)球。問：至少要取出多少個(gè)球，才能保證有３個(gè)球是同一顏色的?7。一只魚缸里有很多條魚，共有五個(gè)品種。問：至少撈出多少條魚，才能保證有5條相同品種的魚?8。某小學(xué)五年級(jí)的學(xué)生身高(按整數(shù)厘米計(jì)算），最矮的是1３8厘米,最高的是１60厘米.如果任意從這些學(xué)生中選出若干人，那么,至少要選出多少人，才能保證有5人的身高相同?9.一把鑰匙只能打開一把鎖，現(xiàn)有１0把鎖和其中的８把鑰匙，要保證將這８把鑰匙都配上鎖，至少需要試驗(yàn)多少次？10．要把61個(gè)乒乓球分裝在若干個(gè)乒乓球盒子中，每個(gè)盒子最多可以裝５個(gè)乒乓球。證明:至少有５個(gè)盒子中的乒乓球數(shù)目相同。專題十三加法原理與乘法原理１．加法原理例１一個(gè)口袋中裝有8個(gè)小球，另一個(gè)口袋中裝有5個(gè)小球,所有這些小球的顏色各不相同.從兩個(gè)口袋中任取一個(gè)小球，共有多少種不同的取法?分析：在兩個(gè)口袋中任取一個(gè)小球有兩類辦法，第一類辦法是從裝有8個(gè)小球的口袋中任取一個(gè),可以有8種取法。第二類辦法是從裝有5個(gè)小球的口袋中任取一個(gè)，可以有5種取法.根據(jù)加法原理，得到不同取法的種數(shù)是：5＋4=9（種)答:從兩個(gè)口袋中任取一個(gè)小球可以有９種不同的取法.例2從甲村到乙村有2條路可走,從乙村到丙村有3條路可走，從甲村到丙村有4條路可走，問甲村到丙村共有多少種不同的走法？分析：從甲村到丙村可按兩類辦法完成,第一類辦法是從甲村經(jīng)過乙村到達(dá)丙村,這類辦法是分兩個(gè)步驟進(jìn)行的:第一步從甲村到乙村有2種走法；第二步由乙村到丙村有3種走法,這兩步缺一不可，根據(jù)乘法原理,這類辦法中共有２×3=６（種)走法.第二類辦法是從甲村直接到達(dá)丙村，有4種走法，于是根據(jù)加法原理得到從甲村到達(dá)丙村的不同走法的種數(shù)是2×３＋4＝10（種)。答：從甲村到達(dá)丙村共有10種不同的走法。練習(xí)一1.某火車站,上站臺(tái)有電梯2部，自動(dòng)梯１部，扶梯3部.試問上站臺(tái)有多少種不同的走法？2．一個(gè)學(xué)生從3本不同的科技書、4本不同的文藝書、5本不同的外語書中任選一本閱讀，不同的選法有多少種？３．某人有一個(gè)5分幣、四個(gè)2分幣、八個(gè)１分幣?，F(xiàn)在要拿出8分錢,有幾種不同的拿法？4.書架上有６本不同的畫報(bào)和7本不同的書.每次取一本看，有多少種取法?５.甲地到乙地,一天中三班汽車、二班火車,還有一班飛機(jī).這一天從甲地到乙地有多少種不同的走法?６.從甲地到乙地,可以乘火車，也可乘輪船,還可以乘飛機(jī)。在一天中,從甲地到乙地有4班火車,2班輪船，1班飛機(jī)。那么在一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地,共有多少種不同的走法?７。如圖1,其中有7個(gè)點(diǎn)和1０條線段,一只甲蟲要從A點(diǎn)沿著線段爬到B點(diǎn)，要求任何線段和點(diǎn)不得重復(fù)經(jīng)過，問：這只甲蟲最多有幾種不同走法?ABCABCD圖1圖28.如圖2，一只小甲蟲從A點(diǎn)出發(fā)沿著線段爬到B點(diǎn)。要求任何點(diǎn)和線段都不重復(fù)經(jīng)過，問這只甲蟲有多少種不同的走法？9．十把鑰匙開十把鎖，但鑰匙已經(jīng)搞亂了，問最多試多少次即可將鑰匙和鎖配起來？1０。10名圍棋手舉行單循環(huán)賽（每兩名選手都要比賽一次），共要安排多少盤比賽？11。在兩位整數(shù)中，十位數(shù)字小于個(gè)位數(shù)字的共有多少個(gè)？12.從1—9這九個(gè)數(shù)中,每次取2個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的和必須大于10，能有多少種取法？

１３．20名同學(xué)進(jìn)行象棋比賽,規(guī)則是輸?shù)娜瞬荒茉偕蠄?chǎng)比賽（即淘汰賽）.問決出冠軍，要賽多少盤？1４．從0，1,２,…，9這十個(gè)數(shù)字中，任取兩個(gè)不同的數(shù)字相加,其和為偶數(shù)的不同取法有多少種。1５．把全部三位正整數(shù)同時(shí)印刷出來，“0”這個(gè)鉛字需要多少個(gè)?16。小明為了練習(xí)加法,做了分別寫著１，2,3,4,5，6,7，8,９,１0這十個(gè)數(shù)的卡片放在右邊的抽屜里,又做了同樣的十張放在左邊的抽屜里，然后每次從兩個(gè)抽屜各取一張卡片做加法,這樣一共可以組成多少個(gè)不同的算式，其中和為偶數(shù)的情況有幾種？（1＋2和2＋1算作同一種算式)1７．一平面上有１５個(gè)點(diǎn)，每兩點(diǎn)之間可作一條直線.如果沒有三點(diǎn)或三個(gè)以上的點(diǎn)在同一條直線上，那么這１5個(gè)點(diǎn)之間可連成多少條直線？18。在一個(gè)十二邊形中，可作出多少條對(duì)角線？2。乘法原理從甲地到乙地有3條不同的道路,從乙地到丙地有2條不同的道路，那么從甲地經(jīng)乙地到丙地共有多少種不同的走法？從圖28—１可以看出，要從甲地經(jīng)乙地到丙地必須分成兩步,第一步是從甲地到乙地，有３種不同的走法,第二步是從乙地到丙地，有２種不同的走法,那么從甲地經(jīng)乙地到丙地共有不同走法：3×2=6(種）這個(gè)簡(jiǎn)單的問題反映了一個(gè)重要的原理：例1書架上有６本不同的畫報(bào)、10本不同的科技書，請(qǐng)你每次從書架上任意取一本畫報(bào)、一本科技術(shù)，共有幾種不同的取法？解：第一步，取一本畫報(bào)，有6種方法；第二步，取一本科技書,有10種方法.根據(jù)乘法原理，一共有6×1０＝60(種)不同取法答:共有60種不同的取法。練習(xí)二１。王英、趙明、李剛?cè)藞?bào)名參加校運(yùn)動(dòng)會(huì)的跳高、跳遠(yuǎn)、1００米跑和壘球四項(xiàng)中的一項(xiàng)比賽,問報(bào)名的結(jié)果會(huì)出現(xiàn)多少種不同的情形？2。王芳有四件上衣、三條褲子,兩雙皮鞋，她能有多少天穿戴裝束不同？３．一座房屋有四個(gè)門分別為A、B、C、D，從某一個(gè)門進(jìn),又從其它的門出的方法共有多少種？完成下列的樹狀圖。4。商場(chǎng)有3個(gè)大門,商場(chǎng)內(nèi)有2個(gè)樓梯，顧客從商場(chǎng)外到二樓的走法有多少種？5．從寫有1，2,3，…，9九張數(shù)字的卡片中,抽出兩張數(shù)字和為奇數(shù)的卡片，共有多少種不同的抽法。６．個(gè)學(xué)校進(jìn)行圍棋比賽，雙方各出5名男隊(duì)員和3名女隊(duì)員.（１）每一方的一名隊(duì)員都要和另一方的每一個(gè)隊(duì)員進(jìn)行一場(chǎng)比賽，一共要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？(2）若一方的男隊(duì)員和另一方的男隊(duì)員，一方的女隊(duì)員和另一方的女隊(duì)員都賽一場(chǎng)，(男隊(duì)員與女隊(duì)員之間不進(jìn)行比賽),一共要比賽多少場(chǎng)？7．一天中午,某學(xué)生食堂供應(yīng)４種主食、6種副食，小明到食堂吃飯,主、副食各選一種，問他有多少種不同的選項(xiàng)?8。某班的小圖書室，有不同的文藝書8０本,不同的自然科學(xué)書１20本，如果從這兩類圖書中各借一本，共有多少種借法？9.用一張10元、一張5元、一張2元、一張1元，可組成多少種不同的幣值?１０.乒乓球隊(duì)里有男隊(duì)員5人,女隊(duì)員4人，從中選出男、女隊(duì)員各一名組成混合雙打,共有多少種不同的選法？11.游人登山，從東側(cè)通往山頂?shù)牡缆酚?條,從西側(cè)通往山頂?shù)牡缆酚校矖l，那么游人從上山到下山共有多少種不同的走法？12．紅、黃、藍(lán)三種顏色的旗幟各3面，在每種顏色的3面旗幟上分別標(biāo)上號(hào)碼１，2，３,任取3面，它們的顏色與號(hào)碼均不相同的取法有多少種？１3．甲、乙兩人在方格中各放一枚棋子,要求兩枚棋子不在同一行,也不在同一列共有多少種放法?14。壹角的人民幣４張,貳角的人民幣2張,壹角的人民幣3張，如果至少取一張，至多取9張，可配成多少種不同的錢數(shù)？3。加法原理、乘法原理綜合運(yùn)用這里請(qǐng)同學(xué)們注意乘法原理和加法原理的不同之處。若完成一件事要分成若干步驟，每一步驟一個(gè)接一個(gè)地完成，并且每一步驟都是缺一不可的,這件事才能完成，則用乘法原理．若完成一件事的方法分成幾類，每一類中的每一種方法都可以獨(dú)立地完成這件事，則用加法原理.但很多情況是這兩個(gè)原理的混合使用。例1書架上擺著6本不同的《兒童畫報(bào)》,1０本不同的《少年文藝》及7本不同的《故事會(huì)》。（1）每次從書架上任取一本《兒童畫報(bào)》、一本《少年文藝》、一本《故事會(huì)》,共有多少種不同的取法？（2）從書架上任取一本有多少種不同的取法？分析：(1）每次從書架上任取一本《兒童畫報(bào)》，一本《少年文藝》,一本《故事會(huì)》,必須分三步進(jìn)行，第一步從《兒童畫報(bào)》中取一本，有6種不同的取法；第二步從《少年文藝》中取一本,有１0種不同的取法;第三步從《故事會(huì)》中取一本，有7種不同的取法，只有完成這三步才能完成從書架上取一本《兒童畫報(bào)》、一本《少年文藝》、一本《故事會(huì)》這件事，所以用乘法原理即可得出。(2）從書架上任取一本，只要從《兒童畫報(bào)》、《少年文藝》、《故事會(huì)》中任取一本，所以完成從書架上任取一本這件事，可分成三類。第一類從《兒童畫報(bào)》中任取一本，有6種不同的取法；第二類從《少年文藝》中任取一本，有10種不同的取法；第三類從《故事會(huì)》中任取一本，有7種不同的取法；而哪一類辦法中的任何一種方法都可獨(dú)立完成從書架上任取一本這件事，因此用加法原理．解:(１）6×10×7=420（種)（2）6+10+７=23(種）例２有9張卡片,分別寫上數(shù)字1，2，３，4,5,6，７，８，９。從這9張卡片中抽出兩張做加法，可以組成多少個(gè)不同的加法算式，其中和為偶數(shù)的有多少個(gè)？解：可以組成的加法算式的個(gè)數(shù)為：9×8=72（個(gè)）其中和為偶數(shù)的個(gè)數(shù)為：5×４+4×3=3２（個(gè))例3從2名男生、3名女生中選出優(yōu)秀少先隊(duì)員3人，其中至少有一名女生，共有多少種不同的選法？解：3×1＋3×2＋1＝10種不同的選法。練習(xí)三1．書架上有6本不同的數(shù)學(xué)書,4本不同的語文書，(1）從中任取一本書,有多少種不同的取法？（2）數(shù)學(xué)、語文書各取一本，有多少種不同的取法?２.書架上有6本故事書，５本畫報(bào)，７本科普讀物，①小芳從書架上任取一本，有多少種不同的取法?②小芳從這三種書籍中各取一本，有多少種不同的取法？3.書架上層放有６本不同的數(shù)學(xué)書，下層放有5本不同的語文書：（1）從中任取一本書,有多少種不同的取法？(2）從中任取數(shù)學(xué)、語文書各一本,有多少種不同的取法?4．用數(shù)字1和2能組成多少個(gè)不同的三位數(shù)？5.有三個(gè)袋子,其中一個(gè)袋子裝有紅色小球20個(gè)，每個(gè)球上標(biāo)有１至2０中的一個(gè)號(hào)碼，一個(gè)袋子裝有白色小球1５個(gè),每個(gè)小球上標(biāo)有１至1５中的一個(gè)號(hào)碼。第三個(gè)袋子裝有8個(gè)黃色小球，每個(gè)球上標(biāo)有1至８中的一個(gè)號(hào)碼。6。某國際科研合作項(xiàng)目成員由11個(gè)美國人,４個(gè)法國人和5個(gè)中國人組成,(１）從中選出１人擔(dān)任組長，有多少種不同選法？(2)從中選出兩位不同