模擬電路：第12講 靜電場球坐標(biāo)分離變量法

電磁場理論講稿

第12講靜電場球坐標(biāo)分離變量法電子信息工程學(xué)院內(nèi)容及重點(diǎn)復(fù)習(xí)分離變量法的思想掌握球坐標(biāo)系分離變量解的物理意義球坐標(biāo)拉普拉斯方程變量可分離解代入方程平凡解平凡解平凡解平凡解平凡解一般表達(dá)式一般解求解思路左邊分成每一個(gè)變量和它們的函數(shù)在一起的三個(gè)獨(dú)立項(xiàng)對非零解兩邊乘以分離變量第三項(xiàng)是的函數(shù)第一、二項(xiàng)是的函數(shù)關(guān)于的解積分得第三項(xiàng):關(guān)于的函數(shù)討論：空間各點(diǎn)電位值唯一

應(yīng)是以為周期的函數(shù)m只能是零和整數(shù)關(guān)于的解除以關(guān)于的解關(guān)于的函數(shù)關(guān)于的函數(shù)變量代換將上式展開求解線性常微分方程特性方程特征根解將變量換為關(guān)于的解兩邊乘以變量代換關(guān)于的解關(guān)于的解m階n次締合(或稱連帶)Legendre方程的標(biāo)準(zhǔn)形式.解稱為Legendre函數(shù)(或多項(xiàng)式)Legendre函數(shù)表達(dá)式為記Legendre函數(shù)只選用n為正整數(shù)，且記住幾個(gè)低階低次Legendre函數(shù)球坐標(biāo)系下的通解如果電勢不依賴于方位角，則球坐標(biāo)中解的物理意義平凡解位于坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)電荷的電位分布球坐標(biāo)中解的物理意義以為對稱軸，定義域?yàn)閮慑F面間的電位分布等值面θ為常數(shù)球坐標(biāo)中解的物理意義角域中的電位分布變量的定義域等位面為常數(shù)一般解n=0,則m只能為零位于原點(diǎn)的點(diǎn)電荷的電位分布一般解n=1，m可以為零和1。m=0Z方向放置在原點(diǎn)的電偶極子的電位分布形式m=0系統(tǒng)與無關(guān)Z方向均勻場的電位分布一般解

n=1,m=1系統(tǒng)與有關(guān)的形式有四種x方向的均勻電場y方向的均勻電場一般解沿x方向放置在原點(diǎn)的電偶極子電位沿y方向放置在原點(diǎn)的電偶極子電位沿任意方向放置在原點(diǎn)的偶極子綜上所述沿任意方向放置在原點(diǎn)的偶極子電位分布一般解均勻電場可以看成位于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的電偶極子在原點(diǎn)附近區(qū)域產(chǎn)生的電場置于原點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的電荷及電偶極子產(chǎn)生的電位n2時(shí)各種位于原點(diǎn)和無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的電多極子產(chǎn)生的電位一般解選解原則注意電多極子系統(tǒng)的靜電荷量都是零或只有反映的系統(tǒng)的靜電荷不為零一般解選解原則只能有式且的形式若一個(gè)帶電系統(tǒng)的靜電荷量為零,它的電位形式中就不會有一般解選解