08第八節(jié)傅里葉級(jí)數(shù)

第八節(jié)傅里葉級(jí)數(shù)分布圖示★引言★三角函數(shù)系的正交性★引言★三角函數(shù)系的正交性★傅里葉級(jí)數(shù)的概念★例1★狄利克雷收斂定理★例2★例3★例4★例4★例6★例8★利用傅氏展開式求數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和★正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)★例5★函數(shù)的奇延拓與偶延拓^例7★內(nèi)容小結(jié)★課堂練習(xí)★習(xí)題12-8★返回內(nèi)容要點(diǎn)一、三角級(jí)數(shù)三角函數(shù)系的正交性早在18世紀(jì)中葉，丹尼爾.伯努利在解決弦振動(dòng)問題時(shí)就提出了這樣的見解：任何復(fù)雜的振動(dòng)都可以分解成一系列諧振動(dòng)之和.這一事實(shí)用數(shù)學(xué)語言來描述即為：在一定的條件下，任何周期為T(=2兀/①)的函數(shù)f(t)，都可用一系列以T為周期的正弦函數(shù)所組成的級(jí)數(shù)來表示，即(8.1)f(t)=A+為Asin(nwt+9)(8.1)0n nn=1其中A,A,9(n=1,2,3,…)都是常數(shù).0nn十九世紀(jì)初，法國數(shù)學(xué)家傅里葉曾大膽地?cái)嘌裕骸叭我狻焙瘮?shù)都可以展成三角級(jí)數(shù).雖然他沒有給出明確的條件和嚴(yán)格的證明，但是畢竟由此開創(chuàng)了“傅里葉分析”這一重要的數(shù)學(xué)分支，拓廣了傳統(tǒng)的函數(shù)概念.傅里葉的工作被認(rèn)為是十九世紀(jì)科學(xué)邁出的極為重要的第一個(gè)大步，它對(duì)數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生的影響是他本人及同時(shí)代的其他人都難以預(yù)料的.而且，這種影響至今還在發(fā)展之中.這里所介紹的知識(shí)主要是由傅里葉以及與他同時(shí)代的德國數(shù)學(xué)家狄利克雷等人的研究結(jié)果.二、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉系數(shù)anb

n丄卜兀-傅里葉系數(shù)anb

n丄卜兀-兀f(x)cosnxdx,丄卜兀-兀f(x)sinnxdx,(n=0,1,2,…)，(8.5)(n=1,2,3,…).將這些系數(shù)代入(8.4)式的右端，所得的三角級(jí)數(shù)n=1n=1(acosnx+bsinnx)nn(8.6)稱為函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù).定理1(收斂定理，狄利克雷充分條件)設(shè)f(x)是周期為2兀的周期函數(shù).如果f(x)滿足在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，并且至多只有有限個(gè)極值點(diǎn).則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂，并且當(dāng)x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí),級(jí)數(shù)收斂于f(x)；當(dāng)x是f(x)的間斷點(diǎn)時(shí)，收斂于f(X—°)+f(X+°).2狄利克雷收斂定理告訴我們：只要函數(shù)f(x)在區(qū)間［-兀，兀］上至多只有有限個(gè)的第一類間斷點(diǎn)，并且不作無限次振動(dòng)，則函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在函數(shù)的連續(xù)點(diǎn)處收斂于到該點(diǎn)的函數(shù)值，在函數(shù)的間斷點(diǎn)處收斂于該點(diǎn)處的函數(shù)的左極限與右極限的算術(shù)平均值.由此可見，函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)的條件要比函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的條件低得多.三、周期延拓：在區(qū)間［-兀，兀)或(-兀，兀］外補(bǔ)充f(x)的定義，使它拓廣成一個(gè)周期為2兀的周期函數(shù)F(x)，這種拓廣函數(shù)定義域的方法稱為周期延拓.四、正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)：一般地，一個(gè)函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)既含有正弦項(xiàng)，又含有余弦項(xiàng)(例2)，但是，也有一些函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)只含有正弦項(xiàng)(例1)或者只含有常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng)(例4)，導(dǎo)致這種現(xiàn)象的原因與所給函數(shù)的奇偶性有關(guān)。即：奇函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)是只含有正弦項(xiàng)的正弦級(jí)數(shù).偶函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)是只含有余弦項(xiàng)的余弦級(jí)數(shù).五、奇延拓與偶延拓奇延拓令f(x), 0<x<KF(x)=< 0,x=0—f(—x),—兀<x<0則F(x)是定義在(-兀，兀］上的奇函數(shù)，將F(x)在(-兀，兀］上展開成傅里葉級(jí)數(shù)，所得級(jí)數(shù)必是正弦級(jí)數(shù).再限制x在(0,兀］上，就得到f(x)的正弦級(jí)數(shù)展開式.偶延拓令Jf(x), 0<x5F(x)=<［f(一x),一兀<x<0則F(x)是定義在(-兀，兀］上的偶函數(shù)，將F(x)在(-兀，兀］上展開成傅里葉級(jí)數(shù)，所得級(jí)數(shù)必是余弦級(jí)數(shù).再限制x在(0,兀］上，就得到f(x)的余弦級(jí)數(shù)展開式.例題選講函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)例1(E01)將以加為周期的函數(shù)如=「，蔦:：0，展開成傅里葉級(jí)數(shù).),解a=丄卜u(t)cosntdt=丄J0(-1)cosntdt+丄Ji-cosntdt=0(n=0,1,2,n?！??！?兀0),—(1-cosnn)=—[1-(-1)n]nn nn=丄卜u—(1-cosnn)=—[1-(-1)n]nn nn兀-兀n-n n兀-兀4n兀4n兀0,n=1,3,5,?…n=2,4,6,…所以函數(shù)u(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為—sint+—sint+1sin3t+…nsin(2n-1)tH—.+3 2n-1注意到函數(shù)u(t)滿足狄利克雷收斂定理的條件.它在點(diǎn)x=kn(k=0,±1,±2,..?)處有第一類間斷,在其它點(diǎn)處連續(xù).因此,u(t)的傅里葉級(jí)數(shù)收斂，并且當(dāng)x=kn時(shí)收斂于[(-1)+1]/2=0或[1+(-1)]/2=0.當(dāng)x豐kn時(shí)收斂于u(t),即u(t)的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)為Iu(t),x豐k兀

呦=〔0,x=“(k=°’土1'±2'…)和函數(shù)的圖形如圖所示?故u(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為u(t)=' sin(2n一1)t(—g<x<+g,x豐0,±n,±2n…).4 2n-1n=1注：如果將本例中的函數(shù)u(t)理解為矩形波的波形函數(shù)，貝臨(t)的展開式表明：矩形波是由一系列不同頻率的正弦波的疊加而成的.例2設(shè)f(x)是周期為2兀的周期函數(shù)，它在[-K，兀)上的表達(dá)式為f(f(x)=〔0,-K<X<0,0<X<K.試將函數(shù)f(x)展開成傅立葉級(jí)數(shù).解先求f(x)的傅里葉級(jí)數(shù).a0=卜f(x)a0=卜f(x)dx=1Jxdx=1n-n n-n nn— ;=2；-兀=卜f(x)cosnxdx=J；cosnxdx=n-n n-n n1xsinnxcosnx+n n2-兀(1-cosnn)n2n1[1-(-1)n](n=1,2,3,???).n2n=卜f(=卜f(x)sinnxdx= Jxsinnxdx=n-n n-n nxcosnxsinnx+n n2(-1)n(n=1,2,3,…).n-兀所以函數(shù)f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)為n(n .)1121)—+—cosx+sinx一一sin2x+cos3x+sin3x4V2 丿2V32n3丿(2 1 ) cos5x+—sin5xV52n 5 丿

并且在上述間斷點(diǎn)處級(jí)數(shù)收斂于f(—冗+°)+f伍+°)=°±旦=22在其它點(diǎn)收斂于f(x)本身.即f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)(k=0,±1,±2,…),f(k=0,±1,±2,…),—兀/2,x=(2k+1)兀和函數(shù)的圖形如圖.故f(x)的傅里葉展開式為(2.)+—cosx+smxsin2x(2 1+ cos3x+—sin3x13(2.)+—cosx+smxsin2x(2 1+ cos3x+—sin3x132兀 3——sin4x4(2 1+ cos5x+—sin5x152兀 5(—g<x<+g,x豐0,土兀,±3兀，…).例4(E03)將函數(shù)f(x)={—：'］二；0展開成傅里葉級(jí)數(shù).解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.拓廣的周期函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)展開式在［-兀，兀］收斂于f(x).a=卜f(x)dx=J0(—x)dx+卜xdx=兀,0K—K K—K K0a=丄卜f(x)cosnxdx==nK—K1J0(—x)cosnxdx+丄卜xcosnxdx兀-冗 兀0=—(cosnK—1)=2[(—1)n—1]=<n2k n2k4一,n=1,3,5,…n2k ,0,n=2,4,6,…b=-卜n?！?/p>

所給函數(shù)的傅氏展開式f(x)sinnxdx== J0(—x)sinnxdx+ 卜xsinnxdx=0,k—k k0n=11 cos(2n—1)x(—k<x<k).(2n—1)2正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)例5(E04)試將函數(shù)f(x)=x(—k<x<k)展開成傅里葉級(jí)數(shù).解題設(shè)函數(shù)滿足狄利克雷收斂定理的條件，但作周期延拓后的函數(shù)F(x)在區(qū)間的端點(diǎn)x=—K和x=K處不連續(xù).故F(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在區(qū)間(-K,K)內(nèi)收斂于和f(x),在端點(diǎn)收斂于f(-冗+0)+f(冗-0)=(-冗)+兀=o,和函數(shù)的圖形如圖(見系統(tǒng)演示)?因f(x)是奇函數(shù),故其傅里葉系數(shù)a=0(n=0,1,2,…),nb =2Jnf(b =2Jnf(x)sinnxdx=2Jxsinnxdxn 兀0 兀0^connx+沁n22=——cosn兀n=2(-1)n-1n(n=1,2,3…).于是f(x)=2藝—sinnx(一兀<x<n).例6將函數(shù)f(x)=x2(-兀<x<K)展開成傅里葉級(jí)數(shù).解題設(shè)函數(shù)滿足狄利克雷收斂定理的條件，且作周期延拓后的函數(shù)F(x)在區(qū)間［-兀,兀］上處處連續(xù).故F(x)的傅里葉級(jí)數(shù)在區(qū)間［-兀,兀］上收斂于和f(x).和函數(shù)的圖形如圖所示.注意到f(x)=x2是偶函數(shù)，故其傅里葉系數(shù)b=0(n=1,2,3,…).na0= J"f(x)dx=J"x2dx=兀2a0兀0 兀0 32f兀 2f兀 2= 2f兀 2f兀 2= f(x)cosnxdx= x2connxdx=兀0 兀0 n兀4兀 4=Jxd(cosnx)=n2兀0(x2-sinnx-J2xsinnxdx)(xcosnx)l"-Jcosnxdx004cosn兀n24(-1)n(n=1,2,3,???).n2于是得到所求函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)兀2y4n2n=1f(x)=—+ (-1)ncosnx(一兀<n2n=1奇延拓與偶延拓例7(E05)將函數(shù)f(x)=x+1(0<xS)分別展開成正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù).解先求正弦級(jí)數(shù)?為此對(duì)f(x)進(jìn)行奇延拓，則2f 2fb=JKf(x)sinnxdx=J(x+1)sinnxdxn兀0 兀0(x+1)cosnx+sinnxn2=2[1-(兀+1)cosn兀]n2兀+2--——,n二1,3,5,…兀n——,n=2,4,6,…n2 2 1于是x+1= [(兀+2)sinx— sin2x+(兀+2)sin3x ](0<x<兀).兀 兀 3再求余弦級(jí)數(shù).為此對(duì)f(x)進(jìn)行偶延拓，則2=?(兀(x+1)dx二兀+2兀ocosnx+n22 八 ’ 2 (x+1)sinnxcosnx+n2=一1(x+1)cosnxdx=—兀0—^(cosn?！猑(cosn兀-1)=<n2兀0,n=2,4,6,…一,n=1,3,5,…n2兀152cos5x(0<x<K).TOC\o"1-5"\h\z4152cos5x(0<x<K).cosx+ cos3x+\o"CurrentDocument"兀I 32例8(E06)應(yīng)當(dāng)如何把給定在區(qū)間(0,心2)內(nèi)滿足狄利克雷收斂定理且連續(xù)的函數(shù)f(x)延拓到區(qū)間(-兀,兀)內(nèi)，而使它的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為f(x)= a cos(2n—1)x.一兀<x<兀，x豐0,±—\o"CurrentDocument"2n—1 2n=1解由于展開式中無正弦項(xiàng)，故f(x)延拓到(-兀,兀)內(nèi)應(yīng)滿足f(—x)=f(x).設(shè)函數(shù)f(x)延拓到仇/2,兀)的部分記為g(x),則按題意，有\(zhòng)o"CurrentDocument"L/2 La= f(x)cos2nxdx+ g(x)cos2nxdx=0,n=0,1,2,….2n0 兀/2由 Jf^x)co2nxd?！獂二y—J兀/2f(?！獃)co2nyd薩Af(兀一x)co2nxd,x0 兀 兀/2于是 [f(兀一x)+g(x)]cos2nxdx=0,n=0,1,2，….兀/2為要上式成立，只要對(duì)每一個(gè)xe(兀/2,兀),使f(?！獂)+g(x)=0,即g(x)=—f(?！獂).故首先要在(兀/2,兀)內(nèi)定義一個(gè)函數(shù)，使它等于—f価-x),然后，再按偶延拓把f(x)延拓到(-兀,0),不妨將延拓到(-兀，兀)上的函數(shù)仍記為f(x),則由上面討論知f(兀一x)=一f(x),冗/2<x<冗.f(—x)=f(x),一冗<x<冗,x豐0,土兀/2.課堂練習(xí)1.若函數(shù)屮(—x)二屮(x),問:申(x)與屮(x)的傅里葉系數(shù)a、與a,卩(n=0,1,2，…)之間有nnnn何關(guān)系？2.設(shè)函數(shù)f(x)=x2(0<x<1),而f(x)傅里葉級(jí)數(shù)為￡bsinnx,-g<x<+g,nn=1(1\其中b=2l1f(x)sinnxdx(n=1,2,),s(x)為此傅里葉級(jí)數(shù)的和，求s--.n0 I2丿狄利克雷(Dirichlet,PeterGustavLejeune,1805?1859)狄利克雷(德國數(shù)學(xué)家，1805年2月13日生于德國迪倫；1859年5月5日卒于格丁根。狄利克雷生活的時(shí)代，德國的數(shù)學(xué)正經(jīng)歷著以C.F.高斯(Gauss)為前導(dǎo)的、由落后逐漸轉(zhuǎn)為興旺發(fā)達(dá)的時(shí)期。狄利克雷以其出色的數(shù)學(xué)教學(xué)才能，以及在數(shù)論、分析和數(shù)學(xué)物理等領(lǐng)域的杰出成果，成為高斯之后與C.G.J.雅強(qiáng)比(Jacobi)齊名的德國數(shù)學(xué)界的一位核心人物。狄利克雷出身于行政官員家庭，他父親是一名郵政局長。狄利克雷少年時(shí)即表現(xiàn)出對(duì)數(shù)學(xué)的濃厚興趣，據(jù)說他在12歲前就自攢零錢購買數(shù)學(xué)圖書。1817年入波恩的一所中學(xué)，除數(shù)學(xué)外，他對(duì)近代史有特殊愛好；人們稱道他是個(gè)能專心致志又品行優(yōu)良的學(xué)生。兩年后，他遵照父母的意愿轉(zhuǎn)學(xué)到科隆的一所教會(huì)學(xué)校，在那里曾從師物理學(xué)家G.歐姆(Ohm)，學(xué)到了必要的物理學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)。16歲通過中學(xué)畢業(yè)考試后，父母希望他攻讀法律，但狄利克雷已選定數(shù)學(xué)為其終身職業(yè)。當(dāng)時(shí)的德國數(shù)學(xué)界，除高斯一人名噪歐洲外，普遍水平較低；又因高斯不喜好教學(xué)，于是狄利克雷決定到數(shù)學(xué)中心巴黎上大學(xué)，那里有一批燦如時(shí)星的數(shù)學(xué)家，諸如P.S.拉普拉斯、A.勒讓德等。1822年5月，狄利克雷到達(dá)巴黎，選定在法蘭西學(xué)院和巴黎理學(xué)院攻讀。1825年，狄利克雷向法國科學(xué)院提交他的第一篇數(shù)學(xué)論文，題為“某些五次不定方程的不可解”。他利用代數(shù)數(shù)論方法討論形如x5+y5=A.z5的方程。幾周后，勒讓德利用該文中的方法證明了x"+y"=z"當(dāng)n=5時(shí)無整數(shù)解；狄利克雷本人不久也獨(dú)立證明了同一結(jié)論。1825年11月，法伊將軍去。1826年，狄利克雷在為振興德國自然科學(xué)研究而奔走的A.洪堡的影響下，返回德國，在布雷斯勞大學(xué)獲講師資格，后升任編外教授(介于正式教授和講師之間的職稱)。1828年，狄利克雷又經(jīng)洪堡的幫助來到學(xué)術(shù)空氣較濃厚的柏林，任教于柏林軍事學(xué)院。同年，他又被聘為柏林大學(xué)編外教授(后升為正式教授)，開始了他在柏林長達(dá)27年的教學(xué)與研究生涯。由于他講課清晰，思想深邃，為人謙遜，諄諄善誘，培養(yǎng)了一批優(yōu)秀數(shù)學(xué)家，對(duì)德國在19世紀(jì)后期成為國際上又一個(gè)數(shù)學(xué)中心產(chǎn)生了巨大影響。1831年，狄利克雷成為柏林科學(xué)院院士。1855年高斯去世，狄利克雷被選定作為高斯的繼續(xù)任到格丁根大學(xué)任教。與在柏林繁重的教學(xué)任務(wù)相比，他很欣賞在格丁根有更多自由支配的時(shí)間從事研究?？上谰安婚L，1858年夏他去世瑞士蒙特勒開會(huì)，作紀(jì)念高斯的演講，在那里突發(fā)心臟病。狄利克雷雖平安返回了格丁根，但在病中遭夫人中風(fēng)身亡的打擊，病情加重，于1859年春與世長辭。傅里葉(FourierJeanBaptisteJoseph,1768?1830)傅里葉，法國數(shù)學(xué)家，1768的3月21日生于法國奧塞爾；1830年5月16日卒于巴黎。傅里葉出身平民，父親是位裁縫。9歲時(shí)雙親亡故，以后由教會(huì)送入鎮(zhèn)上的軍校就讀，表現(xiàn)出對(duì)數(shù)學(xué)的特殊愛好。他還有志于參加炮兵或工程兵，但因家庭地位低貧而遭拒絕。后來希望到巴黎在更優(yōu)越的環(huán)境下追求他有興趣的研究?？墒欠▏蟾锩袛嗔怂挠?jì)劃，于1789年回到家鄉(xiāng)奧塞爾的母校執(zhí)教。在大革命時(shí)期，傅里葉以熱心地方事務(wù)而知名，并因替當(dāng)時(shí)恐怖行為的受害者申辯而被捕入獄。出獄后，他曾就讀于巴黎師范學(xué)校，雖為期甚短，其數(shù)學(xué)才華卻給人以深刻印象。1795年，當(dāng)巴黎綜合工科學(xué)校成立時(shí)，即被任命為助教。這一年他還諷刺地被當(dāng)作羅伯斯庇爾的支持者而被捕，經(jīng)同事營救獲釋。1989年，蒙日選派他跟隨破侖遠(yuǎn)征埃及。在開羅，他擔(dān)任埃及研究院的秘書，并從事許多外交活動(dòng)。但同時(shí)他仍不斷地進(jìn)行個(gè)人的業(yè)余研究，即數(shù)學(xué)物理方面的研究。1801年回到法國后，傅