任意角的三角函數(shù)

數(shù)學(xué)輔導(dǎo)講義年級：高一授課類型 任意角的三角函數(shù)教學(xué)內(nèi)容初中銳角的三角函數(shù)是如何定義的?在Rt初中銳角的三角函數(shù)是如何定義的?在RtNABC中，設(shè)A對邊為aB對邊為b，C對邊為c，銳角A的正弦、余弦、正切依次為sinA=角推廣后，這樣的三角函數(shù)的定義不再適用，我們必須對三角函數(shù)重新定義。1.三角函數(shù)定義在直角坐標(biāo)系中，設(shè)a是一個任意角，a終邊上任意一點(diǎn)P(除了原點(diǎn))的坐標(biāo)為(羽y)，它與原點(diǎn)的距離為r(r=Jx|2+|y|2=個x2+y2>0),那么TOC\o"1-5"\h\zy . .y(1)比值乙叫做a的正弦，記作sina，即sina=一；r r\o"CurrentDocument"x x(2)比值一叫做a的余弦，記作cosa，即cosa=—；r r\o"CurrentDocument"y y(3)比值二叫做a的正切，記作tana，即tana=二；x xx x(4)比值一叫做a的余切，記作cota，即cota=一；y yr r(5)比值一叫做a的正割，記作seca，即seca=—；x xr r\o"CurrentDocument"(6)比值一叫做a的余割，記作csca，即csca=-.y y說明：①a的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，a的終邊沒有表明a一定是正角或負(fù)角，以及a的大小，只表明與a的終邊相同的角所在的位置；②根據(jù)相似三角形的知識，對于確定的角a，六個比值不以點(diǎn)P(x,y)在a的終邊上的位置的改變而改變大?。回?y r③當(dāng)a=-+k兀(keZ)時，a的終邊在y軸上，終邊上任意一點(diǎn)的橫坐標(biāo)x都等于0，所以tana=2與seca=—2 x xx r\o"CurrentDocument"無意乂；同理，當(dāng)a=碗(keZ)時，coya=一與csca=一無意乂；y yy x y x r r,._④除以上兩種情況外，對于確定的值a，比值口、一、->—、一、一分別是一個確定的實(shí)數(shù)，所以正弦、余弦、r r x y x y正切、余切、正割、余割是以角為自變量，一比值為函數(shù)值的函數(shù)，以上六種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù)。.三角函數(shù)的定義域、值域函數(shù)定義域值域y=sinaR[-1,1]y=cosaR[-1,1]y=tana一 兀，，一{a|a中—+kK,keZ}R例1：已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(2,-3),求sina、cosa、tana。3^例2：求下列各角的三個三角函數(shù)值：(1)0；(2)冗；(3)—.三角函數(shù)的符號由三角函數(shù)的定義，以及各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的符號，我們可以得知：y①正弦值上對于第一、二象限為正(y>0,r>0)，對于第三、四象限為負(fù)(y<0,r>0)；rx 一一 一一②余弦值一對于第一、四象限為正(x>0,r>0)，對于第二、三象限為負(fù)(x<0,r>0)；r…一，八y③正切值上對于第一、三象限為正(x,y同號)，對于第二、四象限為負(fù)(x,y異號).xsina，cosa,tana在各個象限的符號如下：4.同角三角函數(shù)基本關(guān)系式:(1)平方關(guān)系：sin2(1)平方關(guān)系：sin2a+cos2a=1一 sina（（2）商數(shù)關(guān)系：tana= 'cosa例3：確定下列三角函數(shù)值的符號： 兀例3：確定下列三角函數(shù)值的符號： 兀（1）cos250°；（2）sin（一）；（3）4tan(-672°)；(4)11九tan——3強(qiáng)化練習(xí)1.已知角1.已知角a的終邊上一點(diǎn)P（-\；3,m）求cosa,sina的值。2.已知sin2.已知sina<0且tana>0，a（1）求角a的集合；（2）求角不終邊所在的象限；（3）試判斷tana,sinacosa的符號。

2 2 2"-2sin10ocos10o3.化簡 .sin10o-V1-sin210o當(dāng)角的終邊上一點(diǎn)P(羽y)的坐標(biāo)滿足、:x2+w=1時，有三角函數(shù)正弦、余弦、正切值的幾何表示一一三角函數(shù)線。.單位圓：圓心在圓點(diǎn)。，半徑等于單位長的圓叫做單位圓。.有向線段：坐標(biāo)軸是規(guī)定了方向的直線，那么與之平行的線段亦可規(guī)定方向。規(guī)定：與坐標(biāo)軸方向一致時為正，與坐標(biāo)方向相反時為負(fù)。.三角函數(shù)線的定義：設(shè)任意角a的頂點(diǎn)在原點(diǎn)0,始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交與點(diǎn)P(x,y),過P作X軸的垂線，垂足為M；過點(diǎn)A(1,0)作單位圓的切線，它與角a的終邊或其反向延長線交與點(diǎn)T. '(W)(III)(W)(III)xcosa=—r由四個圖看出：當(dāng)角a的終邊不在坐標(biāo)軸上時，有向線段0M=x,MPxcosa=—r.yy*…

sina=—==y=MP,

r1ytana=一xytana=一xMP

0M——=AT.0A我們就分別稱有向線段MP,0M,AT為正弦線、余弦線、正切線。說明：①三條有向線段的位置：正弦線為a的終邊與單位圓的交點(diǎn)到x軸的垂直線段；余弦線在x軸上；正切線在過單位圓與x軸正方向的交點(diǎn)的切線上，三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外。②三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向a的終邊與單位圓的交點(diǎn)；余弦線由原點(diǎn)指向垂足；正切線由切點(diǎn)指向與a的終邊的交點(diǎn)。③三條有向線段的正負(fù)：三條有向線段凡與x軸或y軸同向的為正值，與x軸或y軸反向的為負(fù)值。④三條有向線段的書寫：有向線段的起點(diǎn)字母在前，終點(diǎn)字母在后面。例1：利用單位圓寫出符合下列條件的角X的范圍。(3(3)0<x<兀,sinx>2且cosx<2；(5)sinx>■!■且tanx<-1.

2…’1sinx<-21(4)Icosxl<；21cosx>—；^2強(qiáng)化練習(xí)sina)位于第.象限...sina)位于第.象限.1.若一5<a<0,則點(diǎn)Q(cosa,22.已知角a的終邊過點(diǎn)P1，；3I22則sina—cosa=—2cos30°)，則—2cos30°)，則則此三角形的形狀是.若角a的終邊過點(diǎn)P(2sin30.若^ABC中，cosA,cosB<0- 4.若sinA=＞且A是三角形的一個內(nèi)角，則5.已知下列三角函數(shù)，其中函數(shù)值為負(fù)的有(①sin(-680°)②cos(-730°)③tan320°A.1個B.2個5sinA+815cosA—7)④sin(-130C.3個7.角9的終邊有一點(diǎn)P(a,a)(aW0),則sin。的值是(),cos850°D.4個)C.+D.1-72a.TC.+D.1.函數(shù)y=\；sinX+v-cosx的定義域是(A.[kn+y,(2k+1)n](k￡Z)B.兀[2kn+—,(2k+1)n](k￡Z)兀C.[kn+—,(k+1)n](kGZ)D.[2kn,(2k+1)n](k￡Z).已知a為第二象限角，其終邊上一點(diǎn)為P（x,3），且cosa二不，則sina的值為（<2C.——4<2C.——4D.-乎IsinxIIcosxIItanxITOC\o"1-5"\h\z.y= + +屬于( )D.{1,3})sinxcosxtanxD.{1,3})A.{1，-1} B.{-1，1，3} C.{-1，3}6 6 6.已知0為第三象限角，且|cos|=-cos，則角不屬于(乙 乙 乙A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限.已知$m&>$血8,那么下列命題成立的是（ ）A.若a、B是第一象限角，則cosa>cosBB.若a、B是第二象限角，則tana>tanBC.若a、B是第三象限角，則cosa>cosBD.若a、B是第四象限角，則tana>tanB13.已知角a的終邊經(jīng)過點(diǎn)（2,-3），求a的正弦、余弦、正切