無套利定價原理

第三講無套利定價原理什么是套利什么是無套利定價原理無套利定價原理的基本理論第一部分什么是套利什么是無套利定價原理無套利定價原理的基本理論商業(yè)貿(mào)易中的套利行為

15,000元/噸翰陽公司賣方甲買方乙17,000元/噸銅銅在商品貿(mào)易中套利時需考慮的成本：（1）信息成本：

（2）空間成本

（3）時間成本

金融市場中的套利行為

專業(yè)化交易市場的存在

信息成本只剩下交易費用產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn)化金融產(chǎn)品的無形化－－沒有空間成本金融市場存在的賣空機(jī)制大大增加了套利機(jī)會

金融產(chǎn)品在時間和空間上的多樣性也使得套利更為便捷

套利的定義套利指一個能產(chǎn)生無風(fēng)險盈利的交易策略。這種套利是指純粹的無風(fēng)險套利。但在實際市場中，套利一般指的是一個預(yù)期能產(chǎn)生無風(fēng)險盈利的策略，可能會承擔(dān)一定的低風(fēng)險。

第二部分什么是套利什么是無套利定價原理無套利定價原理的基本理論無套利定價”原理無套利定價”原理

金融產(chǎn)品在市場的合理價格是這個價格使得市場不存在套利機(jī)會那什么是套利機(jī)會呢？套利機(jī)會的等價條件（1）存在兩個不同的資產(chǎn)組合，它們的未來損益（payoff）相同，但它們的成本卻不同；損益：現(xiàn)金流不確定狀態(tài)下：每一種狀態(tài)對應(yīng)的現(xiàn)金流（2）存在兩個相同成本的資產(chǎn)組合，但是第一個組合在所有的可能狀態(tài)下的損益都不低于第二個組合，而且至少存在一種狀態(tài)，在此狀態(tài)下第一個組合的損益要大于第二個組合的支付。（3）一個組合其構(gòu)建的成本為零，但在所有可能狀態(tài)下，這個組合的損益都不小于零，而且至少存在一種狀態(tài)，在此狀態(tài)下這個組合的損益要大于零。無套利定定價原理理（1）同同損益同同價格如果兩種種證券具具有相同同的損益益，則這這兩種證證券具有有相同的的價格。。（2）靜態(tài)組組合復(fù)制制定價：：如果一個個資產(chǎn)組組合的損損益等同同于一個個證券，，那么這這個資產(chǎn)產(chǎn)組合的的價格等等于證券券的價格格。這個個資產(chǎn)組組合稱為為證券的的“復(fù)制制組合””（replicatingportfolio）。（3）動態(tài)組組合復(fù)制制定價：：如果一個個自融資資（self-financing）交易策策略最后后具有和和一個證證券相同同的損益益，那么么這個證證券的價價格等于于自融資資交易策策略的成成本。這這稱為動動態(tài)套期期保值策策略（dynamichedgingstrategy）。確定狀態(tài)態(tài)下無套套利定價價原理的的應(yīng)用案例1：：假設(shè)兩個個零息票票債券A和B，，兩者都都是在1年后的的同一天天支付100元元的面值值。如果果A的當(dāng)當(dāng)前價格格為98元。另另外，假假設(shè)不考考慮交易易成本。。問題：（1）B的價格格應(yīng)該為為多少呢呢？（2）如果B的市場價價格只有有97.5元，問如何何套利呢？？應(yīng)用同損益益同價格原原理：B的價格也也為98元元如果B的市市場價格只只有97.5元，賣賣空A，買買進(jìn)B案例2：假設(shè)當(dāng)前市市場的零息息票債券的的價格為：：①1年后后到期的零零息票債券券的價格為為98元；；②2年后后到期的零零息票債券券的價格為為96元；；③3年后后到期的零零息票債券券的價格為為93元；；另外，假設(shè)設(shè)不考慮交交易成本。。問題：（1）息票票率為10％，1年年支付1次次利息的三三年后到期期的債券的的價格為多多少呢？（2）如果息票票率為10％，1年支付1次利息的三三年后到期期的債券價價格為120元，如何套套利呢？看未來損益益圖：1年末2年末3年末1010110靜態(tài)組合復(fù)復(fù)制策略（1）購買買0.1張張的1年后后到期的零零息票債券券，其損益益剛好為100×0.1＝10元；（2）購買買0.1張張的2年后后到期的零零息票債券券，其損益益剛好為100×0.1＝10元；（3）購買買1.1張張的3年后后到期的零零息票債券券，其損益益剛好為100×1.1＝110元；；根據(jù)無套利利定價原理理的推論0.1×98＋0.1×96＋1.1×93＝＝121.7問題2的答答案：市場價格為為120元元，低估B，則買進(jìn)進(jìn)B，賣出出靜態(tài)組合合（1）買進(jìn)進(jìn)1張息票票率為10％，1年年支付1次次利息的三三年后到期期的債券；；（2）賣空空0.1張張的1年后后到期的零零息票債券券；（3）賣空空0.1張張的2年后后到期的零零息票債券券；（4）賣空1.1張的3年后到期的的零息票債債券；案例3：假設(shè)從現(xiàn)在在開始1年年后到期的的零息票債債券的價格格為98元元，從1年年后開始，，在2年后后到期的零零息票債券券的價格也也為98元元（1年后后的價格））。另外，，假設(shè)不考考慮交易成成本。問題：（1）從現(xiàn)現(xiàn)在開始2年后到期期的零息票票債券的價價格為多少少呢？（2）如果現(xiàn)在在開始2年后到期的的零息票債債券價格為為99元，如何套套利呢？(1)從從現(xiàn)在開始始1年后到到期的債券券Z0×1第1年末支付:100價格:98(2)1年后開始始2年后到到期的債券券Z1×2第2年末支付:100價格:98(3)從從現(xiàn)在開始始2年后到到期的債券券Z0×2第2年末支付:100價格:？動態(tài)組合復(fù)復(fù)制策略：：（1）先在在當(dāng)前購買買0.98份的債券券Z0×1；（2）在第第1年末0.98份份債券Z0×1到期，獲得得0.98×100＝98元元；（3）在第1年末再用獲獲得的98元去購買1份債券Z1×2；自融資策略略的現(xiàn)金流流表交易策略現(xiàn)金流當(dāng)前第1年末第2年末(1)購買0.98份Z0×1-98×0.98=-96.040.98×100=98

(2)在第1年末購買1份Z1×2

-98100合計：-96.040100這個自融資資交易策略略的損益：：就是在第2年末獲得得本金100元，這這等同于一一個現(xiàn)在開開始2年后后到期的零零息票債券券的損益。。這個自融資資交易策略略的成本為為：98×0.98＝96.04如果市價為為99元，，如何套利利構(gòu)造的套利利策略如下下：（1）賣空空1份Z0×2債券，獲得得99元，，所承擔(dān)的的義務(wù)是在在2年后支支付100元；（2）在獲獲得的99元中取出出96.04元，購購買0.98份Z0×1；（3）購買買的1年期期零息票債債券到期，，在第一年年末獲得98元；（4）再在在第1年末末用獲得的的98元購購買1份第第2年末到到期的1年年期零息票票債券；（5）在第2年末，零息息票債券到到期獲得100元，用于支支付步驟（（1）賣空的100元；交易策略現(xiàn)金流當(dāng)前第1年末第2年末(1)賣空1份Z0×299

-100(2)購買0.98份Z0×1-0.98×98=-96.040.98×100=98

(3)在第1年末購買1份Z1×2

-98100合計：99-96.04=2.9600不確定狀態(tài)態(tài)下的無套套利定價原原理的應(yīng)用用不確定狀態(tài)態(tài)：資產(chǎn)的未來來損益不確確定假設(shè)市場在在未來某一一時刻存在在有限種狀狀態(tài)在每一種狀狀態(tài)下資產(chǎn)產(chǎn)的未來損損益已知但未來時刻刻到底發(fā)生生哪一種狀狀態(tài)不知道道案例4：假設(shè)有一風(fēng)風(fēng)險證券A，當(dāng)前的的市場價格格為100元1年后的市市場出現(xiàn)兩兩種可能的的狀態(tài)：狀狀態(tài)1和狀狀態(tài)2。狀態(tài)1時，，A的未來來損益為105元，，狀態(tài)2時時，95元元。有一證券B，它在1年后的未未來損益也也是：狀態(tài)態(tài)1時105元，狀狀態(tài)2時95元。另外，假設(shè)設(shè)不考慮交交易成本。。問題：（1）B的的合理價格格為多少呢呢？（2）如果B的價格為99元，如何套套利？答案：（1）B的的合理價格格也為100元；（2）如果果B為99元，價值值被低估，，則買進(jìn)B，賣空A案例5：假設(shè)有一風(fēng)風(fēng)險證券A，當(dāng)前的的市場價格格為100元1年后的市市場出現(xiàn)兩兩種可能的的狀態(tài)：狀狀態(tài)1和狀狀態(tài)2。狀態(tài)1時，，A的未來來損益為105元，，狀態(tài)2時時，95元元。有一證券B，它在1年后的未未來損益也也是：狀態(tài)態(tài)1時120元，狀態(tài)2時110元。另外，假設(shè)設(shè)不考慮交交易成本，，資金借貸貸也不需要要成本。問題：（1）B的的合理價格格為多少呢呢？（2）如果B的價格為110元，如何套套利？證券未來損損益圖10010595風(fēng)險證券APB120110風(fēng)險證券B111資金借貸靜態(tài)組合策策略：要求x份份的證券券A和y份的資資金借貸構(gòu)構(gòu)成B解得：X=1,y=15所以：B的價格為為：1*100+15*1=115第二個問題題：當(dāng)B為110元時，，如何構(gòu)造造套利組合合呢？套利組合：：買進(jìn)B，賣空A，借入資金金15元。

期初時刻的現(xiàn)金流期末時刻的現(xiàn)金流第一種狀態(tài)第二種狀態(tài)(1)買進(jìn)B-110120110(2)賣空A100-105-95(3)借入資金15元15-15-15合計500案例6：假設(shè)有一風(fēng)風(fēng)險證券A，當(dāng)前的的市場價格格為100元1年后的市市場出現(xiàn)三種可能的狀狀態(tài)：狀態(tài)態(tài)1、2和和3。狀態(tài)1、2和3時，，A的未來來損益分別別為110.25，，99.75，90.25元元。有一證券B，它在1年后的未未來損益也也是：狀態(tài)態(tài)1、2和和3時，分分別為125，112.5和109元。另外，假設(shè)設(shè)不考慮交交易成本，，資金借貸貸的年利率率為5.06％，半半年利率為為2.5％％。問題：（1）B的的合理價格格為多少呢呢？（2）如果B的價格為110元，如何套套利？證券未來損損益圖100110.2599.75風(fēng)險證券A風(fēng)險證券B資金借貸90.25PB125112.510911.05061.05061.0506構(gòu)造靜態(tài)組組合：x份A和和y份份資金借貸貸構(gòu)成B方程無解！！動態(tài)組合復(fù)復(fù)制動態(tài)：我們把1年的持有期期拆成兩個個半年，這這樣在半年年后就可調(diào)調(diào)整組合假設(shè)證券A在半年后的的損益為兩兩種狀態(tài)，，分別為105元和95元證券B的半半年后的損損益不知道道110.2599.75風(fēng)險證券A風(fēng)險證券B90.2510010595PBB1B2125112.51091.05061.05061.050611.0251.025構(gòu)造如下的的組合：（1）1份的證券A；（2）持有現(xiàn)金金13.56。在半年后進(jìn)進(jìn)行組合調(diào)調(diào)整(1)證券券A的損益為105時：再買進(jìn)0.19份的證券A，需要現(xiàn)金金19.95元（0.19×105＝19.95）持有的現(xiàn)金金13.56，加上利息息變?yōu)椋?3.56×1.025＝13.90。半年后的組組合變?yōu)椋海?.19份證券A現(xiàn)金－6.05（（13.90––19.95）在1年后此組合合損益狀態(tài)態(tài)為：(2)證券A的損益為95時：賣出0.632份的證券A，得到0.632×95＝60.04元持有的現(xiàn)金金13.56，加上利息息變?yōu)椋?3.56×1.025＝13.90半年后的組組合變?yōu)椋海?.368份證券A現(xiàn)金73.94（13.90＋60.04＝73.94）在1年后此組合合損益狀態(tài)態(tài)為：110.2599.7590.2510010595原始組合：：(1)持有有1份A(2)持有有現(xiàn)金13.56操作：賣出出0.632份A組合為：(1)持有有0.368份A(2)持有有現(xiàn)金73.94操作：買進(jìn)進(jìn)0.19份A組合為：(1)持有有1.19份A(2)持有有現(xiàn)金-6.05組合的支付付為：125112.5109半年后的組組合調(diào)整是是如何得到到呢？動態(tài)策略調(diào)調(diào)整方法：：多期的靜態(tài)態(tài)復(fù)制策略略從后往前應(yīng)應(yīng)用靜態(tài)復(fù)復(fù)制策略110.2599.75風(fēng)險證券A風(fēng)險證券B90.2510010595PBB1B2125112.51091.05061.05061.050611.0251.025（1）證券在中中期價格為為105時：解得：x=1.19，y＝－5.90此時B的價價格為：B1＝1.19×105－5.90×1.025＝118.90110.2599.75風(fēng)險證券A風(fēng)險證券B90.2510010595PB118.90B2125112.51091.05061.05061.050611.0251.025（2）證券在中中期價格為為95時：解得：x=0.368，y＝72.14此時B的價價格為：B2＝0.368×95＋72.14×1.025＝108.90110.2599.75風(fēng)險證券A風(fēng)險證券B90.2510010595PB118.90108.90125112.51091.05061.05061.050611.0251.025解得：x＝1，y＝13.56B的當(dāng)前價價格為：B＝1×100＋13.56×1＝113.56無套利定價價原理的簡簡單總結(jié)無套利定價價原理就是是金融學(xué)，，金融工程程的核心思思想“同損益同同價格”實實際上就是是“一價定定理”靜態(tài)和動態(tài)態(tài)組合復(fù)制制策略則是是用于給衍衍生產(chǎn)品定定價的基本本思想如果市場存存在摩擦（（交易成本本）時，只只能給出一一個定價區(qū)區(qū)間。在這這個定價區(qū)區(qū)間內(nèi)，市市場無法實實現(xiàn)套利。。第三部分什么是套利利什么是無套套利定價原原理無套利定價價原理的基基本理論Arrow-Debreu模模型1、市場環(huán)環(huán)境2、套利組組合的定義義3、無套利利組合等價價定理4、完全市市場與不完完全市場1、市場環(huán)境境假設(shè)市場中有N個證券，s1,s2,s3,…,sN兩個投資時時刻，0和和1時刻第i種證券在初初始0時刻的價格格為pi，則N種證券的價價格向量為為：P=(p1,p2,…,pN)T市場在未來來1時刻有M種可能狀態(tài)態(tài)，第i種證券在第第j種狀態(tài)下的的損益為Dij，則這些證證券的損益益矩陣為：：D＝（dij），i=1～N，j=1～M假設(shè)損益矩矩陣D的值對于投投資者是已已知的，但但是投資者者無法提前前知道在1時刻這些證證券處于M種狀態(tài)中的的哪一種狀狀態(tài)證券組合用用向量θ表示：θ=(θ1,θ2,…,θN)θi表示持有的的第i種證券的數(shù)數(shù)量，多頭頭時，θi>0；空頭時，，θi<0時。假設(shè)市場是無無摩擦的，即即不考慮交易易費用，稅收收等證券組合θ在初始0時刻的價格則則為：這個組合在第第j種狀態(tài)下下的損益則為為：2、套利組合的的定義一個證券組合合θ定義為套利組組合，如果它它滿足：或者：3、無套利組組合等價定理理定理1：市場不存在套套利組合的等等價條件是：：存在一個正向向量，，使得，即狀態(tài)價格無套利組合等等價定理的含含義：如果市場不存存在套利組合合，則資產(chǎn)的的當(dāng)前價格與與未來損益之之間要滿足一一定的條件。。這個條件是是要存在一個個對應(yīng)于M個狀態(tài)的向量量，一般稱之之為狀態(tài)價格格（state-prices）?；A(chǔ)資產(chǎn)假設(shè)市場另外外存在M種資產(chǎn)，sN+1,sN+2,…,sN+M。這M種資產(chǎn)的未來來損益為，只只在一種狀態(tài)態(tài)下為1，其余狀態(tài)下下都是零。即即對于資產(chǎn)sN+j，它的未來損損益只是在第第j種狀態(tài)為1，其余狀態(tài)為為0。這M種資產(chǎn)就構(gòu)成成了“基礎(chǔ)資資產(chǎn)”，由它它們生成的組組合的未來損損益可以表示示任意一種資資產(chǎn)的未來損損益?；A(chǔ)資產(chǎn)的價價格假設(shè)M個基礎(chǔ)資產(chǎn)的的價格分別為為：u1，u2，…,uM根據(jù)無套利定定價原理，任任何一種未來來損益為(d1,d2,…,dM)的資產(chǎn)價格格應(yīng)該為：按照定理1的的表述，u1，u2，…,uM就是滿足定理理1條件的正正向量所以，我們稱稱為狀狀態(tài)價格，即即每種狀態(tài)下單單位未來損益益的資產(chǎn)價格格。風(fēng)險中性概率率把狀態(tài)價格歸歸一化，即讓讓M個分量的和變變?yōu)?：問題：狀態(tài)價價格的分量和和表表示什什么呢？就是未來損益益都是1的資資產(chǎn)的價格未來損益都是是1，即是無無風(fēng)險債券的的價格定理1的式子子可重新寫成成：通常把歸一化化后的狀態(tài)價價格稱稱為風(fēng)險中性性概率或風(fēng)險險調(diào)整調(diào)整概概率，它指的的是經(jīng)過投資資者風(fēng)險調(diào)整整的每一種狀狀態(tài)可能發(fā)生生的概率推論如果市場不存存在套利組合合，而且假設(shè)設(shè)無風(fēng)險借貸貸的利率為r，則存在一個個概率測度使使得任意一個個資產(chǎn)的價格格等于其未來來可能損益（（現(xiàn)金流）的的期望值以無無風(fēng)險借貸利利率貼現(xiàn)的貼貼現(xiàn)值。問題：風(fēng)險中性概率率與實際中各各個狀態(tài)發(fā)生生的概率之間間有什么關(guān)系系呢？記為未來來第j種狀態(tài)態(tài)發(fā)生的概率率，即統(tǒng)計意意義上的概率率。就反映了投資資者對不同狀狀態(tài)的風(fēng)險偏偏好程度。如果對于所有有的j＝1～M，，，即：：則稱市場是風(fēng)風(fēng)險中性的。。3、完全市場場與不完全市市場完全市場的定定義：一個具有N種資產(chǎn)，M種損益狀態(tài)的的市場，如果果對于任意一一個未來損益益向量d=（d1,d2,…,dM），都存在一一個N種資產(chǎn)的組合合(θ1,θ2,…,θN)，其未來損益益等于（d1,d2,…,dM），則我們稱稱市場是完全全的。定理2：在市場不存在在套利組合的的假設(shè)下，市市場是完全的的充要條件是是只有唯一的的一組狀態(tài)價價格滿足定理理1中的式子子，即狀態(tài)價價格唯一或者者風(fēng)險中性概概率唯一。Arrow-Debreu模型的應(yīng)應(yīng)用1、兩狀態(tài)模模型2、三狀態(tài)模模型兩狀態(tài)模型市場的未來損損益只有兩種種狀態(tài)，M＝2只存在兩種資資產(chǎn)，一種是是無風(fēng)險借貸貸，其借貸利利率為r另一種是資產(chǎn)產(chǎn)s，當(dāng)前的價格格為p。假設(shè)資產(chǎn)s在未來的損益益為：狀態(tài)1時為pu＝p×u，狀態(tài)2時為pd＝p×d，其中u和d表示價格變化化的倍數(shù)，假假設(shè)u>d。問題：市場不不存在套利組組合的條件？？比如：資產(chǎn)s，當(dāng)前前價格為100，未來兩兩種損益分別別為：110，95。投投資周期為1年，當(dāng)前年年利率為5％％。問題：存在套套利組合嗎？？如何套利？根據(jù)定理1：：即：求解可得：方程求解可得得：即任意一個資資產(chǎn)，其未來來損益為：在在1狀態(tài)時d1，在2狀態(tài)時d2，都可由資產(chǎn)產(chǎn)s和無風(fēng)險借貸貸的組合復(fù)制制，而且其價價格v為：比如，有一基于資產(chǎn)s的金融產(chǎn)品，，其未來損益益為：d1＝pu－k，d2＝0可解得其價格格為：三狀態(tài)模型假設(shè)市場有三三種狀態(tài)，但但僅有兩種資資產(chǎn)，無風(fēng)險險借貸，其利利率為r；另外一種資資產(chǎn)s，價格為p，其在未來損損益為：狀態(tài)態(tài)1時，損益為pu（即為原價格格的u倍）；狀態(tài)2時為pm，狀態(tài)3時為pd，假設(shè)d<m<u。市場不存在套套利組合的條條件求解可得：根據(jù)定理2，，這個方程的的解不唯一實際上是一條條直線第一個端點第二個端點：：如果，，則則為：如果，，則則為：謝謝1月-2301:21:4801:2101:211月-231月-2301:2101:2101:21:481月-231月-2301:21:482023/1/61:21:489、靜夜四四無鄰，，荒居舊舊業(yè)貧。。。1月-231月-23Friday,January6,202310、雨中黃葉樹樹，燈下白頭頭人。。01:21:4801:21:4801:211/6/20231:21:48AM11、以我獨沈久久，愧君相見見頻。。1月-2301:21:4801:21Jan-2306-Jan-2312、故故人人江江海海別別，，幾幾度度隔隔山山川川。。。。01:21:4801:21:4801:21Friday,January6,202313、乍見翻疑疑夢，相悲悲各問年。。。1月-231月-2301:21:4801:21:48January6,202314、他鄉(xiāng)生白發(fā)發(fā)，舊國見青青山。。06一月20231:21:49上午01:21:491月-2315、比不了了得就不不比，得得不到的的就不要要。。。一月231:21上午午1月-2301:21January6,202316、行動出成成果，工作作出財富。。。2023/1/61:21:4901:21:4906January202317、做前，能夠夠環(huán)視四周；；做時，你只只能或者最好好沿著以腳為為起點的射線線向前。。1:21:49上午1:21上上午01:21:491月-239、沒有失失敗，只只有暫時時停止成成功！。。1月-231月-23Friday,January6,202310、很多多事情情努力力了未未必有有結(jié)果果，但但是不不努力力卻什什么改改變也也沒有有。。。01:21:4901:21:4901:211/6/20231:21:49AM11、成功就是是日復(fù)一日日那一點點點小小努力力的積累。。。1月-2301:21:4901:21Jan-2306-Jan-2312、世間成事，，不求其絕對對圓滿，留一一份不足，可可得無限完美美。。01:21:4901:21:4901:21Friday,January6,202313、不知香香積寺，，數(shù)里入入云峰。。。1月-231月-2301:21:4901:21:49January6,202314、意志堅強(qiáng)的的人能把世界界放在手中像像泥塊一樣任任意揉捏。06一月20231:21:49上午01:21:491月-2315、楚塞三三湘接，，荊門九