2022年新教材高中數(shù)學模塊綜合測評一課時分層作業(yè)含解析新人教B版選擇性必修

模塊綜合測評(一)(滿分：150分時間：120分鐘)一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是()A．1 B．eq\f(1,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(7,5)2．已知四面體ABCD的所有棱長都是2，點E、F分別是AD、DC的中點，則eq\o(EF,\s\up7(→))·eq\o(BA,\s\up7(→))＝()A．1 B．－1C．eq\r(3) D．－eq\r(3)3．若A(－2,3)，B(3，－2)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，m))三點共線，則m的值為()A．eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．－2D．24．若P(2，－1)為圓C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中點，則直線AB的方程是()A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0 D．x－y－3＝05．雙曲線eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn≠0)的離心率為2，有一個焦點與拋物線y2＝4x的焦點重合，則mn的值為()A．eq\f(3,16) B．eq\f(3,8)C．eq\f(16,3) D．eq\f(8,3)6．設(shè)斜率為2的直線l過拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點F，且和y軸交于點A，若△OAF(O為坐標原點)的面積為4，則拋物線的方程為()A．y2＝±4x B．y2＝±8xC．y2＝4x D．y2＝8x7．如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，B1C和C1D與底面所成的角分別為60°和45°，則異面直線B1C和C1D所成角的余弦值為()A．eq\f(\r(6),4)B．eq\f(\r(6),3)C．eq\f(\r(2),6)D．eq\f(\r(2),3)8．在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中點，則點A1到平面MBD的距離是()A．eq\f(\r(6)a,6) B．eq\f(\r(3)a,6)C．eq\f(\r(3)a,4) D．eq\f(\r(6)a,3)二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得分5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9．若A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，下面結(jié)論中正確的是()A．AB∥CD B．AB⊥ADC．|AC|＝|BD| D．AC⊥BD10．在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2＋y2－4x＝0．若直線y＝k(x＋1)上存在一點P，使過P點所作的圓的兩條切線相互垂直，則實數(shù)k的取值可以是()A．1 B．2C．3 D．411．設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，準線為l，A為C上一點，以F為圓心，|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點．若∠ABD＝90°，且△ABF的面積為9eq\r(3)，則()A．|BF|＝3B．△ABF是等邊三角形C．點F到準線的距離為3D．拋物線C的方程為y2＝6x12．我們把離心率為e＝eq\f(\r(5)＋1,2)的雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)稱為黃金雙曲線．如圖給出以下幾個說法中正確的是()A．雙曲線x2－eq\f(2y2,\r(5)＋1)＝1是黃金雙曲線B．若b2＝ac，則該雙曲線是黃金雙曲線C．若∠F1B1A2＝90°，則該雙曲線是黃金雙曲線D．若∠MON＝90°，則該雙曲線是黃金雙曲線三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．13．經(jīng)過兩條直線2x＋y＋2＝0和3x＋4y－2＝0的交點，且垂直于直線3x－2y＋4＝0的直線方程為．14．從原點向圓x2＋y2－12y＋27＝0作兩條切線，則該圓夾在兩條切線間的劣弧長為．15．已知點F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，|F1F2|＝4，點Q(2，eq\r(2))在橢圓C上，P是橢圓C上的動點，則eq\o(PQ,\s\up7(→))·eq\o(PF1,\s\up7(→))的最大值為．16．已知三棱錐A-BCD的所有棱長均相等，E為DC的中點，若點P為AC中點，則直線PE與平面BCD所成角的正弦值為，若點Q在棱AC所在直線上運動，則直線QE與平面BCD所成角正弦值的最大值為．(第一空2分，第二空3分)四、解答題：本題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題滿分10分)如圖，已知點A(2,3)，B(4,1)，△ABC是以AB為底邊的等腰三角形，點C在直線l：x－2y＋2＝0上．(1)求AB邊上的高CE所在直線的方程；(2)求△ABC的面積．18．(本小題滿分12分)如圖所示平行四邊形ABCD的對角線AC與BD交于E點，定點A，C的坐標分別是A(－2,3)，C(2,1)．(1)求以線段AC為直徑的圓E的方程；(2)若B點的坐標為(－2，－2)，求直線BC截圓E所得的弦長．19．(本小題滿分12分)如圖所示在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，AD＝eq\f(2\r(3),3)AB，E是PC的中點．求證：PD⊥平面ABE．20．(本小題滿分12分)已知橢圓C的左、右焦點坐標分別是(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0)，離心率是eq\f(\r(6),3)，直線y＝t與橢圓C交于不同的兩點M，N，以線段MN為直徑作圓P，圓心為P．(1)求橢圓C的方程；(2)若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標．21．(本小題滿分12分)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，M為PC的中點，PA＝PD＝2，BC＝eq\f(1,2)AD＝1，CD＝eq\r(3)．(1)求證：PQ⊥AB；(2)求二面角P-QB-M的余弦值．22．(本小題滿分12分)已知圓C：x2＋y2＋2x－2y＋1＝0和拋物線E：y2＝2px(p＞0)，圓心C到拋物線焦點F的距離為eq\r(17)．(1)求拋物線E的方程；(2)不過原點的動直線l交拋物線E于A，B兩點，且滿足OA⊥OB．①求證直線l過定點；②設(shè)點M為圓C上任意一動點，求當動點M到直線l的距離最大時直線l的方程．模塊綜合測評(一)（答案版）(滿分：150分時間：120分鐘)一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是()A．1 B．eq\f(1,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(7,5)D[因為ka＋b＝(k－1，k,2)，2a－b＝(3,2，－2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，所以(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－4＝0?k＝eq\f(7,5)．]2．已知四面體ABCD的所有棱長都是2，點E、F分別是AD、DC的中點，則eq\o(EF,\s\up7(→))·eq\o(BA,\s\up7(→))＝()A．1 B．－1C．eq\r(3) D．－eq\r(3)B[如圖所示，eq\o(EF,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))，所以eq\o(EF,\s\up7(→))·eq\o(BA,\s\up7(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up7(→))·(－eq\o(AB,\s\up7(→)))＝－eq\f(1,2)×2×2cos60°＝－1，故選B．]3．若A(－2,3)，B(3，－2)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，m))三點共線，則m的值為()A．eq\f(1,2)B．－eq\f(1,2)C．－2D．2A[由eq\f(－2－3,3－－2)＝eq\f(m＋2,\f(1,2)－3)，得m＝eq\f(1,2)．]4．若P(2，－1)為圓C：(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中點，則直線AB的方程是()A．2x－y－5＝0 B．2x＋y－3＝0C．x＋y－1＝0 D．x－y－3＝0D[圓心C(1,0)，kPC＝eq\f(0－－1,1－2)＝－1，則kAB＝1，AB的方程為y＋1＝x－2，即x－y－3＝0，故選D．]5．雙曲線eq\f(x2,m)－eq\f(y2,n)＝1(mn≠0)的離心率為2，有一個焦點與拋物線y2＝4x的焦點重合，則mn的值為()A．eq\f(3,16) B．eq\f(3,8)C．eq\f(16,3) D．eq\f(8,3)A[拋物線y2＝4x的焦點為(1,0)，故雙曲線的一個焦點是(1,0)，所以m＋n＝1，且eq\f(1,\r(m))＝2，解得m＝eq\f(1,4)，n＝eq\f(3,4)，故mn＝eq\f(3,16)．]6．設(shè)斜率為2的直線l過拋物線y2＝ax(a≠0)的焦點F，且和y軸交于點A，若△OAF(O為坐標原點)的面積為4，則拋物線的方程為()A．y2＝±4x B．y2＝±8xC．y2＝4x D．y2＝8xB[由題可知拋物線的焦點坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，于是過焦點且斜率為2的直線的方程為y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,4)))，令x＝0，可得點A的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(a,2)))，所以S△OAF＝eq\f(1,2)×eq\f(|a|,4)×eq\f(|a|,2)＝4，得a＝±8，故拋物線的方程為y2＝±8x．]7．如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，B1C和C1D與底面所成的角分別為60°和45°，則異面直線B1C和C1D所成角的余弦值為()A．eq\f(\r(6),4)B．eq\f(\r(6),3)C．eq\f(\r(2),6)D．eq\f(\r(2),3)A[如圖所示：∵B1B⊥平面ABCD，∴∠BCB1是B1C與底面所成角，∴∠BCB1＝60°．∵C1C⊥底面ABCD，∴∠CDC1是C1D與底面所成的角，∴∠CDC1＝45°．連接A1D，A1C1，則A1D∥B1C．∴∠A1DC1或其補角為異面直線B1C與C1D所成的角．不妨設(shè)BC＝1，則CB1＝DA1＝2，BB1＝CC1＝eq\r(3)＝CD，∴C1D＝eq\r(6)，A1C1＝2．在等腰△A1C1D中，cos∠A1DC1＝eq\f(\f(1,2)C1D,A1D)＝eq\f(\r(6),4)．]8．在棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M是AA1的中點，則點A1到平面MBD的距離是()A．eq\f(\r(6)a,6) B．eq\f(\r(3)a,6)C．eq\f(\r(3)a,4) D．eq\f(\r(6)a,3)A[建立如圖所示的空間直角坐標系，則D(0,0,0)，Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，0，\f(a,2)))，B(a，a,0)，A1(a,0，a)，∴eq\o(DM,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，0，\f(a,2)))，eq\o(DB,\s\up7(→))＝(a，a,0)，eq\o(DA1,\s\up7(→))＝(a,0，a)．設(shè)平面MBD的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋\f(a,2)z＝0，,ax＋ay＝0，))令x＝1，則可得n＝(1，－1，－2)．∴d＝eq\f(|\o(DA1,\s\up7(→))·n|,|n|)＝eq\f(|a－2a|,\r(6))＝eq\f(\r(6),6)a．]二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得分5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分．9．若A(－4,2)，B(6，－4)，C(12,6)，D(2,12)，下面結(jié)論中正確的是()A．AB∥CD B．AB⊥ADC．|AC|＝|BD| D．AC⊥BDABCD[kAB＝eq\f(－4－2,6＋4)＝－eq\f(3,5)，kCD＝eq\f(12－6,2－12)＝－eq\f(3,5)．且C不在直線AB上，∴AB∥CD，故A正確；又因為kAD＝eq\f(12－2,2＋4)＝eq\f(5,3)，∴kAB·kAD＝－1，∴AB⊥AD，故B正確；∵|AC|＝eq\r(6－22＋12＋42)＝4eq\r(17)，|BD|＝eq\r(2－62＋12＋42)＝4eq\r(17)，∴|AC|＝|BD|．故C正確；又kAC＝eq\f(6－2,12＋4)＝eq\f(1,4)，kBD＝eq\f(12＋4,2－6)＝－4．∴kAC·kBD＝－1，∴AC⊥BD，故D正確．]10．在平面直角坐標系xOy中，圓C的方程為x2＋y2－4x＝0．若直線y＝k(x＋1)上存在一點P，使過P點所作的圓的兩條切線相互垂直，則實數(shù)k的取值可以是()A．1 B．2C．3 D．4AB[圓C的方程為x2＋y2－4x＝0，則圓心為C(2,0)，半徑R＝2．設(shè)兩個切點分別為A、B，則由題意可得四邊形PACB為正方形，故有PC＝eq\r(2)R＝2eq\r(2)，∴圓心到直線y＝k(x＋1)的距離小于或等于PC＝2eq\r(2)，即eq\f(|2k－0＋k|,\r(k2＋1))≤2eq\r(2)，解得k2≤8，可得－2eq\r(2)≤k≤2eq\r(2)，∴結(jié)合選項，實數(shù)k的取值可以是1,2．]11．設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，準線為l，A為C上一點，以F為圓心，|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點．若∠ABD＝90°，且△ABF的面積為9eq\r(3)，則()A．|BF|＝3B．△ABF是等邊三角形C．點F到準線的距離為3D．拋物線C的方程為y2＝6xBCD[因為|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點，所以FA＝FB，若∠ABD＝90°可得FA＝AB，所以可得△ABF為等邊三角形，所以B正確；過F作FC⊥AB交于C，則C為AB的中點，C的橫坐標為eq\f(p,2)，B的橫坐標為－eq\f(p,2)，所以A的橫坐標為eq\f(3p,2)，代入拋物線可得y2＝3p2，|yA|＝eq\r(3)p，△ABF的面積為9eq\r(3)，即eq\f(1,2)(xA－xB)|yA|＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3p,2)＋\f(p,2)))×eq\r(3)p＝9eq\r(3)，解得：p＝3，所以拋物線的方程為：y2＝6x，所以D正確；焦點坐標為：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，所以焦點到準線的距離為：eq\f(3,2)×2＝3，所以C正確；此時A點的橫坐標為eq\f(9,2)，所以BF＝AF＝AB＝eq\f(9,2)＋eq\f(3,2)＝6，所以A不正確．]12．我們把離心率為e＝eq\f(\r(5)＋1,2)的雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)稱為黃金雙曲線．如圖給出以下幾個說法中正確的是()A．雙曲線x2－eq\f(2y2,\r(5)＋1)＝1是黃金雙曲線B．若b2＝ac，則該雙曲線是黃金雙曲線C．若∠F1B1A2＝90°，則該雙曲線是黃金雙曲線D．若∠MON＝90°，則該雙曲線是黃金雙曲線ABCD[雙曲線x2－eq\f(2y2,\r(5)＋1)＝1中，∵e＝eq\f(\r(1＋\f(\r(5)＋1,2)),1)＝eq\f(\r(5)＋1,2)，∴雙曲線x2－eq\f(2y2,\r(5)＋1)＝1是黃金雙曲線，故A正確；b2＝ac,則e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋ac),a)＝eq\r(1＋e)．∴e2－e－1＝0，解得e＝eq\f(\r(5)＋1,2)，或e＝eq\f(\r(5)－1,2)(舍)，∴該雙曲線是黃金雙曲線，故B正確；如圖，F(xiàn)1，F(xiàn)2為左、右焦點，A1，A2為左右頂點，B1(0，b)，B2(0，－b)，且∠F1B1A2＝90°，∴|B1F1|2＋|B1A2|2＝|A2F1|2，即b2＋2c2＝(a＋c)2，整理，得b2＝ac，由B知該雙曲線是黃金雙曲線，故C正確；如圖，MN經(jīng)過右焦點F2且MN⊥F1F2，∠MON＝90°，∴NF2＝OF2，∴eq\f(b2,a)＝c，∴b2＝ac，由B知該雙曲線是黃金雙曲線，故D正確．故選ABCD．]三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上．13．經(jīng)過兩條直線2x＋y＋2＝0和3x＋4y－2＝0的交點，且垂直于直線3x－2y＋4＝0的直線方程為．2x＋3y－2＝0[由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2＝0，,2x＋y＋2＝0，))得交點A(－2，2)，因為所求直線垂直于直線3x－2y＋4＝0，故所求直線的斜率k＝－eq\f(2,3)，由點斜式得所求直線方程為y－2＝－eq\f(2,3)(x＋2)，即2x＋3y－2＝0．]14．從原點向圓x2＋y2－12y＋27＝0作兩條切線，則該圓夾在兩條切線間的劣弧長為．2π[(數(shù)形結(jié)合法)如圖，圓x2＋y2－12y＋27＝0可化為x2＋(y－6)2＝9，圓心坐標為(0,6)，半徑為3．在Rt△OBC中可得：∠OCB＝eq\f(π,3)，∴∠ACB＝eq\f(2π,3)，∴所求劣弧長為2π．]15．已知點F1，F(xiàn)2是橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，|F1F2|＝4，點Q(2，eq\r(2))在橢圓C上，P是橢圓C上的動點，則eq\o(PQ,\s\up7(→))·eq\o(PF1,\s\up7(→))的最大值為．eq\f(9,2)[由題意可得：c＝2，eq\f(4,a2)＋eq\f(2,b2)＝1，a2＝b2＋c2，解得a2＝8，b2＝4，所以橢圓的方程為eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1，可得F1(－2,0)，設(shè)P(x，y)，由eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1，可得：x2＝8－2y2，則eq\o(PQ,\s\up7(→))·eq\o(PF1,\s\up7(→))＝(2－x，eq\r(2)－y)(－2－x，－y)＝x2－4＋y2－eq\r(2)y＝－y2－eq\r(2)y＋4＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(\r(2),2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,2)＋4，當且僅當y＝－eq\f(\r(2),2)∈[－2,2]時，則eq\o(PQ,\s\up7(→))·eq\o(PF1,\s\up7(→))的最大值為eq\f(9,2)．]16．已知三棱錐A-BCD的所有棱長均相等，E為DC的中點，若點P為AC中點，則直線PE與平面BCD所成角的正弦值為，若點Q在棱AC所在直線上運動，則直線QE與平面BCD所成角正弦值的最大值為．(第一空2分，第二空3分)eq\f(\r(6),3)eq\f(2\r(2),3)[連接BE，AE，過A作AO⊥底面BCD，垂足為O，連接OD，則∠ADO是直線PE與平面BCD所成角(圖略)，因三棱錐A-BCD的所有棱長均相等，設(shè)棱長為2，則DO＝BO＝eq\f(2,3)BE＝eq\f(2,3)eq\r(4－1)＝eq\f(2\r(3),3)，AO＝eq\r(4－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)))eq\s\up12(2))＝eq\f(2\r(6),3)，∴sin∠ADO＝eq\f(AO,AD)＝eq\f(\f(2\r(6),3),2)＝eq\f(\r(6),3)．∴直線PE與平面BCD所成角的正弦值為eq\f(\r(6),3)．當Q與A重合時，直線QE與平面BCD所成角正弦值取最大值，此時直線QE與平面BCD所成角為∠AEO，AE＝eq\r(4－1)＝eq\r(3)，∴直線QE與平面BCD所成角正弦值的最大值為：sin∠AEO＝eq\f(AO,AE)＝eq\f(\f(2\r(6),3),\r(3))＝eq\f(2\r(2),3)．]四、解答題：本題共6小題，共70分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題滿分10分)如圖，已知點A(2,3)，B(4,1)，△ABC是以AB為底邊的等腰三角形，點C在直線l：x－2y＋2＝0上．(1)求AB邊上的高CE所在直線的方程；(2)求△ABC的面積．[解](1)由題意可知，E為AB的中點，∴E(3,2)，且kCE＝－eq\f(1,kAB)＝1，∴CE所在直線方程為：y－2＝x－3，即x－y－1＝0．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋2＝0，,x－y－1＝0，))得C(4,3)，∴|AC|＝|BC|＝2，AC⊥BC，∴S△ABC＝eq\f(1,2)|AC|·|BC|＝2．18．(本小題滿分12分)如圖所示平行四邊形ABCD的對角線AC與BD交于E點，定點A，C的坐標分別是A(－2,3)，C(2,1)．(1)求以線段AC為直徑的圓E的方程；(2)若B點的坐標為(－2，－2)，求直線BC截圓E所得的弦長．[解](1)AC的中點E(0,2)即為圓心，半徑r＝eq\f(1,2)|AC|＝eq\f(1,2)eq\r(42＋－22)＝eq\r(5)，所以圓E的方程為x2＋(y－2)2＝5．(2)直線BC的斜率k＝eq\f(1－－2,2－－2)＝eq\f(3,4)，其方程為y－1＝eq\f(3,4)(x－2)，即3x－4y－2＝0．點E到直線BC的距離為d＝eq\f(|－8－2|,5)＝2，所以BC截圓E所得的弦長為2eq\r(5－22)＝2．19．(本小題滿分12分)如圖所示在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，AD＝eq\f(2\r(3),3)AB，E是PC的中點．求證：PD⊥平面ABE．[證明]∵PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，∴AB，AD，AP兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)PA＝AB＝BC＝1，則P(0,0,1)，A(0,0,0)，B(1,0,0)，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)，0))．∵∠ABC＝60°，∴△ABC為正三角形．∴Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)，0))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,2)))．∴eq\o(AB,\s\up7(→))＝(1,0,0)，eq\o(AE,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，\f(\r(3),4)，\f(1,2)))，∴設(shè)平面ABE的一個法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(AB,\s\up7(→))＝0，,n·\o(AE,\s\up7(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,\f(1,4)x＋\f(\r(3),4)y＋\f(1,2)z＝0，))令y＝2，則z＝－eq\r(3)，∴n＝(0,2，－eq\r(3))．∵eq\o(PD,\s\up7(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2\r(3),3)，－1))，顯然eq\o(PD,\s\up7(→))＝eq\f(\r(3),3)n，∴eq\o(PD,\s\up7(→))∥n，∴eq\o(PD,\s\up7(→))⊥平面ABE，即PD⊥平面ABE．20．(本小題滿分12分)已知橢圓C的左、右焦點坐標分別是(－eq\r(2)，0)，(eq\r(2)，0)，離心率是eq\f(\r(6),3)，直線y＝t與橢圓C交于不同的兩點M，N，以線段MN為直徑作圓P，圓心為P．(1)求橢圓C的方程；(2)若圓P與x軸相切，求圓心P的坐標．[解](1)因為eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，且c＝eq\r(2)，所以a＝eq\r(3)，b＝eq\r(a2－c2)＝1，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,3)＋y2＝1．(2)由題意知P(0，t)(－1＜t＜1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝t，,\f(x2,3)＋y2＝1))得x＝±eq\r(31－t2)，所以圓P的半徑為eq\r(31－t2)．當圓P與x軸相切時，|t|＝eq\r(31－t2)，解得t＝±eq\f(\r(3),2)．所以點P的坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±\f(\r(3),2)))．21．(本小題滿分12分)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AD⊥DC，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點，M為PC的中點，PA＝PD＝2，BC＝eq\f(1,2)AD＝1，CD＝eq\r(3)．(1)求證：PQ⊥AB；(2)求二面角P-QB-M的余弦值．[解](1)證明：在△PAD中，PA＝PD，Q為AD的中點，所以PQ⊥AD．因為平面PAD⊥底面ABCD，且平面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PQ⊥底面ABCD．又AB?平面ABCD，所以PQ⊥AB．(2)在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD，Q為AD的中點，所以四邊形BCDQ為平行四邊形．因為AD⊥DC，所以AD⊥QB．由(1)，可知PQ⊥平面ABCD，故以Q為坐標原點，建立空間直角坐標系Q-xyz如圖所示，則Q(0,0,0)，A(1,0,0)，P(0,0，eq\r(3))，C(－1，eq\r(3)，0)，B(0，eq\r(3)，0)，eq\o(QB,\s\up7(→))＝(0，eq\r(3)，0)．因為AQ⊥PQ，AQ⊥BQ，所以AQ⊥平面PQB，即eq\o(QA,\s\up7(→))為平面PQB的一個法向量，且eq\o(QA,\s\up7(→))＝(1,0,