天津武清區(qū)南蔡村中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

天津武清區(qū)南蔡村中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其名命名的函數(shù)f（x）=，稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)f（x）有以下四個命題：①f（f（x））=1；②函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；③任意一個非零有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對任意x∈R恒成立；④存在三個點(diǎn)A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC為等邊三角形．其中真命題的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1參考答案：A【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用；分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】①根據(jù)函數(shù)的對應(yīng)法則，可得不管x是有理數(shù)還是無理數(shù)，均有f（f（x））=1；②根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可得f（x）是偶函數(shù)；③根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合有理數(shù)和無理數(shù)的性質(zhì)；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得A（，0），B（0，1），C（﹣，0），三點(diǎn)恰好構(gòu)成等邊三角形．【解答】解：①∵當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，f（x）=1；當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，f（x）=0，∴當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，ff（（x））=f（1）=1；當(dāng)x為無理數(shù)時(shí)，f（f（x））=f（0）=1，即不管x是有理數(shù)還是無理數(shù)，均有f（f（x））=1，故①正確；②∵有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù)，∴對任意x∈R，都有f（﹣x）=f（x），故②正確；③若x是有理數(shù)，則x+T也是有理數(shù)；若x是無理數(shù)，則x+T也是無理數(shù)，∴根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，任取一個不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對x∈R恒成立，故③正確；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0，∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC為等邊三角形，故④正確．即真命題的個數(shù)是4個，故選：A．2.在抽查產(chǎn)品的尺寸過程中，將其尺寸分成若干組，是其中的一組，抽查出的個體在該組上的頻率為m，該組在頻率分布直方圖的高為h，則|a－b|等于（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：A3.設(shè)，則(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A4.

i是虛數(shù)單位，若，則（）A.1 B. C. D.參考答案：C【詳解】試題分析：由題意得，所以，故選C．考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模．5.等差數(shù)列中，，則（

）A．10

B．20

C．40

D．2+log25參考答案：B6.如左圖所示，在正四棱錐S-ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，P點(diǎn)在側(cè)面△SCD內(nèi)及其邊界

上運(yùn)動，并且總是保持PE⊥AC．則動點(diǎn)P的軌跡與△SCD組成的相關(guān)圖形最有可有

是右圖中的參考答案：A7.下列說法中，正確的是（） A．命題“若，則”的逆命題是真命題B．命題“，”的否定是：“，” C．命題“或”為真命題，則命題“”和命題“”均為真命題 D．已知，則“”是“”的充分不必要條件參考答案：B略8.設(shè)函數(shù),x∈R.若當(dāng)0＜θ＜時(shí),不等式恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A.[－1,2]

B.(－4,4)

C.[2,+∞)

D.(－∞,2]參考答案：D，令，則而是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，又是奇函數(shù)，于是.故此題是考察三次函數(shù)的對稱中心.9.已知，，，則它們的大小關(guān)系是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：C因?yàn)?，，故選C.

10.若，則下列結(jié)論不正確的是()A．

B．

C．

D．參考答案：【知識點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式．E1D

解析：由于，不妨令，可得a2＜b2，故A正確．，故B正確．，,故C正確，，，，，所以D不正確．

故選D．【思路點(diǎn)撥】不妨令a=-1，b=-2，代入各個選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證，找出符合條件的選項(xiàng)．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.數(shù)列的前項(xiàng)和，則使得的最大整數(shù)的值是.參考答案：412.在直角三角形中，，，點(diǎn)是斜邊上的一個三等分點(diǎn)，則

．參考答案：由題意知三角形為等腰直角三角形。因?yàn)槭切边吷系囊粋€三等分點(diǎn)，所以，所以，所以，，所以。13.若的最小值為_________.參考答案：略14.在（x﹣）10的展開式中，x8的系數(shù)為．（結(jié)果用數(shù)字表示）參考答案：135略15.某四棱錐的三視圖如圖所示，則此四棱錐的表面積是

參考答案：

16.在中，依次成等比數(shù)列，則B的取值范圍是

參考答案：因?yàn)橐来纬傻缺葦?shù)列，所以，即，所以，所以，所以，即B的取值范圍是。17.在△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a,b,c,a=1,b=,B=60°,則c=

。參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）如圖，是半徑為2，圓心角為的扇形，是扇形弧上的一動點(diǎn).記，四邊形的面積為.（1）找出與的函數(shù)關(guān)系；（2）試探求當(dāng)取何值時(shí)，最大，并求出這個最大值.參考答案：（Ⅰ）（Ⅱ）當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，最大，且最大值為2.試題分析：（Ⅰ）由四邊形的面積等于三角形的面積之和即可得出與的函數(shù)關(guān)系；（Ⅱ）由（1）知，，然后運(yùn)用兩角差的正弦公式即可得出，最后由正弦函數(shù)的圖像及其性質(zhì)即可得出取得最大值時(shí)的取值.考點(diǎn)：1、三角恒等變換；2、三角函數(shù)的圖像及其性質(zhì).【思路點(diǎn)睛】本題主要考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖像及其性質(zhì)，滲透著轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬中檔題.其解題的一般思路為：首先根據(jù)已知條件將四邊形的面積劃分為三角形的面積之和，進(jìn)而得出與的函數(shù)關(guān)系；然后運(yùn)用三角恒等變換和輔助角公式對其進(jìn)行求解即可.19.（12分）設(shè)命題p：函數(shù)y=loga（x+1）（a＞0，a≠1）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞減；命題q：3x﹣9x＜a對一切的x∈R恒成立，如果命題“p且q”為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)： 復(fù)合命題的真假．專題： 簡易邏輯．分析： 命題p：函數(shù)y=loga（x+1）（a＞0，a≠1）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞減，得出0＜a＜1，命題q：3x﹣9x＜a對一切的x∈R恒成立，得a＞，p且q為真時(shí)，可得：＜a＜1，最后可得出命題“p且q”為假命題時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍．解答： 解：∵命題p：函數(shù)y=loga（x+1）（a＞0，a≠1）在x∈（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴x+1∈[1，+∞），0＜a＜1，∵命題q：3x﹣9x＜a對一切的x∈R恒成立，∴f（x）=3x﹣（3x）2，t=3x，y=﹣t2+t，t＞0，當(dāng)t=時(shí)，y的最大值，即必須得a＞，∵p且q為真時(shí)，可得：＜a＜1，∴命題“p且q”為假命題時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，）∪（1，+∞），點(diǎn)評： 本題綜合考查了函數(shù)，不等式，簡易邏輯等知識靈活運(yùn)用，巧用對立事件求解．20.某學(xué)校為了加強(qiáng)學(xué)生的安全教育，對學(xué)校旁邊A，B兩個路口進(jìn)行了8天的監(jiān)測調(diào)查，得到每天路口不按交通規(guī)則過馬路的學(xué)生人數(shù)（如莖葉圖所示），且A路口數(shù)據(jù)的平均數(shù)比B路口數(shù)據(jù)的平均數(shù)小2．（1）求出A路口8個數(shù)據(jù)的中位數(shù)和莖葉圖中m的值；（2）在B路口的數(shù)據(jù)中任取大于35的2個數(shù)據(jù)，求所抽取的兩個數(shù)據(jù)中至少有一個不小于40的概率．參考答案：【考點(diǎn)】CB：古典概型及其概率計(jì)算公式；BA：莖葉圖．【分析】（1）由莖葉圖可得A路口8個數(shù)據(jù)中34，35為最中間2個數(shù)，由此計(jì)算中位數(shù)，又A路口8個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為34，得到B路口的平均數(shù)，求出m的值即可；（2）B路口的數(shù)據(jù)中任取2個大于35的數(shù)據(jù)，有10種可能，其中“至少有一個不小于40”的情況有7種，求出滿足條件的概率即可．【解答】解：（1）A路口8年數(shù)據(jù)的中位數(shù)是=34.5，∵A路口8年數(shù)據(jù)的平均數(shù)是：=34，∴B路口8個數(shù)據(jù)的平均數(shù)是36，∴=36，解得：m=4；（2）B在路口的數(shù)據(jù)中取2個大于35的數(shù)據(jù)，有如下10中可能結(jié)果：（36，37），（36，36），（36，42），（36，45），（37，38），（37，42），（37，45），（38，42），（38，45），（42，45），其中“至少有一個抽取的數(shù)據(jù)不小于40”的情況如下7種：（36，42），（36，45），（37，42），（37，45），（38，42），（38，45），（42，45），故所求的概率p=．21.已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點(diǎn)和橢圓的左、右焦點(diǎn),為頂點(diǎn)的三角形的周長為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)該橢圓與軸的交點(diǎn)為,(點(diǎn)位于點(diǎn)的上方),直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn),求證:直線與直線的交點(diǎn)在定直線上.參考答案：(1)由題意知,,又，所以，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)設(shè),,則由聯(lián)立方程組，化簡得,由解得，由韋達(dá)定理,得，直線的方程

①直線NA的方程

②

聯(lián)立①②，得即∴直線與直線的交點(diǎn)在定直線上19.（本題滿分12分）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,