四川省成都市華陽職業(yè)高級中學2023年高三數(shù)學理上學期期末試題含解析

四川省成都市華陽職業(yè)高級中學2023年高三數(shù)學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.《九章算術》勾股章有一“引葭赴岸”問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深、葭長各幾何．”其意思是：有一水池一丈見方，水池正中央有一顆類似蘆葦?shù)闹参?，露出水面一尺，若把它引向岸邊，正好與岸邊齊（如圖所示）．問誰有多深，該植物有多長？其中一丈為十尺，若從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為（

）A．B．C.D．參考答案：B2.等比數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，a3a8+a4a7=18，則A.20

B.36 C.9

D.參考答案：A3.已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，包含的零點的區(qū)間是（）A．（0，1）

B．（1，2）

C．（2，4）

D．（4，＋∞）參考答案：C4.定義在R上的函數(shù)，則（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：答案：C5.已知點在平面內(nèi)，并且對空間任一點，則的值為

（

▲

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略6.已知“正三角形的內(nèi)切圓與三邊相切，切點是各邊的中點”，類比之可以猜想：正四面體的內(nèi)切球與各面相切，切點是（

）A．各面內(nèi)某邊的中點

B．各面內(nèi)某條中線的中點

C．各面內(nèi)某條高的三等分點

D．各面內(nèi)某條角平分線的四等分點參考答案：C7.已知A、B為橢圓E：+=1（a＞b＞0）的左、右頂點，點P在E上，在△APB中，tanA=，tanB=，則E的離心率為（）A．﹣1 B． C． D．參考答案：C【考點】橢圓的簡單性質．【分析】利用直線的斜率公式與角的正切值的關系，求得P坐標代入橢圓方程，即可求得a與b的關系，求得橢圓的離心率．【解答】解：設A（﹣a，0），B（a，0），P（x，y），（m＞0，n＞0），由△APB中，tanA=，tanB=，可得直線PA的斜率為=，直線PB的斜率為=﹣，解得：x=a，y=a，將P（a，a）代入橢圓方程，可得：+=1，化簡可得=4，即=，橢圓的離心率e===，故選C．【點評】本題考查橢圓的離心率的求法，注意運用直線的斜率公式和點滿足橢圓方程，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．8.已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足①f（x）+f（2﹣x）=0，②f（x）﹣f（﹣2﹣x）=0，③在[﹣1，1]上表達式為，f（x）=則函數(shù)f（x）與函數(shù)g（x）=的圖象在區(qū)間[﹣3，3]上的交點個數(shù)為(

) A．5 B．6 C．7 D．8參考答案：B考點：函數(shù)的圖象．專題：函數(shù)的性質及應用．分析：先根據(jù)①②知函數(shù)的對稱中心和對稱軸，再分別畫出f（x）和g（x）的部分圖象，由圖象觀察交點的個數(shù)．解答： 解：∵①f（x）+f（2﹣x）=0，②f（x）﹣f（﹣2﹣x）=0，∴f（x）圖象的對稱中心為（1，0），f（x）圖象的對稱軸為x=﹣1，結合③畫出f（x）和g（x）的部分圖象，如圖所示，據(jù)此可知f（x）與g（x）的圖象在[﹣3，3]上有6個交點．故選B．點評：本題借助分段函數(shù)考查函數(shù)的周期性、對稱性以及函數(shù)圖象交點個數(shù)等問題，屬于中檔題．9.給定下列兩個命題：①“”為真是“”為假的必要不充分條件；②“，使”的否定是“，使”.其中說法正確的（

）A、①真②假

B、①假②真

C、①和②都為假

D、①和②都為真參考答案：D略10.已知向量m＝(－1，1)，n＝(1，λ)，若m⊥n，則m＋n與m之間的夾角為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)的極大值為正數(shù)，極小值為負數(shù)，則的取值范圍為__________.參考答案：略12.當時，不等式成立，則此不等式的解集為_______________________。參考答案：13.已知定義在上的函數(shù)，滿足，且對任意的都有，則

．參考答案：14.已知函數(shù)f（x）=x2﹣1（﹣1≤x＜0），則f﹣1（x）=

．參考答案：﹣，x∈（﹣1，0]【考點】反函數(shù)．【專題】轉化思想；定義法；函數(shù)的性質及應用．【分析】根據(jù)反函數(shù)的定義，用y表示出x，再交換x、y的位置，即可得出f﹣1（x）．【解答】解：函數(shù)y=f（x）=x2﹣1（﹣1≤x＜0），∴y+1=x2，又﹣1≤x＜0，∴0≤y＜1，∴x=﹣；交換x、y的位置，得y=f﹣1（x）=﹣，x∈（﹣1，0]．故答案為：﹣，x∈（﹣1，0]．【點評】本題考查了反函數(shù)的定義與應用問題，是基礎題目．15.若圓椎的母線,母線與旋轉軸的夾角,則該圓椎的側面積為

.參考答案：16.已知α∈（π，2π），cosα=，則等于

．參考答案：﹣考點：兩角和與差的正切函數(shù)．專題：計算題；三角函數(shù)的求值．分析：先根據(jù)角的范圍求出正切值，再求tan（）．解答： 解：由α∈（π，2π），cosα=，則，∴sinα=﹣=﹣，tanα=﹣，∴tan（）==﹣，故答案為：﹣．點評：本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關系式與誘導公式的應用，屬于基礎題．17.已知、滿足約束條件，若目標函數(shù)的最大值為7,則的最小值為

。參考答案：7知識點：基本不等式在最值問題中的應用；簡單線性規(guī)劃．解析：解：作出不等式組表示的平面區(qū)域，

得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，其中A（1，0），B（3，4），C（0，1）

設，將直線：進行平移，并觀察直線在x軸上的截距變化，可得當經(jīng)過點B時，目標函數(shù)z達到最大值,即．

因此，，

∵，可得，

∴，當且僅當時，的最小值為7．故答案為：7思路點撥：作出題中不等式組表示的平面區(qū)域，得到如圖的△ABC及其內(nèi)部，利用直線平移法求出當x=3且y=4時，取得最大值為7，即．再利用整體代換法，根據(jù)基本不等式加以計算，可得當時的最小值為7．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）如圖，三棱柱中，點在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上，，.（I）證明：；（II）設直線與平面的距離為，求二面角的大小.

參考答案：解：解法一：（I）平面，平面，故平面平面．又，平面．連結，∵側面為菱形，故，由三垂線定理得；（II）平面平面，故平面平面．作為垂足，則平面．又直線∥平面，因而為直線與平面的距離，．∵為的角平分線，故．作為垂足，連結，由三垂線定理得，故為二面角的平面角．由得為的中點，∴二面角的大小為．解法二：以為坐標原點，射線為軸的正半軸，以長為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系．由題設知與軸平行，軸在平面內(nèi)．（I）設，由題設有則由得，即（①）．于是．（II）設平面的法向量則即．故，且．令，則，點到平面的距離為．又依題設，點到平面的距離為．代入①解得（舍去）或．于是．設平面的法向量，則，即，故且．令，則．又為平面的法向量，故，∴二面角的大小為．19.（本小題滿分12分）已知點分別是橢圓左、右焦點,點在橢圓上上.(Ⅰ)求橢圓的標準方程;（Ⅱ）設直線若、均與橢圓相切,試探究在軸上是否存在定點,點到的距離之積恒為1?若存在,請求出點坐標;若不存在,請說明理由.參考答案：(1)法一：由,得,

……1分

……2分∴橢圓的方程為

…………4分法二：由,得,

……1分………3分∴橢圓的方程為

…………4分(2)把的方程代入橢圓方程得…5分∵直線與橢圓相切,∴,化簡得同理把的方程代入橢圓方程也得:………………7分(3)設在軸上存在點,點到直線的距離之積為1,則,即,

…………9分把代入并去絕對值整理,或者………10分前式顯然不恒成立;而要使得后式對任意的恒成立則,解得;

綜上所述,滿足題意的定點存在,其坐標為或……12分20.如圖，△ABC為邊長為2的正三角形，AE∥CD，且AE⊥平面ABC，2AE=CD=2．（1）求證：平面BDE⊥平面BCD；（2）求三棱錐D﹣BCE的高．參考答案：【考點】LY：平面與平面垂直的判定；L3：棱錐的結構特征．【分析】（1）取BD邊的中點F，BC的中點為G，連接AG，F(xiàn)G，EF，證明AG∥EF，由AG⊥平面BCD可知，EF⊥平面BCD，即可證明平面BDE⊥平面BCD；（2）利用等體積方法，即可求三棱錐D﹣BCE的高．【解答】（1）證明：取BD邊的中點F，BC的中點為G，連接AG，F(xiàn)G，EF，由題意可知，F(xiàn)G是△BCD的中位線所以FG∥AE且FG=AE，即四邊形AEFG為平行四邊形，所以AG∥EF由AG⊥平面BCD可知，EF⊥平面BCD，又EF?面BDE，故平面BDE⊥平面BCD；（2）解：過B做BK⊥AC，垂足為K，因為AE⊥平面ABC，所以BK⊥平面ACDE，且所以V四棱錐B﹣ACDE=×V三棱錐E﹣ABC=所以V三棱錐D﹣BCE=V四棱錐B﹣ACDE﹣V三棱錐E﹣ABC=因為AB=AC=2，AE=1，所以，又BC=2所以設所求的高為h，則由等體積法得=所以．21.(本小題滿分12分)已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，記，，.（Ⅰ）若，且對任意，三個數(shù)組成等差數(shù)列，求數(shù)列的通項公式.（Ⅱ），對任意，三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.求數(shù)列的前項和.參考答案：(Ⅰ)因為對任意，三個數(shù)是等差數(shù)列，所以.……………3分

所以,

即.

所以.……………6分

（Ⅱ）若對于任意，三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列，則.