一階動(dòng)態(tài)電路

第6章一階動(dòng)態(tài)電路分析學(xué)習(xí)要點(diǎn)掌握用三要素法分析一階動(dòng)態(tài)電路的方法理解電路的暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)以及時(shí)間常數(shù)的物理意義了解用經(jīng)典法分析一階動(dòng)態(tài)電路的方法了解一階電路的零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)的概念了解微分電路和積分電路的構(gòu)成及其必須具備的條件第6章一階動(dòng)態(tài)電路分析第6章一階動(dòng)態(tài)電路分析6.1換路定理6.2一階動(dòng)態(tài)電路分析方法6.3零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)6.4微分電路和積分電路6.1換路定理過(guò)渡過(guò)程：電路從一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)過(guò)渡到另一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)，電壓、電流等物理量經(jīng)歷一個(gè)隨時(shí)間變化的過(guò)程。含有動(dòng)態(tài)元件電容C和電感L的電路稱為動(dòng)態(tài)電路。動(dòng)態(tài)電路的伏安關(guān)系是用微分或積分方程表示的。通常用微分形式。一階電路：用一階微分方程來(lái)描述的電路。一階電路中只含有一個(gè)動(dòng)態(tài)元件。本章著重于無(wú)源和直流一階電路。產(chǎn)生過(guò)渡過(guò)程的條件：電路結(jié)構(gòu)或參數(shù)的突然改變。產(chǎn)生過(guò)渡過(guò)程的原因：能量不能躍變，電感及電容能量的存儲(chǔ)和釋放需要時(shí)間，從而引起過(guò)渡過(guò)程。6.1.1電路產(chǎn)生過(guò)渡過(guò)程的原因換路：電路工作條件發(fā)生變化，如電源的接通或切斷，電路連接方法或參數(shù)值的突然變化等稱為換路。換路定理：電容上的電壓uC及電感中的電流iL在換路前后瞬間的值是相等的，即：必須注意：只有uC、

iL受換路定理的約束而保持不變，電路中其他電壓、電流都可能發(fā)生躍變。6.1.2換路定理例：圖示電路原處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開關(guān)S閉合，US=10V，R1=10Ω，R2=5Ω，求初始值uC(0+)、i1(0+)、i2(0+)、iC(0+)。解：由于在直流穩(wěn)態(tài)電路中，電容C相當(dāng)于開路，因此t=0-時(shí)電容兩端電壓分別為：在開關(guān)S閉合后瞬間，根據(jù)換路定理有：由此可畫出開關(guān)S閉合后瞬間即時(shí)的等效電路，如圖所示。由圖得：例：圖示電路原處于穩(wěn)態(tài)，t=0時(shí)開關(guān)S閉合，求初始值uC(0+)、iC(0+)和u(0+)。解：由于在直流穩(wěn)態(tài)電路中，電感L相當(dāng)于短路、電容C相當(dāng)于開路，因此t=0-時(shí)電感支路電流和電容兩端電壓分別為：在開關(guān)S閉合后瞬間，根據(jù)換路定理有：由此可畫出開關(guān)S閉合后瞬間即時(shí)的等效電路，如圖所示。由圖得：u(0+)可用節(jié)點(diǎn)電壓法由t=0+時(shí)的電路求出，為：6.2一階動(dòng)態(tài)電路的分析方法任何一個(gè)復(fù)雜的一階電路，總可以用戴微南定理或諾頓定理將其等效為一個(gè)簡(jiǎn)單的RC電路或RL電路。因此，對(duì)一階電路的分析，實(shí)際上可歸結(jié)為對(duì)簡(jiǎn)單的RC電路和RL電路的求解。一階動(dòng)態(tài)電路的分析方法有經(jīng)典法和三要素法兩種。1．RC電路分析圖示電路，t=0時(shí)開關(guān)S閉合。根據(jù)KVL，得回路電壓方程為：從而得微分方程：而:6.2.1經(jīng)典分析法解微微分分方方程程，，得得：：只存存在在于于暫暫態(tài)態(tài)過(guò)過(guò)程程中中，，t→∞∞時(shí)uC''→→0，，稱為為暫態(tài)態(tài)分分量量。其中中uC'=US為t→∞∞時(shí)uC的值值，，稱稱為為穩(wěn)態(tài)態(tài)分分量量。τ=RC稱為為時(shí)間間常常數(shù)數(shù)，，決決定定過(guò)過(guò)渡渡過(guò)過(guò)程程的的快快慢慢。波形形圖圖：：電路路中中的的電電流流為為：：電阻阻上上的的電電壓壓為為：：iC與uR的波波形形2．．RL電路路分分析析圖示示電電路路，，t=0時(shí)開開關(guān)關(guān)S閉合合。。根根據(jù)據(jù)KVL，，得回回路路電電壓壓方方程程為為：：因?yàn)闉椋海簭亩玫梦⑽⒎址址椒匠坛蹋海航庵玫茫海悍€(wěn)態(tài)態(tài)分分量量暫態(tài)態(tài)分分量量式中中τ=L/R為時(shí)時(shí)間間常常數(shù)數(shù)經(jīng)典典法法求求解解一一階階電電路路的的步步驟驟：：（1））利利用用基基爾爾霍霍夫夫定定律律和和元元件件的的伏伏安安關(guān)關(guān)系系，，根根據(jù)據(jù)換換路路后后的的電電路路列列出出微微分分方方程程；；（2））求求微微分分方方程程的的特特解解，，即即穩(wěn)穩(wěn)態(tài)態(tài)分分量量；；（3））求求微微分分方方程程的的補(bǔ)補(bǔ)函函數(shù)數(shù)，，即即暫暫態(tài)態(tài)分分量量；；（4））將將穩(wěn)穩(wěn)態(tài)態(tài)分分量量與與暫暫態(tài)態(tài)分分量量相相加加，，即即得得微微分分方方程程的的全全解解；；（5））按按照照換換路路定定理理求求出出暫暫態(tài)態(tài)過(guò)過(guò)程程的的初初始始值值，，從從而而定定出出積積分分常常數(shù)數(shù)。。例：：圖圖(a)所示示電電路路原原處處于于穩(wěn)穩(wěn)態(tài)態(tài)，，t=0時(shí)開開關(guān)關(guān)S閉合合，，求求開開關(guān)關(guān)閉閉合合后后的的電電容容電電壓壓uC和通通過(guò)過(guò)3Ω電阻阻的的電電流流i。解：：用用戴戴微微南南定定理理將將圖圖(a)所示示開開關(guān)關(guān)閉閉合合后后的的電電路路等等效效為為圖圖(b)，，圖中中：：對(duì)圖圖(b)列微微分分方方程程：：解微微分分方方程程：：由圖圖(a)求uC的初初始始值值為為：：積分分常常數(shù)數(shù)為為：：所以以，，電電容容電電壓壓為為：：通過(guò)過(guò)3Ω電阻阻的的電電流流為為：：三三要要素素分分析析法法求解解一一階階電電路路任任一一支支路路電電流流或或電電壓壓的的三三要要素素公公式式為為：：式中中，，f(0+)為待待求求電電流流或或電電壓壓的的初初始始值值，，f(∞∞)為待待求求電電流流或或電電壓壓的的穩(wěn)穩(wěn)態(tài)態(tài)值值，，τ為電電路路的的時(shí)時(shí)間間常常數(shù)數(shù)。。對(duì)于RC電路，時(shí)間常常數(shù)為：對(duì)于RL電路，時(shí)間常常數(shù)為：例：圖示電路路，IS=10mA，，R1=20kΩ，，R2=5kΩ，C=100μF。開關(guān)S閉合之前電路路已處于穩(wěn)態(tài)態(tài)，在t=0時(shí)開關(guān)S閉合。試用三三要素法求開開關(guān)閉合后的的uC。解：（1）求求初始值。因因?yàn)殚_關(guān)S閉合之前電路路已處于穩(wěn)態(tài)態(tài)，故在瞬間間電容C可看作開路，，因此：（2）求穩(wěn)態(tài)態(tài)值。當(dāng)t=∞時(shí)，電容C同樣可看作開開路，因此：：（3）求時(shí)間間常數(shù)τ。將電容支路斷斷開，恒流源源開路，得：時(shí)間常數(shù)為：：（4）求uC。利用三要素公公式，得：例：圖示電路路，US1=9V，US2=6V，R1=6Ω，R2=3Ω，L=1H。開關(guān)S閉合之前電路路已處于穩(wěn)態(tài)態(tài)，在t=0時(shí)開關(guān)S閉合。試用三三要素法求開開關(guān)閉合后的的iL和u2。解：（1）求求初始值。因因?yàn)殚_關(guān)S閉合之前電路路已處于穩(wěn)態(tài)態(tài)，故在瞬間間電感L可看作短路，，因此：（2）求穩(wěn)態(tài)態(tài)值。當(dāng)t=∞時(shí)，電感L同樣可看作短短路，因此：：（3）求時(shí)間間常數(shù)τ。將電感支路斷斷開，恒壓源源短路，得：時(shí)間常數(shù)為：：（4）求iL和u2。利用三要素公公式，得：6.3零零輸入響應(yīng)應(yīng)和零狀態(tài)響響應(yīng)一一階電電路響應(yīng)的分分解根據(jù)電路的工工作狀態(tài)，全全響應(yīng)可分解解為穩(wěn)態(tài)分量量和暫態(tài)分量量，即：全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)態(tài)分量+暫態(tài)態(tài)分量根據(jù)激勵(lì)與響響應(yīng)的因果關(guān)關(guān)系，全響應(yīng)應(yīng)可分解為零零輸入響應(yīng)和和零狀態(tài)響應(yīng)應(yīng)，即：全響應(yīng)=零輸輸入響應(yīng)+零零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)是輸入為零時(shí)時(shí)，由初始狀狀態(tài)產(chǎn)生的響響應(yīng)，僅與初初始狀態(tài)有關(guān)關(guān)，而與激勵(lì)勵(lì)無(wú)關(guān)。零狀態(tài)響應(yīng)是初始狀態(tài)為為零時(shí)，由激激勵(lì)產(chǎn)生的響響應(yīng)，僅與激激勵(lì)有關(guān)，而而與初始狀態(tài)態(tài)無(wú)關(guān)。將一階RC電路中電容電電壓uC隨時(shí)間變化的的規(guī)律改寫為為：零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)將一階RL電路中電感電電流iL隨時(shí)間變化的的規(guī)律改寫為為：零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)例：圖示電路路有兩個(gè)開關(guān)關(guān)S1和S2，t<0時(shí)S1閉合，S2打開，電路處處于穩(wěn)態(tài)。t=0時(shí)S1打開，S2閉合。已知IS=2.5A，，US=12V，R1=2Ω，R2=3Ω，R3=6Ω，C=1F。求換路后的電電容電壓uC，并指出其穩(wěn)態(tài)態(tài)分量、暫態(tài)態(tài)分量、零輸輸入響應(yīng)、零零狀態(tài)響應(yīng)，，畫出波形圖圖。解：（1）全全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)態(tài)分量+暫態(tài)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量初始值時(shí)間常數(shù)暫態(tài)分量全響應(yīng)（2）全響應(yīng)應(yīng)=零輸入響響應(yīng)+零狀態(tài)態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)一一階電電路的零輸入入響應(yīng)1．RC電路的零輸入入響應(yīng)圖示電路，換換路前開關(guān)S置于位置1，，電容上已充充有電壓。t=0時(shí)開關(guān)S從位置1撥到到位置2，使使RC電路脫離電源源。根據(jù)換路路定理，電容容電壓不能突突變。于是，，電容電壓由由初始值開始始，通過(guò)電阻阻R放電，在電路路中產(chǎn)生放電電電流iC。隨著時(shí)間增長(zhǎng)長(zhǎng)，電容電壓壓uC和放電電流iC將逐漸減小，，最后趨近于于零。這樣，，電容存儲(chǔ)的的能量全部被被電阻所消耗耗?？梢婋娐仿窊Q路后的響響應(yīng)僅由電容容的初始狀態(tài)態(tài)所引起，故故為零輸入響響應(yīng)。由初始始值uC(0+)=U0，穩(wěn)態(tài)值值uC(∞)=0，時(shí)間常常數(shù)τ=RC，運(yùn)用三三要素素法得得電容容電壓壓：放電電電流放電過(guò)過(guò)程的的快慢慢是由由時(shí)間間常數(shù)數(shù)τ決定。。τ越大，，在電電容電電壓的的初始始值U0一定的的情況況下，，C越大，，電容容存儲(chǔ)儲(chǔ)的電電荷越越多，，放電電所需需的時(shí)時(shí)間越越長(zhǎng)；；而R越大，，則放放電電電流就就越小小，放放電所所需的的時(shí)間間也就就越長(zhǎng)長(zhǎng)。相相反，，τ越小，，電容容放電電越快快，放放電過(guò)過(guò)程所所需的的時(shí)間間就越越短。。從理論論上講講，需需要經(jīng)經(jīng)歷無(wú)無(wú)限長(zhǎng)長(zhǎng)的時(shí)時(shí)間，，電容容電壓壓uC才衰減減到零零，電電路到到達(dá)穩(wěn)穩(wěn)態(tài)。。但實(shí)實(shí)際上上，uC開始時(shí)時(shí)衰減減得較較快，，隨著著時(shí)間間的增增加，，衰減減得越越來(lái)越越慢。。經(jīng)過(guò)過(guò)t=(3~5)τ的時(shí)間間，uC已經(jīng)衰衰減到到可以以忽略略不計(jì)計(jì)的程程度。。這時(shí)時(shí)，可可以認(rèn)認(rèn)為暫暫態(tài)過(guò)過(guò)程已已經(jīng)基基本結(jié)結(jié)束，，電路路到達(dá)達(dá)穩(wěn)定定狀態(tài)態(tài)。2．RL電路的的零輸輸入響響應(yīng)圖示電電路，，換路路前開開關(guān)S置于位位置1，電電路已已處于于穩(wěn)態(tài)態(tài)，電電感中中已有有電流流。在在t=0時(shí)，開開關(guān)S從位置置1撥撥到位位置2，使使RL電路脫脫離電電源。。根據(jù)據(jù)換路路定理理，電電感電電流不不能突突變。。于是是，電電感由由初始始儲(chǔ)能能開始始，通通過(guò)電電阻R釋放能能量。。隨著著時(shí)間間的增增長(zhǎng)，，電感感電流流iL將逐漸漸減小小，最最后趨趨近于于零。。這樣樣，電電感存存儲(chǔ)的的能量量全部部被電電阻所所消耗耗?？煽梢婋婋娐窊Q換路后后的響響應(yīng)僅僅由電電感的的初始始狀態(tài)態(tài)所引引起，，故為為零輸輸入響響應(yīng)。。由初始始值iL(0+)=I0，穩(wěn)態(tài)值值iL(∞)=0，時(shí)間常常數(shù)τ=L/R，運(yùn)用三三要素素法得得電感感電流流：電感兩兩端的的電壓壓RL電路暫暫態(tài)過(guò)過(guò)程的的快慢慢也是是由時(shí)時(shí)間常常數(shù)τ來(lái)決定定的。。τ越大，，暫態(tài)態(tài)過(guò)程程所需需的時(shí)時(shí)間越越長(zhǎng)。。相反反，τ越小，，暫態(tài)態(tài)過(guò)程程所需需的時(shí)時(shí)間就就越短短。且且經(jīng)過(guò)過(guò)t=(3~5)τ的時(shí)間間，iL已經(jīng)衰衰減到到可以以忽略略不計(jì)計(jì)的程程度。。這時(shí)時(shí)，可可以認(rèn)認(rèn)為暫暫態(tài)過(guò)過(guò)程已已經(jīng)基基本結(jié)結(jié)束，，電路路到達(dá)達(dá)穩(wěn)定定狀態(tài)態(tài)。一一階電電路的的零狀狀態(tài)響響應(yīng)1．RC電路的的零狀狀態(tài)響響應(yīng)圖示電電路，，換路路前開開關(guān)S置于位位置1，電電路已已處于于穩(wěn)態(tài)態(tài)，電電容沒沒有初初始儲(chǔ)儲(chǔ)能。。t=0時(shí)開關(guān)關(guān)S從位置置1撥撥到位位置2，RC電路接接通電電壓源源US。根據(jù)換換路定定理，，電容容電壓壓不能能突變變。于于是US通過(guò)R對(duì)C充電，，產(chǎn)生生充電電電流流iC。隨著時(shí)時(shí)間增增長(zhǎng)，，電容容電壓壓uC逐漸升升高，，充電電電流流iC逐漸減減小。。最后后電路路到達(dá)達(dá)穩(wěn)態(tài)態(tài)時(shí)，，電容容電壓壓等于于US，充電電電流等等于零零。可可見電電路換換路后后的初初始儲(chǔ)儲(chǔ)能為為零，，響應(yīng)應(yīng)僅由由外加加電源源所引引起，，故為為零狀狀態(tài)響響應(yīng)。。由初始始值uC(0+)=0，穩(wěn)態(tài)值值uC(∞)=US，時(shí)間常數(shù)τ=RC，運(yùn)用三要素素法得電容容電壓：充電電流RC電路充電過(guò)過(guò)程的快慢慢也是由時(shí)時(shí)間常數(shù)τ來(lái)決定的，，τ越大，電容容充電越慢慢，過(guò)渡過(guò)過(guò)程所需的的時(shí)間越長(zhǎng)長(zhǎng)；相反，，τ越小，電容容充電越快快，過(guò)渡過(guò)過(guò)程所需的的時(shí)間越短短。同樣，，可以根據(jù)據(jù)實(shí)際需要要來(lái)調(diào)整電電路中