函數對稱性、周期性與單調性、奇偶性的綜合應用 講義-高三數學二輪專題復習

第9頁共9頁函數對稱性、周期性與單調性、奇偶性的綜合應用-高三數學二輪復習知識點與方法總結函數的對稱性1：函數的軸對稱①函數關于對稱若函數y＝f(x＋a)是偶函數也可以寫成或.②圖象關于直線對稱.2：函數的中心對稱①函數關于點(a,0)對稱f(a+x)+f(a-x)=0若函數y＝f(x＋a)是奇函數.也可以寫成：f(2a+x)+f(-x)=0,f(2a-x)+f(x)=0②f(a+x)+f(a-x)=2b,圖象關于(a,b)對稱.③f(a+x)+f(b-x)=2t,圖象關于(,t)對稱.二、函數的周期性：對于定義域內的每一個，都存在非零常數，使得恒成立，則稱函數具有周期性，叫做的一個周期，①若f(x)（），則T＝a；f(x+ka)；②若f(x＋a)＝－f(x)（），則T＝2a；③若f(x＋a)＝f(x＋b)（0<），則T＝b-a;f(x+k(b-a))；④若f(x＋a)＝k，則T＝2a(a>0)；⑤若(a>0)．T＝2a,進而；⑥若(a>0)．T＝4a,進而f(x+4ka)；⑦函數滿足（），若為奇函數，則其周期為,若為偶函數，則其周期為；函數滿足f(a+x)＝-f(a-x)（），若為奇函數，則其周期為,若為偶函數，則其周期為T＝4a；函數滿足f(a+x)＝-f(a-x),若f(x＋b)＝-f(b-x)(b>a>0)，則其周期為T=;函數滿足f(a+x)＝-f(a-x),若f(x＋b)＝f(b-x)(b>a>0)，則其周期為T=;⑧函數的圖象關于直線和都對稱，則函數是以為周期的周期函數；函數滿足f(a+x)＝-f(a-x)（），若為奇函數，則其周期為；⑨函數的圖象關于兩點、都對稱，則函數是以為周期的周期函數；⑩函數的圖象關于和直線都對稱，則函數是以為周期的周期函數；題型歸納【題模1】：函數的對稱性【題模2】：函數的周期性【題模3】：函數的奇偶性與周期性【題模4】：函數的奇偶性與對稱性【題模5】：函數對稱性、周期性與單調性、奇偶性的綜合應用專題訓練【題模1】：函數的對稱性【講透例題】1、已知定義在R上的函數f（x）滿足f（2-x）=f（2+x），f（1）=2，則f（x1）=f（x2），則=（）A．4 B．2 C．-2 D．2、設函數的定義域為A，且滿足任意恒有的函數是A． B． C． D．3、設函數的定義域為D，若對任意的，且，恒有，則稱函數具有對稱性，其中點為函數的對稱中心，研究函數的對稱中心，求（

）A．2022 B．4043 C．4044 D．80864、已知函數的定義域為，且為奇函數，當時，，則的所有根之和等于（

）A． B． C． D．5、已知函數是偶函數，當時，恒成立，設，，，則，，的大小關系為（

）A．B．C．D．6、若函數滿足，且在單調遞增，則實數的最小值等于_______．【相似題練習】1、設函數，則滿足的的取值范圍是（

）A． B． C． D．2、若直線過函數圖象的對稱中心，則最小值為（）A．4 B．6 C．8 D．93、函數的圖象關于（）A．點對稱B．直線對稱C．點對稱D．直線對稱4、下列函數中，其圖像與函數的圖像關于直線對稱的是A． B． C． D．5、已知定義域為的函數滿足，，則函數的解析式可以是______.【題模2】：函數的周期性【講透例題】1、已知定義域為R的函數滿足，且當時，，則（）A． B． C． D．02、已知函數滿足，當時，有，則當x∈（-3，-2）時，等于（）A． B． C． D．3、定義在R上的函數f(x)滿足f(x)=，則f（2021）的值為()A.-1B.0C.1D.2【相似題練習】1、定義在上的函數對任意，都有，，則f(2022)=____.2、定義在上的函數對任意，都有，且當時，，則f(-2021)+f(2021)=．3、若定義在R上的偶函數f

(x)滿足f

(x)>0，f

(x＋2)＝eq\f(1,f

x)對任意x∈R恒成立，則f

(2023)＝________.【題模3】：函數的奇偶性與周期性【講透例題】1、已知是R上的偶函數，對任意R，都有，且，則的值為（）A．0 B． C．2 D．62、（多選）函數的定義域為，且與都為奇函數，則（）A．為奇函數 B．為周期函數C．為奇函數 D．為偶函數3．（多選）已知函數是定義在上的奇函數，對都有成立，當且時，有，則下列說法正確的是（）A． B．在上有5個零點C．f(2023)=0 D．直線是函數圖象的一條對稱軸4、已知奇函數滿足，且當時，，則.5、已知函數是定義在R上的奇函數，且滿足，當時，，則=（

）A． B． C． D．6、函數是定義在上的偶函數，且，則（

）A．-1 B．0 C．1 D．27、設函數f(x)(x∈R)滿足f(x＋π)＝f(x)＋sinx．當0≤x<π時，f(x)＝0，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(23π,6)))＝_____.【相似題練習】1、已知偶函數的定義域為R，滿足，且當，則_____.2、已知定義在上的奇函數滿足，且在上有，則f(2023)=.3、定義在實數集上的奇函數恒滿足，且時，，則=____________4、定義在上的偶函數滿足，且當時，，則（）A． B． C． D．5、已知函數是定義在上的偶函數，，若對任意，都有，對任意且，都有，則____________．6、設f(x)是定義在R上周期為4的奇函數，若在區(qū)間[－2,0)∪(0,2]上，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b，－2≤x<0，,ax－1，0<x≤2，))則f(2019)＝________.7、（多選）已知函數是上的奇函數，且滿足，當時，．則下列四個命題中正確的是（）A．函數為奇函數B．函數為偶函數C．函數的周期為8D．函數在區(qū)間上有4個零點8、已知兩個函數和，下列說法正確的是（）A．兩個函數的定義域相同 B．兩個函數都是奇函數C．兩個函數的周期相同 D．兩個函數的值域相同【題模4】：函數的奇偶性與對稱性【講透例題】1、已知函數的定義域為，且為奇函數，當時，，則的所有根之和等于（

）A． B． C． D．2、（多選）已知為奇函數，且，當時，，則（）A．的圖象關于對稱 B．的圖象關于對稱C． D．3、已知定義域為的函數存在導函數，且滿足，則曲線在點處的切線方程可能是（

）A． B． C． D．y=-x+1【相似題練習】1、（多選）已知函數為偶函數，且，則下列結論一定正確的是（）A．的圖象關于點中心對稱 B．是周期為的周期函數C．的圖象關于直線軸對稱 D．為偶函數2、己知是定義在上的偶函數，且函數的圖像關于原點對稱，若，則的值為（

）A．0 B．1 C． D．2【題模5】：函數對稱性、周期性與單調性、奇偶性的綜合應用【講透例題】1、已知函數的定義域R，直線x=2和x=3是曲線的對稱軸，且f（2022）=1，則．2、已知f（x）是定義域為（-∞，+∞）的奇函數，滿足f（1-x）=f（1+x），f（1）=2，則f（-1）+f（3）=（）A．4 B．0 C．-2 D．3、關于函數圖象的對稱性與周期性，有下列說法：①若函數y＝f(x)滿足f(x＋1)＝f(3＋x)，則f(x)的一個周期T＝2；②若函數y＝f(x)滿足f(x＋1)＝f(3－x)，則f(x)的圖象關于直線x＝2對稱；③函數y＝f(x＋1)與函數y＝f(3－x)的圖象關于直線x＝2對稱；④若函數y＝eq\f(1,x＋1)與函數f(x)的圖象關于原點對稱，則f(x)＝eq\f(1,x－1).其中正確的個數是()A．1 B．2 C．3 D．44、已知是定義域為的奇函數，滿足f

(2－x)＝f

(x)＋f

(2)，若，則

）A．0 B．1 C．2 D．20215、（多選）已知定義在R上的偶函數滿足，且在上單調遞減，則下列結論正確的是（）A． B．在上單調遞增C．f(2021)=f(2023) D．可以是6、已知定義在R上的偶函數滿足，當時，則（）A． B．C． D．7、已知定義在R上的奇函數，滿足,且在區(qū)間[0,2]上是增函數,則().A.B.C.D.8、（多選）已知定義在上的偶函數滿足，且當時，是減函數，則下列四個命題中正確的是（

）A．B．直線為函數圖象的一條對稱軸C．函數在區(qū)間上存在2個零點D．若在區(qū)間上的根為，則9、已知函數y=f(x)是R上的奇函數，函數y=g(x)是R上的偶函數，且f(x)=g(x+2)，當0x2時，g(x)=x?2，則g(10.5)的值為A．1.5B．8.5C．－0.5D．0.510、設函數的定義域為，為偶函數，為奇函數，當時，.若，則（

）A． B． C． D．【相似題練習】1、已知是R上的奇函數，且，當，，且時，，則當時，不等式的解集為（

）A． B．C． D．2、已知定義在R上的函數f（x）滿足：（1）f（x）+f（2﹣x）=0，（2）f（x﹣2）=f（﹣x），（3）在[﹣1，1]上表達式為f（x）=，則函數f（x）與函數g（x）=的圖象區(qū)間[﹣3，3]上的交點個數為（）A．5 B．6 C．7 D．83、對于定義在R上的函數，有下述四個命題：①若是奇函數，則的圖象關于點A（1，0）對稱；②若對xR，有，則的圖象關于直線對稱；③若函數的圖象關于直線對稱，則為偶函數；④函數與函數的圖象關于直線對稱。其中正確命題的序號為__________（把你認為正確命題的序號都填上）4、已知函數是上的偶函數，且的圖象關于點對稱，當時，，則的值為（

） B． C． D．25、已知定義在R上的奇函數f(x)滿足feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－x))＝f(x)，f(－2)＝－