高數(shù) 第十一章 無(wú)窮級(jí)數(shù)第四講 冪級(jí)數(shù)

第四講冪級(jí)數(shù)授課題目(章節(jié))：§11.3冪級(jí)數(shù)教學(xué)目的與要求：了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念；掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂域的求法；了解冪級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的基本性質(zhì)，會(huì)求冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂域的求法講授內(nèi)容：一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念定義1.u(x),u(x),,u(x)是定義在區(qū)間I上的函數(shù)列，稱和式12nu(x)+u(x)++u(x)+為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù)，記為￡u(x)TOC\o"1-5"\h\z1 2 n n??????n=1定義2.若xeI.,.常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)u(x)收斂，則稱x為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)藝u(x)的收斂點(diǎn);0 n0 0 nn=1若xeI，常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)u(x)發(fā)散，則稱x為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)藝u(x)的發(fā)散點(diǎn)；

0 n0 0 nn=1藝u(x)的收斂點(diǎn)(發(fā)散點(diǎn))的全體稱為藝u(x)的收斂域(發(fā)散域)。nnn=1 n=1定義3.在收斂域上，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)藝u(x)的和是關(guān)于x的函數(shù)，稱之為和函數(shù)s(x)。nn=1即在收斂域上，￡u(x)=s(x)nn=1例求函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1+x+x2+ +xn+的收斂域及和函數(shù)。二、冪級(jí)數(shù)及其收斂域定義4.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)a+a.x+ax2土+axn+稱為關(guān)于x的幕級(jí)數(shù)，記為0 1 2 n藝axn；(x=0時(shí)，藝axn收斂)nnTOC\o"1-5"\h\zn=0 n=0函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)a+a(x-x)+a(x-x)2++a(x-x)n+稱為關(guān)于(x-x)的幕0 1 0 2 0 n0 0級(jí)數(shù)，記為無(wú)a(x一x)n。\o"CurrentDocument"n 0??????n=0定理1.(Abell定理)如果幕級(jí)數(shù)無(wú)axn當(dāng)x=x(x豐0)時(shí)收斂，則IxI<IxI時(shí),n 0 0 0n=0無(wú)axn絕對(duì)收斂；如果區(qū)axn當(dāng)x=x時(shí)發(fā)散，則IxI>IxI時(shí)，無(wú)axn發(fā)散。n n 0 0 nn=0 n=0 n=0推論如果幕級(jí)數(shù)另axn不是僅在x=0一點(diǎn)收斂，也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂，則nn=0必有一個(gè)正數(shù)R，使得當(dāng)Ixl<R時(shí)，幕級(jí)數(shù)藝axn絕對(duì)收斂；nn=0當(dāng)IxI>R時(shí)，幕級(jí)數(shù)無(wú)axn發(fā)散；nn=0當(dāng)x=±R時(shí)，幕級(jí)數(shù)無(wú)axn可能收斂可能發(fā)散。nn=0定義5.正數(shù)R稱為幕級(jí)數(shù)無(wú)axn的收斂半徑；區(qū)間(-R,+R)稱為幕級(jí)數(shù)無(wú)axn的nnn=0 n=0收斂區(qū)間。注：(1)若無(wú)axn僅在x=0一點(diǎn)收斂，則規(guī)定收斂半徑R=0，這時(shí)收斂域?yàn)辄c(diǎn)x=0nn=0(2)若三axn在整個(gè)數(shù)軸上都收斂，則規(guī)定收斂半徑R=+8，這時(shí)收斂域?yàn)閚n=0區(qū)間(一叫+8)；(3)若收斂半徑R>0，則收斂域?yàn)?-R,+R)或(-R,+R］或［-R,+R)或［-R,+R］。收斂半徑的求法：公式法、比值法定理2.如果乞axn滿足定理2.如果乞axn滿足a豐0(n=0,1,2,nnn=0），=limnsa—n^ianpH0P=0P=+8解：①因p=lim\an11I=lim—n?an=1，nsn+1P則收斂半徑R=<0例1、補(bǔ)例1、例5求下列級(jí)數(shù)的收斂域(1)￡(-1)n-1竺nn=1(2)￡2n-ix2n-2n=12n⑶￡住土2nnn=1則R=1。當(dāng)x=-1時(shí)級(jí)數(shù)￡二發(fā)散；當(dāng)x=1時(shí)級(jí)數(shù)nn=1￡耳二收斂，故收斂區(qū)間為（-1,1］。nn=1②lim\(2n+1)X2n- 2 \=旦，當(dāng)\x\v込時(shí)級(jí)數(shù)收斂，當(dāng)\x\＞込時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散,n? 2n+1 (2n-1)x2n-2 2則R=込。x=±“2時(shí)級(jí)數(shù)￡占均發(fā)散，故收斂區(qū)間為（-込，込）。2n=1③設(shè)t=x-1，級(jí)數(shù)可改寫為￡，因p=lim\an11\=lim2- =丄，則R=2。n=12n-n nwan n*2n+1（n+1）2當(dāng)t=-2時(shí)級(jí)數(shù)￡V1上收斂，當(dāng)t=2時(shí)級(jí)數(shù)￡-發(fā)散，故收斂區(qū)間為［-1,3］。nnn=1 n=1例2求冪級(jí)數(shù)1+ xn+n!的收斂區(qū)間。三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算加減運(yùn)算：藝axn,藝bxn的收斂半徑分別為R,R,R二min(R,R)TOC\o"1-5"\h\zn n 1 2 1 2n=0 n=0貝0藝axn±Sbxn=S(a土b)xn,xg(一R,+R)n n nnn=0 n=0 n=0和函數(shù)的性質(zhì)：性質(zhì)1幕級(jí)數(shù)Saxn的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù)。nn=0性質(zhì)2幕級(jí)數(shù)Saxn的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(-R,+R)上可積，并有逐項(xiàng)積分公nn=0式Jxs(x)dxJxs(x)dx=Jx藝00axnnn=0dx=SJxaxndx=n=0Ea——n 兀農(nóng)+1n+1n=0收斂半徑不變)性質(zhì)3幕級(jí)數(shù)藝axn的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(-R,+R)上可導(dǎo)，并且有逐項(xiàng)求導(dǎo)nn=0公式s，(x)=s，(x)=(Saxn)，=S(axn)，=Snn=0nn=0naxn-1nn=0收斂半徑不變)例6求S汩的和函數(shù)。n=0解：設(shè)s(x)=為 ，則有xs(x)=為 ，逐項(xiàng)求導(dǎo)得：[xs(x)]'=為xn=—(-1<x<1),解：n+1 n+1 1-x^一^0<lxl<lx，^一^0<lxl<lx，x=0兩端同時(shí)積分得：xs(x)=Jx =-ln(1-x)，顯然s(0)=1，則s(x)=<01-x由和函數(shù)的連續(xù)性知，s(x)在(-1,1)內(nèi)連續(xù)。補(bǔ)例2求幕級(jí)數(shù)為nxn-1的