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數(shù)學分析(一)試卷1專業(yè)級班,學號姓名得分題號一二三四五六七八總分統(tǒng)分復核得分得分評閱人復核人填空(共15分,每題5分):設,;設;設在,。得分評閱人復核人計算下列極限:(共20分,每題5分);;;。得分評閱人復核人計算導數(shù)(共15分,每題5分):設得分評閱人復核人(12分)設,滿足:證明:收斂,并求得分評閱人復核人(10分)求橢圓處方程。得分評閱人復核人(10分)利用Cauchy收斂原理證明:單調有界數(shù)列必收斂。得分評閱人復核人(8分)設得分評閱人復核人(10分)設為實常數(shù),證明:數(shù)學分析(一)試卷1答案填空(共15分,每題5分):設1,0;設;設在1,0。計算下列極限:(共20分,每題5分);解:由于又故;解:由stolz定理,;解:。解:計算導數(shù)(共15分,每題5分):解:解:設解:由Leibniz公式(12分)設,滿足:證明:收斂,并求解:(1)證明:易見,從而有:,故單調減少,且有下界。所以收斂。(2)求:設,由(1)知:。在兩邊同時取極限得解之得,即。(10分)求橢圓處方程。解:在方程兩邊對求導數(shù)得:故從而,所以橢圓處方程為,即(10分)利用Cauchy收斂原理證明:單調有界數(shù)列必收斂。證明:設單調有界,不妨設單調增加。假定不收斂,則由Cauchy收斂原理,存在常數(shù),于是令存在,再令存在,…………一般地令存在,…………這樣得到的一個子列:滿足:。從而有,,由此式遞推可知:因而無界,與條件矛盾,故收斂。(8分)設證明:1.由條件知,,故:,,可見2.
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