第七 方差分析

會計(jì)學(xué)1第七方差分析

因此，食品制造商可以對麥片成份及甜味劑類型給予充分的關(guān)注以生產(chǎn)更合兒童口味的麥片，而對制作時間不必太介意。

方差分析可以用來分析不同因素（如上例中小麥與玉米的比例、甜味劑類型、制作時間）對總體特征是否有顯著影響。所以叫方差分析，因?yàn)殡m然我們感興趣的是均值，但在判斷均值之間是否有差異時則需要借助于方差這個名字也表示：它是通過對數(shù)據(jù)誤差來源的分析判斷不同總體的均值是否相等。因此，進(jìn)行方差分析時，需要考察數(shù)據(jù)誤差的來源第1頁/共45頁

方差分析主要用來對多個總體均值是否相等作出假設(shè)檢驗(yàn)。

例：某飲料制造商生產(chǎn)一種新型飲料，共有四種顏色：(1)橘黃、(2)粉紅、(3)綠色、(4)無色。該制造商想知道顏色是否對銷售量有顯著影響，隨機(jī)抽取了5家超市前一期的銷售量（下表）進(jìn)行分析。

一、方差分析的內(nèi)容第2頁/共45頁

下表四種飲料銷售量情況

樣本均值27.3229.5626.4431.46

樣本方差2.672.143.311.66

樣本標(biāo)準(zhǔn)差1.641.461.821.29四種顏色可以看作是四個總體第3頁/共45頁其中，i(I=1,2,3,4)

表示所有飲料（無色、粉紅、橘黃、綠色）銷售量之均值。樣本來自于一個相同的總體樣本來自于不同的總體

要知道顏色是否對飲料銷售有顯著影響，就是要知道四種顏色飲料銷售量的均值是否有顯著差異，即進(jìn)行下述假設(shè)檢驗(yàn)：

H0:1=2=3=4H1:四個總體均值不全相等第4頁/共45頁

1、相關(guān)術(shù)語

因素：是一個獨(dú)立的變量，是方差分析的研究對象（上例中的飲料顏色）；

二、方差分析的假設(shè)

單因素方差分析：只針對一個因素進(jìn)行分析；

多因素方差分析：同時針對多個因素進(jìn)行分析。

水平：因素中的內(nèi)容（上例中飲料的四種顏色：無色、粉色、橘黃色、綠色）第5頁/共45頁2、進(jìn)行方差分析必須滿足如下假設(shè)

（1）每個總體的相應(yīng)變量（因素）服從正態(tài)分布對于因素的每一個水平，其觀察值是來自服從正態(tài)分布總體的簡單隨機(jī)樣本比如，每種顏色飲料的銷售量必需服從正態(tài)分布（2）所有總體相應(yīng)變量（因素）的方差相等2對于各組觀察數(shù)據(jù)，是從具有相同方差的總體中抽取的比如，四種顏色飲料的銷售量的方差都相同（3）不同觀察值（水平）相互獨(dú)立（每個樣本點(diǎn)的取值不影響其他樣本點(diǎn)的取值）比如，每個超市的銷售量都與其他超市的銷售量獨(dú)立第6頁/共45頁在上述假定條件下，判斷顏色對銷售量是否有顯著影響，實(shí)際上也就是檢驗(yàn)具有同方差的四個正態(tài)總體的均值是否相等的問題如果四個總體的均值相等，可以期望四個樣本的均值也會很接近四個樣本的均值越接近，我們推斷四個總體均值相等的證據(jù)也就越充分樣本均值越不同，我們推斷總體均值不同的證據(jù)就越充分第7頁/共45頁如果原假設(shè)成立，即H0:m1=m2=m3=m4四種顏色飲料銷售的均值都相等沒有系統(tǒng)誤差

這意味著每個樣本都來自均值為、差為2的同一正態(tài)總體

Xf(X)1

2

3

4

第8頁/共45頁如果備擇假設(shè)成立，即H1:mi(i=1，2，3，4)不全相等至少有一個總體的均值是不同的有系統(tǒng)誤差這意味著四個樣本分別來自均值不同的四個正態(tài)總體Xf(X)3

1

2

4

第9頁/共45頁

觀察值之間的差異來自兩個方面：某因素不同水平的影響（系統(tǒng)性影響）其他隨機(jī)因素的影響（隨機(jī)性影響）水平間方差（組間方差）水平內(nèi)方差（組內(nèi)方差）三、方差分析的原理

如果原假設(shè)成立：說明某因素不同水平的影響不顯著（無系統(tǒng)性影響），只剩下隨機(jī)性影響，因此組間方差與組內(nèi)方差差別不大，它們的比接近于1。

如果原假設(shè)不成立：說明某因素不同水平的影響顯著（存在系統(tǒng)性影響），組間方差與組內(nèi)方差差別較大，它們的比遠(yuǎn)超出1。第10頁/共45頁二、單因素方差分析的步驟提出假設(shè)構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)決策第11頁/共45頁提出假設(shè)一般提法H0:m1=m2=…=

mk(因素有k個水平）H1:m1

，m2

，…

，mk不全相等對前面的例子H0:m1=m2=m3=

m4顏色對銷售量沒有影響H0:m1

，m2

，m3，m4不全相等顏色對銷售量有影響第12頁/共45頁構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為檢驗(yàn)H0是否成立，需確定檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量需要計(jì)算水平的均值全部觀察值的總均值離差平方和均方(MS)第13頁/共45頁構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算水平的均值)假定從第i個總體中抽取一個容量為ni的簡單隨機(jī)樣本，第i個總體的樣本均值為該樣本的全部觀察值總和除以觀察值的個數(shù)計(jì)算公式為式中：ni為第i個總體的樣本觀察值個數(shù)

xij為第i個總體的第j個觀察值

第14頁/共45頁構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算全部觀察值的總均值)全部觀察值的總和除以觀察值的總個數(shù)計(jì)算公式為第15頁/共45頁構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(前例計(jì)算結(jié)果)表8-2四種顏色飲料的銷售量及均值超市(j)水平A(i)無色(A1)粉色(A2)橘黃色(A3)綠色(A4)1234526.528.725.129.127.231.228.330.827.929.627.925.128.524.226.530.829.632.431.732.8合計(jì)136.6147.8132.2157.3573.9水平均值觀察值個數(shù)x1=27.32n1=5x2=29.56n2=5x3=26.44n3=5x4=31.46n4=5總均值x=28.695第16頁/共45頁構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算總離差平方和SST)全部觀察值與總平均值的離差平方和反映全部觀察值的離散狀況其計(jì)算公式為

前例的計(jì)算結(jié)果：

SST=(26.5-28.695)2+(28.7-28.695)2+…+(32.8-28.695)2=115.9295第17頁/共45頁構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算誤差項(xiàng)平方和SSE)每個水平或組的各樣本數(shù)據(jù)與其組平均值的離差平方和反映每個樣本各觀察值的離散狀況，又稱組內(nèi)離差平方和該平方和反映的是隨機(jī)誤差的大小計(jì)算公式為

前例的計(jì)算結(jié)果：SSE=39.084第18頁/共45頁構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算水平項(xiàng)平方和SSA)各組平均值與總平均值的離差平方和反映各總體的樣本均值之間的差異程度，又稱組間平方和該平方和既包括隨機(jī)誤差，也包括系統(tǒng)誤差計(jì)算公式為

前例的計(jì)算結(jié)果：SSA=76.8455第19頁/共45頁構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(三個平方和的關(guān)系)總離差平方和(SST)、誤差項(xiàng)離差平方和(SSE)、水平項(xiàng)離差平方和(SSA)之間的關(guān)系SST=SSE+SSA第20頁/共45頁構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(三個平方和的作用)

SST反映了全部數(shù)據(jù)總的誤差程度；SSE反映了隨機(jī)誤差的大??；SSA反映了隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差的大小如果原假設(shè)成立，即H1＝H2

＝…＝Hk為真，則表明沒有系統(tǒng)誤差，組間平方和SSA除以自由度后的均方與組內(nèi)平方和SSE和除以自由度后的均方差異就不會太大；如果組間均方顯著地大于組內(nèi)均方，說明各水平(總體)之間的差異不僅有隨機(jī)誤差，還有系統(tǒng)誤差判斷因素的水平是否對其觀察值有影響，實(shí)際上就是比較組間方差與組內(nèi)方差之間差異的大小為檢驗(yàn)這種差異，需要構(gòu)造一個用于檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量第21頁/共45頁構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算均方MS)各離差平方和的大小與觀察值的多少有關(guān)，為了消除觀察值多少對離差平方和大小的影響，需要將其平均，這就是均方，也稱為均方差計(jì)算方法是用離差平方和除以相應(yīng)的自由度三個平方和的自由度分別是SST的自由度為n-1，其中n為全部觀察值的個數(shù)SSA的自由度為k-1，其中k為因素水平(總體)的個數(shù)SSE的自由度為n-k第22頁/共45頁構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算均方MS)

SSA的均方也稱組間方差，記為MSA，計(jì)算公式為

SSE的均方也稱組內(nèi)方差，記為MSE，計(jì)算公式為第23頁/共45頁構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量F)將MSA和MSE進(jìn)行對比，即得到所需要的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F當(dāng)H0為真時，二者的比值服從分子自由度為k-1、分母自由度為n-k的F分布，即第24頁/共45頁構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(F分布與拒絕域)如果均值相等，F(xiàn)=MSA/MSE1a

F分布F(k-1,n-k)0拒絕H0不能拒絕H0F第25頁/共45頁

對原假設(shè)：H0:1=2=3=4

及備擇假設(shè)：

H1:四個總體均值不全相等計(jì)算F值：

F=MSA/MSE=25.6152/2.4428=10.486

給出顯著性水平：=0.05，查F(r-1,n-r)分布表臨界值：3.24

由于計(jì)算的F=10.486>3.24

，拒絕原假設(shè)，從而得出：顏色對該公司飲料銷售有顯著影響。第26頁/共45頁第27頁/共45頁三、雙因素方差分析

分析兩個因素(因素A和因素B)對試驗(yàn)結(jié)果的影響分別對兩個因素進(jìn)行檢驗(yàn)，分析是一個因素在起作用，還是兩個因素都起作用，還是兩個因素都不起作用如果A和B對試驗(yàn)結(jié)果的影響是相互獨(dú)立的，分別判斷因素A和因素B對試驗(yàn)指標(biāo)的影響，這時的雙因素方差分析稱為無交互作用的雙因素方差分析如果除了A和B對試驗(yàn)結(jié)果的單獨(dú)影響外，因素A和因素B的搭配還會對銷售量產(chǎn)生一種新的影響，這時的雙因素方差分析稱為有交互作用的雙因素方差分析對于無交互作用的雙因素方差分析，其結(jié)果與對每個因素分別進(jìn)行單因素方差分析的結(jié)果相同第28頁/共45頁雙因素方差分析中需假設(shè)兩個因素不交互作用，即各自獨(dú)立地發(fā)揮影響作用。

（一）數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)

雙因素方差分析第29頁/共45頁雙因素方差分析的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是因素A的第i個水平下各觀察值的平均值是因素B的第j個水平下的各觀察值的均值是全部kr個樣本數(shù)據(jù)的總平均值第30頁/共45頁雙因素方差分析的步驟第31頁/共45頁提出假設(shè)對因素A提出的假設(shè)為H0:m1=m2

=

…=mi=…=

mk(mi為第i個水平的均值)H1:mi

(i=1,2,…,k)不全相等對因素B提出的假設(shè)為H0:m1=m2

=

…=mj=…=

mr(mj為第j個水平的均值)H1:mj

(j=1,2,…,r)不全相等第32頁/共45頁構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量為檢驗(yàn)H0是否成立，需確定檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量需要計(jì)算總離差平方和水平項(xiàng)平方和誤差項(xiàng)平方和均方第33頁/共45頁構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算總離差平方和SST)全部觀察值與總平均值的離差平方和反映全部觀察值的離散狀況計(jì)算公式為第34頁/共45頁構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算SSA、SSB和SSE)因素A的離差平方和SSA因素B的離差平方和SSB誤差項(xiàng)平方和SSE第35頁/共45頁構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(各平方和的關(guān)系)總離差平方和(SST)、水平項(xiàng)離差平方和(SSA和SSB)、誤差項(xiàng)離差平方和(SSE)之間的關(guān)系SST=SSA+SSB+SSE

第36頁/共45頁構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算均方MS)各離差平方和的大小與觀察值的多少有關(guān)，為消除觀察值多少對離差平方和大小的影響，需要將其平均，這就是均方，也稱為方差計(jì)算方法是用離差平方和除以相應(yīng)的自由度三個平方和的自由度分別是總離差平方和SST的自由度為kr-1因素A的離差平方和SSA的自由度為k-1因素B的離差平方和SSB的自由度為r-1隨機(jī)誤差平方和SSE的自由度為(k-1)×(r-1)

第37頁/共45頁構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算均方MS)因素A的均方，記為MSA，計(jì)算公式為因素B的均方，記為MSB

，計(jì)算公式為隨機(jī)誤差項(xiàng)的均方，記為MSE

，計(jì)算公式為第38頁/共45頁構(gòu)造檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量

(計(jì)算檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量F)為檢驗(yàn)因素A的影響是否顯著，采用下面的統(tǒng)計(jì)量為檢驗(yàn)因素B的影響是否顯著，采用下面的統(tǒng)計(jì)量第39頁/共45頁統(tǒng)計(jì)決策

將統(tǒng)計(jì)量的值F與給定的顯著性水平的臨界值F進(jìn)行比較，作出接受或拒絕原假設(shè)H0的決策根據(jù)給定的顯著性水平在F分布表中查找相應(yīng)的臨界值F

若FAF

，則拒絕原假設(shè)H0

，表明均值之間的差異是顯著的，即所檢驗(yàn)的因素(A)對觀察值有顯著影響若FBF

，則拒絕原假設(shè)H0

，表明均值之間有顯著差異，即所檢驗(yàn)的因素(B)對觀察值有顯著影響第40頁/共45頁雙因素方差分析表

(基本結(jié)構(gòu))方差來源平方和SS自由度df均方MSF值

因素A

因素B誤差總和SSASSBSSESSTk-1r-1(k-1)(r-1)kr-1MSAMSBMSEFAFB第41頁/共45頁雙因素方差分析

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