2023年安徽省蕪湖市普通高校對口單招高等數學一自考預測試題(含答案)

2023年安徽省蕪湖市普通高校對口單招高等數學一自考預測試題(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.微分方程y'+y=0的通解為()。A.y=ex

B.y=e-x

C.y=Cex

D.y=Ce-x

2.

3.A.-e2x-y

B.e2x-y

C.-2e2x-y

D.2e2x-y

4.A.e-2

B.e-1

C.e

D.e2

5.設z=tan(xy)，則等于()A.A.

B.

C.

D.

6.下列等式成立的是（）。

A.

B.

C.

D.

7.

8.設y=exsinx，則y'''=A.cosx·ex

B.sinx·ex

C.2ex(cosx-sinx)

D.2ex(sinx-cosx)

9.設lnx是f(x)的一個原函數，則f'(x)=A.-1/x

B.1/x

C.-1/x2

D.1/x2

10.當x→0時，x是ln(1+x2)的

A.高階無窮小B.同階但不等價無窮小C.等價無窮小D.低階無窮小

11.f(x)在[a，b]上可導是f(x)在[a，b]上可積的()。

A.充要條件B.充分條件C.必要條件D.無關條件12.曲線y=lnx-2在點(e，-1)的切線方程為()A.A.

B.

C.

D.

13.設f(x)在點x0的某鄰域內有定義，且，則f'(x0)等于()．A.-1B.-1/2C.1/2D.1

14.

15.設k＞0，則級數為()．A.A.條件收斂B.絕對收斂C.發(fā)散D.收斂性與k有關16.設x是f(x)的一個原函數，則f(x)=A.A.x2/2B.2x2

C.1D.C(任意常數)

17.

18.設函數f(x)=arcsinx，則f'(x)等于()．

A.-sinx

B.cosx

C.

D.

19.設函數f(x)與g(x)均在(α，b)可導，且滿足f'(x)＜g'(x)，則f(x)與g(x)的關系是

A.必有f(x)＞g(x)B.必有f(x)＜g(x)C.必有f(x)=g(x)D.不能確定大小

20.在穩(wěn)定性計算中，若用歐拉公式算得壓桿的臨界壓力為Fcr，而實際上壓桿屬于中柔度壓桿，則()。

A.并不影響壓桿的臨界壓力值

B.實際的臨界壓力大于Fcr，是偏于安全的

C.實際的臨界壓力小于Fcr，是偏于不安全的

D.實際的臨界壓力大于Fcr，是偏于不安全的

二、填空題(20題)21.

22.

23.

24.設z=x3y2，則25.函數f(x)=ex，g(x)=sinx，則f[g(x)]=__________。

26.設f(x)=xex，則f'(x)__________。

27.二階常系數線性微分方程y-4y＋4y=0的通解為__________．

28.

29.

30.

31.32.y''-2y'-3y=0的通解是______.33.

34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.三、計算題(20題)41.

42.43.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．44.

45.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發(fā)散，其中常數a>0．46.求微分方程的通解．

47.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

48.49.設平面薄板所占Oxy平面上的區(qū)域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．50.求函數一的單調區(qū)間、極值及其曲線的凹凸區(qū)間和拐點．

51.已知某商品市場需求規(guī)律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

52.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區(qū)間和極值．53.證明：54.求曲線在點(1，3)處的切線方程．

55.

56.57.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則58.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區(qū)域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

59.求函數y=x-lnx的單調區(qū)間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．

60.

四、解答題(10題)61.

62.

63.求直線y=2x+1與直線x=0，x=1和y=0所圍平面圖形的面積，并求該圖形繞x軸旋轉一周所得旋轉體的體積。

64.

65.

66.在曲線y=x2(x≥0)上某點A(a，a2)處作切線，使該切線與曲線及x軸所圍成的圖形的面積為1/12．試求：(1)切點A的坐標((a，a2)．(2)過切點A的切線方程．67.設y=y(x)由方程X2+2y3+2xy+3y-x=1確定，求y'．68.

69.求曲線y=x3+2過點(0，2)的切線方程，并求該切線與曲線及直線x=1所圍成的平面圖形D的面積S。

70.五、高等數學(0題)71.設f(x)在x=a某鄰域內連續(xù)且f(a)為極大值，則存在δ>0，當x∈(a一δ，a+δ)時，必有()。A.(x—a)[f(x)一f(a)]≥0

B.(x—a)[f(x)一f(a)]≤0

C.

D.

六、解答題(0題)72.(本題滿分10分)設F(x)為f(x)的－個原函數，且f(x)＝xlnx，求F(x)．

參考答案

1.D可以將方程認作可分離變量方程；也可以將方程認作一階線性微分方程；還可以仿二階線性常系數齊次微分方程，并作為特例求解。解法1將方程認作可分離變量方程。分離變量

兩端分別積分

或y=Ce-x解法2將方程認作一階線性微分方程．由通解公式可得解法3認作二階常系數線性齊次微分方程特例求解：特征方程為r+1=0，特征根為r=-1，方程通解為y=Ce-x。

2.C

3.C本題考查了二元函數的高階偏導數的知識點。

4.D由重要極限公式及極限運算性質，可知故選D．

5.B本題考查的知識點為偏導數運算．

由于z=tan(xy)，因此

可知應選A．

6.C

7.B

8.C由萊布尼茨公式，得（exsinx)'''=(ex)'''sinx+3(ex)''(sinx)'+3(ex)'(sinx)''+ex(sinx)'''=exsinx+3excosx+3ex(-sinx)+ex(-cosx)=2ex(cosx-sinx).

9.C

10.D解析：

11.B∵可導一定連續(xù)，連續(xù)一定可積；反之不一定。∴可導是可積的充分條件

12.D

13.B由導數的定義可知

可知，故應選B。

14.D

15.A本題考查的知識點為級數的絕對收斂與條件收斂．

由于為萊布尼茨級數，為條件收斂．而為萊布尼茨級數乘以數-k，可知應選A．

16.Cx為f(x)的一個原函數，由原函數定義可知f(x)=x'=1，故選C。

17.C解析：

18.C解析：本題考查的知識點為基本導數公式．

可知應選C．

19.D解析：由f'(x)＜g'(x)知，在(α，b)內，g(x)的變化率大于f(x)的變化率，由于沒有g(α)與f(α)的已知條件，無法判明f(x)與g(x)的關系。

20.B

21.

22.-3sin3x-3sin3x解析：

23.11解析：24.12dx+4dy；本題考查的知識點為求函數在一點處的全微分．

由于z=x3y2可知，均為連續(xù)函數，因此

25.由f(x)=exg(x)=sinx；∴f[g(x)]=f[sinx]=esinx

26.(1+x)ex

27.

28.

29.

解析：30.本題考查的知識點為極限運算．

31.

32.y=C1e-x+C2e3x由y''-2y'-3y=0的特征方程為r2-2r-3=0，得特征根為r1=3，r2=-1，所以方程的通解為y=C1e-x+C2e3x.33.1．

本題考查的知識點為反常積分，應依反常積分定義求解．

34.e-2

35.336.0．

本題考查的知識點為連續(xù)函數在閉區(qū)間上的最小值問題．

通常求解的思路為：

37.2

38.

39.f(x)本題考查了導數的原函數的知識點。

40.

41.

則

42.

43.44.由一階線性微分方程通解公式有

45.

46.

47.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

48.

49.由二重積分物理意義知

50.

列表：

說明

51.需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規(guī)律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％52.函數的定義域為

注意

53.

54.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

55.

56.

57.由等價無窮小量的定義可知

58.

59.

60.

61.

62.63.解：設所圍圖形面積為A，則

64.

65.66.由于y=x2，則y'=2x，曲線y=x2上過點A(a，a2)的切線方程為y-a2=2a(x-a)，即y=2ax-a2，曲線y=x2，其過點A(a，a2)的切線及x軸圍成的平面圖形的面積

由題設S=1/12，可得a=1，因此A點的坐標為(1，1)．過A點的切線方程為y-1=2(x-1)或y=2x-1．解析：本題考查的知識點為定積分的幾何意義和曲線的切線方程。本題在利用定積分表示平面圖形時，以y為積分變量，以簡化運算，這是值得注意的技巧。67.解法1將所給方程兩端關于x求導，可得2x+6y2·y'+2(y+xy')+3y'-1=0，整理可得

解法2令F(x，y)=x2+2y3+2xy+3y-x-1，則本題考查的知識點為隱函數求導法．

y=y(x)由方程F(x，Y)=0確定，求y'通常有兩種方法：

一是將F(x，y)=0兩端關于x求導，認定