高等傳熱學部分答案

1、7-4，常物性流體在兩無限大平行平板之間作穩(wěn)態(tài)層流流動，下板靜止不動，上板在外力作用下以恒定速度U運動，試推導連續(xù)性方程和動量方程。解：按照題意故連續(xù)性方程 可簡化為 因流體是常物性，不可壓縮的，N-S方程為x方向：可簡化為y方向可簡化為8-3，試證明，流體外掠平壁層流邊界層換熱的局部努賽爾特數(shù)為證明：適用于外掠平板的層流邊界層的能量方程常壁溫邊界條件為引入量綱一的溫度則上述能量方程變?yōu)橐胂嗨谱兞坑?；將上三式和流函?shù)表示的速度代入邊界層能量方程，得到當時，速度邊界層厚度遠小于溫度邊界層厚度，可近似認為溫度邊界層內(nèi)速度為主流速度，即，則由上式可得，求解可得則8-4，求證，常物性不可壓縮流體，對

2、于層流邊界層的二維滯止流動，其局部努賽爾特數(shù)滿足證明：對于題中所給情況，能量方程可表示為其中，故上式可轉(zhuǎn)化為經(jīng)兩次積分，得到定義表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)，則進一步，進行無量綱化處理，引入局部努賽爾特數(shù)其中針對層流邊界層的條件，查由埃克特給出的計算表如下：不同Pr數(shù)下，常物性層流邊界層，的值mPr0.70.8151000.2920.3070.3320.5850.730.1110.3310.3480.3780.6690.8510.3330.3840.4030.440.7921.01310.4960.5230.571.0431.344故可看出，進而，由，得對于二維滯止流，m=1，則h也為常數(shù)，從x=0到x處的平

3、均熱導率hm定義為故，則，由此可看出，在m=1時，努賽爾特數(shù)的近似解可以很好的表示為同樣的，我們也可以得到三維滯止流的近似解9-1，試證明：圓管內(nèi)充分發(fā)展流動的體積流量可表示為： 9-2，常物性不可壓縮流體在兩平行平板間作層流流動，下板靜止，上板以勻速U運動，板間距為2b，試證明充分發(fā)展流動的速度分布為證：二維流體質(zhì)量、動量方程 在充分發(fā)展區(qū)，截面上只有沿流動方向的速度u在斷面上變化，法向速度v可以忽略，因此可由方程得:, 將式代入得到，表明壓力P只是流動方向x的函數(shù)，即流道斷面上壓力是均勻一致的進一步由式得， 相應(yīng)的邊界條件：對積分得：，1. 強迫流動換熱如何受熱物性影響？答：強迫對流換熱與

4、Re和Pr有關(guān)；加熱與對流的粘性系數(shù)發(fā)生變化。2. 強化傳熱是否意味著增加換熱量？工程上強化傳熱的收益和代價通常是指什么？答：不一定，強化傳熱是指在一定條件（如一定的溫差、體積、重量或泵功等）下增加所傳遞的熱量。工程上的收益是減小換熱器的體積節(jié)省材料和重量；提高現(xiàn)有換熱器的換熱量；減少換熱器的阻力，以降低換熱器的動力消耗等。代價是耗電，并因增大流速而耗功。3. 傳熱學和熱力學中的熱平衡概念有何區(qū)別？答：工程熱力學是溫度相同時，達到熱平衡，而傳熱學微元體獲得的能量等于內(nèi)熱源和進出微元體熱量之和，內(nèi)熱源散熱是有溫差的。4. 表面輻射和氣體輻射各有什么特點? 為什么對輻射板供冷房間，無需考慮氣體輻射

5、的影響，而發(fā)動機缸內(nèi)傳熱氣體輻射卻成了主角？答：表面輻射具有方向性和選擇性。氣體輻射的特點：1.氣體的輻射和吸收具有明顯的選擇性。2. 氣體的輻射和吸收在整個氣體容器中進行，強度逐漸減弱?？諝?，氫，氧，氮等分子結(jié)構(gòu)稱的雙原子分子，并無發(fā)射和吸收輻射能的能力，可認為是熱輻射的透明體。但是二氧化碳，水蒸氣，二氧化硫，氯氟烴和含氯氟烴的三原子、多原子以及不對稱的雙原子氣體（一氧化碳）卻具有相當大的輻射本領(lǐng)。房間是自然對流，氣體主要是空氣。由于燃油，燃煤及然氣的燃燒產(chǎn)物中通常包含有一定濃度的二氧化碳和水蒸氣，所以發(fā)動機缸內(nèi)要考慮。5. 有人在學完傳熱學后認為，換熱量和熱流密度兩個概念實質(zhì)內(nèi)容并無差別，

6、你的觀點是？答：有差別。熱流密度是指通過單位面積的熱流量。而換熱量跟面積有關(guān)。6. 管內(nèi)層流換熱強化和湍流換熱強化有何實質(zhì)性差異？為什么?答：層流邊界層是強化管內(nèi)中間近90%的部分，層流入口段的熱邊界層比較薄，局部表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)比充分發(fā)展段高，且沿著主流方向逐漸降低。如果邊界層出現(xiàn)湍流，則因湍流的擾動與混合作用又會使局部表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)有所提高，再逐漸向于一個定值。而湍流是因為其推動力與梯度變化和溫差有關(guān)，減薄粘性底層，所以強化壁面。7. 以強迫對流換熱和自然對流換熱為例，試談?wù)勀銓鳠?、流動形態(tài)、結(jié)構(gòu)三者之間的關(guān)聯(lián)答：對流換熱按流體流動原因分為強制對流換熱和自然對流換熱。一般地說，強制對流的流速較

7、自然對流高，因而對流換熱系數(shù)也高。例如空氣自然對流換熱系數(shù)約為525 W/（m2），強制對流換熱的結(jié)構(gòu)影響了流體的流態(tài)、流速分布和溫度分布，從而影響了對流換熱的效果。流體在管內(nèi)強制流動與管外強制流動，由于換熱表面不同，流體流動產(chǎn)生的邊界層也不同，其換熱規(guī)律和對流換熱系數(shù)也不相同。在自然對流中，流體的流動與換熱表面之間的相對位置，對對流換熱的影響較大，平板表面加熱空氣自然對流時，熱面朝上氣流擾動比較激烈，換熱強度大；熱面朝下時流動比較平靜，換熱強度較小。8. 我們經(jīng)常用Q=hA·t.計算強迫對流換熱、自然對流換熱、沸騰和凝結(jié)換熱，試問在各種情況下?lián)Q熱系數(shù)與溫差的關(guān)聯(lián)？答：強迫對流的換熱

8、系數(shù)與Re,Pr有關(guān)但與溫差無關(guān)，自然對流與Gr的0.25次方有關(guān)聯(lián)，即與溫差有關(guān)，凝結(jié)換熱換熱系數(shù)是溫差的-0.25次方。9. 試簡述基爾霍夫定理的基本思想 答：一、基爾霍夫第一定律：匯于節(jié)點的各支路電流的代數(shù)和等于零，用公式表示為： I=0 又被稱作基爾霍夫電流定律（KCL）。 二、基爾霍夫第二定律：沿任意回路環(huán)繞一周回到出發(fā)點，電動勢的代數(shù)和等于回路各支路電阻（包括電 源的內(nèi)阻在內(nèi)）和支路電流的乘積（即電壓的代數(shù)和）。用公式表示為： E=RI 又被稱作基爾霍夫電壓定律(KVL)。 10. 簡述沸騰換熱與汽泡動力學、汽化核心、過熱度這些概念的關(guān)聯(lián)答：沸騰是指在液體內(nèi)部以產(chǎn)生氣泡的形式進行的

9、氣化過程，就流體運動的動力而言，沸騰過程又有大容器沸騰，大容器沸騰時流體的運動是由于溫差和氣泡的擾動所引起的，沸騰換熱會依次出現(xiàn)自然對流區(qū)、核態(tài)沸騰區(qū)、過度沸騰區(qū)和膜態(tài)沸騰區(qū)。當溫度較低時（）壁面過熱度小，壁面上沒有氣泡產(chǎn)生。當加熱壁面的過熱度后，壁面上個別點（稱為汽化核心）開始產(chǎn)生氣泡，汽化核心的氣泡彼此互不干擾。隨著進一步增加，汽化核心增加，氣泡互相影響，并會合成氣塊及氣柱。在這兩個區(qū)中，氣泡的擾動劇烈，傳熱系數(shù)和熱流密度都急劇增大。進一步提高，傳熱規(guī)律出現(xiàn)異乎尋常的變化。這是因為氣泡匯聚覆蓋在加熱面上，而蒸汽排除過程越趨惡化。這時熱流密度達到最低，并且溫度達到了過熱度，是很不穩(wěn)定的過程。

10、II.傳熱學與實際應(yīng)用1.利用同一冰箱儲存相同的物質(zhì)時，試問結(jié)霜的冰箱耗電量大還是未結(jié)霜的冰箱耗電量大？答：當其它條件相同時，冰箱的結(jié)霜相當于在冰箱蒸發(fā)器和冰箱冷凍室（或冷藏室）之間增加了一個附加熱阻，因此，要達到相同的制冷室溫度，必然要求蒸發(fā)器處于更低的溫度。所以，結(jié)霜的冰箱耗電量更大。2. 在深秋晴朗無風的夜晚，草地會披上一身白霜，可是氣象臺的天氣報告卻說清晨最低溫度為2攝氏度，試解釋這種現(xiàn)象。答：可從輻射換熱以及熱平衡溫度的角度來分析，由于存在大氣窗口（紅外輻射能量透過大氣層時透過率較高的光譜段稱為大氣窗口），因此地面可與溫度很低的外太空可進行輻射熱交換，這樣就有可能使地面的熱平衡溫度低

11、于空氣溫度3請說明在換熱設(shè)備中，水垢、灰垢的存在對傳熱過程會產(chǎn)生什么影響，如何防止。當你設(shè)計一臺換熱器，如果預(yù)先考慮結(jié)垢的影響，換熱器面積將會比理想情況大還是小? 答：從傳熱系數(shù)或傳熱熱阻角度分析。在換熱設(shè)備中，水垢、灰垢的存在將使系統(tǒng)中導熱熱阻大大增加，減小了傳熱系數(shù)，使換熱性能惡化，同時還使換熱面易于發(fā)生腐蝕，并減小了流體的流通截面，較厚的污垢將使流動阻力也增大。此外，熱流體側(cè)壁面結(jié)垢，會使壁面溫度降低，使換熱效率下降，而冷流體側(cè)壁面結(jié)垢，會導致壁溫升高，對于換熱管道，甚至造成爆管事故。防止結(jié)垢的手段有定期排污、清洗、清灰，加強水處理，保證水質(zhì)，采用除塵、吹灰設(shè)備等。4. 一碗水放在空氣中

12、散熱，其溫度隨時間的變化估計是何種趨勢？為什么？答 ：一碗水放在空氣中，將會與大氣進行自然對流換熱和輻射對流換熱，開始溫度下降較快，而后逐漸變慢，最后趨于環(huán)境溫度。5為強化一臺冷油器的傳熱，有人用提高冷卻水流速的辦法，但發(fā)現(xiàn)效果并不顯著，試分析原因。答：冷油器中由于油的粘度較大，對流換熱表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)較小，占整個傳熱過程中熱阻的主要部分，而冷卻水的對流換熱熱阻較小，不占主導地位，因而用提高水速的方法，只能減小不占主導地位的水側(cè)熱阻，故效果不顯著。6有一臺鋼制換熱器，熱水在管內(nèi)流動，加熱管外空氣。有人提出，為提高加熱效果，采用管外加裝肋片并將鋼管換成銅管。請你評價這一方案的合理性。答：該換熱器管內(nèi)

13、為水的對流換熱，管外為空氣的對流換熱，主要熱阻在管外空氣側(cè)，因而在管外加裝肋片可強化傳熱。注意到鋼的導熱系數(shù)雖然小于銅的，但該換熱器中管壁導熱熱阻不是傳熱過程的主要熱阻，因而無需將鋼管換成銅管。7干燥物料有很多種方式：比如熱風干燥、微波干燥、紅外干燥等，目前常用的是熱風干燥，但熱風干燥的缺點是耗能大、表面易起皮和開裂，試從傳熱傳質(zhì)的角度來分析這一現(xiàn)象答：熱量從高溫熱源以各種方式傳遞給濕物料，使物料表面濕分汽化并逸散到外部空間，從而在物料表面和內(nèi)部出現(xiàn)濕含量的差別。但是為了使內(nèi)部濕量逐步往外走，就要加大能耗，使的表面溫度更高，變干。8. 有人存在這樣的觀點：由于工質(zhì)冷凝和沸騰換熱系數(shù)很高，因此無

14、需進行沸騰和冷凝換熱強化答：隨著工業(yè)的發(fā)展，特別是高熱負荷的出現(xiàn)，相變傳熱（沸騰和凝結(jié)）的強化日益受到重視并在工業(yè)上得到越來越多的應(yīng)用。一般認為凝結(jié)換熱系數(shù)很高，可以不必采用強化措施。但對氟里昂蒸汽或有機蒸汽而言，氟利昂是低沸點工質(zhì)，潛熱很小，沸騰換熱系數(shù)和它們的凝結(jié)換熱系數(shù)比水蒸氣小的多。9. 太陽能集熱器吸熱表面選用具有什么性質(zhì)的材料為宜? 為什么?答：太陽能集熱器是用來吸收太陽輻射能的，因而其表面應(yīng)能最大限度地吸收投射來的太陽輻射能，同時又保證得到的熱量盡少地散失，即表面盡可能少的向外輻射能。但太陽輻射是高溫輻射，輻射能量主要集中于短波光譜(如可見光)，集熱器本身是低溫輻射，輻射能量主要

15、集中于長波光譜范圍(如紅外線)。所以集熱器表面應(yīng)選擇具備對短波吸收率很高，而對長波發(fā)射(吸收)率極低這樣性質(zhì)的材料。10.為什么鍋爐中高溫過熱器一般采用順流式和逆流式混合布置的方式？答:因為在一定的進出口溫度條件下，逆流的平均溫差最大，順流的平均溫差最小，即采用逆流方式有利于設(shè)備的經(jīng)濟運行。 但逆流式換熱器也有缺點，其熱流體和冷流體的最高溫度集中在換熱器的同一端，使得該處的壁溫較高，即這一端金屬材料要承受的溫度高于順流型換熱器，不利于設(shè)備的安全運行。所以高溫過熱器一般采用順流式和逆流式混合布置的方式，即在煙溫較高區(qū)域采用順流布置，在煙溫較低區(qū)域采用逆流布置。 1. 有一臺1-2型管殼式換熱器（

16、殼側(cè)1程，管側(cè)2程）用來冷卻11號潤滑油。冷卻水在管內(nèi)流動，流量為3kg/s；可認為管殼式換熱器是一種交叉流換熱，熱油的進出口溫度為：。試計算：油的流量；所傳遞的熱量；所需的傳熱面積。解: (1) 油的流量: 查得潤滑油及水的比熱分別為：c1=2148 J/kg；c2=4174 J/kg 則: (2) 所傳遞的熱量: (3) 所需的傳熱面積: 由圖10-23： 查得： y=0.9Dtm=44.8×0.9=40.32 2. 壓力為1.5×105Pa的無油飽和水蒸汽在臥式殼管式冷凝器的殼側(cè)凝結(jié)。經(jīng)過處理的循環(huán)水在外徑為20mm、厚為1mm的黃銅管內(nèi)流過，流速為1.4m/s，其溫

17、度由進口出處的56升高到出口處的94。黃銅管成叉排布置，在每一豎直排上平均布置9根。冷卻水在管內(nèi)的流動為兩個流程，管內(nèi)已積水垢。試確定所需的管長、管子數(shù)及冷卻水量。=1.2×107W。解：(1)平均傳熱溫差： 由附錄10查得飽和蒸汽溫度為111.32，則： ()(2)管外凝結(jié)換熱系數(shù)： 設(shè)管外壁溫度tw=105，則tm=(111.32+105)/2=108.2 由附錄查得凝結(jié)水物性參數(shù)： 由公式6-4： =8809 (W/m2)(3)管內(nèi)換熱系數(shù)： tf=(56+94)/2=75 由附錄查得水物性參數(shù): (4) 熱阻：蒸汽側(cè)污垢熱阻：r0=0.0001 ; 水側(cè)污垢熱阻： ri=0.

18、0002管壁熱阻：(黃銅 l=131 W/m) (5) 傳熱系數(shù)： 由傳熱方程：q1=kDtm=1743×32.72=57030 (W/m2)由凝結(jié)換熱: q2=h0Dt=8809×(111.32-105)=55673 (W/m2)q1與q2僅相差 2% ; 上述計算有效。(6) 傳熱面積：(7) 冷卻水量：（查附錄10：cp=4191 J/kgK） (8) 流動截面：（查附錄10：=974.8 kg/m3） 單程管數(shù)： (根) 兩個流程共需管子434根。 管子長度： (m)3 一蒸汽管道的保溫層外包了油毛氈, 表面溫度為330K，外徑為0.22m。該管道水平地穿過室溫為2

19、2的房間，在房內(nèi)長度為6m。試計算蒸汽管道在該房間內(nèi)的總散熱量。解：空氣定性溫度，選取空氣的物性參數(shù)， Nu=0.48（GrPr）1/4=0.48×（36272980×0.699）1/4=34.06h= Nu d/ =34.06×0.22/0.0276=271.5)=Ah=3.14×0.22×6×271.5×(57-22)=39386W4. 對于如圖所示的結(jié)構(gòu)，試計算下列情形下從小孔向外輻射的能量：（1）所有內(nèi)表面均是500K的黑體；（2）所有內(nèi)表面均是=0.6的漫射體，溫度均為500K。解：設(shè)小孔面積= = X12=1,

20、A1X12=A2X21，X12=12=(1) =1，12=2.85w;(2) 1=0.6，2=1,12=2.64W5白天，投射到大的水平屋頂上的太陽照度Gx1100W/m2，室外空氣溫度t127，有風吹過時空氣與屋頂?shù)谋砻鎮(zhèn)鳠嵯禂?shù)為h25W/(m2·K)，屋頂下表面絕熱，上表面發(fā)射率0.2，且對太陽輻射的吸收比 s0.6。求穩(wěn)定狀態(tài)下屋頂?shù)臒崞胶鉁囟取ＴO(shè)太空溫度為絕對零度。如圖所示， 穩(wěn)態(tài)時屋頂?shù)臒崞胶猓簩α魃崃?輻射散熱量:太陽輻射熱量:代入(1)中得:采用試湊法，解得1.在某固體內(nèi)部導熱過程中，無內(nèi)熱源，穩(wěn)態(tài)，一元，側(cè)面絕熱。沿傳熱方向的截面的直徑是線性變化的，即：dx= kx

21、+d0, 其中k為常數(shù), d0為坐標x=0處圓截面直徑, da為坐標x= a處圓截面直徑, 如圖1所示。 x=0處溫度為t0, x= a處溫度為ta。 設(shè)導熱系數(shù)l=m+nt，其中m和n為常數(shù)。求物體內(nèi)部的溫度分布t(x)以及熱流分布q(x)。 解：該問題為變截面無內(nèi)熱源一維穩(wěn)態(tài)導熱問題，其導熱微分方程為：1. （1-1）式中：。其邊界條件為 （1-2）將l=l0(1+a t )與代入（1-1），得 （1-3）對上式進行兩次積分得 （1-4）將式（1-2）代入式（1-4）解得 （1-5）故 （1-6）整理得 （1-7）則（1-8） 圖1 圖2 圖32.采用積分法計算如圖2所示的角系數(shù)X1,2。

22、解：根據(jù) （2-1）由幾何關(guān)系知 （2-2） （2-3）則 （2-4）于是 （2-5）由于微元表面dA1可處于A1任何位置，根據(jù)角系數(shù)性質(zhì)，有 （2-6）再由角系數(shù)定義 （2-7）又由幾何關(guān)系知 （2-8）則式（2-7）可化為 （2-9）則 3.試由固體壁面輻射換熱定向單色反射率的定義，推導單色半球入射定向反射的反射率計算式。解：雙向反射率：在入射方向，入射立體角內(nèi)，單位時間、單位面積的投射光譜能量為，其中為入射光譜強度。在反射方向上，它引起的光譜輻射強度為，則此入射、反射方向光譜雙向反射率的定義為兩能量之比，即 （6-1）光譜半球-定向反射率表示半球空間投射來的能量向方向反射的性質(zhì)。其定義為

23、：半球空間投射輻射在方向的反射光譜輻射強度與半球空間的平均投射光譜輻射強度之比。等于對所有入射方向的積分。由式（6-1）得 （6-2）如果半球空間投射輻射強度是均勻的，則式（6-2）可寫成 （6-3）老師題中所述反射率不明確，所以把光譜定向-半球反射率也寫下：光譜定向-半球反射率是表示某一方向投射來的光譜能量，向半球空間反射的性質(zhì)。其定義為：投射方向上、立體角內(nèi)、單位時間、單位面積投射光譜能量引起的半個空間的光譜反射輻射力，與引起它的投射能量之比，即4.某半無限大物體，物性參數(shù)為常數(shù)，內(nèi)部無熱源。初始溫度分布均勻，為t0。當>0時，邊界受到恒熱流q0的加熱。試建立該物體非穩(wěn)態(tài)導熱問題的數(shù)

24、學模型，并用拉普拉斯積分變換法進行求解。解：該問題的數(shù)學描述為： （7-1）引入過余溫度，即，則上述問題轉(zhuǎn)化為 （7-2）對上式作拉氏變換得 （7-3）解得 （7-4）查拉氏變換得 （7-5）故 （7-6）5.對非齊次邊界條件的二維無內(nèi)熱源常物性穩(wěn)態(tài)導熱體 ，可以采用疊加法進行求解。試寫出如圖3所示問題的數(shù)學模型，并采用上述方法進行求解。解：該問題的數(shù)學描述為 （8-1）令，則上述問題可轉(zhuǎn)化為 （8-2）令t = t1+ t2+ t3+ t4，t1，t2，t3和t4分別是以下定解問題的解 （8-3） （8-4） （8-5） （8-6）用分離變量法求解各個方程組，結(jié)果如下方程組（8-3）的解為：

25、方程組（8-4）的解為：方程組（8-5）的解為：方程組（8-6）的解為：因t = t1+ t2+ t3+ t4故該問題的解為6. 試證明：圓管內(nèi)充分發(fā)展流動的體積流量可表示為： 7.分析討論室內(nèi)與外界通過玻璃窗的熱交換過程。8. 敘述非穩(wěn)態(tài)導熱分析的格林函數(shù)法的原理，并對下列方程及邊界條件的導熱問題采用格林函數(shù)法進行求解。一維平壁由初始溫度分布F(x)和內(nèi)熱源qv(r,t)=rcg(x,t)，平壁的一個邊界維持絕熱，邊界受到熱流f(t)的作用。該問題的數(shù)學描述為9.試述投影法求解輻射換熱角系數(shù)的基本原理，并推導由有限面積向空間微元面積的輻射角系數(shù)的求解公式。10.在穩(wěn)態(tài)層流常物性管內(nèi)充分發(fā)展流

26、動過程中，設(shè)流速分布為u/um= 1- (r/r0)2，其中um為管內(nèi)平均流速，r0為管道半徑，r為管內(nèi)距中心線徑向坐標。求管內(nèi)阻力系數(shù)Cf, 并求恒熱流邊界條件下的換熱努謝爾特數(shù)Nu。 11.寫出正交坐標系中拉梅系數(shù)的定義式,并求出柱坐標和球坐標系中的拉梅系數(shù)。見書上P912.試用數(shù)量級分析方法證明：考慮能量耗散時，無內(nèi)熱源的常物性不可壓縮流體掠過平壁的邊界層能量方程為：1-5 橢球坐標系（由=常數(shù)的橢球面，=常數(shù)的雙曲線面和=常數(shù)的平面組成。如果橢球坐標系與直角坐標系的關(guān)系為：試證明該橢球坐標系的拉梅系數(shù)為： = 并證明橢球坐標系中拉普拉斯算子的表達式為：解：（1）由式1 -2-18知 （

27、2）由式1 -2 - 25知3-2 大平壁的初始溫度均勻為，從某一時刻起其兩表面的溫度突然降為并保持不變，試求:（1）寫出該導熱問題的數(shù)學描述；（2）用分離變量法求解平壁中的溫度場。解:(1) 如圖所示，設(shè)大平壁的厚度為，并建立坐標系，原點置于平壁中心截面上，由于對稱可對平壁的一半進行研究，取的一半作為研究對象，則該導熱問題的數(shù)學描述為： 初始條件為： 邊界條件為： (2) 由以上的數(shù)學描述，引入過余溫度，則以上四式可化為： 因微分方程和邊界條件都為齊次的，滿足使用分離變量法的條件。設(shè)解的形式為 把上式代入得：分離變量得到 因為等式兩邊分別為的函數(shù)和的函數(shù)，它們要相等只能是都等于某個常數(shù)，記為

28、， 是待定常數(shù)稱為特征值，則上式就變?yōu)橄旅鎯蓚€微分方程： 方程的解是 由題意可知，當時，過余溫度應(yīng)有界，由此得前取負號，并由此條件解方程可得 ,且有,把邊界條件代入上式可得： 由式可得，并由式得，因，則得，可知有無窮多個解：，則滿足原偏微分方程和邊界條件的分離變量形式的解為：由于問題的線性，無窮多解的疊加仍滿足方程和邊界條件，即，其中，系數(shù)Am由初始條件可確定。6.4 常物性流體在兩無限大平行平板之間作穩(wěn)態(tài)層流流動，下板靜止不動，上板在外力作用下以恒定速度U運動，試推導連續(xù)性方程和動量方程。解：按照題意故連續(xù)性方程 可簡化為 因流體是常物性，不可壓縮的，N-S方程為x方向：可簡化為y方向可簡化

29、為7.5 常物性不可壓縮流體掠過全板長換熱平壁，當時，試證明：并有，時常數(shù)證明：因為，根據(jù)積分可加性有在處有，U是主流速度，它僅是x的函數(shù)，故，證畢常物性不可壓縮流體掠過全板長換熱平壁時，邊界層能量積分方程為 邊界條件為利用中的結(jié)論，當時，式中的第一個積分遠小于第二個積分的值，因此可以略去第一個積分，而常數(shù)，這樣式可寫為 又由于可近似表示為，于是式可寫為 將式帶入式得令，則上式可寫為設(shè) 利用邊界條件可以確定待定系數(shù)b0,b1,b2,b3與間的關(guān)系，再帶入式得簡化得到ddx381-1+2512-13514=32au因d=14013udx，帶入上式有21-1+2512-13514=12.69Pr因

30、Pr0，1<1，可近似簡化為2=12.69Pr，=t=11.64Pr-12進一步可得局部Nu數(shù)為Nux=0.531Rex13Pr12可證NuxRex13Pr12=常數(shù)8-2 常物性不可壓縮流體在兩平行平板間作層流流動，下板靜止，上板以勻速U運動，板間距為2b，試證明充分發(fā)展流動的速度分布為證：二維流體質(zhì)量、動量方程 在充分發(fā)展區(qū)，截面上只有沿流動方向的速度u在斷面上變化，法向速度v可以忽略，因此可由方程得:, 將式代入得到，表明壓力P只是流動方向x的函數(shù)，即流道斷面上壓力是均勻一致的進一步由式得， 相應(yīng)的邊界條件：對積分得：，9-2采用普朗特兩層流模型，設(shè)熱邊界層兩層交界處=13.2，取

31、Pr=0.9，k=0.41，試證明外掠平壁湍流邊界層對流換熱時有證：外掠平壁湍流邊界層流動的總應(yīng)力與距離壁面的距離y無關(guān)，而等于壁面處的切應(yīng)力，即：， 普朗特兩層模型：粘性底層，由式得，湍流核心區(qū)，由式得， 普朗特混合長度理論：，從粘性底層外緣=10.8開始積分，到湍流核心區(qū)得： （k=0.41） 壁面處溫度分布： 由，得： 對式積分得到 根據(jù)粘性底層和湍流核心區(qū)分子擴散與湍流擴散的相互關(guān)系式改寫為：，由式得 將式代入，,Pr=0.911-2 黑體的溫度需要多高才能有四分之一的輻射在可見光范圍內(nèi)？解：可見光的波段范圍是0.380.76，普朗克定律為：其中：； ； ； 。斯忒藩·玻爾茲

32、曼定律：，其中，。由題意，物體的1/4的輻射能在可見光范圍內(nèi)，則得： 。其中，。通過查黑體輻射函數(shù)表，經(jīng)試算可確定T為14210.53K。12-2 有一無限長的三表面組成的空腔，截面為三角形。已知面積分別是A1、A2、A3 ；A1溫度為T1，發(fā)射率為1；A2的熱流密度為q2，發(fā)射率為2；A3為絕熱表面。試求q1、T2和T3。解：由代數(shù)法可分別求得三表面間的角系數(shù)為：，三個表面的輻射網(wǎng)絡(luò)圖如圖所示：其中，為已知量。由于表面三為絕熱表面，不參與輻射換熱，是溫度浮動的熱表面，所以。對節(jié)點，分別用直流電路的基爾霍夫定律得： 三式相加可得：，則，因為，所以可算得，由于對節(jié)點J1又可寫出關(guān)系式：所以可算得

33、。由于，則把代入可算出，又因，可進一步算得，由3式得，把，代入，并由，可算出。12-3 兩無限大平行平板，表面1溫度為1500K，單色發(fā)射率在波段為0.4，在波段為0.9，其他波段為0。表面2溫度為1000K，單色波段為0.7，其他波段為0.3.試求輻射換熱。解：由題可得表面1的發(fā)射率為其中，同理可得表面2的發(fā)射率為。由斯忒藩·玻爾茲曼定律得同溫下黑體的總輻射量分別為：因為表面1與表面2平行，且為無限大平板，所以單位平板的輻射換熱量為：。第一章1-4、試寫出各向異性介質(zhì)在球坐標系中的非穩(wěn)態(tài)導熱方程，已知坐標為導熱系數(shù)主軸。解：球坐標微元控制體如圖所示：熱流密度矢量和傅里葉定律通用表達

34、式為： （1-1） 根據(jù)能量守恒： （1-2）導熱速率可根據(jù)傅里葉定律計算： （1-3）將上述式子代入（1-4-3）可得到對于各向異性材料，化簡整理后可得到： （1-6）第二章2-3、一長方柱體的上下表面(x=0，x=)的溫度分別保持為和，兩側(cè)面()向溫度為的周圍介質(zhì)散熱，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為。試用分離變量法求解長方柱體中的穩(wěn)態(tài)溫度場。解：根據(jù)題意畫出示意圖：（1） 設(shè)，根據(jù)題意寫出下列方程組 （2-1）解上述方程可以把分解成兩部分和兩部分分別求解，然后運用疊加原理得出最終溫度場，一下為分解的和兩部分： （2） 首先求解溫度場用分離變量法假設(shè)所求的溫度分布可以表示成一個x的函數(shù)和一個y的函數(shù)的乘積，

35、即 （2-2）將上式代入的導熱微分方程中，得到，即，上式等號左邊是x的函數(shù)，右邊是y的函數(shù)，只有他們都等于一個常數(shù)時才可能成立，記這個常數(shù)為。由此得到一個待定常數(shù)的兩個常微分方程 （2-3）解得 （2-4） （2-5）把邊界條件代入（2-3-4）得到A=0，所以有 （2-6）把邊界條件代入（2-3-5）得到D=0，所以有 （2-7）把邊界條件聯(lián)立（2-3-7）得到 （2-8）設(shè)，則有，這個方程有無窮多個解，即常數(shù)有無窮多個值，即，所以對應(yīng)無窮多個，即，所以有 （2-9）聯(lián)立（2-3-6）可得 （2-10）把邊界條件代入上式可得 （2-11）解得 （2-12）其中 （2-13）（3） 求解溫度場

36、與解一樣用分離變量法，假設(shè)所求溫度分布可以表示成一個x的函數(shù)和一個y的函數(shù)的乘積 （2-14）將該式子代入的導熱微分方程中得到，即，由此可得到兩個常微分方程 （2-15） （2-16）解式（2-3-15）時根據(jù)x的邊界條件可以把解的形式寫為 （2-17）把邊界條件代入上式，得到A=0，所以有 （2-18）其中 （2-19）把邊界條件代入上式可得 （2-20） （2-21） （2-22）（4） 最終求得穩(wěn)態(tài)溫度場 2-5、地熱換熱器是管中流動的流體與周圍土地之間的換熱，可應(yīng)用于熱能的儲存、地源熱泵等工程實際。一種布置方式是把管子埋設(shè)在垂直于地面的鉆孔中。由于管子的長度遠大于鉆孔的直徑，可把管子的

37、散熱簡化為一個有限長度的線熱源。當運行的時間足夠長以后，系統(tǒng)可以達到基本穩(wěn)定的狀態(tài)。設(shè)土地是均勻的半無限大介質(zhì)，線熱源單位長度的發(fā)熱量為ql，地表面的溫度均勻，維持為t0。使用虛擬熱源法求解土地中的穩(wěn)態(tài)溫度場。解：根據(jù)題意畫出示意圖如下： 設(shè)有限長熱源長度為H，單位長度熱源發(fā)熱量為，電源強度為，設(shè)地面溫度維持恒定溫度。（1） 求解點熱源dz0產(chǎn)生的溫度場有限長線熱源在某點產(chǎn)生的溫度可以看做是許多點源在該點產(chǎn)生的溫度場的疊加，因此我們先來看下無限大介質(zhì)中點源產(chǎn)生的溫度場，這是一個球坐標系中的無內(nèi)熱源的穩(wěn)態(tài)導熱問題，其導熱微分方程為： （3-1） 解微分方程可得 （3-2）把邊界條件代入上式得到，

38、所以有 （3-3）在球坐標系點熱源單位時間內(nèi)的發(fā)熱量等于它在任意球面上產(chǎn)生的熱流量Q，即 （3-4）所以得到由此可得到球坐標系中點熱源產(chǎn)生的溫度場為 （3-5）（2） 分別求出兩個線熱源產(chǎn)生的溫度場線熱源產(chǎn)生的溫度場可以看作是點熱源產(chǎn)生的溫度場的疊加，因此有地下有限長線熱源產(chǎn)生的溫度場 （3-6）對稱的虛擬熱源產(chǎn)生的溫度場為 （3-7）（3） 虛擬熱源法求解的地熱換熱器產(chǎn)生的溫度場 （3-8） 第三章3-1、用熱電偶測量呈簡諧波周期變化的氣流溫度，熱電偶的感溫節(jié)點可看作直徑為1mm的圓球，其材料的密度為8900kg/m3，比熱容為390J/(KgK)，測溫記錄最高和最低溫度分別為130和124

39、，周期為20s。若已知氣流與熱電偶間的對流換熱的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為20W/(m2K)，試確定氣流的真實溫度變化范圍。解：氣流溫度按簡諧波變化時，熱電偶的溫度響應(yīng)為 （4-1）式中按題目要求，根據(jù)題目提供的熱電偶測量的最高溫度、最低溫度，求出熱電偶測量的溫度變化的振幅如下式 （4-2）把的數(shù)據(jù)代入上式中得到氣流溫度變化的振幅，所以真實氣體溫度變化的最大值、最小值為 （4-3） （4-4）3-6、已知初始溫度均勻的無限大介質(zhì)中由連續(xù)恒定發(fā)熱的線熱源所引起的溫度場由式子確定。若線熱源的加熱不是連續(xù)的而是間歇的，即從的時刻起，線熱源進行周期性的間歇加熱，周期為T，其中加熱的時段為T1，其余的T-T1時間不加熱。試利用線性疊加原理確定介質(zhì)中的溫度響應(yīng)。解：無限大介質(zhì)連續(xù)恒定發(fā)熱的線熱源引起的溫度場： （5-1）其中：對于隨時間變化的熱流可以用一系列連續(xù)的矩形脈沖熱流來近似如圖所示：由疊加原理得到時刻的溫度變化為： （5-2）對于間歇性的脈沖，令為運行份額，如果在整個運行期間的平均熱負荷為，則脈沖加熱的強度