中心極限定理地內(nèi)涵和應用

中心極限定理的內(nèi)涵和應用在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中，中心極限定理是非常重要的一節(jié)內(nèi)容，而且是概率論與數(shù)理統(tǒng)計之間承前啟后的一個重要紐帶。中心極限定理是概率論中討論隨機變量和的分布以正態(tài)分布為極限的一組定理。這組定理是數(shù)理統(tǒng)計學和誤差分析的理論基礎，指出了大量隨機變量之和近似服從于正態(tài)分布的條件。故為了深化同學們的理解并掌握其重要性，本組組員共同努力，課外深入學習，詳細地介紹了中心極限定理的內(nèi)涵及其在生活實踐中的應用。一、獨立同分布下的中心極限定理及其應用在對中心極限定理的研究中，我們不妨由淺入深地來學習，為此我們先來研究一下在獨立同分布條件下的中心極限定理，即如下的定理1:定理l(林德伯格-勒維中心極限定理)設｛X｝是獨立同分布的隨機變量序列，且E(X)=日,Var(X)=b2>0存在，若記UX-npi=4=1 = 。、:n則對任意實數(shù)y，有l(wèi)imP{YlimP{YnnT8Vy}=^(y)1=jy.e2dt.一8『2n(1)證明：為證明(1)式，只須證｛Y｝的分布函數(shù)列弱收斂于標準正態(tài)分布。由n定理可知：只須證｛Y｝的特征函數(shù)列收斂于標準正態(tài)分布的特征函數(shù)。為此，設nX-p的特征函數(shù)為中(t)，則Y的特征函數(shù)為^Y^)=平&)]又因為E(X-p)=0，Var(X-p)=c2，所以有時(0)=0，中”(0)=-c2。于是,特征函數(shù)中(t)有展開式12 、一1 ,、中(t)=中(0)+^(0)+中(0)—+O(t2)=1一一b2t2+o(t2)2 2從而有l(wèi)im9Y“nlim9Y“nT+8n(t)=lim1-nT+8t2 /2五o(n)一2而e-2正是N(0,1)分布的特征函數(shù)，定理得證。這個中心極限定理是由林德貝格和勒維分別獨立的在1920年獲得的，定理告訴我們，對于獨立同分布的隨機變量序列，其共同分布可以是離散分布，也可以是連續(xù)分布，可以是正態(tài)分布，也可以是非正態(tài)分布，只要其共同分布的方C11111111■■ -"差存在，且不為零，就可以使用該定理的結(jié)論。定理1的結(jié)論告訴我們：只有當n充分大時，Y才近似服從標準正態(tài)分布nN(0,1)，而當n較小時，此種近似不能保證。也就是說，在n充分大時，可用N(0,1)近似計算與Y有關事件的概率，而n較小時，此種計算的近似程度是得不到保障的。當Y?N(0,1)時，則有UX?N(np,nb2),X?N(日,胃)i=1 n經(jīng)過多方面的理論研究，我們可知定理1主要適用于以下兩個方面；應用一：求隨機變量之和S落在某區(qū)間的概率(例如例2.)。應用二：已知隨機變量之和S取值的概率，求隨機變量的個數(shù)n。在日常生活中，我們會發(fā)現(xiàn)其實有很多的例子均可用林德伯格-勒維中心極限定理來解決。在此我們從中選擇了幾個典型而又帶有新意的例子，僅供大家參考。例1?用中心極限定理說明在正常的射擊條件下，炮彈的射程服從或近似服從正態(tài)分布。[1]解：設a為理論射程，&為實際射程，則門二&-a為實際射程對理論射程的偏差，顯然&二門+a,故只需證門?N(p,b2)。由于在實際射擊中，有很多不可控制的隨機因素在不斷變化，所以造成了實際射程對理論射程的偏差，若設&:射擊時炮身振動引起的偏差，&:炮彈外形差異引起的偏差，&3:炮彈內(nèi)火藥的成分引起的偏差，&4:射擊時氣流的差異引起的偏差……，&:……，顯然有門_Z&ii=1..?影響實際射程的因素是大量的，?.?這里的n一定很大，又...炮身的振動、炮彈的外形、火藥的成分、氣流的變化…….這些因素之間沒有什么關系(或有微弱關系)。?.?由它們引起的&1,&2， &可看做是相互獨立的。而正常的射擊條件也就是對射程有顯著影響的因素已被控制，所以 &,&2,……&所起的作用可看做是同樣微小。..?由中心極限定理可知門?N(|!,b2)。..F可正，可負且相會均等 .?.p=0 ..?門?N(0,b2)。則&=門+a?N(a,b2)從這個例子來看，雖然看上去有點復雜，但是我們還是很清晰地可以看到如果一個隨機變量能表示成大量獨立隨機變量的和，并且其中每一個隨機變量所起的作用都很微小，則這個隨機變量服從或近似服從正態(tài)分布，這給我們的計算帶來很大方便?，F(xiàn)在的旅游、汽車等行業(yè)越來越受歡迎，為了體現(xiàn)中心極限定理的重要性，我們不妨從現(xiàn)實生活中的熱門行業(yè)說起，看看它到底起到怎樣的重要性。例2.某汽車銷售點每天出售的汽車服從參數(shù)為人=2的泊松分布，若一年365天都經(jīng)營汽車銷售，且每天出售的汽車數(shù)是相互獨立的，求一年中售出700輛以上汽車的概率。[1]解：設&為第i天出售的汽車的數(shù)量，則&=&+&+......+&為一年的總銷i 1 2 365量，由E(&)=Var(&)=2，知E(&)=365X2=730ii利用中心極限定理得P(&>700)=1-P(&W700)e1—中(70073030)=1-①(一1.11)=0.8665從此例可以看出，中心極限定理揭示了離散型隨機變量與連續(xù)型隨機變量的內(nèi)在關系，即離散型隨機變量的極限分布是正態(tài)分布。事實上，在現(xiàn)實生活中的很多方面，我們都能清晰地看到中心極限定理的存在。那么在理論中，我們也可用它來解決一些比較抽象的問題，比如下面的極限求解問題。例3.利用中心極限定理證明：lime一nU竺=1 [1]…提！2k=0證明：設｛&k｝獨立同分布且&k?P(1),k=1,2…….則a=E(&)=l,b2=Var(&)=1..?由泊松分布的可加性知U&?P(n)k=1?.?尸件J5卜E?E&=k]=E§-n*=1 /k=0*i=1 /k=0,又?.?由中心極限定理知：匹＜"=芯&一）一n<0=P&-1）＜0"k=1k）"k=1k；k=1k」=P[-L￡&-1）＜0卜中（0）nk=1k 」=—（n—8）2nnk?.lime-n乙一…k!f k=0如果在林德伯格-勒維中心極限定理中，x服從二項分布，就可以得到以下的定理：定理2（棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理）設n重伯努利試驗中，事件A在每次試驗中出現(xiàn)的概率為p（0<p<1）,記S為n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，且記Y*=3n—np，則對任意實數(shù)y,有l(wèi)imP（Y*<y）=。（y）=—Jye-了dtn Jnpq n 2兀_8nT8該定理是林德伯格-萊維中心極限定理的特殊情況，是最早的中心極限定理。大約在1733年，棣莫弗對p=1證明了上述定理，后來拉普拉斯把它推廣至2p是任意一個小于l的正數(shù)上去。它表明，n充分大時，Y*=%一迎分布近似服從與標準正態(tài)分布，常稱為n MPq“二項分布收斂于正態(tài)分布”，正態(tài)分布是二項分布的極限分布，當n充分大時，我們可以利用該定理的結(jié)論來計算二項分布的概率。由于此定理有更廣泛的實際應用，我們將在下面的部分具體地分析棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理在實際生活中的應用。二、獨立不同分布下的中心極限定理及其應用前面我們已經(jīng)在獨立同分布的條件下，解決了隨機變量和的極限分布問題。在實際問題中說諸X具有獨立性是常見的，但是很難說諸X是“同分布"的隨i i機變量。比如在我們的生活中所遇到的某些加工過程中的測量誤差Y，由于其n是由大量的“微小的”相互獨立的隨機因素X.疊加而成的，即Y=咒X，諸X.i=1間具有獨立性，但不一定同分布。在此，我們還要深入地研究在獨立不同分布的

前提下，各隨機變量和的極限分布問題，目的是給出極限分布為正態(tài)分布的條件。為使極限分布是正態(tài)分布，必須對Y^^^X的各項有一定的要求。譬如若i=1允許從第二項開始都等于0，則極限分布顯然由X］的分布完全確定，這時就很難得到什么有意思的結(jié)果。這就告訴我們，要使中心極限定理成立，在和的各項中不應有起突出作用的項，或者說，要求各項在概率意義下“均勻地小”。下面我們來分析如何用數(shù)學式子來明確表達這個要求。設｛X｝是一個相互獨立的隨機變量序列，它們具有有限的數(shù)學期望和方差：E（X）=r.,Var（X）=c,i=1,2,???.要討論隨機變量的和Y=&，我們先將其標準化，即將它減去均值、除i=1以標準差，由于TOC\o"1-5"\h\zE(Y)=R+R+?一+r,b(Y)=-Var(Y)二〈b2+b2+..?+b2，n 1 2 n n"n"12 n, Y—(r+r+???+r)—X—u,且記。(Y)=B，貝寸Y的標準化為Y*=— 1 2 =^―i a。nnn n B B如果要求中各項X―七“均勻地小”，即對任意的T>0,要求事件BnA={X\.Ui>T}={X-u\>^B}發(fā)生的可能性小，或直接要求其概ni B ii nn率趨于0.為達到這個目的，我們要求limP(maxlX.—u.1>TB)=0。nT8 1<i<n 1 1 n因為P(max|X一u1<i<n1 1>tB)=P(Y(IX-u>TB))P(max|X一u1<i<n1 1n ii n ii n'i=1 i=1其密度函數(shù)為￡』（xi其密度函數(shù)為￡』（xi=1lX-URp(x)，則上式右邊-u)2p(x)dx二￡f p（尤）dx<一\__=1x-u,“B. t2Bn因此，只要對任意的t>0,有(2)lim—\—￡f (x-u)2p(x)dx=0(2)nBni=1lx-um ii ，就可保證Y*中各加項“均勻地小”。n上述條件（2）稱為林德伯格條件⑵。林德伯格證明了滿足（2）條件的和Y*n的極限分布是正態(tài)分布，這就是下面給出林德伯格中心極限定理。

定理3(林德伯格中心極限定理)設獨立的隨機變量序列設｛X｝滿足(2)林德伯格條件，則對任意的x，有l(wèi)imP(土工(X—目)<x)=—^f*e普dt.… B.=i^ .寸2兀f假如獨立隨機變量序列｛X｝具有同分布和方差有限的條件，則必定滿足以上(2)林德伯格條件，也就是說定理l是定理3的特例。這一點是很容易證明的：設｛X｝是獨立同分布的隨機變量序列，為確定起見，設諸X.是連續(xù)隨機變量，其共同的密度函數(shù)為p(x),四.=pq.=6這時B=0』云,由此得—^―Xf (x—p)2p(x)dx= —f(x—p)2p(x)dx.Bni=1x—pi>電 . nG2|x-pi"n .因為方差存在，即Var(X.)=f+8(x_p)2p(x)dx<s,—8所以其尾部積分一定有l(wèi)imf _(x_p.)2p(x)dx=。，故林德伯格條nfs\x_p.卜tbn件滿足。林德伯格條件雖然比較一般，但該條件較難驗證，因此在實際的應用中，我們都不怎么使用林德伯格中心極限定理。在此情況下，為了使獨立不同分布的中心極限定理便于運用，我們深入研究了下面的李雅普諾夫(Lyapunov)中心極限定理。我們之所以講李雅普諾夫中心極限定理便于運用，是因為李雅普諾夫條件比較驗證，而且它只對矩提出要求，為我們的求解帶來了極大的方便之處。為此我們特地分一節(jié)內(nèi)容來研究它，希望它的出現(xiàn)能引起我們的極大重視。三、李雅普諾夫中心極限定理的特殊應用2+5)=°,則隨機定理4(李雅普諾夫中心極限定理)設｛Xn｝為獨立隨機變量序列，并且E(X)=pVar(X)=。2〉0,(k=1,2,???，n),2+5)=°,則隨機XX—Xp一k=^的分布Bn記B=Xbk2,若存在5〉0,滿足lim*寸E(lXkXX—Xp一k=^的分布Bn變量之和XX的標準化變量Z=k1kk1kk—1 n :Var(Xx.)' k=1函數(shù)F(x),對于任意的x滿足火-￡七1-limF(x)=limP(^=1 k= <x)=_J*e2dt=①(x)。nr+8nnr+8 B J2?！猻n這個定理是李雅普諾夫在1900年提出的。它表明，在定理條件下，隨機變量5—￡七Z=4一kBk=1k，當n很大時，近似地服從正態(tài)分布N(0,1),由此，當n很大n時，Ex二BZ￡七近似地服從正態(tài)分布N(t七，B2)。也就是說，無， knnk kn ，k—1 k—1 k—1論各個隨機變量xg=1,2，…,n)服從什么分布，只要滿足定理條件，那么它們的和￡X，當n很大時，就近似地服從正態(tài)分布，這就是為什么正態(tài)隨機變量kk—1在概率論中占有重要地位的一個基本原因。在實際生活的很多問題中，所考慮的隨機變量往往可以表示成很多個獨立的隨機變量之和。例如：在任一指定時刻，一個城市的耗電量是大量用戶的耗電量的總和；一個物理實驗的測量誤差是由許多觀察不到的、可加的微小誤差所合成的，它們往往近似地服從正態(tài)分布。在現(xiàn)實生活中，人們往往比較在意錢的花費，那么在器件價格預算方面，李雅普諾夫中心極限定理又有著怎樣的神奇之處呢？請看下面這例題。例4.某種器件使用壽命(單位：小時)服從指數(shù)分布，其平均使用壽命為20小時，具體使用時是一器件損壞后立即更換另一個新器件，如此繼續(xù)，已知每個器件進價為a元。試求在年計劃中應為此器件作多少預算才可能有95%的把握一年夠用(假定一年有2000個工作小時)？[3]解：設第k個器件使用壽命為X.，由于xk服從參數(shù)為人的指數(shù)分布，且E(X)=20，所以E(X)=1，X=—，那么，Var(X)=—=400。TOC\o"1-5"\h\z/ /X20 iX2假定一年至少準備n件才能有95%的把握夠用，k=1,2,-??,n,X『X2,---,X了相互獨立，記七=￡Xi，由李雅普諾夫中心極限定理知P{Y>2000}=0.95n—1即0.05=P{Y<2000}=P{Yn-20n<2000—?0n}w$(2000-30n)n 20tn 20*n 20、n2000—20n n—100 n—100所以偵 =—)=饑一)w0.95。查表得：一=1.64,nw118。20、.n v'n n所以，在年計劃中應為此器件作118件預算才可能有95%的把握一年夠用。

四、中心極限定理在二項分布中的特殊應用由于二項分布在實際問題中有著大量的應用，因此在這些中心極限定理中，棣一拉中心極限定理有著更重要的地位，它可以解決的問題類型也特別多。如果在棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理中，我們將二項分布看成是n個獨立同分布的0—1分布的和，于是我們能得到下面的棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理，即如下的兩個定理：設X~B(n,p)，則局部極限定理當n較大時，P(X=k)(n) 1 -(k-當n較大時，P(X=k)pkqn-k=_. _e2npq{kJ J2^npq積分極限定理當n較大時，當n較大時，P(a<X<b)=F(b)-F(a)=。"wpqJ-0|=I(npq其中q=1一p,k=0,1,2,...n該定理的具體應用主要有以下幾個方面：應用一：導出貝努利大數(shù)定理。應用二：近似計算服從二項分布的隨機變量在某范圍內(nèi)取值的概率。應用三：已知服從二項分布的隨機變量在某范圍內(nèi)取值的概率，估計該范圍(或該范圍的最大值)。應用四：與用頻率估計概率有關的二項分布的近似計算。這里主要闡述棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理在現(xiàn)實生活中有關二項分布的應用問題。在前面的學習中，我們已經(jīng)知道了“二項分布的泊松近似”，即用泊松分布來作為相應的二項分布的近似。在二項分布b(n,p)中，當n較大，而p又較小的情況下時，我們有以下的泊松定理。定理5(泊松定理)在n重伯努利試驗中，記事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為Pn(與試驗次數(shù)n有關)，如果當n—8時，有nP^X，則一. (n)— 、人k.lim Pk(1—Pk)n-k=e-人IkJn' -k!n—8、 /而在二項分布b(n,p)中，當n較大，p又不小時，且當p處在np>5和n(1—p)>5時，則用正態(tài)分布近似比較好，這就用到了棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理。棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理在各個方面都有著廣泛的應用，尤其是在管理中也有著不小的應用，請看下面的這例題：例5.水房擁擠問題：假設紹興文理學院要建新校區(qū)，里面有學生5000人，只有一個開水房。由于每天傍晚打開水的人較多，經(jīng)常出現(xiàn)同學排長隊的現(xiàn)象，為此校學生會特向后勤集團提議增設水龍頭。假設后勤集團經(jīng)過調(diào)查，發(fā)現(xiàn)每個學生在傍晚一般有1%的時間要占用一個水龍頭，現(xiàn)有水龍頭45個，現(xiàn)在總務處遇到的問題是：未新裝水龍頭前，擁擠的概率是多少？至少要裝多少個水龍頭，才能以95%以上的概率保證不擁擠？[4]分析：首先，我們先設5000個學生中占有水龍頭的人數(shù)為隨機變量X,未新裝水龍頭前，擁擠的概率為p。因為題中占有水龍頭的人和人之間是獨立的，而且占用水龍頭的概率都一樣為0.01。因此比較容易看出，此題中的X是服從二項分布的，所以我們可用二項分布的方法將p的具體值求出來，即有了下面的解法一：解法一：(1).因為X?8(5000,0.01)，所以有/ \(5000) ..P(X=k)= 0.01k(0.99)5000—k,其中k=0,1,2,...5000,kkkJ于是有”- - 弭5(5000)p=P(&〉45)=1—P(0<^<45)=1-交 0.01k0.995000—kk=0技 J(2).欲求m,使得P(0獎<m)>0.95，貝寸(5000〉0.0100.995000>0.95并 0.01k0.995000—0.0100.995000>0.95kk=0kk J這種方法可以把p和m的具體值求出來。但是，用這種方法做這道題的時候，在求X等于某一個值的時候都比較困難，更何況求上千個呢，所以這種方法理論上可以，但是實際上是行不通的。當二項分布不好求時，我們還學過用泊松分布來近似，因為泊松分布是有表可查的，那么這道題可不可以用泊松分布來近似呢？應該說是不可以的，因為二項分布去近似泊松分布的時候，要求二項分布中的n要比較大，p要比較小，而且np也要不大，而本題中，np=50,顯然是太大了，所以用泊松分布近似是行不通的。那么現(xiàn)在再讓我們看看中心極限定理，它是可以用來近似二項分布b(n,p)的，只要該二項分布中的n較大，p又不小時，且當p處在np〉5和n(1—p)〉5時，就可以用正態(tài)分布來近似。而這里，np=50,n(1—p)=4950，均滿足中心極限定理的條件，故有了下面的解法二：解法二：(1).設同一時刻，5000個學生中占用水龍頭的人數(shù)為X,則

X?B(5000,0.01)擁擠的概率是”- - 弭5(5000)p=P(&〉45)=1-P(0<^<45)=1-交 0.0M0.995000Tk=°技)由棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理，n=5000,p=0.01,q=0.99,np=50,<npq=7.0445-45-50、.. )-9(7.04尸(0<&<45)=奴°^°)=9(-0.71)-尸(0<&<45)=奴即擁擠的概率為P(&〉45)=1-0.2389=0.7611(2).欲求m，使得P(0<&<m)>0.95,則由棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理可知，9(M可知，9(M)-9(

7.040-50

7.04)>0.95由于9(°^°)=9(-7.09)牝07.04m—50、即9( )>0.957.04m-50查表得>1.6457.04即m>61.6故需裝62個水龍頭，才能以95%以上的概率保證不擁擠。從這一題中，我們可明顯地看出中心極限定理在實際應用中起到很重要的作用，尤其是棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理能很好地處理好二項分布中的近似計算問題。-—-—L■—-—- -：—■—正所謂“人有旦夕禍福，月有陰晴圓缺”，我們生活在這世上并總不是那么一帆風順的，因此很多人都想去買保險，為的只是以防萬一。而很多年長的人，也會選擇去買養(yǎng)老保險。那么我們是不是很想知道中心極限定理在保險方面的應用呢？請看以下這道例題：例6.某保險公司有2500個人參加保險，每人每年付1200元保險費，在一年內(nèi)一個人死亡的概率為0.002，死亡時其家屬可向保險公司領得20萬元。問：(1)保險公司虧本的概率有多大？(2)保險公司一年的利潤不少于1010萬元，200萬元的概率各為多大？⑶分析：首先，我們先設一年內(nèi)死亡的人數(shù)為隨機變量X，保險公司虧本的概率為P。因為題中人和人之間是獨立的，而且死亡的概率都一樣為0.002，因此比較容易看出，此題中的X是服從二項分布的，我們也可用二項分布的方法把p具體地求出來，但要想求出P(X=k)=]2500]0.002k(0.998)2500-k絕非易事，更何偵)況還要算上幾千個呢？為此我們不妨用中心極限定理來求解它。解：設X為一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則X?8(2500,0.002)，np=5，np(1-p)=1.99由棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理知15-5 .P(虧本)=P(20X>300)=P(X>15)=1-P(X<15)牝1-偵^=)=1-^(4.48)<4.99二1-0.99993=0.00007所以，保險公司虧本的概率為0.00007，幾乎為0。由棣莫弗一拉普拉斯中心極限定理知10-5P(利潤>100)=P(300-20X>100)=P(X<10)例(=)=0.98<4.995-5P(利潤>200)=P(300-20X>200)=P(X<5)例(~^=)=0.5,4.99以上結(jié)果說明，保險公司幾乎不可能虧本.不過，關鍵之處是對死亡率的估計必須正確，如果所估計的死亡率比實際低，甚至低得多，那么，情況就會不同。五、中心極限定理與切比雪夫不等式的聯(lián)系與區(qū)別前面我們已經(jīng)學過了切比雪夫不等式，為了更好地與中心極限定理相比較，我們先來熟悉一下何為切比雪夫不等式。切比雪夫不等式：設隨機變量X具有有限期望日和方差Var(X)，則對與任意正數(shù)8,有如下的不等式成立p(iX-四i>e)<Va￥2。82從上述切比雪夫不等式的定義可知，它和中心極限定理一樣，都可以對所求的問題進行適度地估計，而且切比雪夫不等式和中心極限定理都要用到變量的期望日與方差Var(X)。但不同的是，切比雪夫不等式在應用中，是在隨機變量X的分布未知的情況下，只利用X的期望與方差，即可對X的概率分布進行估值，但往往這種情況下估出來的值是粗糙的。而中心極限定理在生活中的應用則是對于相互獨立的隨機變量序列｛X｝，不管X(i=1,2,...,n)服從什么分布，只要它們n i是服從同一分布，且有數(shù)學期望和方差，那么，當n充分大時，這些隨機變量之和乎X就近似地服從正態(tài)分布N(四q2)。為了加深對它們的理解，請先看以下ii=1這道例題：

例7.假設電站電網(wǎng)有10000盞電燈，夜晚每一盞燈開燈的概率都是0.7,而假定開關之間彼此獨立，估計夜晚開著的燈數(shù)在6800與7200之間的概率。[5]分析：首先，我們先設夜晚開著的燈數(shù)為隨機變量X，夜晚開著的燈數(shù)在6800與7200之間的概率為P。因為題中燈和燈之間是獨立的，而且開著的概率都一樣為0.7，因此比較容易看出，此題中的X是服從二項分布的，所以我們可用二項分布的方法將P的具體值求出來，但是根據(jù)第四部分的分析，我們可知算一個P(X=k)=]1OOO°]0.7k(0.3)10000-k就很困難，那么如果要算3999個這樣的值是不偵)是顯得不太實際呢？仔細觀察這題的問題，不難發(fā)現(xiàn)，最后所求的區(qū)間是關于隨機變量X的數(shù)學期望EX對稱的區(qū)間，而且是要估計最后的結(jié)果，因此我們可以用切比雪夫不等式來估計。我們都知道，切比雪夫有著一個重要的不等式，即P《X-E(X)<18)>1-Var(X)，所以有著下面的解法一：：&2解法一：因為X?8(10000,0.7)，所以E(X)=10000*0.7=7000,Var(X)=10000*0.7*0.3=2100,因此，才艮據(jù)切比雪夫不等式，有p=P(6800<X<7200)=P(IX-70001<200)>1-1002=0.9475因此由切比雪夫不等式估計出的最后結(jié)果為pe[0.9475,1]，區(qū)間長度較短，結(jié)果較好。切比雪夫不等式估計出來的結(jié)果是比較好，但是這還只是估計出結(jié)果屬于的區(qū)間，到底結(jié)果是多少還是不知道。要想知道具體結(jié)果是什么，還是用中心極限定理來研究比較簡單。根據(jù)棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理的積分極限定理，我們可知例題的條件符合它，為此我們有如下的解法：解法二：因為X?8(10000,0.7)，所以根據(jù)積分極限定理有，(6800-7000|T2T00/p=P(6800(6800-7000|T2T00/p=P(6800<Xv7200-F(720Q—F(6800)=。盤(4.37)-。(-盤(4.37)-。(-4.37)=2^(4.37)-1,據(jù)標準正態(tài)分布函數(shù)表，有小(4.37)=0.999993788，所以p=P(6800<X<7200)=2x0.999993788-1=0.999987576從這一題中，我們可明顯地看出切比雪夫不等式和中心極限定理在處理二項分布中的近似計算問題時都有著極其強大的功能。但是相比于切比雪夫不等式，我們也可明顯地看出中心極限定理的精確與方便。

例8.現(xiàn)有一大批種子，其中良種占1，今在其中任選6000粒，試分別用6切比雪夫不等式估計和用中心極限定理計算在這些種子中良種所占的比例與16之差小于1%的概率是多少？⑹分析：我們不妨先設6000粒種子中良種的個數(shù)為隨機變量X，這些種子中良種所占的比例與1之差小于1%的概率為P。因為題中良種之間是獨立的，而且6是良種的概率都一樣為1。所以我們可知，X服從于二項分布，即有6X?5(6000,6)。解：設選出的種子中的良種粒數(shù)為X，則X?5(6000,1)，于是，6E(X)=1000,Var(X)=迎0，要估計的概率為P{I-^-1I〈上}6 60006100(1)用切比雪夫不等式估計此概率：P{|M-1I〈上}=P{IX-10001<60}>1-Var(X)=1-5000x-^=1-0.231560006100 602 6 3600=0.7685。即用切比雪夫不等式來估計此概率不小于0.7685⑵由棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理，對于二項分布5(6000,1)，可用正態(tài)6分布N(1000,5000)來近似，于是所求概率為6(1060-1000(1060-1000)^V5000/6J?f皿-1000]L<5000/6)尸{I——-1< }=P{940<X<1060}=甲60006100總2中(2.0785)-1=0.9625。即用中心極限定理來估計此概率不小于0.9625。從上例看出：用切比雪夫不等式只能得到要求的概率不小于0.7685，而用中心極限定理可得出要求的概率近似等