上海育林中學2021年高三數(shù)學文月考試卷含解析

上海育林中學2021年高三數(shù)學文月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若復數(shù)z滿足z(1-2i)=5(i為虛數(shù)單位），則復數(shù)z為

(A)1+2i

(B)2－i

(C)1-2i

(D)2＋i參考答案：A略2.定義域為R的函數(shù)y=f（x）對于任意x都有時的根的個數(shù)為

A．7

B．6

C．5

D．4參考答案：C3.（多選題）已知函數(shù),則下列結(jié)論中正確的是(

)A.函數(shù)f(x)是周期為π的偶函數(shù)B.函數(shù)f(x)在區(qū)間上是減函數(shù)C.若函數(shù)f(x)的定義域為,則值域為D.函數(shù)f(x)的圖像與的圖像重合參考答案：BD【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)一一驗證即可得解.【詳解】解：錯，函數(shù)是周期為的函數(shù)，但不是偶函數(shù)；B正確，當時,，所以函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；C錯，若函數(shù)的定義域為，則，其值域為；D正確，，故D正確.故選：【點睛】本題考查余弦函數(shù)的性質(zhì)的應用，屬于中檔題.4.函數(shù)的圖象大致是（

）A. B. C. D.參考答案：D因為滿足偶函數(shù)f（﹣x）=f（x）的定義，所以函數(shù)為偶函數(shù)，其圖象關于y軸對稱，故排除B，又x=0時，y=0，排除A、C，故選D.

5.函數(shù)的最大值為（

）A．-1

B．1

C．2

D．3參考答案：D6.根據(jù)有關資料，圍棋狀態(tài)空間復雜度的上限M約為3361，而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為1080.則下列各數(shù)中與最接近的是（參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.48）A.1033 B.1053C.1073 D.1093參考答案：D試題分析：設，兩邊取對數(shù)，，所以，即最接近，故選D.

【名師點睛】本題考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力，本題以實際問題的形式給出，但本質(zhì)就是對數(shù)的運算關系，以及指數(shù)與對數(shù)運算的關系，難點是令，并想到兩邊同時取對數(shù)進行求解，對數(shù)運算公式包含，，.7.平面向量與夾角為，，則（

）

A.

B.

C.7

D.3參考答案：A8.設f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，當n∈N*時，f（n）∈N*，且f=2n+1，則f（1）+f（2）+…+f（7）=(

)A．39 B．40 C．43 D．46參考答案：C【考點】抽象函數(shù)及其應用；函數(shù)的值．【專題】計算題；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化思想；函數(shù)的性質(zhì)及應用；推理和證明．【分析】利用函數(shù)單調(diào)遞增及n∈N*時，f（n）∈N*，通過賦值法，和簡單的邏輯推理，即可得到f（4）的值．【解答】解：由f=2n+1，令n=1，2得：f=3，f=5．∵當n∈N*時，f（n）∈N*，且f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，①若f（1）=1，則由f=3得：f（1）=3，與單調(diào)遞增矛盾，故不成立；②若f（1）=2，則f（2）=3，則f（3）=5，則f（5）=7，則f（3）＜f（4）＜f（5）即5＜f（4）＜7，∴f（4）=6．f（6）=f（f（4））=2×4+1=9，f（7）=f（f（5））2×5+1=11．∴f（1）+f（2）+…+f（7）=2+3+5+6+7+9+11=43．故選：C．【點評】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，抽象函數(shù)的應用，以及賦值法，考查推理能力，屬于中檔題．9.在正項等比數(shù)列中，和為方程的兩根，則等于

A.16

B.32

C.64

D.256參考答案：C略10.如圖，網(wǎng)格紙上的小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（

）A.32 B.16 C. D.參考答案：D【分析】根據(jù)三視圖可知幾何體為一個三棱柱切掉一個三棱錐，分別求解出三棱柱和三棱錐的體積，作差即可得到結(jié)果.【詳解】由三視圖可知，幾何體為一個三棱柱切掉一個三棱錐如下圖所示：則為中點，所求幾何體體積：本題正確選項：【點睛】本題考查多面體體積的求解問題，關鍵是能夠通過割補的方式來進行求解.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.執(zhí)行如右圖所示的程序框圖，若輸入的的值為10，則輸出的

.參考答案：4略12.若過點A（4，0）的直線l與曲線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍為

。參考答案：13.已知圓，直線過點P（3，1），則當直線被圓C截得的弦長最短時，直線的方程為__________．參考答案：略14.已知實數(shù)，滿足，則的最大值為

．參考答案：15.已知三棱錐S-ABC的底面是正三角形，A點在側(cè)面SBC上的射影H是△SBC的垂心，二面角H-AB-C的平面角等于30°,SA=2。那么三棱錐S-ABC的體積為__________.參考答案：由題設，AH⊥面SBC．作BH⊥SC于E．由三垂線定理可知SC⊥AE，SC⊥AB．故SC⊥面ABE．設S在面ABC內(nèi)射影為O，則SO⊥面ABC．由三垂線定理之逆定理，可知CO⊥AB于F．同理，BO⊥AC．故O為△ABC的垂心．

又因為△ABC是等邊三角形，故O為△ABC的中心，從而SA=SB=SC=．

因為CF⊥AB，CF是EF在面ABC上的射影，由三垂線定理，EF⊥AB．所以，∠EFC是二面角H-AB-C的平面角．故∠EFC=30°，OC=SCcos60°=，

SO=tg60°=×=3．

又OC=AB，故AB=OC=×=3．

所以，VS-ABC=．16.在等比數(shù)列{an}中，a1=，a4=4，則公比q=______________；a1+a2+…+an=_________________.參考答案：；本題考查了等比數(shù)列的概念以及等比數(shù)列的求和，難度中等．由題意可知，可得，所以。17.．已知實數(shù)、滿足，則－3的最大值是_______.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設函數(shù)．（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（Ⅱ）若x≥0時，恒有f（x）≤ax3，試求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）令，試證明：．參考答案：考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用；數(shù)列與函數(shù)的綜合．專題：計算題；壓軸題．分析：（I）先求導數(shù)，再求出f'（x）＞0時x的范圍；并且求出f'（x）＜0時x的范圍；進而解決單調(diào)性問題．（II）令g（x）=f（x）﹣ax3=x﹣ln（x+）﹣ax3．則g′（x）=，令h（x）=，求其導數(shù)，下面對a進行分類討論：（1）當a≥時，（2）當0＜a＜時，（3）當a≤0時，h′（x）＞0，最后綜合得出實數(shù)a的取值范圍．（III）在（II）中取a=，則x∈[0，]，時，x﹣ln（x+）＞x3，即x3+ln（x+）＜x，令x=（）2n，利用等比數(shù)列求和公式即可證明結(jié)論．解答：解：（I）函數(shù)的定義域為R，由于f′（x）=1﹣≥0，知f（x）是R上的增函數(shù)．（II）令g（x）=f（x）﹣ax3=x﹣ln（x+）﹣ax3．則g′（x）=，令h（x）=，則h′（x）=，（1）當a≥時，h′（x）≤0，從而h（x）是[0，+∞）上的減函數(shù)，因h（0）=0，則x≥0時，h（x）≤0，也即g′（x）≤0，進而g（x）是[0，+∞）上的減函數(shù)，注意g（0）=0，則x≥0時，g（x）≤0，也即f（x）≤ax3，（2）當0＜a＜時，在[0，]，h′（x）＞0，從而x∈[0，]時，也即f（x）＞ax3，（3）當a≤0時，h′（x）＞0，同理可知：f（x）＞ax3，綜合，實數(shù)a的取值范圍[，+∞）．（III）在（II）中取a=，則x∈[0，]，時，x﹣ln（x+）＞x3，即x3+ln（x+）＜x，令x=（）2n，則＜（）2n，∴點評：本小題主要考查導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用、數(shù)列與函數(shù)的綜合等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．解決此類問題的關鍵是熟練掌握求導該生并且利用導數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)區(qū)間問題．19.已知曲線C的極坐標方程是ρ=4cosθ．以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線l的參數(shù)方程是：（t是參數(shù)）．（1）若直線l與曲線C相交于A、B兩點，且|AB|=，試求實數(shù)m值．（2）設M（x，y）為曲線C上任意一點，求x+2y的取值范圍．參考答案：【考點】參數(shù)方程化成普通方程；擺線在刻畫行星運動軌道中的作用．【分析】（1）求出圓的圓心和半徑，根據(jù)垂徑定理列出方程解出m；（2）求出曲線C的參數(shù)方程，將參數(shù)方程代入x+2y得到關于參數(shù)得三角函數(shù)，使用三角函數(shù)的性質(zhì)得出最值．【解答】解：（1）∵ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，∴曲線C的直角坐標方程為：x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2=4．∵，∴直線l的直角坐標方程為：y=x﹣m．即x﹣y﹣m=0．∵|AB|=，∴圓心到直線l的距離（弦心距）d=．即，解得m=1或m=3．（2）曲線C的參數(shù)方程為：（θ為參數(shù)），∵M（x，y）為曲線C上任意一點，∴x+2y=2+2cosθ+4sinθ=2+2sin（θ+φ）．∴x+2y的取值范圍是[2﹣2，2+2]．20.如圖，已知橢圓M：=1（a＞b＞0），其離心率為，兩條準線之間的距離為．B，C分別為橢圓M的上、下頂點，過點T（t，2）（t≠0）的直線TB，TC分別與橢圓M交于E，F(xiàn)兩點．（1）求橢圓M的標準方程；（2）若△TBC的面積是△TEF的面積的k倍，求k的最大值．參考答案：考點：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（1）由橢圓的離心率公式和準線方程，結(jié)合橢圓的a，b，c的關系，計算即可得到；（2）分別求出直線PB，TC的方程，代入橢圓方程，求得交點E，F(xiàn)的橫坐標，再由三角形的面積公式，結(jié)合二次函數(shù)，計算即可得到最大值．解答：解：（1）由題意得e==，=，解得a=2，c=，b=1，則橢圓方程為+y2=1；（2）由B（0，1），C（0，﹣1），T（t，2），則直線TB：y=x+1，代入橢圓方程可得，（1+）x2+x=0，解得xE=，直線TC：y=x﹣1，代入橢圓方程可得xF=，k====?=?=，令t2+12=m＞12，則k==1+﹣≤，當且僅當m=24，即t=±2時，取得“=”，所以k的最大值為．點評：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的離心率和方程的運用，聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求得交點，同時考查三角形的面積公式的運用，考查運算能力，屬于中檔題．21.如圖，四棱柱的底面為菱形，且.（1）證明：四邊形為矩形；（2）若，平面，求四棱柱的體積.參考答案：（1）證明:連接，設，連接.∵，∴.又為的中點，∴.∴平面，∴.∵，∴.又四邊形是平行四邊形，則四邊形為矩形.（2）解：由，可得，∴.由平面，可得平面平面，且交線為.過點作，垂足為點，則平面.因為平面,∴，即.在中，可得.所以四棱柱的體積為.22.(本小題滿分12分)已知橢圓的焦點在軸上，離心率為，對稱軸為坐標軸，且經(jīng)過點．（I）求橢圓的方程；（II）直線與橢圓相交于、兩點，為原點，在、上分別存在異于點的點、，使得在以為直徑的圓外，求直線斜率的取值范圍．參考答案：（I）依題意，可設橢圓的方程為．

由

∵橢圓經(jīng)過點，則，解得∴橢圓的方程為······························································································（II）聯(lián)立方程組，消去整理得·························∵