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文檔簡介
2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知復數(shù)z滿足(i為虛數(shù)單位),則在復平面內(nèi)復數(shù)z對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.己知函數(shù)的圖象與直線恰有四個公共點,其中,則()A. B.0 C.1 D.3.設(shè),,則的值為()A. B.C. D.4.已知函數(shù)的圖象在點處的切線方程是,則()A.2 B.3 C.-2 D.-35.設(shè)集合,集合,則=()A. B. C. D.R6.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.7.已知f(x),g(x)都是偶函數(shù),且在[0,+∞)上單調(diào)遞增,設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)+g(1-x)-|f(x)-g(1-x)|,若a>0,則()A.F(-a)≥F(a)且F(1+a)≥F(1-a)B.F(-a)≥F(a)且F(1+a)≤F(1-a)C.F(-a)≤F(a)且F(1+a)≥F(1-a)D.F(-a)≤F(a)且F(1+a)≤F(1-a)8.在中所對的邊分別是,若,則()A.37 B.13 C. D.9.如圖在直角坐標系中,過原點作曲線的切線,切點為,過點分別作、軸的垂線,垂足分別為、,在矩形中隨機選取一點,則它在陰影部分的概率為()A. B. C. D.10.已知(i為虛數(shù)單位,),則ab等于()A.2 B.-2 C. D.11.設(shè),且,則()A. B. C. D.12.已知非零向量,滿足,,則與的夾角為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)變量,,滿足約束條件,則目標函數(shù)的最小值是______.14.曲線在處的切線方程是_________.15.如圖,橢圓:的離心率為,F(xiàn)是的右焦點,點P是上第一角限內(nèi)任意一點,,,若,則的取值范圍是_______.16.某學校高一、高二、高三年級的學生人數(shù)之比為,現(xiàn)按年級采用分層抽樣的方法抽取若干人,若抽取的高三年級為12人,則抽取的樣本容量為________人.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在平面直角坐標系xOy中,拋物線C:,以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,直線l的極坐標方程為().(1)求拋物線C的極坐標方程;(2)若拋物線C與直線l交于A,B兩點,求的值.18.(12分)已知△ABC三內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a,b,c,且3sin2A+3sin2B=4sinAsinB+3sin2C.(1)求cosC的值;(2)若a=3,c,求△ABC的面積.19.(12分)已知關(guān)于的不等式解集為().(1)求正數(shù)的值;(2)設(shè),且,求證:.20.(12分)在中,內(nèi)角的對邊分別為,且(1)求;(2)若,且面積的最大值為,求周長的取值范圍.21.(12分)已知函數(shù)(,為自然對數(shù)的底數(shù)),.(1)若有兩個零點,求實數(shù)的取值范圍;(2)當時,對任意的恒成立,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)如圖,已知橢圓的右焦點為,,為橢圓上的兩個動點,周長的最大值為8.(Ⅰ)求橢圓的標準方程;(Ⅱ)直線經(jīng)過,交橢圓于點,,直線與直線的傾斜角互補,且交橢圓于點,,,求證:直線與直線的交點在定直線上.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】
根據(jù)復數(shù)運算,求得,再求其對應點即可判斷.【詳解】,故其對應點的坐標為.其位于第四象限.故選:D.【點睛】本題考查復數(shù)的運算,以及復數(shù)對應點的坐標,屬綜合基礎(chǔ)題.2.A【解析】
先將函數(shù)解析式化簡為,結(jié)合題意可求得切點及其范圍,根據(jù)導數(shù)幾何意義,即可求得的值.【詳解】函數(shù)即直線與函數(shù)圖象恰有四個公共點,結(jié)合圖象知直線與函數(shù)相切于,,因為,故,所以.故選:A.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)的綜合應用,由交點及導數(shù)的幾何意義求函數(shù)值,屬于難題.3.D【解析】
利用倍角公式求得的值,利用誘導公式求得的值,利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求得的值,進而求得的值,最后利用正切差角公式求得結(jié)果.【詳解】,,,,,,,,故選:D.【點睛】該題考查的是有關(guān)三角函數(shù)求值問題,涉及到的知識點有誘導公式,正切倍角公式,同角三角函數(shù)關(guān)系式,正切差角公式,屬于基礎(chǔ)題目.4.B【解析】
根據(jù)求出再根據(jù)也在直線上,求出b的值,即得解.【詳解】因為,所以所以,又也在直線上,所以,解得所以.故選:B【點睛】本題主要考查導數(shù)的幾何意義,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.5.D【解析】試題分析:由題,,,選D考點:集合的運算6.A【解析】
利用已知條件畫出幾何體的直觀圖,然后求解幾何體的體積.【詳解】幾何體的三視圖的直觀圖如圖所示,則該幾何體的體積為:.故選:.【點睛】本題考查三視圖求解幾何體的體積,判斷幾何體的形狀是解題的關(guān)鍵.7.A【解析】試題分析:由題意得,F(xiàn)(x)=2g(1-x),f(x)≥g(1-x)∴F(-a)=2g(1+a),f(a)=f(-a)≥g(1+a)2f(-a),f(a)=f(-a)<g(1+a),∵a>0,∴(a+1)2-(a-1)∴若f(a)>g(1+a):F(-a)=2g(1+a),F(xiàn)(a)=2g(1-a),∴F(-a)>F(a),若g(1-a)≤f(a)≤g(1+a):F(-a)=2f(-a)=2f(a),F(xiàn)(a)=2g(1-a),∴F(-a)≥F(a),若f(a)<g(1-a):F(-a)=2f(-a)=2f(a),F(xiàn)(a)=2f(a),∴F(-a)=F(a),綜上可知F(-a)≥F(a),同理可知F(1+a)≥F(1-a),故選A.考點:1.函數(shù)的性質(zhì);2.分類討論的數(shù)學思想.【思路點睛】本題在在解題過程中抓住偶函數(shù)的性質(zhì),避免了由于單調(diào)性不同導致1-a與1+a大小不明確的討論,從而使解題過程得以優(yōu)化,另外,不要忘記定義域,如果要研究奇函數(shù)或者偶函數(shù)的值域、最值、單調(diào)性等問題,通常先在原點一側(cè)的區(qū)間(對奇(偶)函數(shù)而言)或某一周期內(nèi)(對周期函數(shù)而言)考慮,然后推廣到整個定義域上.8.D【解析】
直接根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】解:∵,∴,∴,故選:D.【點睛】本題主要考查余弦定理解三角形,屬于基礎(chǔ)題.9.A【解析】
設(shè)所求切線的方程為,聯(lián)立,消去得出關(guān)于的方程,可得出,求出的值,進而求得切點的坐標,利用定積分求出陰影部分區(qū)域的面積,然后利用幾何概型概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】設(shè)所求切線的方程為,則,聯(lián)立,消去得①,由,解得,方程①為,解得,則點,所以,陰影部分區(qū)域的面積為,矩形的面積為,因此,所求概率為.故選:A.【點睛】本題考查定積分的計算以及幾何概型,同時也涉及了二次函數(shù)的切線方程的求解,考查計算能力,屬于中等題.10.A【解析】
利用復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,再由復數(shù)相等的條件列式求解.【詳解】,,得,..故選:.【點睛】本題考查復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復數(shù)相等的條件,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平,是基礎(chǔ)題.11.C【解析】
將等式變形后,利用二次根式的性質(zhì)判斷出,即可求出的范圍.【詳解】即故選:C【點睛】此題考查解三角函數(shù)方程,恒等變化后根據(jù)的關(guān)系即可求解,屬于簡單題目.12.B【解析】
由平面向量垂直的數(shù)量積關(guān)系化簡,即可由平面向量數(shù)量積定義求得與的夾角.【詳解】根據(jù)平面向量數(shù)量積的垂直關(guān)系可得,,所以,即,由平面向量數(shù)量積定義可得,所以,而,即與的夾角為.故選:B【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的運算,平面向量夾角的求法,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.7【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域,得到如圖的△ABC及其內(nèi)部,其中A(2,1),B(1,2),C(4,5)設(shè)z=F(x,y)=2x+3y,將直線l:z=2x+3y進行平移,當l經(jīng)過點A時,目標函數(shù)z達到最小值∴z最小值=F(2,1)=714.【解析】
利用導數(shù)的運算法則求出導函數(shù),再利用導數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】求導得,所以,所以切線方程為故答案為:【點睛】本題考查了基本初等函數(shù)的導數(shù)、導數(shù)的運算法則以及導數(shù)的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】
由于點在橢圓上運動時,與軸的正方向的夾角在變,所以先設(shè),又由,可知,從而可得,而點在橢圓上,所以將點的坐標代入橢圓方程中化簡可得結(jié)果.【詳解】設(shè),,,則,由,得,代入橢圓方程,得,化簡得恒成立,由此得,即,故.故答案為:【點睛】此題考查的是利用橢圓中相關(guān)兩個點的關(guān)系求離心率,綜合性強,屬于難題.16.【解析】
根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論.【詳解】設(shè)抽取的樣本為,則由題意得,解得.故答案為:【點睛】本題考查了分層抽樣的知識,算出抽樣比是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)【解析】
(1)利用極坐標和直角坐標的互化公式,,即可求得結(jié)果.(2)由的幾何意義得,.將代入拋物線C的方程,利用韋達定理,,即可求得結(jié)果.【詳解】(1)因為,,代入得,所以拋物線C的極坐標方程為.(2)將代入拋物線C的方程得,所以,,所以,由的幾何意義得,.【點睛】本題考查直角坐標和極坐標的轉(zhuǎn)化,考查極坐標方程的綜合應用,考查了學生綜合分析,轉(zhuǎn)化與劃歸,數(shù)學運算的能力,難度一般.18.(1);(2)或.【解析】
(1)利用正弦定理對已知代數(shù)式化簡,根據(jù)余弦定理求解余弦值;(2)根據(jù)余弦定理求出b=1或b=3,結(jié)合面積公式求解.【詳解】(1)已知等式3sin2A+3sin2B=4sinAsinB+3sin2C,利用正弦定理化簡得:3a2+3b2﹣3c2=4ab,即a2+b2﹣c2ab,∴cosC;(2)把a=3,c,代入3a2+3b2﹣3c2=4ab得:b=1或b=3,∵cosC,C為三角形內(nèi)角,∴sinC,∴S△ABCabsinC3×bb,則△ABC的面積為或.【點睛】此題考查利用正余弦定理求解三角形,關(guān)鍵在于熟練掌握正弦定理進行邊角互化,利用余弦定理求解邊長,根據(jù)面積公式求解面積.19.(1)1;(2)證明見解析.【解析】
(1)將不等式化為,求解得出,根據(jù)解集確定正數(shù)的值;(2)利用基本不等式以及不等式的性質(zhì),得出,,,三式相加,即可得證.【詳解】(1)解:不等式,即不等式∴,而,于是依題意得(2)證明:由(1)知,原不等式可化為∵,∴,同理,三式相加得,當且僅當時取等號綜上.【點睛】本題主要考查了求絕對值不等式中參數(shù)的范圍以及基本不等式的應用,屬于中檔題.20.(1)(2)【解析】
(1)利用二倍角公式及三角形內(nèi)角和定理,將化簡為,求出的值,結(jié)合,求出A的值;(2)寫出三角形的面積公式,由其最大值為求出.由余弦定理,結(jié)合,,求出的范圍,注意.進而求出周長的范圍.【詳解】解:(1)整理得解得或(舍去)又;(2)由題意知,又,,又周長的取值范圍是【點睛】本題考查了二倍角余弦公式,三角形面積公式,余弦定理的應用,求三角形的周長的范圍問題.屬于中檔題.21.(1);(2)【解析】
(1)將有兩個零點轉(zhuǎn)化為方程有兩個相異實根,令求導,利用其單調(diào)性和極值求解;(2)將問題轉(zhuǎn)化為對一切恒成立,令,求導,研究單調(diào)性,求出其最值即可得結(jié)果.【詳解】(1)有兩個零點關(guān)于的方程有兩個相異實根由,知有兩個零點有兩個相異實根.令,則,由得:,由得:,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,又當時,,當時,當時,有兩個零點時,實數(shù)的取值范圍為;(2)當時,,原命題等價于對一切恒成立對一切恒成立.令令,,則在上單增又,,使即①當時,,當時,,即在遞減,在遞增,由①知函數(shù)在單調(diào)遞增即,實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,極值,最值問題,考查學生轉(zhuǎn)化能力和分析能力,是一道難度較大的題目.22.(Ⅰ);(Ⅱ)詳見解析.【解析】
(Ⅰ)由橢圓的定義可得,周長取最大值時,線段過點,可求出,從而求出橢圓的標準方程;(Ⅱ)
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