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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.如圖,在直三棱柱中,,,點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn),,分別記二面角,,的平面角為,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.2.羽毛球混合雙打比賽每隊(duì)由一男一女兩名運(yùn)動(dòng)員組成.某班級(jí)從名男生,,和名女生,,中各隨機(jī)選出兩名,把選出的人隨機(jī)分成兩隊(duì)進(jìn)行羽毛球混合雙打比賽,則和兩人組成一隊(duì)參加比賽的概率為()A. B. C. D.3.設(shè)全集U=R,集合,則()A. B. C. D.4.已知集合,,則集合子集的個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.5.設(shè),分別為雙曲線(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),過點(diǎn)作圓的切線與雙曲線的左支交于點(diǎn)P,若,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.6.當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象大致是()A. B.C. D.7.已知函數(shù),對(duì)任意的,,當(dāng)時(shí),,則下列判斷正確的是()A. B.函數(shù)在上遞增C.函數(shù)的一條對(duì)稱軸是 D.函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心是8.已知函數(shù),要得到函數(shù)的圖象,只需將的圖象()A.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C.向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D.向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度9.命題“”的否定為()A. B.C. D.10.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B.C. D.11.金庸先生的武俠小說《射雕英雄傳》第12回中有這樣一段情節(jié),“……洪七公道:肉只五種,但豬羊混咬是一般滋味,獐牛同嚼又是一般滋味,一共有幾般變化,我可算不出了”.現(xiàn)有五種不同的肉,任何兩種(含兩種)以上的肉混合后的滋味都不一樣,則混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為()A.20 B.24 C.25 D.2612.已知,若對(duì)任意,關(guān)于x的不等式(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))至少有2個(gè)正整數(shù)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知平面向量,,且,則向量與的夾角的大小為________.14.如圖,在矩形中,為邊的中點(diǎn),,,分別以、為圓心,為半徑作圓弧、(在線段上).由兩圓弧、及邊所圍成的平面圖形繞直線旋轉(zhuǎn)一周,則所形成的幾何體的體積為.15.已知函數(shù)則______.16.已知數(shù)列是等比數(shù)列,,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知集合,集合,.(1)求集合B;(2)記,且集合M中有且僅有一個(gè)整數(shù),求實(shí)數(shù)k的取值范圍.18.(12分)已知是各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列,其前項(xiàng)和為,且為與的等差中項(xiàng).(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;(2)設(shè),求的前100項(xiàng)和.19.(12分)在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的普通方程及直線的直角坐標(biāo)方程;(2)求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最大值與最小值.20.(12分)隨著改革開放的不斷深入,祖國(guó)不斷富強(qiáng),人民的生活水平逐步提高,為了進(jìn)一步改善民生,2019年1月1日起我國(guó)實(shí)施了個(gè)人所得稅的新政策,其政策的主要內(nèi)容包括:(1)個(gè)稅起征點(diǎn)為5000元;(2)每月應(yīng)納稅所得額(含稅)收入個(gè)稅起征點(diǎn)專項(xiàng)附加扣除;(3)專項(xiàng)附加扣除包括①贍養(yǎng)老人費(fèi)用②子女教育費(fèi)用③繼續(xù)教育費(fèi)用④大病醫(yī)療費(fèi)用等.其中前兩項(xiàng)的扣除標(biāo)準(zhǔn)為:①贍養(yǎng)老人費(fèi)用:每月扣除2000元②子女教育費(fèi)用:每個(gè)子女每月扣除1000元.新個(gè)稅政策的稅率表部分內(nèi)容如下:級(jí)數(shù)一級(jí)二級(jí)三級(jí)四級(jí)每月應(yīng)納稅所得額(含稅)不超過3000元的部分超過3000元至12000元的部分超過12000元至25000元的部分超過25000元至35000元的部分稅率3102025(1)現(xiàn)有李某月收入29600元,膝下有一名子女,需要贍養(yǎng)老人,除此之外,無其它專項(xiàng)附加扣除.請(qǐng)問李某月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為多少?(2)為研究月薪為20000元的群體的納稅情況,現(xiàn)收集了某城市500名的公司白領(lǐng)的相關(guān)資料,通過整理資料可知,有一個(gè)孩子的有400人,沒有孩子的有100人,有一個(gè)孩子的人中有300人需要贍養(yǎng)老人,沒有孩子的人中有50人需要贍養(yǎng)老人,并且他們均不符合其它專項(xiàng)附加扣除(受統(tǒng)計(jì)的500人中,任何兩人均不在一個(gè)家庭).若他們的月收入均為20000元,依據(jù)樣本估計(jì)總體的思想,試估計(jì)在新個(gè)稅政策下這類人群繳納個(gè)稅金額的分布列與期望.21.(12分)網(wǎng)絡(luò)看病就是國(guó)內(nèi)或者國(guó)外的單個(gè)人、多個(gè)人或者單位通過國(guó)際互聯(lián)網(wǎng)或者其他局域網(wǎng)對(duì)自我、他人或者某種生物的生理疾病或者機(jī)器故障進(jìn)行查找詢問、診斷治療、檢查修復(fù)的一種新興的看病方式.因此,實(shí)地看病與網(wǎng)絡(luò)看病便成為現(xiàn)在人們的兩種看病方式,最近某信息機(jī)構(gòu)調(diào)研了患者對(duì)網(wǎng)絡(luò)看病,實(shí)地看病的滿意程度,在每種看病方式的患者中各隨機(jī)抽取15名,將他們分成兩組,每組15人,分別對(duì)網(wǎng)絡(luò)看病,實(shí)地看病兩種方式進(jìn)行滿意度測(cè)評(píng),根據(jù)患者的評(píng)分(滿分100分)繪制了如圖所示的莖葉圖:(1)根據(jù)莖葉圖判斷患者對(duì)于網(wǎng)絡(luò)看病、實(shí)地看病那種方式的滿意度更高?并說明理由;(2)若將大于等于80分視為“滿意”,根據(jù)莖葉圖填寫下面的列聯(lián)表:滿意不滿意總計(jì)網(wǎng)絡(luò)看病實(shí)地看病總計(jì)并根據(jù)列聯(lián)表判斷能否有的把握認(rèn)為患者看病滿意度與看病方式有關(guān)?(3)從網(wǎng)絡(luò)看病的評(píng)價(jià)“滿意”的人中隨機(jī)抽取2人,求這2人平分都低于90分的概率.附,其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822.(10分)已知點(diǎn),若點(diǎn)滿足.(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡方程;(Ⅱ)過點(diǎn)的直線與(Ⅰ)中曲線相交于兩點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),求△面積的最大值及此時(shí)直線的方程.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
過點(diǎn)作,以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法求解二面角的余弦值得答案.【詳解】解:因?yàn)?,,所以,即過點(diǎn)作,以為原點(diǎn),為軸,為軸,為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,0,,,,,,0,,,1,,,,,,,設(shè)平面的法向量,則,取,得,同理可求平面的法向量,平面的法向量,平面的法向量.,,..故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查二面角的大小的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.2.B【解析】
根據(jù)組合知識(shí),計(jì)算出選出的人分成兩隊(duì)混合雙打的總數(shù)為,然后計(jì)算和分在一組的數(shù)目為,最后簡(jiǎn)單計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:分別從3名男生、3名女生中選2人:將選中2名女生平均分為兩組:將選中2名男生平均分為兩組:則選出的人分成兩隊(duì)混合雙打的總數(shù)為:和分在一組的數(shù)目為所以所求的概率為故選:B【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用,對(duì)平均分組的問題要掌握公式,比如:平均分成組,則要除以,即,審清題意,細(xì)心計(jì)算,考驗(yàn)分析能力,屬中檔題.3.A【解析】
求出集合M和集合N,,利用集合交集補(bǔ)集的定義進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】,,則,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集和補(bǔ)集的運(yùn)算,考查指數(shù)不等式和二次不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.4.B【解析】
首先求出,再根據(jù)含有個(gè)元素的集合有個(gè)子集,計(jì)算可得.【詳解】解:,,,子集的個(gè)數(shù)為.故選:.【點(diǎn)睛】考查列舉法、描述法的定義,以及交集的運(yùn)算,集合子集個(gè)數(shù)的計(jì)算公式,屬于基礎(chǔ)題.5.C【解析】
設(shè)過點(diǎn)作圓的切線的切點(diǎn)為,根據(jù)切線的性質(zhì)可得,且,再由和雙曲線的定義可得,得出為中點(diǎn),則有,得到,即可求解.【詳解】設(shè)過點(diǎn)作圓的切線的切點(diǎn)為,,所以是中點(diǎn),,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)、雙曲線定義、圓的切線性質(zhì),意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于中檔題.6.B【解析】由,解得,即或,函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),,不正確,設(shè),則,由,解得或,由,解得:,即是函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn),不成立,排除,故選B.【方法點(diǎn)晴】本題通過對(duì)多個(gè)圖象的選擇考察函數(shù)的解析式、定義域、值域、單調(diào)性,導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)化歸思想,屬于難題.這類題型也是近年高考常見的命題方向,該題型的特點(diǎn)是綜合性較強(qiáng)較強(qiáng)、考查知識(shí)點(diǎn)較多,但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手,根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點(diǎn)以及時(shí)函數(shù)圖象的變化趨勢(shì),利用排除法,將不合題意選項(xiàng)一一排除.7.D【解析】
利用輔助角公式將正弦函數(shù)化簡(jiǎn),然后通過題目已知條件求出函數(shù)的周期,從而得到,即可求出解析式,然后利用函數(shù)的性質(zhì)即可判斷.【詳解】,又,即,有且僅有滿足條件;又,則,,函數(shù),對(duì)于A,,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,由,解得,故B錯(cuò)誤;對(duì)于C,當(dāng)時(shí),,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,由,故D正確.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單三角恒等變換以及三角函數(shù)的性質(zhì),熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.8.A【解析】
根據(jù)函數(shù)圖像平移原則,即可容易求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,故要得到,只需將向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像平移前后解析式的變化,屬基礎(chǔ)題.9.C【解析】
套用命題的否定形式即可.【詳解】命題“”的否定為“”,所以命題“”的否定為“”.故選:C【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題的否定,屬于基礎(chǔ)題.10.A【解析】
根據(jù)題意,可得幾何體,利用體積計(jì)算即可.【詳解】由題意,該幾何體如圖所示:該幾何體的體積.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了常見幾何體的三視圖和體積計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.11.D【解析】
利用組合的意義可得混合后所有不同的滋味種數(shù)為,再利用組合數(shù)的計(jì)算公式可得所求的種數(shù).【詳解】混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為(種),故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查組合的應(yīng)用,此類問題注意實(shí)際問題的合理轉(zhuǎn)化,本題屬于容易題.12.B【解析】
構(gòu)造函數(shù)(),求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞增,則,問題轉(zhuǎn)化為,即至少有2個(gè)正整數(shù)解,構(gòu)造函數(shù),,通過導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,由可知,要使得至少有2個(gè)正整數(shù)解,只需即可,代入可求得結(jié)果.【詳解】構(gòu)造函數(shù)(),則(),所以在上單調(diào)遞增,所以,故問題轉(zhuǎn)化為至少存在兩個(gè)正整數(shù)x,使得成立,設(shè),,則,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增.,整理得.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在判斷函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用,考查不等式成立問題中求解參數(shù)問題,考查學(xué)生分析問題的能力和邏輯推理能力,難度較難.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
由,解得,進(jìn)而求出,即可得出結(jié)果.【詳解】解:因?yàn)椋?,解得,所以,所以向量與的夾角的大小為.都答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的運(yùn)算,平面向量垂直,向量夾角等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】由題意,可得所得到的幾何體是由一個(gè)圓柱挖去兩個(gè)半球而成;其中,圓柱的底面半徑為1,母線長(zhǎng)為2;體積為;兩個(gè)半球的半徑都為1,則兩個(gè)半球的體積為;則所求幾何體的體積為.考點(diǎn):旋轉(zhuǎn)體的組合體.15.【解析】
先由解析式求得(2),再求(2).【詳解】(2),,所以(2),故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)數(shù)、指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),分段函數(shù)求值關(guān)鍵是“對(duì)號(hào)入座”,屬于容易題.16.【解析】
根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式,首先求得,然后求得.【詳解】設(shè)的公比為,由,得,故.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)【解析】
(1)由不等式可得,討論與的關(guān)系,即可得到結(jié)果;(2)先解得不等式,由集合M中有且僅有一個(gè)整數(shù),當(dāng)時(shí),則M中僅有的整數(shù)為;當(dāng)時(shí),則M中僅有的整數(shù)為,進(jìn)而求解即可.【詳解】解:(1)因?yàn)?所以,當(dāng),即時(shí),;當(dāng),即時(shí),;當(dāng),即時(shí),.(2)由得,當(dāng),即時(shí),M中僅有的整數(shù)為,所以,即;當(dāng),即時(shí),M中僅有的整數(shù)為,所以,即;綜上,滿足題意的k的范圍為【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次不等式,考查由交集的結(jié)果求參數(shù)范圍,考查分類討論思想與運(yùn)算能力.18.(1)證明見解析;(2).【解析】
(1)利用已知條件化簡(jiǎn)出,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),再利用進(jìn)行化簡(jiǎn),得出,即可證明出為等差數(shù)列;(2)根據(jù)(1)中,求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,再化簡(jiǎn)出,可直接求出的前100項(xiàng)和.【詳解】解:(1)由題意知,即,①當(dāng)時(shí),由①式可得;又時(shí),有,代入①式得,整理得,∴是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列.(2)由(1)可得,∵是各項(xiàng)都為正數(shù),∴,∴,又,∴,則,,即:.∴的前100項(xiàng)和.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用,通項(xiàng)公式的求法以及裂項(xiàng)相消法求和,考查分析解題能力和計(jì)算能力.19.(1),(2)最大值,最小值【解析】
(1)由曲線的參數(shù)方程,得兩式平方相加求解,根據(jù)直線的極坐標(biāo)方程,展開有,再根據(jù)求解.(2)因?yàn)榍€C是一個(gè)半圓,利用數(shù)形結(jié)合,圓心到直線的距離減半徑即為最小值,最大值點(diǎn)由圖可知.【詳解】(1)因?yàn)榍€的參數(shù)方程為所以兩式平方相加得:因?yàn)橹本€的極坐標(biāo)方程為.所以所以即(2)如圖所示:圓心C到直線的距離為:所以圓上的點(diǎn)到直線的最小值為:則點(diǎn)M(2,0)到直線的距離為最大值:【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程,普通方程及極坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化和直線與圓的位置關(guān)系,還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.20.(1)李某月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為元,(2)分布列詳見解析,期望為1150元【解析】
(1)分段計(jì)算個(gè)人所得稅額;
(2)隨機(jī)變量X的所有可能的取值為990,1190,1390,1590,分別求出各值對(duì)應(yīng)的概率,列出分布列,求期望即可.【詳解】解:(1)李某月應(yīng)納稅所得額(含稅)為:29600?5000?1000?2000=21600元
不超過3000的部分稅額為3000×3%=90元
超過3000元至12000元的部分稅額為9000×10%=900元,
超過12000元至25000元的部分稅額為9600×20%=1920元
所以李某月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為90+900+1920=2910元,
(2)有一個(gè)孩子需要贍養(yǎng)老人應(yīng)納稅所得額(含稅)為:20000?5000?1000?2000=12000元,
月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為:90+900=990元
有一個(gè)孩子不需要贍養(yǎng)老人應(yīng)納稅所得額(含稅)為:20000?5000?1000=14000元,
月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為:90+900+400=1390元;
沒有孩子需要贍養(yǎng)老人應(yīng)納稅所得額(含稅)為:20000?5000?2000=13000元,
月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為:90+900+200=1190元;
沒有孩子不需要贍養(yǎng)老人應(yīng)納稅所得額(含稅)為:20000?5000=15000元,
月應(yīng)繳納的個(gè)稅金額為:90+900+600=1590元;
.
所以隨機(jī)變量X的分布列為:990119013901590.【點(diǎn)睛】本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用與函數(shù)值計(jì)算,考查了隨機(jī)變量的概率分布列與數(shù)學(xué)期望,屬于中檔題.21.(1)實(shí)地看病的滿意度更高,理由見解析;(2)列聯(lián)表見解析,有;(3).【解析】
(1)對(duì)實(shí)地看病滿意度更高,可以從莖葉圖四個(gè)方面選一個(gè)回答即可;(2)先完成列聯(lián)表,再由獨(dú)立性檢驗(yàn)得有的把握認(rèn)為患者看病滿意度與看病方式有關(guān);(3)利用古典概型的概率公式求得這2人平分都低于90分的概率.【詳解】(1)對(duì)實(shí)地看病滿意度更高,理由如下:(i)由莖葉圖可知:在網(wǎng)絡(luò)看病中,有的患者滿意度評(píng)分低于80分;在實(shí)地看病中,有的患者評(píng)分高于80分,因此患者對(duì)實(shí)地看病滿意度更高.(ii)由莖葉圖可知:網(wǎng)絡(luò)看病滿意度評(píng)分的中位數(shù)為73分,實(shí)地看病評(píng)分的中位數(shù)為87分,因此患者對(duì)實(shí)地看病滿意度更高.(iii)由莖葉圖可知:網(wǎng)絡(luò)看病的滿意度評(píng)分平均分低于80分;實(shí)地看病的滿意度的評(píng)分平均分高于80分,因此患者對(duì)實(shí)地看病滿意度更高.(iV)由莖葉圖可知:網(wǎng)絡(luò)看病的滿意度評(píng)分在莖6上的最多,
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