2022屆云南省昆明市官渡區(qū)官渡區(qū)第一中學(xué)高考數(shù)學(xué)四模試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)（）A．先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)保持不變B．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)保持不變C．先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)保持不變D．先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)保持不變2．如圖，四面體中，面和面都是等腰直角三角形，，，且二面角的大小為，若四面體的頂點(diǎn)都在球上，則球的表面積為（）A． B． C． D．3．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有一問(wèn)題：“今有鱉臑(biēnaò)，下廣五尺，無(wú)袤；上袤四尺，無(wú)廣；高七尺.問(wèn)積幾何？”該幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體外接球的表面積為()A．平方尺 B．平方尺C．平方尺 D．平方尺4．設(shè)遞增的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，，則（）A．9 B．27 C．81 D．5．下圖中的圖案是我國(guó)古代建筑中的一種裝飾圖案，形若銅錢，寓意富貴吉祥．在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自陰影區(qū)域內(nèi)（陰影部分由四條四分之一圓弧圍成）的概率是（）A． B． C． D．6．在中，點(diǎn)D是線段BC上任意一點(diǎn)，，，則（）A． B．-2 C． D．27．某人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地心為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓，其軌道的離心率為，設(shè)地球半徑為，該衛(wèi)星近地點(diǎn)離地面的距離為，則該衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離為（）A． B．C． D．8．已知為銳角，且，則等于（）A． B． C． D．9．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則公比的值為（）A． B．或 C． D．10．已知集合，，則（）A． B．C． D．11．已知函數(shù)，，若對(duì)任意的，存在實(shí)數(shù)滿足，使得，則的最大值是()A．3 B．2 C．4 D．512．已知將函數(shù)（，）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，若和的圖象都關(guān)于對(duì)稱，則下述四個(gè)結(jié)論：①②③④點(diǎn)為函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖是一個(gè)算法流程圖，若輸出的實(shí)數(shù)的值為，則輸入的實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____________.14．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載“今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四．問(wèn)人數(shù)、物價(jià)各幾何？”設(shè)人數(shù)、物價(jià)分別為、，滿足，則_____，_____．15．執(zhí)行如圖所示的偽代碼，若輸出的y的值為13，則輸入的x的值是_______.16．若函數(shù)(a＞0且a≠1)在定義域[m，n]上的值域是[m2，n2](1＜m＜n)，則a的取值范圍是_______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某工廠，兩條相互獨(dú)立的生產(chǎn)線生產(chǎn)同款產(chǎn)品，在產(chǎn)量一樣的情況下通過(guò)日常監(jiān)控得知，生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品為合格品的概率分別為和.（1）從，生產(chǎn)線上各抽檢一件產(chǎn)品，若使得至少有一件合格的概率不低于，求的最小值.（2）假設(shè)不合格的產(chǎn)品均可進(jìn)行返工修復(fù)為合格品，以（1）中確定的作為的值.①已知，生產(chǎn)線的不合格產(chǎn)品返工后每件產(chǎn)品可分別挽回?fù)p失元和元．若從兩條生產(chǎn)線上各隨機(jī)抽檢件產(chǎn)品，以挽回?fù)p失的平均數(shù)為判斷依據(jù)，估計(jì)哪條生產(chǎn)線挽回的損失較多？②若最終的合格品（包括返工修復(fù)后的合格品）按照一、二、三等級(jí)分類后，每件分別獲利元、元、元，現(xiàn)從，生產(chǎn)線的最終合格品中各隨機(jī)抽取件進(jìn)行檢測(cè)，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下圖；用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，記該工廠生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤(rùn)為，求的分布列并估算該廠產(chǎn)量件時(shí)利潤(rùn)的期望值.18．（12分）已知，其中．（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的極值．（2）若函數(shù)在區(qū)間上遞增，求的取值范圍；（3）證明：．19．（12分）已知橢圓：，不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).（Ⅰ）若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線的方程；（Ⅱ）若直線過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)滿足（，分別為直線，的斜率），求的值.20．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），圓的方程為，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求和的極坐標(biāo)方程；（2）過(guò)且傾斜角為的直線與交于點(diǎn)，與交于另一點(diǎn)，若，求的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求，的值；（2）證明函數(shù)存在唯一的極大值點(diǎn)，且.22．（10分）已知不等式的解集為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）已知存在實(shí)數(shù)使得恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．D【解析】

由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，得，進(jìn)而得再利用圖像變換求解即可【詳解】由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，得，即，解得，所以，，故只需將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)“先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得再將橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)保持不變,得”即可.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，考查圖像變換，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題2．B【解析】

分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，利用二面角的定義轉(zhuǎn)化二面角的平面角為，然后分別過(guò)點(diǎn)作平面的垂線與過(guò)點(diǎn)作平面的垂線交于點(diǎn)，在中計(jì)算出，再利用勾股定理計(jì)算出，即可得出球的半徑，最后利用球體的表面積公式可得出答案．【詳解】如下圖所示，分別取、的中點(diǎn)、，連接、、，由于是以為直角等腰直角三角形，為的中點(diǎn)，，，且、分別為、的中點(diǎn)，所以，，所以，，所以二面角的平面角為，，則，且，所以，，，是以為直角的等腰直角三角形，所以，的外心為點(diǎn)，同理可知，的外心為點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)作平面的垂線與過(guò)點(diǎn)作平面的垂線交于點(diǎn)，則點(diǎn)在平面內(nèi)，如下圖所示，由圖形可知，，在中，，，所以，，所以，球的半徑為，因此，球的表面積為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查球體的表面積，考查二面角的定義，解決本題的關(guān)鍵在于找出球心的位置，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中等題．3．A【解析】

根據(jù)三視圖得出原幾何體的立體圖是一個(gè)三棱錐，將三棱錐補(bǔ)充成一個(gè)長(zhǎng)方體，此長(zhǎng)方體的外接球就是該三棱錐的外接球，由球的表面積公式計(jì)算可得選項(xiàng).【詳解】由三視圖可得，該幾何體是一個(gè)如圖所示的三棱錐，為三棱錐外接球的球心，此三棱錐的外接球也是此三棱錐所在的長(zhǎng)方體的外接球，所以為的中點(diǎn)，設(shè)球半徑為，則,所以外接球的表面積，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查求幾何體的外接球的表面積，關(guān)鍵在于由幾何體的三視圖得出幾何體的立體圖，找出外接球的球心位置和半徑，屬于中檔題.4．A【解析】

根據(jù)兩個(gè)已知條件求出數(shù)列的公比和首項(xiàng)，即得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q.由，得，解得或.因?yàn)?且數(shù)列遞增，所以.又，解得，故.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.5．C【解析】令圓的半徑為1，則，故選C．6．A【解析】

設(shè)，用表示出，求出的值即可得出答案.【詳解】設(shè)由，，.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法、減法以及數(shù)乘運(yùn)算，需掌握向量加法的三角形法則以及向量減法的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.7．A【解析】

由題意畫(huà)出圖形，結(jié)合橢圓的定義，結(jié)合橢圓的離心率,求出橢圓的長(zhǎng)半軸a,半焦距c,即可確定該衛(wèi)星遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面的距離.【詳解】橢圓的離心率：，（c為半焦距;a為長(zhǎng)半軸），設(shè)衛(wèi)星近地點(diǎn)，遠(yuǎn)地點(diǎn)離地面距離分別為r，n，如圖：則所以,,故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的離心率的求法，注意半焦距與長(zhǎng)半軸的求法,是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.8．C【解析】

由可得，再利用計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，所?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式的應(yīng)用，考查學(xué)生對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)求值公式的靈活運(yùn)用的能力，屬于基礎(chǔ)題.9．C【解析】

由可得，故可求的值.【詳解】因?yàn)?，所以，故，因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列，故，所以，故選C.【點(diǎn)睛】一般地，如果為等比數(shù)列，為其前項(xiàng)和，則有性質(zhì)：（1）若，則；（2）公比時(shí)，則有，其中為常數(shù)且；（3）為等比數(shù)列（）且公比為.10．A【解析】

根據(jù)對(duì)數(shù)性質(zhì)可知，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求解.【詳解】∵，集合，∴由交集運(yùn)算可得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查由對(duì)數(shù)的性質(zhì)比較大小，集合交集的簡(jiǎn)單運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.11．A【解析】

根據(jù)條件將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，對(duì)于恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，然后求出的范圍，進(jìn)一步得到的最大值.【詳解】，，對(duì)任意的，存在實(shí)數(shù)滿足，使得，易得，即恒成立，，對(duì)于恒成立,設(shè)，則，令，在恒成立，，故存在，使得，即，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.,將代入得：，，且，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，零點(diǎn)存在定理和不等式恒成立問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于難題.12．B【解析】

首先根據(jù)三角函數(shù)的平移規(guī)則表示出，再根據(jù)對(duì)稱性求出、，即可求出的解析式，從而驗(yàn)證可得；【詳解】解：由題意可得，又∵和的圖象都關(guān)于對(duì)稱，∴，∴解得，即，又∵，∴，，∴，∴，，∴①③④正確，②錯(cuò)誤.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，三角函數(shù)的變換規(guī)則，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

根據(jù)程序框圖得到程序功能，結(jié)合分段函數(shù)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】解：程序的功能是計(jì)算，若輸出的實(shí)數(shù)的值為，則當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)，由，此時(shí)無(wú)解.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖的識(shí)別和判斷，理解程序功能是解決本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.14．【解析】

利用已知條件，通過(guò)求解方程組即可得到結(jié)果．【詳解】設(shè)人數(shù)、物價(jià)分別為、，滿足，解得，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，方程組的求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15．8【解析】

根據(jù)偽代碼逆向運(yùn)算求得結(jié)果.【詳解】輸入，若，則，不合題意若，則，滿足題意本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題考查算法中的語(yǔ)言，屬于基礎(chǔ)題.16．(1，)【解析】

在定義域[m，n]上的值域是[m2，n2]，等價(jià)轉(zhuǎn)化為與的圖像在(1，)上恰有兩個(gè)交點(diǎn)，考慮相切狀態(tài)可求a的取值范圍.【詳解】由題意知：與的圖像在(1，)上恰有兩個(gè)交點(diǎn)考查臨界情形：與切于，．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，把已知條件進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．(1)(2)①生產(chǎn)線上挽回的損失較多.②見(jiàn)解析【解析】

(1)由題意得到關(guān)于的不等式，求解不等式得到的取值范圍即可確定其最小值；(2)①.由題意利用二項(xiàng)分布的期望公式和數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)給出結(jié)論即可；②.由題意首先確定X可能的取值，然后求得相應(yīng)的概率值可得分布列，最后由分布列可得利潤(rùn)的期望值.【詳解】（1）設(shè)從，生產(chǎn)線上各抽檢一件產(chǎn)品，至少有一件合格為事件，設(shè)從，生產(chǎn)線上抽到合格品分別為事件，，則，互為獨(dú)立事件由已知有，則解得，則的最小值（2）由（1）知，生產(chǎn)線的合格率分別為和，即不合格率分別為和.①設(shè)從，生產(chǎn)線上各抽檢件產(chǎn)品，抽到不合格產(chǎn)品件數(shù)分別為，，則有，，所以，生產(chǎn)線上挽回?fù)p失的平均數(shù)分別為：，所以生產(chǎn)線上挽回的損失較多.②由已知得的可能取值為，，，用樣本估計(jì)總體，則有，，所以的分布列為所以（元）故估算估算該廠產(chǎn)量件時(shí)利潤(rùn)的期望值為（元）【點(diǎn)睛】本題主要考查概率公式的應(yīng)用，二項(xiàng)分布的性質(zhì)與方差的求解，離散型隨機(jī)變量及其分布列的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.18．（1）極大值，無(wú)極小值；（2）．（3）見(jiàn)解析【解析】

（1）先求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)極值的關(guān)系即可求出；（2）先求導(dǎo)，再函數(shù)在區(qū)間上遞增，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值，問(wèn)題得以解決；（3）取得到，取，可得，累加和根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性和放縮法即可證明.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，則令，解得當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，即極大值為，無(wú)極小值；（2）因?yàn)?，所以，因?yàn)樵趨^(qū)間上遞增，所以在上恒成立，所以在區(qū)間上恒成立．當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則在區(qū)間上恒成立．所以在單調(diào)遞增，則，所以，即綜上所述．（3）由（2）可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上遞增，所以，即，取，則．所以所以【點(diǎn)睛】此題考查了參數(shù)的取值范圍以及恒成立的問(wèn)題，以及不等式的證明，構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵，屬于較難題.19．（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）根據(jù)點(diǎn)差法，即可求得直線的斜率，則方程即可求得；（Ⅱ）設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，利用韋達(dá)定理，根據(jù)，即可求得參數(shù)的值.【詳解】（1）設(shè)，，則兩式相減，可得.（*）因?yàn)榫€段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，.代入（*）式，得.所以直線的斜率.所以直線的方程為，即.（Ⅱ）設(shè)直線：（），聯(lián)立整理得.所以，解得.所以，.所以，所以.所以.因?yàn)?，所?【點(diǎn)睛】本題考查中點(diǎn)弦問(wèn)題的點(diǎn)差法求解，以及利用代數(shù)與幾何關(guān)系求直線方程，涉及韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬中檔題.20．（1）；（2）【解析】

（1）直接利用轉(zhuǎn)換公式，把參數(shù)方程，直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程進(jìn)行轉(zhuǎn)化；（2）利用極坐標(biāo)方程將轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以的普通方程為，又，，，的極坐標(biāo)方程為，的方程即為，對(duì)應(yīng)極坐標(biāo)方程為.（2）由己知設(shè)，，則，，所以，又，，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值；