插值計(jì)算與插值多項(xiàng)式

會(huì)計(jì)學(xué)1插值計(jì)算與插值多項(xiàng)式插值問題描述設(shè)已知某個(gè)函數(shù)關(guān)系在某些離散點(diǎn)上的函數(shù)值：插值問題：根據(jù)這些已知數(shù)據(jù)來構(gòu)造函數(shù)的一種簡單的近似表達(dá)式,以便于計(jì)算點(diǎn)的函數(shù)值，或計(jì)算函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)值。第1頁/共35頁y=f(x)y=p(x)簡單的說，插值的目的就是根據(jù)給定的數(shù)據(jù)表，尋找一個(gè)解析形式的函數(shù)p(x)，近似代替f(x)第2頁/共35頁

6.1插值法的數(shù)學(xué)描述設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),是[a,b]上取定的n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn),且在這些點(diǎn)處的函數(shù)值為已知,即若存在一個(gè)f(x)的近似函數(shù),滿足則稱為f(x)的一個(gè)插值函數(shù),f(x)為被插函數(shù),點(diǎn)xi為插值節(jié)點(diǎn),R(x)=

稱為插值余項(xiàng),區(qū)間[a,b]稱為插值區(qū)間,插值點(diǎn)在插值區(qū)間內(nèi)的稱為內(nèi)插,否則稱外插

第3頁/共35頁插值的幾何意義第4頁/共35頁6.2拉格朗日（Lagrange）插值

為了構(gòu)造滿足插值條件

(i=0,1,2,…,n)的便于使用的插值多項(xiàng)式P(x),先考察幾種簡單情形,然后再推廣到一般形式。6.2.1線性插值與拋物插值（1）線性插值線性插值是代數(shù)插值的最簡單形式。假設(shè)給定了函數(shù)f(x)在兩個(gè)互異的點(diǎn)，的值，,現(xiàn)要求用線性函數(shù)近似地代替f(x)。選擇參數(shù)a和b,使。稱這樣的線性函數(shù)P(x)為f(x)的線性插值函數(shù)。第5頁/共35頁線性插值線性插值多項(xiàng)式

第6頁/共35頁由直線兩點(diǎn)式可知，通過A，B的直線方程為

它也可變形為

顯然有：第7頁/共35頁記可以看出的線性組合得到，其系數(shù)分別為，稱為節(jié)點(diǎn),的線性插值基函數(shù)第8頁/共35頁線性插值基函數(shù)滿足下述條件1001并且他們都是一次函數(shù)。注意他們的特點(diǎn)對(duì)下面的推廣很重要于是線性插值函數(shù)可以表示為與基函數(shù)的線性組合第9頁/共35頁例6.1已知,,求解:這里x0=100，y0=10，x1=121，y1=11,利用線性插值

第10頁/共35頁例6.2已知y=f(x)的函數(shù)表

求線性插值多項(xiàng)式,

并計(jì)算x=1.5的值X13y12解:由線性插值多項(xiàng)式公式得第11頁/共35頁這就是二次插值問題。其幾何意義是用經(jīng)過3個(gè)點(diǎn)的拋物線近似代替曲線

,如下圖所示。因此也稱之為拋物插值。

（2）

拋物插值

拋物插值又稱二次插值，它也是常用的代數(shù)插值之一。設(shè)已知f(x)在三個(gè)互異點(diǎn)x0，x1，x2的函數(shù)值y0，y1，y2，要構(gòu)造次數(shù)不超過二次的多項(xiàng)式使?jié)M足二次插值條件：第12頁/共35頁拋物插值函數(shù)因過三點(diǎn)的二次曲線為拋物線，故稱為拋物插值。第13頁/共35頁為了與下一節(jié)的Lagrange插值公式比較,仿線性插值,用基函數(shù)的方法求解方程組。先考察一個(gè)特殊的二次插值問題：求二次式,使其滿足條件：

這個(gè)問題容易求解。由上式的后兩個(gè)條件知:

是的兩個(gè)零點(diǎn)。于是再由另一條件確定系數(shù)從而導(dǎo)出第14頁/共35頁P(yáng)(x)的參數(shù)直接由插值條件決定，即滿足下面的代數(shù)方程組：

該三元一次方程組的系數(shù)矩陣

的行列式是范德蒙行列式，當(dāng)時(shí)，方程組的解唯一。第15頁/共35頁類似地可以構(gòu)造出滿足條件：的插值多項(xiàng)式

及滿足條件：的插值多項(xiàng)式

這樣構(gòu)造出來的稱為拋物插值的基函數(shù)取已知數(shù)據(jù)作為線性組合系數(shù),將基函數(shù)線性組合可得容易看出,P(x)滿足條件第16頁/共35頁例6.3已知x=1,4,9的平方根值,用拋物插值公式,求(x0–x1)(x0–x2)(x–x1)(x–x2)y0+(x1–x0)(x1–x2)(x–x0)(x–x2)y1+(x2–x0)(x2–x1)(x–x0)(x–x1)y2p2(7)=x0=1,x1=4,x2=9y0=1,y1=2,y2=3(1–4)(1–9)(7–4)(7–9)*1+(4–1)(4–9)(7–1)(7–9)*2+(9–1)(9–4)(7–1)(7–4)*3=2.7p2(x)=第17頁/共35頁例6.4已知函數(shù)y=f(x)在節(jié)點(diǎn)上滿足

xx0x1x2yy0y1y2

求二次多項(xiàng)式p(x)=a0+a1x+a2x2

使之滿足p(xi)=yii=0,1,2解:用待定系數(shù)法,將各節(jié)點(diǎn)值依次代入所求多項(xiàng)式,得解上述方程,將求出的a0,a1,a2

代入p(x)=a0+a1x+a2x2

即得所求二次多項(xiàng)式

第18頁/共35頁我們看到，兩個(gè)插值點(diǎn)可求出一次插值多項(xiàng)式p1(x)，而三個(gè)插值點(diǎn)可求出二次插值多項(xiàng)式p2(x)

。當(dāng)插值點(diǎn)增加到n+1個(gè)時(shí)，我們可以利用Lagrange插值方法寫出n次插值多項(xiàng)式pn(x)

，如下所示：已知n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值求一個(gè)n次插值函數(shù)滿足6.2.2拉格朗日插值多項(xiàng)式第19頁/共35頁構(gòu)造各個(gè)插值節(jié)點(diǎn)上的基函數(shù)滿足如下條件100001000001第20頁/共35頁與推導(dǎo)拋物插值的基函數(shù)類似,先構(gòu)造一個(gè)特殊n次多項(xiàng)式的插值問題,使其在各節(jié)點(diǎn)上滿足

即:由條件()知,都是n次的零點(diǎn),故可設(shè)第21頁/共35頁其中為待定常數(shù)。由條件,可求得

于是代入上式,得稱為關(guān)于基點(diǎn)的n次插值基函數(shù)(i=0,1,…,n)

第22頁/共35頁以n+1個(gè)n次基本插值多項(xiàng)式為基礎(chǔ),就能直接寫出滿足插值條件的n次代數(shù)插值多項(xiàng)式。事實(shí)上，由于每個(gè)插值基函數(shù)都是n次值多項(xiàng)式,所以他們的線性組合是次數(shù)不超過n次的多項(xiàng)式

,稱形如上式的插值多項(xiàng)式為n次拉格朗日插值多項(xiàng)式。并記為

第23頁/共35頁例6.5求過點(diǎn)(0,1)、(1,2)、(2,3)的三點(diǎn)插值多項(xiàng)式解:由Lagrange插值公式（給定的三個(gè)點(diǎn)在一條直線上）第24頁/共35頁例6.6已知f(x)的觀測數(shù)據(jù)

x0124f(x)19233

構(gòu)造Lagrange插值多項(xiàng)式解

四個(gè)點(diǎn)可構(gòu)造三次Lagrange插值多項(xiàng)式:基函數(shù)為

第25頁/共35頁Lagrange插值多項(xiàng)式為

為便于上機(jī)計(jì)算,常將拉格朗日插值多項(xiàng)式可改寫成

第26頁/共35頁

例6.7已知f(x)的觀測數(shù)據(jù)

x1234f(x)0-5-63構(gòu)造插值多項(xiàng)式

解:四個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)造三次插值多項(xiàng)式,將數(shù)據(jù)代入插值公式，有

這個(gè)例子說明p(x)的項(xiàng)數(shù)不超過n+1項(xiàng)，但可以有缺項(xiàng)。第27頁/共35頁x0x1xixi+1xn-1xny=f(x)y=p(x)ab在插值區(qū)間a,b上用插值多項(xiàng)式p(x)近似代替f(x),除了在插值節(jié)點(diǎn)xi上沒有誤差外，在其它點(diǎn)上一般是存在誤差的。若記R(x)=f(x)-p(x)則R(x)就是用p(x)近似代替f(x)時(shí)的截?cái)嗾`差,或稱插值余項(xiàng)我們可根據(jù)后面的定理來估計(jì)它的大小。6.2.3插值多項(xiàng)式的誤差

第28頁/共35頁定理設(shè)f(x)在a,

b有n+1階導(dǎo)數(shù)，x0,x1,…,xn為a,b上n+1個(gè)互異的節(jié)點(diǎn),p(x)為滿足

p(xi)=f(xi)(i=1,2,…,n)的n次插值多項(xiàng)式，那么對(duì)于任何xa,b有插值余項(xiàng)其中a<<b

且依賴于x第29頁/共35頁＞0，使得||≤x∈(a,b)由于(x)一般無法確定，因此式R(x)只能用作余項(xiàng)估計(jì)。如果在區(qū)間(a,b)上有界，即存在常數(shù)

則有余項(xiàng)估計(jì)

第30頁/共35頁對(duì)于線性插值，其誤差為對(duì)于拋物插值（二次插值），其誤差為第31頁/共35頁例6.8已知=100,=121