變化的快慢與變化率

會計學1變化的快慢與變化率銀杏樹高:15米樹齡:1000年雨后春筍高:15厘米時間:兩天世界上變化無處不在，如何刻畫事物變化的快慢呢？﹤第1頁/共28頁探究點1平均變化率定義

問題（1）物體從某一時刻開始運動，設s表示此物體經(jīng)過時間t走過的路程，顯然s是時間t的函數(shù),表示為s=s(t).在運動的過程中測得了一些數(shù)據(jù)，如表：t(s)025101315…s(m)069203244…

物體在0～2s和10～13s這兩段時間內，哪一段時間運動得更快？如何刻畫物體運動的快慢？第2頁/共28頁分析：我們通常用平均速度來比較運動的快慢.在0～2s這段時間內，物體的平均速度為在10～13s這段時間內，物體的平均速度為顯然，物體在后一段時間比前一段時間運動得快.第3頁/共28頁問題（2）某病人吃完退燒藥，他的體溫變化如圖所示：比較時間x從0min到20min和從20min到30min體溫的變化情況，哪段時間體溫變化較快？如何刻畫體溫變化的快慢？y/(oC)x/min01020304050607036373839第4頁/共28頁分析：根據(jù)圖像可以看出：當時間x從0min到20min時，體溫y從39oC變?yōu)?8.5oC，下降了0.5oC；當時間x從20min到30min時，體溫y從38.5oC變?yōu)?8oC，下降了0.5oC.兩段時間下降相同的溫度，而后一段時間比前一段短，所以后一段時間的體溫比前一段時間下降得快.我們也可以比較這兩段時間中，單位時間內體溫的平均變化量，于是當時間x從0min變到20min時，體溫y第5頁/共28頁相對于時間x的平均變化率為當時間x從20min變到30min時，體溫y相對于時間x的平均變化率為這里出現(xiàn)了負號，它表示體溫下降了，顯然，絕對值越大，下降得越快，這里，體溫從20min到30min這段時間下降得比0min到20min這段時間要快.第6頁/共28頁分析上面的第一個問題中，我們用一段時間內物體的平均速度刻畫了物體運動的快慢，當時間從t0變?yōu)閠1時，物體所走的路程從s(t0)變?yōu)閟(t1)，這段時間內物體的平均速度是第二個問題中，我們用一段時間內體溫的平均變化率刻畫了體溫變化的快慢，當時間從x0變?yōu)閤1體溫從y(x0)變?yōu)閥(x1)，體溫的平均變化率你能類比歸納出“函數(shù)f(x)在區(qū)間[x1,x2]上的平均變化率”的一般性定義嗎？第7頁/共28頁抽象概括：1.平均變化率的定義:

對一般的函數(shù)y=f（x）來說，當自變量x從變?yōu)闀r，函數(shù)值從f（）變?yōu)椋钠骄兓蕿橥ǔ０炎宰兞?稱作自變量的改變量，記作，函數(shù)值的變化稱作函數(shù)值的改變量，記作，則有如下表示：第8頁/共28頁xyB(x2,f(x2))A(x1,f(x1))Of(x2)-f(x1)=△yx2-x1=△x2.平均變化率的幾何意義：幾何意義是曲線上經(jīng)過Ａ，Ｂ兩點的直線的斜率.斜率的概念第9頁/共28頁思考1.表達式中f(x2)-f(x1)與x2-x1的順序可以交換嗎？它們本身前后兩個式子可以交換嗎？提示:f(x2)-f(x1)與x2-x1的順序不可交換，但它們本身的式子可以同時交換，如也可以寫為

思考2.函數(shù)y=f(x)在x=x0附近的平均變化率如何計算？提示:設x在x0附近的變化量為Δx，則平均變化率

第10頁/共28頁提示：對于一般的函數(shù)y=f(x),在自變量x從x0變到x1的過程中，若設△x=x1-x0△y=f(x1)-f(x0),則函數(shù)的平均變化率是思考：如何精確地刻畫物體在某一瞬間的變化率呢？探究點2瞬時速度、瞬時變化率則當△x趨于0時，平均變化率就趨于函數(shù)在x0點的瞬時變化率.第11頁/共28頁（1）瞬時變化率的表示對于函數(shù)y=f(x),在自變量x從x0變到x1的過程中①自變量的改變量:Δx=_____;②函數(shù)值的改變量:Δy=___________;③平均變化率:=___________________;④在x0點的瞬時變化率：當Δx趨于__時，平均變化率趨于某一常數(shù)，此常數(shù)即為瞬時變化率.(2)瞬時變化率的意義瞬時變化率刻畫的是函數(shù)在_____處變化的快慢.x1-x0f(x1)-f(x0)0一點第12頁/共28頁例1：一個小球從高空自由下落，其走過的路程s（單位：m）與時間t（單位：s）的函數(shù)關系為其中，g為重力加速度試估計小球在t=5s這個時刻的瞬時速度.，第13頁/共28頁分析：當時間t從t0變到t1時，根據(jù)平均速度公式可以求出從5s到6s這段時間內小球的平均速度我們有時用它來近似表示t=5s時的瞬時速度.為了提高精確度，可以縮短時間間隔，如求出5～5.1s這段時間內的平均速度（m/s）.（m/s）用它來近似表示t=5s時的瞬時速度.第14頁/共28頁解：我們將時間間隔每次縮短為前面的，計算出相應的平均速度得到下表：平均速度t0/st1/s時間的改變量（Δt）/s路程的改變量（Δs）/m

/（m/s）55.10.14.9549.555.010.010.4949.04955.0010.0010.04949.004955.00010.00010.004949.000495…………第15頁/共28頁可以看出，當時間t1趨于t0=5s時，平均速度趨于49m/s，因此，可以認為小球在t0=5s時的瞬時速度為49m/s.從上面的分析和計算可以看出，瞬時速度為49m/s的物理意義是，如果小球保持這一時刻的速度進行運動的話，每秒將要運動49m．第16頁/共28頁【變式練習】一輛汽車按規(guī)律s＝3t2＋1做直線運動，求這輛汽車在t＝3s時的瞬時速度(單位：m/s)．解析：因為Δs＝3(3＋Δt)2＋1－(3×32＋1)＝3Δt2＋18Δt，所以因為當Δt趨于0時，趨于18，所以這輛汽車在t＝3

s時的瞬時速度的大小為18m/s.第17頁/共28頁例2：如圖所示，一根質量分布不均勻的合金棒，長為10m.x（單位：m）表示OX這段棒的長，y（單位：kg）表示OX這段棒的質量，它們滿足以下函數(shù)關系：估計該合金棒在x=2m處的線密度.分析：一段合金棒的質量除以這段合金棒的長度，就是這段合金棒的平均線密度.第18頁/共28頁解：由，我們可以計算出相應的平均線密度得到下表：x0/mx1/m長度x的改變量（Δx）/m質量y的改變量（Δy）/kg/（kg/m）22.10.10.0700.7022.010.010.00710.7122.0010.0010.000710.7122.00010.00010.0000710.712…………平均線密度第19頁/共28頁可以看出，當x1趨于x0=2m時，平均線密度趨于0.71kg/m，因此，可以認為合金棒在x0=2m處的線密度為0.71kg/m.從上面的分析和計算可以看出，線密度為0.71kg/m的物理意義是，如果有1m長的這種線密度的合金棒，其質量將為0.71kg.第20頁/共28頁某物體做勻速運動，其運動方程是s＝vt＋b，則該物體在運動過程中其平均速度與任何時刻的瞬時速度分別是多少？【變式練習】提示：所以當Δt趨于0時，趨于常數(shù)v，即物體在任意時刻的瞬時速度都是v.定義法第21頁/共28頁D2.如果質點A按規(guī)律運動，則在秒的瞬時速度為（）A．6

B．18

C．54

D．81C1.已知函數(shù)f(x)=-x2+x的圖像上的一點A(-1,-2)及臨近一點B(-1+Δx,-2+Δy),則=()A.3B.3Δx-(Δx)2C.3-(Δx)2D.3-Δx第22頁/共28頁A4.甲、乙兩個物體沿直線運動的方程分別是和，則在秒時兩個物體運動的瞬時速度關系是（）A.甲大B.乙大C.相等D.無法比較B第23頁/共28頁5.自由落體運動的運動方程為s=gt2，計算t從3s到3.1s這段時間內的平均速度（位移的單位為m）.解析：設在[3，3.1]內的平均速度為v1，則△t1=3.1-3=0.1(s).△s1=s(3.1)-s(3)=0.5g×3.12-0.5g×32=0.305g(m).所以第24頁/共28頁1.平均變化率的定義:2.平均變化率的幾何意義是曲線上經(jīng)過Ａ，Ｂ兩點的直線的斜率.3