高中數(shù)學 2.3等差數(shù)列的前n項和1 新人教A必修5

2.3.1等差數(shù)列的前n項和.知識準備1、等差數(shù)列的定義：2、等差數(shù)列的通項公式：3、等差數(shù)列的性質(zhì)：①若A是a,b的等差中項則：②若則，.1+2+3+……+100=？能不能迅速算出呢？高斯的算法1+100=2+99=3+98=…=101101×50=5050。問題：1+2+3+4+...+2001、高斯如何快速計算的？2、抓住問題的什么特征？.情景導入

我們根據(jù)高斯的算法，來計算一下1，2，3，…，n，的前n項的和：最佳方法：由

1

+

2

+…+n-1

+

n

n

+

n-1

+…+

2

+

1

（n+1）+（n+1）+…+（n+1）+（n+1）1

+

2

+…+n-1

+

n倒序相加法.

合作探究請同學們結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，利用倒序相加法探究等差數(shù)列的前n項和，并把探究過程寫下來。＋.若a=-,則無論x為何數(shù)值，分式的值都不為零.若a≠-,則當x=-時，分式的值為零。

公式.等差數(shù)列的前n項和公式的其它形式方程的思想——知三求二5個變量:.1.根據(jù)下列條件，求相應的等差數(shù)列的公式應用.例題講解

例1、2000年11月14日教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學實施“校校通”工程的通知》，某市據(jù)此提出了實施“校校通”工程的總目標：從2001年起用10年的時間，在全市中小學建成不同標準的校園網(wǎng)。據(jù)測算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費為500萬元。為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元。那么，從2001年起的未來10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？分析：①找關(guān)鍵句；②求什么，如何求？上頁下頁.解：依題意得，該市在“校校通”工程的經(jīng)費每年比上一年增加50萬元，所以每年投入的資金構(gòu)成等差數(shù)列{an}，且a1=500,d=50,n=10.那么，到2010年（n=10),投入的資金總額為答：從2001~2010年，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元.上頁下頁.例題講解例2、已知一個等差數(shù)列｛an｝的前10項的和是310，前20項的和是1220，由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前n項和的公式嗎？分析：方程思想和前n項和公式相結(jié)合解：由題意知：S10＝310，S20＝1220，將它們代入公式得到還有其它方法嗎？方程思想上頁下頁.一題多解例2、已知一個等差數(shù)列｛an｝的前10項的和是310，前20項的和是1220，由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前n項和的公式嗎？上頁下頁.一題變式例2變式、已知一個等差數(shù)列｛an｝的前10項的和是310，前20項的和是1220，由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前30項和嗎？【另解】由等差數(shù)列的性質(zhì)，可推得：

成等差數(shù)列

解得：前30項的和為2730.整體思想點評：

上述方法沒有列出方程求出具體的個別量，而是恰當?shù)剡\用數(shù)學中的整體思想來快速求出，要注意體會這種思想在數(shù)學中的運用.上頁下頁.變式提高整體思想.【深化探究】●

如果一個數(shù)列的前n項和為其中p、q、r為常數(shù)，且p≠0，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？如果是，它的首項和公差是什么？（1）若r≠0，則這個數(shù)列一定不是等差數(shù)列.（2）若r＝0，則這個數(shù)列一定是等差數(shù)列.結(jié)論：數(shù)列是等差數(shù)列等價于上頁下頁.反思公式思考：當首項、公差確定時，Sn的結(jié)構(gòu)有什么特征？

結(jié)論：{an}為等差數(shù)列

，這是一個

關(guān)于

的

沒有

的“

”Sn=an2+bn常數(shù)項二次函數(shù)（注意a還可以是0）n.例2、已知一個等差數(shù)列｛an｝的前10項的和是310，前20項的和是1220，由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前n項和的公式嗎？一題再解.1