2015年高考文科數(shù)學陜西卷試題與答案

第26頁（共26頁）2015年陜西省高考數(shù)學試卷（文科）一.選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求（每小題5分，共60分）1．（5分）（2015?陜西）設集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，則M∪N=（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1）D．（﹣∞，1]2．（5分）（2015?陜西）某中學初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為（）A．93B．123C．137D．1673．（5分）（2015?陜西）已知拋物線y2=2px（p＞0）的準線經過點（﹣1，1），則該拋物線焦點坐標為（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（0，﹣1）D．（0，1）4．（5分）（2015?陜西）設f（x）=，則f（f（﹣2））=（）A．﹣1B．C．D．5．（5分）（2015?陜西）一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A．3πB．4πC．2π+4D．3π+46．（5分）（2015?陜西）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件7．（5分）（2015?陜西）根據(jù)如圖框圖，當輸入x為6時，輸出的y=（）A．1B．2C．5D．108．（5分）（2015?陜西）對任意向量、，下列關系式中不恒成立的是（）A．||≤||||B．||≤|||﹣|||C．（）2=||2D．（）?（）=2﹣29．（5分）（2015?陜西）設f（x）=x﹣sinx，則f（x）（）A．既是奇函數(shù)又是減函數(shù)B．既是奇函數(shù)又是增函數(shù)C．是有零點的減函數(shù)D．是沒有零點的奇函數(shù)10．（5分）（2015?陜西）設f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）+f（b）），則下列關系式中正確的是（）A．q=r＜pB．p=r＜qC．q=r＞pD．p=r＞q11．（5分）（2015?陜西）某企業(yè)生產甲、乙兩種產品均需用A、B兩種原料．已知生產1噸每種產品所需原料及每天原料的可用限額如表所示．如果生產一噸甲、乙產品可獲得利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為（）甲乙原料限額A（噸）3212B（噸）128A．12萬元B．16萬元C．17萬元D．18萬元12．（5分）（2015?陜西）設復數(shù)z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，則y≥x的概率為（）A．+B．+C．﹣D．﹣二.填空題：把答案填寫在答題的橫線上（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13．（5分）（2015?陜西）中位數(shù)為1010的一組數(shù)構成等差數(shù)列，其末項為2015，則該數(shù)列的首項為．14．（5分）（2015?陜西）如圖，某港口一天6時到18時的水渠變化曲線近似滿足函數(shù)y=3sin（x+φ）+k．據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深（單位：m）的最大值為．15．（5分）（2015?陜西）函數(shù)y=xex在其極值點處的切線方程為．16．（5分）（2015?陜西）觀察下列等式：1﹣=1﹣+﹣=+1﹣+﹣+﹣=++…據(jù)此規(guī)律，第n個等式可為．三.解答題：解答題應寫出文字說明、證明過程或演算步驟（共5小題，共70分）17．（12分）（2015?陜西）△ABC的內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．向量=（a，b）與=（cosA，sinB）平行．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面積．18．（12分）（2015?陜西）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中點，O是AC與BE的交點．將△ABE沿BE折起到如圖2中△A1BE的位置，得到四棱錐A1﹣BCDE．（Ⅰ）證明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）當平面A1BE⊥平面BCDE時，四棱錐A1﹣BCDE的體積為36，求a的值．19．（12分）（2015?陜西）隨機抽取一個年份，對西安市該年4月份的天氣情況進行統(tǒng)計，結果如下：（Ⅰ）在4月份任取一天，估計西安市在該天不下雨的概率；（Ⅱ）西安市某學校擬從4月份的一個晴天開始舉行連續(xù)2天的運動會，估計運動會期間不下雨的概率．日期123456789101112131415天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴陰晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天氣晴陰雨陰陰晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨20．（12分）（2015?陜西）如圖，橢圓E：+=1（a＞b＞0）經過點A（0，﹣1），且離心率為．（Ⅰ）求橢圓E的方程；（Ⅱ）經過點（1，1），且斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點P，Q（均異于點A），證明：直線AP與AQ斜率之和為2．21．（12分）（2015?陜西）設fn（x）=x+x2+…+xn﹣1，x≥0，n∈N，n≥2．（Ⅰ）求fn′（2）；（Ⅱ）證明：fn（x）在（0，）內有且僅有一個零點（記為an），且0＜an﹣＜（）n．三.請在22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分[選修4-1：幾何證明選講]22．（10分）（2015?陜西）如圖，AB切⊙O于點B，直線AO交⊙O于D，E兩點，BC⊥DE，垂足為C．（Ⅰ）證明：∠CBD=∠DBA；（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直徑．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]23．（2015?陜西）在直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，⊙C的極坐標方程為ρ=2sinθ．（Ⅰ）寫出⊙C的直角坐標方程；（Ⅱ）P為直線l上一動點，當P到圓心C的距離最小時，求P的直角坐標．[選修4-5：不等式選講]24．（2015?陜西）已知關于x的不等式|x+a|＜b的解集為{x|2＜x＜4}（Ⅰ）求實數(shù)a，b的值；（Ⅱ）求+的最大值．

2015年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（陜西卷）文科數(shù)學一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）1、設集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，則M∪N＝(A)[0，1](B)(0，1](C)[0，1)(D)(－∞，1]【答案】考點：集合間的運算.【分析及點評】本題主要考察了集合的表示及其相關運算，屬于基礎題型，難度不大。2、某中學初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)是(A)93(B)123(C)137(D)167【答案】試題分析：由圖可知該校女教師的人數(shù)為故答案選考點：概率與統(tǒng)計.【分析及點評】本題主要考察了統(tǒng)計以及統(tǒng)計圖表的相關知識，難度系數(shù)很小，屬于基礎題型。3、已知拋物線y2＝2px(p＞0)的準線經過點(－1，1)，則該拋物線的焦點坐標為(A)(－1，0)(B)(1，0)(C)(0，－1)(D)(0，1)【答案】試題分析：由拋物線得準線，因為準線經過點，所以，所以拋物線焦點坐標為，故答案選考點：拋物線方程.【分析及點評】本題主要考察了拋物線的基本性質，從標準方程和定義出發(fā)，方法和思路都較為傳統(tǒng)。題目設置較為簡單。4、設f(x)＝，則f(f(－2))＝(A)－1(B)(C)(D)【答案】【分析及點評】本題主要考察了函數(shù)求值的相關知識，以分段函數(shù)為載體，考察學生對函數(shù)定義以及性質的理解。5、一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(A)3π(B)4π(C)2π＋4(D)3π＋3【答案】試題分析：由幾何體的三視圖可知該幾何體為圓柱的截去一半，所以該幾何體的表面積為，故答案選考點：1.空間幾何體的三視圖；2.空間幾何體的表面積.【分析及點評】三視圖以及體積、面積求值幾乎每年必考，今年也不例外，題目設置與往年沒有改變，難度不大，變化也不大6、“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的(A)充分不必要條件(B)必要不充分條件(C)充分必要條件(D)既不充分也不必要條件【答案】考點：1.恒等變換；2.命題的充分必要性.【分析及點評】本題主要將三角函數(shù)與命題進行了簡單結合，一方面要求學生三角恒等變化要特別熟悉，另一方面對命題的各種類型都要熟悉。但是，題目設置不算復雜，與往年基本相同。7、根據(jù)右邊的框圖，當輸入x為6時，輸出的y＝(A)1(B)2(C)5(D)10【答案】試題分析：該程序框圖運行如下：，，，，故答案選.考點：程序框圖的識別.【分析及點評】框圖問題是高考中一個熱點問題，尤其是循環(huán)結構，要求學生有良好的邏輯分析能力，此題難度不大，主要還是以基礎為主。8、對任意的平面向量a，b，下列關系式中不恒成立的是(A)|a·b|≤|a||b|(B)|a－b|≤||a|－|b||(C)(a＋b)2＝|a＋b|2(D)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2【答案】考點：1.向量的模；2.數(shù)量積.【分析及點評】作為數(shù)學中很重要的一中工具，向量幾乎每年必考，但是基本分布在兩個位置，選填和圓錐曲線，但是選擇題中一般難度都不會太大，以基礎考核為主。9、設f(x)＝x－sinx，則f(x)(A)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)(B)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)(C)是有零點的減函數(shù)(D)是沒有零點的奇函數(shù)【答案】【解析】試題分析：又的定義域為是關于原點對稱，所以是奇函數(shù)；是增函數(shù).故答案選考點：函數(shù)的性質.【分析及點評】本題主要考察了函數(shù)的性質，函數(shù)三性問題，是函數(shù)中很重要的內容，也是學生常常不能很好掌握的難點，一般難度很大，但今年此題難度適中，稍微有點函數(shù)基礎的學生都能夠很快完成。10、設f(x)＝lnx，0＜a＜b，若p＝f()，q＝f()，r＝(f(a)＋f(b))，則下列關系式中正確的是(A)q＝r＜p(B)q＝r＞p(C)p＝r＜q(D)p＝r＞q【答案】【解析】試題分析：；；因為，由是個遞增函數(shù)，所以，故答案選考點：函數(shù)單調性的應用.【分析及點評】本題主要考察了函數(shù)單調性的應用以及基本不等式。要求學生一方面數(shù)學函數(shù)單調性以及不等關系的轉化，另一方面對基本不等式的基本結構以及成立條件都要熟悉。11、某企業(yè)生產甲、乙兩種產品均需用A，B兩種原料.已知生產1噸每種產品所需原料及每天原料的可用限額如表所示.如生產1噸甲、乙產品可獲利分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為(A)12萬元(B)16萬元(C)17萬元(D)18萬元甲乙原料限額A(噸)3212B(噸)128【答案】考點：線性規(guī)劃.【分析及點評】本題主要考察線性規(guī)劃及其應用，一方面對線性問題轉化要求較高，另一方面對函數(shù)，尤其是變量關系的表示有較高要求。對文科生而言，難度較大。12、設復數(shù)z＝(x－1)＋yi(a，y∈R)，若|z|≤1，則y≥x的概率為(A)(B)(C)(D)【答案】試題分析：如圖可求得,，陰影面積等于若，則的概率故答案選考點：1.復數(shù)的模長；2.幾何概型.【分析及點評】本題主要將復數(shù)問題和幾何概型進行了融合，并且對兩者都有較高要求，作為壓軸選擇，讓人略感意外。二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填寫在答題卡相應題號后的橫線上.）13、中位數(shù)為1010的一組數(shù)構成等差數(shù)列，其末項為2015，則該數(shù)列的首項為________【答案】5考點：等差數(shù)列的性質.【分析及點評】本題主要考察了等差數(shù)列，對等差數(shù)列的相關性質有較高要求。14、如圖，某港口一天6時到18時的誰深變化曲線近似滿足函數(shù)y＝3sin(x＋Φ)＋k，據(jù)此函數(shù)可知，這段時間水深(單位：m)的最大值為____________.【答案】8試題分析：由圖像得，當時，求得，當時，，故答案為8.考點：三角函數(shù)的圖像和性質.【分析及點評】本題重在轉化，將實際問題轉化成三角函數(shù)問題，對y=這個函數(shù)要求較高。對相關參數(shù)的求解求解方法務必熟練。15、函數(shù)y＝xex在其極值點處的切線方程為____________.【答案】考點：導數(shù)的幾何意義.【分析及點評】本題主要考察了導數(shù)以及導數(shù)的幾何意義，導數(shù)法求切線是高考重點內容，也是難點所在，要求較高，但此題以基礎考核為主。16、觀察下列等式：1－1－1－…………據(jù)此規(guī)律，第n個等式可為______________________.【答案】【解析】試題分析：觀察等式知：第n個等式的左邊有個數(shù)相加減，奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負，且分子為1，分母是1到的連續(xù)正整數(shù)，等式的右邊是.故答案為考點：歸納推理.【分析及點評】本題主要考察了學生的邏輯推理能力，以及總結概括能力，難度不散太大，但對等式右邊的歸納可能會對學生造成些許干擾。三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）17、（本小題滿分12分）△ABC的內角A,B,C所對的邊分別為a，b，c，向量m=（a，b）與n=（cosA，sinB）平行.求A；若a=，b=2，求△ABC的面積.【答案】(I)；(II).試題解析：(I)因為，所以由正弦定理，得，又，從而，由于所以(II)解法一：由余弦定理，得，而，，得，即因為，所以，故面積為.解法二：由正弦定理，得從而又由知，所以故，所以面積為.考點：1.正弦定理和余弦定理；2.三角形的面積.【分析及點評】本題主要考察了學生解三角形的能力，并滲透著三角恒等變換以及函數(shù)性質的理解，較之往年，難度不算大，屬于基礎題型。18．如圖1，在直角梯形中，，是的中點，是與的交點，將沿折起到圖2中的位置，得到四棱錐.(I)證明：平面；(II)當平面平面時，四棱錐的體積為，求的值.【答案】(I)證明略，詳見解析；(II).(II)由已知，平面平面，且平面平面，又由(I)知，，所以平面，即是四棱錐的高，易求得平行四邊形面積，從而四棱錐的為，由，得.(II)由已知，平面平面，且平面平面又由(I)知，，所以平面，即是四棱錐的高，由圖1可知，，平行四邊形面積，從而四棱錐的為，由，得.考點：1.線面垂直的判定；2.面面垂直的性質定理；3.空集幾何體的體積.【分析及點評】立體幾何一直都是高考重點內容，幾乎每年必考，但都是作為基礎題型考核，主要考察學生垂直、平行的判定和性質以及體積、面積的計算。本題以折疊出發(fā)，對學生空間能力有一定的要求，可能會對學生造成一些干擾。19、（本小題滿分12分）隨機抽取一個年份，對西安市該年4月份的天氣情況進行統(tǒng)計，結果如下：日期123456789101112131415天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴陰晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天氣晴陰雨陰陰晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨在4月份任取一天，估計西安市在該天不下雨的概率；西安市某學校擬從4月份的一個晴天開始舉行連續(xù)2天的運動會，估計運動會期間不下雨的概率.【答案】(I)；(II).試題分析：(I)在容量為30的樣本中，從表格中得，不下雨的天數(shù)是26，以頻率估計概率，4月份任選一天，西安市不下雨的概率是.(II)稱相鄰兩個日期為“互鄰日期對”（如1日與2日，2日與3日等）這樣在4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對有16對，其中后一天不下雨的有14個，所以晴天的次日不下雨的頻率為，以頻率估計概率，運動會期間不下雨的概率為.試題解析：(I)在容量為30的樣本中，不下雨的天數(shù)是26，以頻率估計概率，4月份任選一天，西安市不下雨的概率是.(II)稱相鄰兩個日期為“互鄰日期對”（如1日與2日，2日與3日等）這樣在4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對有16對，其中后一天不下雨的有14個，所以晴天的次日不下雨的頻率為，以頻率估計概率，運動會期間不下雨的概率為.考點：概率與統(tǒng)計.【分析及點評】概率統(tǒng)計是每年學生必考題型，但難度設置不到，今年也不例外，此題設置角度不算復雜，但是第二問，可能會對學生造成干擾，尤其是‘日期對’的數(shù)量問題。20．如圖，橢圓經過點，且離心率為.(I)求橢圓的方程；(II)經過點，且斜率為的直線與橢圓交于不同兩點（均異于點），證明：直線與的斜率之和為2.【答案】(I)；(II)證明略，詳見解析.試題分析：(I)由題意知，由，解得，繼而得橢圓的方程為；(II)設，由題設知，直線的方程為，代入，化簡得，則，由已知，從而直線與的斜率之和化簡得.試題解析：(I)由題意知，綜合，解得，所以，橢圓的方程為.(II)由題設知，直線的方程為，代入，得，由已知，設，則，從而直線與的斜率之和.考點：1.橢圓的標準方程；2.圓錐曲線的定值問題.【分析及點評】本題題型較之往年幾乎沒有改變，第一問，求解曲線方程，相信稍微有點基礎的學生都可以很快完成，屬于基礎問題。第二問，考察曲線定值問題，題目設置比較傳統(tǒng)，但對學生計算、化簡能力要求較高。21.設(I)求；(II)證明：在內有且僅有一個零點（記為），且.【答案】(I)；(II)證明略，詳見解析.【解析】試題分析：(I)由題設，所以，此式等價于數(shù)列的前項和，由錯位相減法求得；(II)因為，，所以在內至少存在一個零點，又，所以在內單調遞增，因此，在內有且只有一個零點，由于，所以，由此可得故，繼而得.試題解析：(I)由題設，所以①由②①②得，所以(II)因為，所以在內至少存在一個零點，又所以在內單調遞增，因此，在內有且只有一個零點，由于，所以由此可得故所以考點：1.錯位相減法；2.零點存在性定理；3.函數(shù)與數(shù)列.【分析及點評】本題題型較之往年有所改變，第一問求解導數(shù)，難度不大。第二問將函數(shù)、導數(shù)、數(shù)列進行綜合，有些新意。對學生函數(shù)的綜合能力和數(shù)列的性質以及不等式都有很高的要求。難度很大?？忌⒁猓赫堅?2、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分，作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題是以后的方框涂黑.22.選修4-1：幾何證明選講如圖，切于點，直線交于兩點，垂