上海市青浦區(qū)白鶴中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析

上海市青浦區(qū)白鶴中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若集合，，則

.參考答案：略2.若雙曲線M上存在四個點A，B，C，D，使得四邊形ABCD是正方形，則雙曲線M的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：A【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由正方形的對稱性得，其對稱中心在原點，且在第一象限的頂點坐標(biāo)為（x，x），從而得到雙曲線漸近線的斜率k=＞1，由此能求出雙曲線離心率的取值范圍．【解答】解：∵雙曲線M上存在四個點A，B，C，D，使得四邊形ABCD是正方形，∴由正方形的對稱性得，其對稱中心在原點，且在第一象限的頂點坐標(biāo)為（x，x），∴雙曲線漸近線的斜率k=＞1，∴雙曲線離心率e=＞．∴雙曲線M的離心率的取值范圍是（，+∞）．故選：A．【點評】本題考查雙曲線的離心率的取值的范圍的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意雙曲線性質(zhì)的合理運用．3.對任意的x∈R，函數(shù)f（x）=x3+ax2+7ax不存在極值點的充要條件是（）A．0≤a≤21 B．a(chǎn)=0或a=7 C．a(chǎn)＜0或a＞21 D．a(chǎn)=0或a=21參考答案：A【考點】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】由于函數(shù)f（x）=x3+ax2+7ax（x∈R）不存在極值，可得f′（x）≥0恒成立，求解出一元二次不等式即可得到a的取值范圍．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=x3+ax2+7ax（x∈R），∴f′（x）=3x2+2ax+7a，∵函數(shù)f（x）=x3+ax2+7ax（x∈R）不存在極值，且f′（x）的圖象開口向上，∴f′（x）≥0對x∈R恒成立，∴△=4a2﹣84a≤0，解得0≤a≤21，∴a的取值范圍是0≤a≤21．故選：A．【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，解題時要注意運用極值點必定是導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)方程的根，而導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)方程的根不一定是極值點．考查了轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學(xué)思想方法．屬于中檔題．4.如圖，在一個倒置的正三棱錐容器內(nèi)，放入一個鋼球，鋼球恰好與棱錐的四個面都接觸上，經(jīng)過棱錐的一條側(cè)棱和高作截面，正確的截面圖形是（

）

參考答案：B5.已知點及圓，則過點，且在圓上截得的弦為最長的弦所在的直線方程是

A.

B.

C.

D.參考答案：B6.用反證法證明命題：“若，那么，，中至少有一個不小于”時，反設(shè)正確的是A.假設(shè)，，都不小于

B.假設(shè)，，都小于C.假設(shè)，，至多有兩個小于D.假設(shè)，，至多有一個小于參考答案：B略7.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是（

）A. B. C. D.參考答案：D因為y=ln|x|是偶函數(shù)，并且當(dāng)x>0時，y=lnx在(0,+∞)上單調(diào)遞增.8.將一骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時向上的點數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．參考答案：B略9.函數(shù)f(x)=的定義域為（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，0） C．[0，+∞） D．（0，+∞）參考答案：A【考點】函數(shù)的定義域及其求法．【分析】由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0，求解不等式即可得答案．【解答】解：由，得，解得x≤0．∴函數(shù)的定義域為（﹣∞，0]．故選：A．10.雙曲線的一個焦點是，則m的值是_________.參考答案：-2二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若正數(shù)a，b滿足+=1，則+的最小值為

．參考答案：4【考點】基本不等式．【分析】由+=1得到b=＞0，代入代數(shù)式變形利用基本不等式即可得出．【解答】解：∵正數(shù)a，b滿足+=1，∴b=＞0，解得a＞1，同理b＞1，則+=+=+4（a﹣1）≥2=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=時取等號（此時b=3）．∴+的最小值為4．故答案為：4．【點評】本題考查了基本不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．12.若a,b,c成等比數(shù)列,則函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖象與x軸交點的個數(shù)為.

參考答案：0略13.已知，，的夾角為60°，則_____.參考答案：14.盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，黃色球2個。若從中隨機取出2個球，則所取出的2個球顏色不同的概率等于_______。參考答案：略15.i為虛數(shù)單位，設(shè)復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱，若，則______．參考答案：【分析】直接利用復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)，求出對稱點的坐標(biāo)，即可得到復(fù)數(shù)．【詳解】解：設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱，復(fù)數(shù)的實部相反，虛部相反，＝－20＋18i，所以＝20－18i．故答案為：20－18i．【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，對稱點的坐標(biāo)的求法，基本知識的應(yīng)用．16.分別為上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，時，，則不等式的解集為參考答案：17.若，則__________．參考答案：-32【分析】通過對原式x賦值1，即可求得答案.【詳解】令可得，故答案為-32.【點睛】本題主要考查二項式定理中賦值法的理解，難度不大.三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知．（1）證明：；（2）若x，y的二元一次方程組的解滿足，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：（1）證明見解析；（2）．【分析】(1)根據(jù)絕對值三角不等式得到;(2)，則，故，分情況去掉絕對值解出不等式即可.【詳解】（1）證明：

．（2）解：若，則，故∴或，解得：．∴實數(shù)的取值范圍為．【點睛】這個題目考查了含有絕對值的不等式的解法，絕對值三角不等式的應(yīng)用，以及函數(shù)的最值問題；一般對于解含有多個絕對值的不等式，根據(jù)零點分區(qū)間，將絕對值去掉，分段解不等式即可.19.已知四棱錐P-ABCD的三視圖如下圖所示：（I）求四棱錐P-ABCD的表面積；（II）求四棱錐P-ABCD的體積.參考答案：(1)

（2）20.如圖，已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的四個頂點分別是A1，A2，B1，B2，△A2B1B2是邊長為2的正三角形，其內(nèi)切圓為圓G．（1）求橢圓C及圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點D是橢圓C上第一象限內(nèi)的動點，直線B1D交線段A2B2于點E．（i）求的最大值；（ii）設(shè)F（﹣1，0），是否存在以橢圓C上的點M為圓心的圓M，使得過圓M上任意一點N，作圓G的切線（切點為T）都滿足=？若存在，請求出圓M的方程；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】（1）由△A2B1B2是邊長為2的正三角形，可得b=，，即可得出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則，即可得出內(nèi)切圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2））（i）設(shè)直線B1D的方程為：y=kx﹣，．與橢圓的方程聯(lián)立解得D，可得|DB1|．直線A2B2的方程為：，與y=kx﹣聯(lián)立解得E．可得|EB1|．可得=，變形利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．（ii）假設(shè)存在以橢圓C上的點M為圓心的圓M，使得過圓M上任意一點N，作圓G的切線（切點為T）都滿足=．當(dāng)切點為點O時，由=，可得N（0，±1），由此可得只有可能M（±3，0）．其圓M的方程為：（x﹣3）2+y2=10，或（x+3）2+y2=10（舍去）．證明即可．【解答】解：（1）∵△A2B1B2是邊長為2的正三角形，∴b=，=3，=．∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r，則=1．∴內(nèi)切圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x﹣1）2+y2=1．（2）（i）設(shè)直線B1D的方程為：y=kx﹣，．聯(lián)立，化為，解得D，∴|DB1|==．直線A2B2的方程為：，聯(lián)立，解得E．∴|EB1|==．∴==≤1+=，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．∴的最大值為．（ii）假設(shè)存在以橢圓C上的點M為圓心的圓M，使得過圓M上任意一點N，作圓G的切線（切點為T）都滿足=．當(dāng)切點為點O時，由=，可得N（0，±1），由此可得只有可能M（±3，0）．其圓M的方程為：（x﹣3）2+y2=10，或（x+3）2+y2=10（舍去）．下面證明：設(shè)N，則|NF|2﹣2|NT|2=|NF|2﹣2（|NG|2﹣1）=﹣2=16+10+8cosθ﹣2=0，∴．因此存在以橢圓C上的點M（3，0）為圓心的圓M，其圓M的方程為：（x﹣3）2+y2=10，使得過圓M上任意一點N，作圓G的切線（切點為T）都滿足=．21.已知函數(shù)為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與x軸平行． （Ⅰ）求k的值； （Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間； （Ⅲ）設(shè)g（x）=xf′（x），其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．證明：對任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2． 參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程． 【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用． 【分析】（Ⅰ）由題意，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再由曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與x軸平行可得出f′（1）=0，由此方程即可解出k的值； （II）由（I）知，=，x∈（0，+∞），利用導(dǎo)數(shù)解出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可； （III）先給出g（x）=xf'（x），考查解析式發(fā)現(xiàn)當(dāng)x≥1時，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e﹣2一定成立，由此將問題轉(zhuǎn)化為證明g（x）＜1+e﹣2在0＜x＜1時成立，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在（0，1）上的最值，與1+e﹣2比較即可得出要證的結(jié)論． 【解答】解：（I）函數(shù)為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）， ∴=，x∈（0，+∞）， 由已知，，∴k=1． （II）由（I）知，=，x∈（0，+∞）， 設(shè)h（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，+∞），h'（x）=﹣（lnx+2）， 當(dāng)x∈（0，e﹣2）時，h'（x）＞0，當(dāng)x∈（e﹣2，1）時，h'（x）＜0， 可得h（x）在x∈（0，e﹣2）時是增函數(shù)，在x∈（e﹣2，1）時是減函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)， 又h（1）=0，h（e﹣2）＞0，又x趨向于0時，h（x）的函數(shù)值趨向于1 ∴當(dāng)0＜x＜1時，h（x）＞0，從而f'（x）＞0， 當(dāng)x＞1時h（x）＜0，從而f'（x）＜0． 綜上可知，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞）． （III）由（II）可知，當(dāng)x≥1時，g（x）=xf'（x）≤0＜1+e﹣2，故只需證明g（x）＜1+e﹣2在0＜x＜1時成立． 當(dāng)0＜x＜1時，ex＞1，且g（x）＞0，∴． 設(shè)F（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，1），則F'（x）=﹣（lnx+2）， 當(dāng)x∈（0，e﹣2）時，F(xiàn)'（x）＞0，當(dāng)x∈（e﹣2，1）時，F(xiàn)'（x）＜0， 所以當(dāng)x=e﹣2時，F(xiàn)（x）取得最大值F（e﹣2）=1+e﹣2． 所以g（x）＜F（x）≤1+e﹣2． 綜上，對任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2． 【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值及曲線上某點處的切線方程，解題的關(guān)鍵是靈活利用導(dǎo)數(shù)工具進行