不等式、推理與證明 強化訓練-高三數學二輪專題復習

沖刺高考二輪不等式、推理與證明強化訓練（原卷+答案）考點一不等式的解法——明條件，巧轉化，數形結合1.若a>0，b>0，則“a＋b<2”的一個必要不充分條件是()A.1a+1b<1C.a2＋b2<2D．a<2?b2．對任意的x∈(0，＋∞)，x2－2mx＋1>0恒成立，則m的取值范圍為()A.[1，＋∞)B．(1，＋∞)C.(－∞，1]D．(－∞，1)3．不等式(a＋1)x2－(a＋1)x－1<0對一切實數x恒成立，則a的取值范圍是()A.1<a<5B．－5<a<－1C.－5<a≤－1D．－3<a≤－14．不等式ax2＋bx＋c>0的解集為(－4，1)，則不等式b(x2＋1)－a(x＋3)＋c>0的解集為()A.?B.?1，C.?∞，?D.5．已知集合A＝{x|2x2＋x－6≤0}，B＝{x|x+3x?1<0}，則A.{x|－2≤x<1}B．{x|－2≤x≤1}C.{x|－4≤x<2}D．{x|練后領悟1．明確解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化為一般形式ax2＋bx＋c>0(＜0)(a>0)，再結合相應二次方程的根及二次函數圖象確定一元二次不等式的解集．(2)含指數、對數的不等式：利用指數、對數函數的單調性將其轉化為整式不等式求解．2．簡單分式不等式的解法(1)fxgx>0(<0)?f(x)g(2)fxgx≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x警示解形如ax2＋bx＋c>0(a≠0)的一元二次不等式時，易忽視對系數a的討論導致漏解或錯解，要注意分a>0，a<0進行討論．考點二基本不等式——巧變形，會配湊1.已知0<x<12，則1A.5B．6C．7D．82．已知a，b為正實數，且2a＋b＝1，則2aA.1B．6C．7D．223．若直線2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圓x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦長為4，則1aA.14B．14．已知點E是△ABC的中線BD上的一點(不包括端點)．若AE＝xAB＋yAC，則2xA.4B．6C．8D．95．在等差數列{an}中an>0，且a1＋a2＋…＋a2019＝4038，則a1A.4B．6C．8D．96．若x>1，則4x＋1x?1A.6B．8C．10D．12考點三線性規(guī)劃——以線為界畫區(qū)域，用點坐標求最值1.若x≥0x?2y≤0，x+y?3≥0則2．設變量x，y滿足線性約束條件y?2x+3≥0，x+y≤3，11x?A.－73B．－C.1D．83．已知實數x，y滿足x?y+2≥0，2x+y?2≥0，2x?yA.41B．61C.72D．744．若實數x，y滿足約束條件x+y≥2x?2y≥?1A.[0，2]B．[1，2]C.12，15．已知x，y滿足約束條件2x?y≥0，x+2y?6≥0，x?考點四推理與證明——以“理”助“推”，以“法”幫“推”1.甲、乙、丙、丁四位同學一起去向老師詢問成語競賽的成績，老師說，你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績，給乙看丙的成績，給丁看甲的成績，看后甲對大家說：我還是不知道我的成績，根據以上信息，則()A.乙可以知道其他兩人的成績B.丁可以知道四人的成績C.乙、丁可以知道對方的成績D.乙、丁可以知道自己的成績2．給出下列不等式：1＋121＋12+13＋…1＋12+13＋…則按此規(guī)律可猜想第n個不等式為________．3．為了更好地管理班級，班主任決定選若干名學生擔任班主任助理，于是征求語、數、英三科任課教師的意見．語文老師：如果不選小李，那么不選小宋；數學老師：如果不選小宋，那么選小李；英語老師：小宋和小李兩人中至少選一個并且至多選一個．若班主任同時采納了三人的建議，則作出的選擇是()A.選小宋，不選小李B.選小李，不選小宋C.兩人都選D.兩人都不選4．相傳在17世紀末期，萊布尼茲在太極八卦圖的啟示下，發(fā)明了二進制的記數方法．他發(fā)現(xiàn)，如果把太極八卦圖中“連續(xù)的長劃”(陽爻：)看作是1，把“間斷的短劃”(陰爻：)看作是0，那么，用八卦就可以表示出從0到7這八個整數．后來，他又作了進一步的研究，最終發(fā)明了二進制的記數方法．下表給出了部分八卦符號與二進制數的對應關系：卦名坤震坎兌艮離巽亁八卦符號二進制數000001010011100101110111請根據上表判斷，兌卦對應的八卦符號為()5．如圖，在3×3的方格中，移動規(guī)則如下：每行均可左右移動，每列均可上下移動，每次僅能對某一行或某一列進行移動，其他行或列不變化．221213331例如：若想移動成每行的數字相同，則最少需要移動________次．參考答案考點一1．解析：因為a>0，b>0，對于A，當a＋b<2，取a＝b＝12，明顯可見，1對于B，當a＋b<2，0<b<2－a，得ab<a(2－a)＝－(a－1)2＋1<1，必要性成立；當ab<1，取a＝2，b＝14，明顯可見，a＋b>2，則a＋b對于C，當a＋b<2，取a＝32，b＝14，明顯可見，a2＋b2＝94+116>2，則對于D，當a＋b<2成立，則0<a<2－b，明顯可見，a<2?b成立；當a<2?b，兩邊平方，同樣有a＋b<2，充分性也成立，D錯誤．故選B.答案：B2．解析：當x∈(0，＋∞)時，由x2－2mx＋1>0得：2m<x＋1x，∵x＋1x≥2(當且僅當x＝1x，即x＝1時取等號)，∴2m<2，解得m<1，即m答案：D3．解析：當a＋1＝0，即a＝－1時，(a＋1)x2－(a＋1)x－1<0可化為－1<0，即不等式－1<0恒成立；當a＋1≠0，即a≠－1時，因為(a＋1)x2－(a＋1)x－1<0對一切實數x恒成立，所以a+1<0a+1解得－5<a<－1.綜上所述，－5<a≤－1.故選C.答案：C4．解析：由題意知：－4，1是方程ax2＋bx＋c＝0的兩個解，代入方程得到?4+1=?ba?4×1=ca?b＝3a不等式b(x2＋1)－a(x＋3)＋c>0可化為3a(x2＋1)－a(x＋3)－4a>0，即3(x2＋1)－(x＋3)－4<0，解得x∈?1，4故選B.答案：B5．解析：∵A＝{x|2x2＋x－6≤0}＝{x|?2≤x≤32}，B＝因此，A∩B＝{x|－2≤x<1}．故選A.答案：A考點二1．解析：1x+1+2x1?2x＝因為2x＋1－2x＝1，又0<x<12，所以1－2x>0，則1x+21?2x－1＝1x+21?2x[2當且僅當1?2xx＝4x1?2x，即x＝14答案：C2．解析：由已知條件得，2a+a2b＝4a+2ba+a當且僅當2ba＝a2b，即a＝25，b＝15答案：B3．解析：圓的標準方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝4，圓心為(－1，2)，半徑為2，若直線被截得的弦長為4，說明圓心在直線：2ax－by＋2＝0上，即－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，∴1a+1b＝1a+1b當且僅當ba＝ab，即a＝b＝答案：D4．解析：由題意得：點E是△ABC的中線BD上的一點(不包括端點)，則由共線向量定理可知：設BE＝λBD(0＜λ＜1)，∵AE＝AB+BE＝AB＋λBD＝AB＋λ(AD?AB)＝(1－∴x＝1－λ，y＝λ2(x＞0，y∴2x+1y＝21?λ+2λ＝(21?λ+當且僅當2λ1?λ＝21?λλ，即λ＝1答案：C5．解析：因為在等差數列{an}中a1＋a2＋…＋a2019＝4038，所以2019a1+a20192＝4038，即又an>0，所以a1·a2019≤a1+當且僅當a1＝a2019＝2時，等號成立，所以，a1·a2019的最大值為4.故選A.答案：A6．解析：因為x>1，所以x－1>0，1x?1因此4x＋1x?1＝4x－4＋1x?1＋4＝4(x－1)＋1x?1＋4≥當且僅當4x－4＝1x?1，即x＝3答案：B考點三1．解析：作出可行域如圖所示：作出直線y＝－x＋t，經過A(0，3)，B(2，1)時，z＝x＋y取得最小值3.答案：32．解析：由題意可得，線性約束條件表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分(含邊界)所示，其中A(2，1)，B(－1，4)，C(－2，－7)．目標函數z＝y(tǒng)x+5表示可行域內一點(x，y)與點P(－5，0)連線的斜率，因此結合圖形可知，直線PB的斜率最大且斜率為4?0答案：C3．解析：如圖，作出不等式組對應的可行域，設z＝(x＋1)2＋y2，則z的幾何意義是區(qū)域內的點到定點D(－1，0)距離的平方，依次計算出三條邊界直線的3個交點坐標分別為A(1，0)，B(4，6)，C(0，2)，由圖象知點B到D(－1，0)的距離最大，此時zmax＝52＋62＝61，故選B.答案：B4．解析：作出約束條件x+y≥2，x?2y≥?12x?y≤4，所表示的平面區(qū)域，為如圖所示的△ABC區(qū)域(包含邊界)．z＝y(tǒng)+1x表示陰影區(qū)域內的點與點P(0，－1)連線的斜率．結合圖形可知，點C(1，1)與點P的連線的斜率最大，且kPC＝2，點A(2，0)與點P的連線的斜率最小，且kPA＝答案：D5．解析：作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示，可知當目標函數z＝3x＋2y經過點A時取得最小值，經過點B時取得最大值，聯(lián)立x+2y?6=0，2x?y=0，解得點A坐標65，125，代入目標函數得zmin＝3×65＋2×125＝425；聯(lián)立x=2，2x?y=0，解得點答案：42考點四1．解析：甲、乙、丙、丁四位同學中有2位優(yōu)秀，2位良好，因為甲看乙、丙的成績后仍不知道自己的成績，可知乙、丙一人優(yōu)秀一人良好，則甲、丁一人優(yōu)秀一人良好，乙看到丙的結果則知道自己的結果，丁看到甲的結果則知道自己的結果，故選D.答案：D2．解析：觀察各式左邊為1n的和的形式，項數分別為3，7，15，…，∴可猜想第n個式子中左邊應有2n＋1－1項，不等式右邊分別寫成22，32，42，…，∴猜想第n個式子中右邊應為n+12，按此規(guī)律可猜想此類不等式的一般形式為1＋12+1答案：1＋12+13＋…＋12n+1?1>3．解析：由英語老師的話易知，兩人中選且只選一人，C、D錯誤，由語文老師的話易知，如果不選小李，那么不選小宋，A錯誤，由數學老師的話