第六章多元函數(shù)微分學

1§7多元函數(shù)的微分中值定理和泰勒公式

21.二元函數(shù)的

微分中值定理3定理1:二元函數(shù)的拉格朗日中值公式設函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內有連續(xù)的偏導數(shù)。又假定D中有兩個點P0(x0,y0)與P1(x0+Δx,y0+Δy),并且P0到P1的直線段。則存在θ,0<θ<1,使得4證明：p1(xo+Δx,yo+Δy)Po(xo,y0)5證明：6若函數(shù)z=f(x,y)在D內有連續(xù)偏導數(shù)且滿足推論：則f(x,y)在D內為一常數(shù)。7證明：pop2p1pnp82.二元函數(shù)的泰勒公式9二元函數(shù)的泰勒公式的證明10二元函數(shù)的泰勒公式的證明11二元函數(shù)的泰勒公式的證明12二元函數(shù)的泰勒公式的證明13拉格朗日余項14帶皮亞諾余項的泰勒公式15多元函數(shù)的泰勒多項式的唯一性定理16例1解17181920§8隱函數(shù)存在定理211.一個方程的情況222324252627282930313233解令則3435則解令36設求解令則故例371.一個方程的情況38求方程所確定的函數(shù)的偏導數(shù)。解令則故例39故例40設確定求其中，解例41例設求解這是求隱函數(shù)的高階偏導數(shù)，令則42思考題43思考題解答44則解令45FxyxFxxyyz46思路：47解令則整理得48整理得整理得49例50例51例522.方程組的情況53充要條件54(2).雅可比行列式55(3).定理356(4).定理3的推廣57設確定函數(shù)求解:對x求導得例5859同理可得60解1直接代入公式；解2運用公式推導的方法，將所給方程的兩邊對求導并移項6162將所給方程的兩邊對y求導,用同樣方法得63關于隱函數(shù)求二階偏導數(shù)以為例，主要有三種方法：①公式法類似地可求得②直接法方程兩邊連續(xù)求導兩次64解得：兩種方法相比，法二較簡便，因為可避免商的求導運算，尤其是在求指定點的二階偏導數(shù)時，毋須解出一階偏導數(shù)而是將其具體數(shù)值代入即可求得二階偏導數(shù)，使運算大為簡化。65則這樣一次就可求得全部的一階偏導數(shù)。③全微分法利用全微分形式不變性，在所給的方程兩邊直接求全微分663.逆映射的存在性定理67定理468推論逆映射的雅可比行列式69逆映射的雅可比行列式70逆映射的雅可比行列式71逆映射的雅可比行列式72極坐標變換的雅可比行列式73球坐標變換的雅可比行列式74

n個變量的雅可比行列式75§9極值問題76

1.多元函數(shù)的極值問題

二元函數(shù)極值的定義77(2)(1)(3)78極值的必要條件

79極值的必要條件證明

80極值的必要條件證明

812.穩(wěn)定點82極值的充分條件83證明：=0=084證明：

85證明：86不是極值的充分條件

87證明：

88證明：

89證明：

90證明：

91證明：

92證明：

93判別穩(wěn)定點是否是極值點方法

9495解96972.多元函數(shù)的最值問題

98解由99100解如圖,1011023.條件極值拉格朗日乘數(shù)法（λ乘子法）1033.條件極值104xyzoz=f(x,y)LM無條件極值點.P條件極值點.PM105106將給定的正數(shù)m分成三個非負數(shù)x,y,z之和其中a,b,c為給定的正數(shù)例6解令D為平面x+y+z=m在第一卦限的部分由于在D的邊界上，總有u=0而在D內有u>0,且u在D上連續(xù)，故必存在最大值，且一定在D內取得.另一方面,由于u和lnu在D內有相同的極值點.故問題轉化為求lnu在條件x+y+z=m下的極值。107令則與x+y+z=m聯(lián)立解得108例4求內接于橢球的最大長方體的體積,長方體的各面平行于坐標面解一設內接于橢球且各面平行于坐標面的長方體在第一卦限的頂點的坐標為(x,y,z)則長方體的體積為V=8xyz令109解得或兩式相除同理即代入解得三式相加得110解二任意固定z0(0<z0<c)先在所有高為2z0的長方體中求體積最大者因為高是固定的，故當?shù)酌娣e最大時體積最大今上底面為內接于橢圓邊平行于x,y軸的長方形。111時，長方形面積最大。得到高為2z0的長方體中最大體積為V(z0)

最大這時長方體在第一卦限的頂點的坐標為當長方形的邊長分別為（一元函數(shù)極值問題）112解三作變換問題變成在下求XYZ的最大值.易知立方體為例4求內接于橢球的最大長方體的體積,長方體的各面平行于坐標面113解四即求的最大值而此三個正數(shù)的和一定（=1）當積最大例4求內接于橢球的最大長方體的體積,長方體的各面平行于坐標面114解115116117即可得118§10曲面論初步1191.曲面的基本概念

120121122所求切線方程為法平面方程為1232.曲面的切平面與法向量

124125證明：

126證明：

n切線方向127128129130因為曲面在M處的切平面方程為切平面上點的豎坐標的增量131其中132解切平面方程為法線方程為133解令切平面方程法線方程134解設為曲面上的切點,切平面方程為依題意，切平面方程平行于已知平面，得135因為是曲面上的切點，滿足方程所求切點為切平面方程(1)切平面方程(2)136例6在橢球面上求一點，使它的法線與坐標軸正向成等角解令則的法線的方向向量為故橢球面上任一點137注意到法線與坐標軸正向的夾角相等故解得所求的點為例6在橢球面上求一點，使它的法線與坐標軸正向成等角1