Chp因子分析實(shí)用

會計(jì)學(xué)1Chp因子分析實(shí)用Chp.8因子分析8.1概述

固定資產(chǎn)利稅率資金利稅率銷售收入利稅率資金利稅率固定資產(chǎn)產(chǎn)值率流動(dòng)資金周轉(zhuǎn)天數(shù)萬元產(chǎn)值能耗全員勞動(dòng)生產(chǎn)率觀測變量盈利能力產(chǎn)值能耗資金和人力利用公共因子第1頁/共51頁Chp.8因子分析8.1概述

1．一個(gè)分類問題

在碳酸巖的分類研究中，用其中C、O、Ca、Mg、Si等元素的含量，而不考慮各元素相互間的內(nèi)在聯(lián)系，分類效果不好。

如果考慮元素間的內(nèi)在聯(lián)系，例如用CaCO3、MgCO3、SiO2三個(gè)因素來進(jìn)行研究，則可取得很好的效果。

第2頁/共51頁Chp.8因子分析8.1概述

2．問題的延伸

①用三個(gè)組合比用5個(gè)元素研究碳酸巖合理，易于解釋。②可以把C、O、Ca、Mg、Si看成原始變量，把CaCO3、MgCO3、SiO2看成是原始變量的組合，它們是新變量（公共因子），更反映事物的本質(zhì)。③從多個(gè)變量（5個(gè)）減少為少數(shù)變量（3個(gè)）有利于研究。第3頁/共51頁Chp.8因子分析8.1概述

④新變量的組合可表示為：

Fj=βj1x1+βj2x2+…+βjpxp→

F1(CaCO3)=β11Ca+β12C+β13O+β14Mg+β15SiF2(MgCO3)=β21Ca+β22C+β23O+β24Mg+β25SiF3(SiO2)=β31Ca+β32C+β33O+β34Mg+β35Si⑤反過來，也可用三個(gè)組合表示原始變量，來研究組合與原始變量的關(guān)系：

Zj=aj1F1+aj2F2+…+ajmFm+αjUj

如對Si，可用Si=a51F1+a52F2+a53F3

第4頁/共51頁Chp.8因子分析8.1概述

⑥因子分析的任務(wù)，就是分析、表征事物的屬性與其影響因素之間的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)和關(guān)系，達(dá)到簡化問題、突出事物本質(zhì)的目的。第5頁/共51頁Chp.8因子分析8.1概述

因子分析主要是由心理學(xué)家發(fā)展起來的，由ChalesSpearman于1904年提出，主要用于智力測驗(yàn)得分的統(tǒng)計(jì)分析。

1957年，Krumbein將因子分析方法從心理學(xué)研究引入巖石學(xué)，它是把一些具有復(fù)雜關(guān)系的樣品或變量歸結(jié)為少數(shù)幾個(gè)綜合因子，然后進(jìn)行進(jìn)一步的研究。目前因子分析在心理學(xué)、社會學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、人口學(xué)、地質(zhì)學(xué)和教育學(xué)中都取得了成功的應(yīng)用。3．因子分析的基本思想第6頁/共51頁Chp.8因子分析8.1概述

從數(shù)學(xué)角度而言，因子分析是一種尋找潛在支配因子的模型分析方法，其實(shí)質(zhì)就是一種降維的多元統(tǒng)計(jì)方法。其特點(diǎn)包括：3．因子分析的基本思想

①通過數(shù)學(xué)方法把數(shù)目較多的原始變量進(jìn)行變換，找到一些新變量（組合）；②新變量較原始變量數(shù)目少得多，且使原來復(fù)雜的關(guān)系相對簡單化，有助于了解自然現(xiàn)象的規(guī)律，在變量多、數(shù)據(jù)量大時(shí)更具優(yōu)點(diǎn)。③少數(shù)組合能盡量反映原來多變量的信息，它們又彼此正交，便于對變量進(jìn)行分類解釋。

第7頁/共51頁Chp.8因子分析8.1概述

有兩種主要的分析方法：①R型因子分析：研究變量之間的相互關(guān)系，通過對變量間的相關(guān)系數(shù)陣的內(nèi)部結(jié)構(gòu)的研究，找出控制著所有變量的幾個(gè)主成分，所以又稱主成分分析（PrincipalComponentAnalysis）。②Q型因子分析：研究樣品間的相關(guān)關(guān)系，通過對樣品間的相似系數(shù)陣的內(nèi)部結(jié)構(gòu)的研究，找出控制著所有樣品的幾個(gè)主要因素，所以又稱主因素分析。

4．因子分析的主要方法

第8頁/共51頁Chp.8因子分析8.1概述

①歸納綜合地質(zhì)現(xiàn)象，剔除原始觀測值中重復(fù)的成分，用更簡練的形式描述地質(zhì)現(xiàn)象。②用于研究諸如成因、成巖、共生組合、指示元素等地質(zhì)問題。5．因子分析的地質(zhì)學(xué)用途

第9頁/共51頁Chp.8因子分析8.1概述

進(jìn)行因子分析前，必須對數(shù)據(jù)進(jìn)行初始化:6．進(jìn)行因子分析的前提標(biāo)準(zhǔn)化后數(shù)據(jù)的均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1。這時(shí)，變量j與k之間的相關(guān)系數(shù)為設(shè)原始數(shù)據(jù)為xji,j=1,…,n(變量)，i=1,…,N(樣品)標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)為：其中:第10頁/共51頁Chp.8因子分析8.2因子分析的基本原理

①設(shè)有N個(gè)樣品，每個(gè)樣品有n個(gè)變量（x1,…,xn），它們有m個(gè)綜合因子，記為F1,F2,…,Fm（m<=n）1．主因子（主成分、主因素）的幾何意義F1F2②為了方便，現(xiàn)設(shè)有兩個(gè)變量x1，x2

對于二元正態(tài)分布變量，N個(gè)點(diǎn)的散布點(diǎn)大致為一橢圓，若在橢圓長軸方向取坐標(biāo)F1，短軸方向取F2，相當(dāng)于作了一個(gè)坐標(biāo)變換(x1→F1,x2→F2)第11頁/共51頁Chp.8因子分析8.2因子分析的基本原理

變換后的坐標(biāo)有如下性質(zhì)：ⅰ）N個(gè)樣品點(diǎn)的坐標(biāo)F1，F(xiàn)2的相關(guān)性→0ⅱ）N個(gè)點(diǎn)的波動(dòng)（方差）大部分可以歸結(jié)為F1軸上的波動(dòng)，而F2上波動(dòng)趨近于0。ⅲ）F1，F(xiàn)2為x1，x2的綜合因子

X1=a11F1+a12F2X2=a21F1+a22F21．主因子（主成分、主因素）的幾何意義當(dāng)圖中橢圓很扁平時(shí)，可只考慮F1上的波動(dòng)，忽略F2上的波動(dòng)，這樣，二維可以降為一維。第12頁/共51頁Chp.8因子分析8.2因子分析的基本原理

③把兩個(gè)變量推廣到n個(gè)變量(x1,x2,…,xn)，將它們綜合成m個(gè)綜合因子時(shí)，則原始變量：

Zj=aj1F1+aj2F2+…+ajmFm+αjUj

而綜合因子：

F1=β11x1+β12x2+…+β1nxnF2=β21x1+β22x2+…+β2nxn……………Fm=βm1x1+βm2x2+…+βmnxn

而且要求：βk12+βk22+…+βkn2=11．主因子（主成分、主因素）的幾何意義第13頁/共51頁Chp.8因子分析8.2因子分析的基本原理

④確定上式中系數(shù)βij的原則

ⅰ)Fi與Fj(i≠j，j=1,2,…,m)互相無關(guān)(正交)；

ⅱ）F1是x1,x2,…,xn的所有線性組合中方差最小的，即F1提取了最多的信息量，F(xiàn)2提取了次大信息量，F(xiàn)3再次之，…。

ⅲ）F1,F2,…,Fm稱第1，2，…，m主因子，實(shí)際工作中只選前幾個(gè)因子。1．主因子（主成分、主因素）的幾何意義第14頁/共51頁Chp.8因子分析8.2因子分析的基本原理

①信息（或方差）的分解各變量的統(tǒng)計(jì)信息來源于方差，可以把n個(gè)變量提供的信息分解為：2．因子模型（因子分析的數(shù)學(xué)模型）1)由所有變量共同具有的少數(shù)幾個(gè)因子構(gòu)成的部分，即所謂公共因素部分—公共因子(m個(gè)，且m<=n)；

2)每個(gè)變量獨(dú)自具有的因素，即所謂獨(dú)特因素部分—唯一因子。

因子分析的基本任務(wù)是將以上兩部分分開。

第15頁/共51頁Chp.8因子分析8.2因子分析的基本原理

②n個(gè)變量的R型因子分析模型（主成分分析模型）將變量用若干個(gè)因子（公共因子、唯一因子）表示的模型，稱為因子模型。

其中最簡單的為線性模型，主成分分析中每一變量Zj由下列線性組合表示:

Z1=a11F1+a12F2+…+a1mFm+α1U1Z2=a21F1+a22F2+…+a2mFm+α2U2……………

…Zn=an1F1+an2F2+…+anmFm+αnUn2．因子模型（因子分析的數(shù)學(xué)模型）第16頁/共51頁Chp.8因子分析8.2因子分析的基本原理

③n個(gè)樣品的Q型因子分析模型（主因素分析模型）

xi=ai1F1+ai2F2+…+aimFm+αiUi④向量Zj可以由m個(gè)互不相關(guān)的獨(dú)立因子F1,F2,…,Fm和Uj表示，這個(gè)線性表示（一組線性方程）叫因子模型。2．因子模型（因子分析的數(shù)學(xué)模型）第17頁/共51頁Chp.8因子分析8.2因子分析的基本原理

2．因子模型（因子分析的數(shù)學(xué)模型）⑤主成分分析因子模型中的符號意義

1)F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)m表示m個(gè)公因子(commonfactor)：它們之間線性無關(guān)，在幾何上等同于m個(gè)相互垂直的參考矢量；2)U1,U2,…,Un為唯一因子或特殊因子(uniquefactor)，只出現(xiàn)于一個(gè)變量中；3)aj1,aj2,…,ajm為公因子系數(shù)，稱因子負(fù)荷(factorloading)，它是變量Zj在公因子Fp(p=1,2,…,m)上的負(fù)荷，表示第j個(gè)變量在第p個(gè)主因子上的權(quán)，亦即該變量在第p主因子上的相對重要性;第18頁/共51頁Chp.8因子分析8.2因子分析的基本原理

2．因子模型（因子分析的數(shù)學(xué)模型）⑤主成分分析因子模型中的符號意義

4)當(dāng)我們把變量Zj看成是m維空間中的一個(gè)向量時(shí)，則因子負(fù)荷ajp(p=1,2,…,m)表示變量Zj在坐標(biāo)軸Fp上的坐標(biāo)；5)αj為唯一因子系數(shù)，下標(biāo)j表示變量序號；

6)從幾何角度看，找主因子就是在n維空間中尋找橢球體的主軸問題；從數(shù)學(xué)角度看，則是從n個(gè)變量x1,x2,…,xn的相關(guān)矩陣中找出p個(gè)較大特征值對應(yīng)的特征向量。

第19頁/共51頁Chp.8因子分析8.2因子分析的基本原理

2．因子模型（因子分析的數(shù)學(xué)模型）⑥因子模型的矩陣形式：Z=A?F+αU矩陣A：因子負(fù)荷陣，求解A陣是因子分析中關(guān)鍵的一步；矩陣Z：標(biāo)準(zhǔn)化后的觀測值陣；矩陣F：公因子陣；矩陣U：唯一因子陣。第20頁/共51頁Chp.8因子分析8.2因子分析的基本原理

2．因子模型（因子分析的數(shù)學(xué)模型）⑦因子模型的幾點(diǎn)說明

1)在正交條件下，ajp就是第j個(gè)變量（j=1,2,…,n）與第n個(gè)公因子（p=1,2,…,m）的相關(guān)系數(shù)；2)一個(gè)變量Zj的總方差由三部分組成：

a)公因子方差(hj2)：全部公因子(F1,…,Fm)對變量Zj的總方差所作的貢獻(xiàn)；

b)誤差因子方差(cj2);c)特殊因子方差(bj2);由于標(biāo)準(zhǔn)化后的方差為1，故有：hj2+bj2+cj2=1

第21頁/共51頁Chp.8因子分析8.2因子分析的基本原理

2．因子模型（因子分析的數(shù)學(xué)模型）⑦因子模型的幾點(diǎn)說明

3)可以證明:即公因子方差為因子負(fù)荷陣A中各行元素的平方和；a)當(dāng)hj2=1時(shí)，說明該變量的全部原始信息被所選的因子說明了；

b)當(dāng)hj2=0.8時(shí)，說明該變量80%的原始信息被所選的因子說明了。第22頁/共51頁Chp.8因子分析8.2因子分析的基本原理

2．因子模型（因子分析的數(shù)學(xué)模型）⑦因子模型的幾點(diǎn)說明

4)因子負(fù)荷矩陣A中各列元素的平方和稱為公因子Fp的方差貢獻(xiàn)。

Sp表示：同一公因子Fp對諸變量所提供的方差的總和，它是衡量公因子相對重要性的標(biāo)志；第23頁/共51頁Chp.8因子分析8.2因子分析的基本原理

2．因子模型（因子分析的數(shù)學(xué)模型）⑦因子模型的幾點(diǎn)說明

5)對一個(gè)因子模型的解釋

a)F1反映了Cu、Ag礦化；

b)F2反映了Ni、Co礦化（另一期礦化）；

c)Cu的hj2=0.942+0.022+(-0.02)2=0.884，說明三個(gè)公因子說明了Cu變差的88.4%；

d)

公因子方差hj2的分析為選擇公共因子數(shù)提供了依據(jù)，一般hj2≥80%即可認(rèn)為所選因子數(shù)對變量Zj已滿足，否則再補(bǔ)加公因子，如Ag的hj2=0.3245，顯然不夠（對于Ag三個(gè)公因子不夠）。第24頁/共51頁Chp.8因子分析8.3初始因子矩陣及其計(jì)算方法

1.概述①A陣是對觀測變量的相關(guān)矩陣R分解的結(jié)果；②公因子的計(jì)算過程為：求相關(guān)矩陣的特征值和特征向量，求得特征值（為求Fp）及特征向量（為求ajp）即可完成A陣。第25頁/共51頁Chp.8因子分析8.3初始因子矩陣及其計(jì)算方法

2.主成分的主要性質(zhì)(R型)①矩陣A第j行的因子負(fù)荷平方之和等于第j個(gè)變量的hj2；

②因子負(fù)荷等于相關(guān)陣的特征向量αjp乘以對應(yīng)的特征值λp的平方根，它表示Zj與Fp的相關(guān)程度；③第p個(gè)公因子的因子負(fù)荷的平方之和等于該公因子對應(yīng)的特征值λp:第26頁/共51頁Chp.8因子分析8.3初始因子矩陣及其計(jì)算方法

2.主成分的主要性質(zhì)(R型)④R陣全部特征值之和等于階數(shù)；⑤對于全部n個(gè)變量，若第t個(gè)因子的ajt與第s個(gè)因子的ajs的乘積之和等于0，說明因子t與s正交。第27頁/共51頁Chp.8因子分析8.3初始因子矩陣及其計(jì)算方法

3.求初始因子陣A的方法①計(jì)算相關(guān)矩陣（以5個(gè)樣，3個(gè)變量為例）首先，對原始數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化：第28頁/共51頁Chp.8因子分析8.3初始因子矩陣及其計(jì)算方法

3.求初始因子陣A的方法①計(jì)算相關(guān)矩陣其次，計(jì)算相關(guān)系數(shù)：例如：=0.916第29頁/共51頁Chp.8因子分析8.3初始因子矩陣及其計(jì)算方法

3.求初始因子陣A的方法②求特征值及特征向量1）R的特征方程為：|R-λi|=0，即：解此方程得：

λ1=2.87，λ2=0.128，λ3=0.002說明：λ1+λ2+λ3=3，等于變量個(gè)數(shù)。第30頁/共51頁Chp.8因子分析8.3初始因子矩陣及其計(jì)算方法

3.求初始因子陣A的方法②求特征值及特征向量2）計(jì)算特征向量，通過下列矩陣方程求出：

RX-λX=0X即為特征向量

將λ1=2.87代入，解得：

X1λ1=0.586,X2λ1=0.564,X3λ1=0.581同樣，求得:X1λ2=0.317,X2λ2=-0.820,X3λ2=0.476由于λ3=0.002太小，從略。第31頁/共51頁Chp.8因子分析8.3初始因子矩陣及其計(jì)算方法

3.求初始因子陣A的方法②求特征值及特征向量3）按一定的標(biāo)準(zhǔn)選取特征值變量Zj，它所涉及的公因子個(gè)數(shù)稱為該變量的“復(fù)雜性”；選取合理的公因子個(gè)數(shù)，關(guān)鍵在于合理選其公因子方差hj2；選取的原則是：

a）根據(jù)特征值在特征值總數(shù)中所占的比例，比值越大，說明變化性越多，一般取0.8~0.9，在本題中，∑λi=3，（λ1+λ2）/∑λi=（2.87+0.128）/3≈100%，即選兩個(gè)Fp即可；

b）另一種方法：選取特征值λi>1的即可。

第32頁/共51頁Chp.8因子分析8.3初始因子矩陣及其計(jì)算方法

3.求初始因子陣A的方法②求特征值及特征向量4）計(jì)算因子負(fù)荷αjp為第p個(gè)特征值對應(yīng)的第j個(gè)特征向量對應(yīng)λ1=2.87：

對應(yīng)λ2=0.128：于是，初始因子矩陣第33頁/共51頁Chp.8因子分析8.3初始因子矩陣及其計(jì)算方法

3.求初始因子陣A的方法②求特征值及特征向量5）公因子方差

h12=a112+a122=0.9932+0.1122=0.999h22=0.998h32=0.9976）公因子Fp的方差貢獻(xiàn)

S1=0.9932+0.9552+0.9842=2.87=λ1S2=0.1132+（-0.293）2+0.1702=0.128=λ2第34頁/共51頁Chp.8因子分析8.3初始因子矩陣及其計(jì)算方法

3.求初始因子陣A的方法②求特征值及特征向量7）給出正交因子模型FpajiXjF1F2hj2X10.9930.1130.999X20.955-0.2930.998X30.9840.1700.997Sp2.870.128

第35頁/共51頁Chp.8因子分析8.4因子旋轉(zhuǎn)1.概述

建立因子分析模型的目的不僅是找出主因子，更重要的是知道每個(gè)主因子的意義，以便對實(shí)際問題進(jìn)行分析。

如果求出主因子解后，各個(gè)主因子的典型代表變量不很突出，還需要進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)，以便得到比較滿意的主因子。第36頁/共51頁Chp.8因子分析8.4因子旋轉(zhuǎn)1.概述

進(jìn)行因子旋轉(zhuǎn)，就是要使因子載荷矩陣中因子載荷向0和1兩個(gè)方向分化，使大的載荷更大，小的載荷更小。

如有兩個(gè)變量x1,x2,在F1,F2上的投影值相似，當(dāng)把F1,F2旋轉(zhuǎn)為FⅠ，F(xiàn)Ⅱ后，就變得清晰了。第37頁/共51頁Chp.8因子分析8.4因子旋轉(zhuǎn)1.概述

因子旋轉(zhuǎn)過程中，如果因子對應(yīng)軸相互正交，則稱為正交旋轉(zhuǎn)；

旋轉(zhuǎn)的方法有很多，正交旋轉(zhuǎn)(orthogonalrotation)和斜交旋轉(zhuǎn)(obliquerotation)是因子旋轉(zhuǎn)的兩類方法。最常用的方法是最大方差正交旋轉(zhuǎn)法(Varimax)。

如果因子對應(yīng)軸相互間不是正交的，則稱為斜交旋轉(zhuǎn)。

常用的斜交旋轉(zhuǎn)方法有Promax法等。第38頁/共51頁Chp.8因子分析8.4因子旋轉(zhuǎn)2.判斷因子解好壞的Thurstone簡單結(jié)構(gòu)準(zhǔn)則①每一因子Fp僅有少數(shù)研究對象（變量、樣品）在它上面有高值（或集中分布）；②任一研究對象（變量、樣品）只能在極少數(shù)因子上有高值（不計(jì)正負(fù)）。即：每一變量盡可能只與一個(gè)因子有關(guān)，因子負(fù)荷ajp盡可能趨于0、+1、-1。第39頁/共51頁Chp.8因子分析8.4因子旋轉(zhuǎn)3.簡單示例

煤炭中除常量元素外，還含有多種潛在毒害元素，如Hg、Se、Pb、Cd、As、Zn、Sb和Ti等。煤在燃燒過程中，這些元素呈氣態(tài)或吸附在煙氣中細(xì)小顆粒物中呈氣溶膠態(tài)，并能通過各種煙氣污染控制設(shè)施而釋放到大氣環(huán)境中，成為大氣環(huán)境的主要污染源。為了了解和有效地控制煤炭使用過程引起的這些潛在毒害元素的環(huán)境污染程度，不僅要弄清煤中這些元素的分布規(guī)律，更重要的是要弄清這些元素在煤中的賦存狀態(tài)。

第40頁/共51頁Chp.8因子分析8.4因子旋轉(zhuǎn)3.簡單示例

只有As、Fe比較理想！第41頁/共51頁Chp.8因子分析8.4因子旋轉(zhuǎn)3.簡單示例

對比：

旋轉(zhuǎn)前：初始因子解難以對各因子作出合理的解釋。旋轉(zhuǎn)后：

F1中As、Hg、Sb、Fe、S等有高的因子載荷；

F2與Se和Zn有較大的相關(guān)性；

F3中Cd有較高的因子載荷；

F4中只有Pb有較高的因子載荷；

F5只與Ti相關(guān)。第42頁/共51頁Chp.8因子分析8.4因子旋轉(zhuǎn)3.簡單示例

煤層中As、Hg、Sb、Fe主要賦存于次生黃鐵礦中；

Zn和Se主要賦存于閃鋅礦中；

Pb以方鉛礦形式存在于煤中；從元素地球化學(xué)性質(zhì)上講，Cd應(yīng)賦存于閃鋅礦中，但由于其在煤中的含量較低，造成分析數(shù)據(jù)的誤差較大，從而掩蓋了它與Zn之間的相關(guān)關(guān)系；煤中Ti的賦存狀態(tài)較為復(fù)雜。第43頁/共51頁Chp.8因子分析8.5因子計(jì)量（FactorScore）1.計(jì)量的目的

因子分析有兩大任務(wù)：①將變量表示為公因子的線性組合（因子解）

Zj=aj1F1+aj2F2+…+ajmFm因子模型建立后，一個(gè)重要的作用是應(yīng)用它去評價(jià)每個(gè)樣品在整個(gè)模型中的