ch05微分方程模型

會(huì)計(jì)學(xué)1ch05微分方程模型5.1傳染病模型問題

描述傳染病的傳播過程

分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律

預(yù)報(bào)傳染病高潮到來的時(shí)刻

預(yù)防傳染病蔓延的手段

按照傳播過程的一般規(guī)律，用機(jī)理分析方法建立模型第1頁/共62頁

已感染人數(shù)(病人)i(t)

每個(gè)病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為模型1假設(shè)若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?第2頁/共62頁模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康人的比例分別為2）每個(gè)病人每天有效接觸人數(shù)為,且使接觸的健康人致病建模~日接觸率SI模型第3頁/共62頁模型21/2tmii010ttm~傳染病高潮到來時(shí)刻(日接觸率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大第4頁/共62頁模型3傳染病無免疫性——病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設(shè)SIS模型3）病人每天治愈的比例為~日治愈率建模~日接觸率1/~感染期~一個(gè)感染期內(nèi)每個(gè)病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。第5頁/共62頁模型3i0i0接觸數(shù)=1~閾值感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù)1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt<0第6頁/共62頁模型4傳染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系統(tǒng)，稱移出者SIR模型假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人、健康人和移出者的比例分別為2）病人的日接觸率

,日治愈率,

接觸數(shù)=/建模需建立的兩個(gè)方程第7頁/共62頁模型4SIR模型無法求出的解析解在相平面上研究解的性質(zhì)第8頁/共62頁模型4消去dtSIR模型相軌線的定義域相軌線11si0D在D內(nèi)作相軌線的圖形，進(jìn)行分析第9頁/共62頁si101D模型4SIR模型相軌線及其分析傳染病蔓延傳染病不蔓延s(t)單調(diào)減相軌線的方向P1s0imP1:s0>1/i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)單調(diào)降至01/~閾值P3P4P2S0第10頁/共62頁模型4SIR模型預(yù)防傳染病蔓延的手段(日接觸率)衛(wèi)生水平(日治愈率)醫(yī)療水平傳染病不蔓延的條件——s0<1/的估計(jì)

降低s0提高r0

提高閾值1/

降低(=/),群體免疫第11頁/共62頁模型4SIR模型被傳染人數(shù)的估計(jì)記被傳染人數(shù)比例x<<s0i0P1i00,s01小,s01提高閾值1/降低被傳染人數(shù)比例xs0-1/=第12頁/共62頁5.2

經(jīng)濟(jì)增長模型增加生產(chǎn)發(fā)展經(jīng)濟(jì)增加投資增加勞動(dòng)力提高技術(shù)

建立產(chǎn)值與資金、勞動(dòng)力之間的關(guān)系

研究資金與勞動(dòng)力的最佳分配，使投資效益最大

調(diào)節(jié)資金與勞動(dòng)力的增長率，使經(jīng)濟(jì)(生產(chǎn)率)增長1.道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)

產(chǎn)值Q(t)F為待定函數(shù)資金K(t)勞動(dòng)力L(t)技術(shù)f(t)=f0第13頁/共62頁模型假設(shè)靜態(tài)模型每個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)值每個(gè)勞動(dòng)力的投資z隨著

y的增加而增長，但增長速度遞減yg(y)01.道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)含義？Douglas生產(chǎn)函數(shù)第14頁/共62頁QK~單位資金創(chuàng)造的產(chǎn)值QL~單位勞動(dòng)力創(chuàng)造的產(chǎn)值~資金在產(chǎn)值中的份額1-~勞動(dòng)力在產(chǎn)值中的份額更一般的道格拉斯(Douglas)生產(chǎn)函數(shù)1.Douglas生產(chǎn)函數(shù)第15頁/共62頁w,r,K/L求資金與勞動(dòng)力的分配比例K/L(每個(gè)勞動(dòng)力占有的資金)，使效益S最大資金和勞動(dòng)力創(chuàng)造的效益資金來自貸款，利率r勞動(dòng)力付工資w2）資金與勞動(dòng)力的最佳分配（靜態(tài)模型）第16頁/共62頁3)經(jīng)濟(jì)(生產(chǎn)率)增長的條件(動(dòng)態(tài)模型)要使Q(t)或Z(t)=Q(t)/L(t)增長,K(t),L(t)應(yīng)滿足的條件模型假設(shè)

投資增長率與產(chǎn)值成正比(用一定比例擴(kuò)大再生產(chǎn))

勞動(dòng)力相對(duì)增長率為常數(shù)第17頁/共62頁Bernoulli方程第18頁/共62頁產(chǎn)值Q(t)增長dQ/dt>03)經(jīng)濟(jì)增長的條件第19頁/共62頁勞動(dòng)力增長率小于初始投資增長率每個(gè)勞動(dòng)力的產(chǎn)值Z(t)=Q(t)/L(t)增長dZ/dt>03)經(jīng)濟(jì)增長的條件第20頁/共62頁5.3正規(guī)戰(zhàn)與游擊戰(zhàn)戰(zhàn)爭(zhēng)分類：正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)，游擊戰(zhàn)爭(zhēng)，混合戰(zhàn)爭(zhēng)只考慮雙方兵力多少和戰(zhàn)斗力強(qiáng)弱兵力因戰(zhàn)斗及非戰(zhàn)斗減員而減少，因增援而增加戰(zhàn)斗力與射擊次數(shù)及命中率有關(guān)建模思路和方法為用數(shù)學(xué)模型討論社會(huì)領(lǐng)域的實(shí)際問題提供了可借鑒的示例第一次世界大戰(zhàn)Lanchester提出預(yù)測(cè)戰(zhàn)役結(jié)局的模型第21頁/共62頁一般模型

每方戰(zhàn)斗減員率取決于雙方的兵力和戰(zhàn)斗力

每方非戰(zhàn)斗減員率與本方兵力成正比

甲乙雙方的增援率為u(t),v(t)f,g

取決于戰(zhàn)爭(zhēng)類型x(t)~甲方兵力，y(t)~乙方兵力模型假設(shè)模型第22頁/共62頁正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型

甲方戰(zhàn)斗減員率只取決于乙方的兵力和戰(zhàn)斗力雙方均以正規(guī)部隊(duì)作戰(zhàn)

忽略非戰(zhàn)斗減員

假設(shè)沒有增援f(x,y)=ay,a~乙方每個(gè)士兵的殺傷率a=rypy,ry~射擊率，

py~命中率第23頁/共62頁0正規(guī)戰(zhàn)爭(zhēng)模型為判斷戰(zhàn)爭(zhēng)的結(jié)局，不求x(t),y(t)而在相平面上討論x與y的關(guān)系平方律模型乙方勝第24頁/共62頁游擊戰(zhàn)爭(zhēng)模型雙方都用游擊部隊(duì)作戰(zhàn)

甲方戰(zhàn)斗減員率還隨著甲方兵力的增加而增加

忽略非戰(zhàn)斗減員

假設(shè)沒有增援f(x,y)=cxy,c~乙方每個(gè)士兵的殺傷率c=rypyry~射擊率py~命中率py=sry/sxsx~甲方活動(dòng)面積sry~乙方射擊有效面積第25頁/共62頁0游擊戰(zhàn)爭(zhēng)模型線性律模型第26頁/共62頁0混合戰(zhàn)爭(zhēng)模型甲方為游擊部隊(duì)，乙方為正規(guī)部隊(duì)乙方必須10倍于甲方的兵力設(shè)x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2)第27頁/共62頁5.4

藥物在體內(nèi)的分布與排除

藥物進(jìn)入機(jī)體形成血藥濃度(單位體積血液的藥物量)

血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)——給藥方案設(shè)計(jì)

藥物在體內(nèi)吸收、分布和排除過程——藥物動(dòng)力學(xué)

建立房室模型——藥物動(dòng)力學(xué)的基本步驟

房室——機(jī)體的一部分，藥物在一個(gè)房室內(nèi)均勻分布(血藥濃度為常數(shù))，在房室間按一定規(guī)律轉(zhuǎn)移

本節(jié)討論二室模型——中心室(心、肺、腎等)和周邊室(四肢、肌肉等)第28頁/共62頁

中心室周邊室給藥排除模型假設(shè)

中心室(1)和周邊室(2),容積不變

藥物在房室間轉(zhuǎn)移速率及向體外排除速率，與該室血藥濃度成正比

藥物從體外進(jìn)入中心室，在二室間相互轉(zhuǎn)移,從中心室排出體外模型建立第29頁/共62頁線性常系數(shù)非齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程通解模型建立第30頁/共62頁幾種常見的給藥方式1.快速靜脈注射t=0

瞬時(shí)注射劑量D0的藥物進(jìn)入中心室,血藥濃度立即為D0/V1給藥速率f0(t)和初始條件第31頁/共62頁2.恒速靜脈滴注t>T,c1(t)和c2(t)按指數(shù)規(guī)律趨于零藥物以速率k0進(jìn)入中心室0Tt￡￡第32頁/共62頁吸收室中心室3.口服或肌肉注射相當(dāng)于藥物(劑量D0)先進(jìn)入吸收室，吸收后進(jìn)入中心室吸收室藥量x0(t)第33頁/共62頁參數(shù)估計(jì)各種給藥方式下的c1(t),c2(t)取決于參數(shù)k12,k21,k13,V1,V2t=0快速靜脈注射D0,在ti(i=1,2,n)測(cè)得c1(ti)由較大的用最小二乘法定A,由較小的用最小二乘法定B,第34頁/共62頁參數(shù)估計(jì)進(jìn)入中心室的藥物全部排除第35頁/共62頁

過濾嘴的作用與它的材料和長度有什么關(guān)系

人體吸入的毒物量與哪些因素有關(guān)，其中哪些因素影響大，哪些因素影響小。模型分析

分析吸煙時(shí)毒物進(jìn)入人體的過程，建立吸煙過程的數(shù)學(xué)模型。

設(shè)想一個(gè)“機(jī)器人”在典型環(huán)境下吸煙，吸煙方式和外部環(huán)境認(rèn)為是不變的。問題5.5

香煙過濾嘴的作用第36頁/共62頁模型假設(shè)定性分析1）l1~煙草長，l2~過濾嘴長，l=l1+l2，毒物量M均勻分布，密度w0=M/l12）點(diǎn)燃處毒物隨煙霧進(jìn)入空氣和沿香煙穿行的數(shù)量比是a′:a,a′+a=13）未點(diǎn)燃的煙草和過濾嘴對(duì)隨煙霧穿行的毒物的(單位時(shí)間)吸收率分別是b和4）煙霧沿香煙穿行速度是常數(shù)v，香煙燃燒速度是常數(shù)u，v>>uQ~吸一支煙毒物進(jìn)入人體總量第37頁/共62頁模型建立0t=0,x=0，點(diǎn)燃香煙q(x,t)~毒物流量w(x,t)~毒物密度1)求q(x,0)=q(x)第38頁/共62頁t時(shí)刻，香煙燃至x=ut1)求q(x,0)=q(x)2)求q(l,t)第39頁/共62頁3)求w(ut,t)第40頁/共62頁4)計(jì)算Q第41頁/共62頁結(jié)果分析煙草為什么有作用?1）Q與a,M成正比，aM是毒物集中在x=l處的吸入量2)~過濾嘴因素，,l2~負(fù)指數(shù)作用是毒物集中在x=l1處的吸入量3）(r)~煙草的吸收作用b,l1~線性作用第42頁/共62頁帶過濾嘴不帶過濾嘴結(jié)果分析4)與另一支不帶過濾嘴的香煙比較，w0,b,a,v,l均相同，吸至x=l1扔掉提高-b與加長l2，效果相同第43頁/共62頁5.6人口預(yù)測(cè)和控制

年齡分布對(duì)于人口預(yù)測(cè)的重要性

只考慮自然出生與死亡，不計(jì)遷移人口發(fā)展方程第44頁/共62頁人口發(fā)展方程一階偏微分方程第45頁/共62頁人口發(fā)展方程~已知函數(shù)（人口調(diào)查）~生育率（控制人口手段）0tr第46頁/共62頁生育率的分解~總和生育率h~生育模式0第47頁/共62頁人口發(fā)展方程和生育率~總和生育率——控制生育的多少~生育模式——控制生育的早晚和疏密

正反饋系統(tǒng)

滯后作用很大第48頁/共62頁人口指數(shù)1）人口總數(shù)2）平均年齡3）平均壽命t時(shí)刻出生的人，死亡率按(r,t)計(jì)算的平均存活時(shí)間4）老齡化指數(shù)控制生育率控制N(t)不過大控制(t)不過高第49頁/共62頁5.7

煙霧的擴(kuò)散與消失現(xiàn)象和問題炮彈在空中爆炸，煙霧向四周擴(kuò)散，形成圓形不透光區(qū)域。不透光區(qū)域不斷擴(kuò)大，然后區(qū)域邊界逐漸明亮，區(qū)域縮小，最后煙霧消失。建立模型描述煙霧擴(kuò)散和消失過程，分析消失時(shí)間與各因素的關(guān)系。問題分析無窮空間由瞬時(shí)點(diǎn)源導(dǎo)致的擴(kuò)散過程，用二階偏微分方程描述煙霧濃度的變化。觀察的煙霧消失與煙霧對(duì)光線的吸收，以及儀器對(duì)明暗的靈敏程度有關(guān)。第50頁/共62頁模型假設(shè)1）煙霧在無窮空間擴(kuò)散，不受大地和風(fēng)的影響；擴(kuò)散服從熱傳導(dǎo)定律。2）光線穿過煙霧時(shí)光強(qiáng)的減少與煙霧濃度成正比；無煙霧的大氣不影響光強(qiáng)。3）穿過煙霧進(jìn)入儀器的光線只有明暗之分，明暗界限由儀器靈敏度決定。模型建立1）煙霧濃度的變化規(guī)律熱傳導(dǎo)定律：單位時(shí)間通過單位法向面積的流量與濃度梯度成正比第51頁/共62頁曲面積分的奧氏公式1）煙霧濃度的變化規(guī)律第52頁/共62頁

初始條件Q~炮彈釋放的煙霧總量

~單位強(qiáng)度的點(diǎn)源函數(shù)

對(duì)任意t,C的等值面是球面x2+y2+z2=R2;RC

僅當(dāng)t,對(duì)任意點(diǎn)(x,y,z),C01）煙霧濃度的變化規(guī)律第53頁/共62頁2）穿過煙霧光強(qiáng)的變化規(guī)律光強(qiáng)的減少與煙霧濃度成正比第54頁/共62頁3）儀器靈敏度與煙霧明暗界限煙霧濃度連續(xù)變化煙霧中光強(qiáng)連續(xù)變化儀器z-設(shè)光源在z=-,儀器在z=,則觀測(cè)到的明暗界限為不透光區(qū)域有擴(kuò)大、縮小、消失的過程穿過