一元二次方程根的判別式

一元二次方程根的判別式關于X的一元二次方程QX2+bx+c=0（a（的根的判別式為b2—4m，一般用符號表示.－b±b2－4acTOC\o"1-5"\h\z（1）b2—4ac>0臺方程有兩個不相等的實數(shù)根，即X=2c；1,2a⑵b2—4ac=0臺方程有兩個相等的實數(shù)根，即x1=x2=—2a；⑶b2—4ac<0臺方程沒有實數(shù)根.【例題講解及練習】（2013棗莊）若關于x的一元二次方程x2-2x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A.m<-1B.m<1C.m>-1D.m>1（2013達州）若方程3x2-6x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（）A.B.C.D.（2013瀘州）若關于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（）A.k>-1B.k<1且k0C.k-1且k0D.k>-1且k0（2013六盤水）已知關于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A.k<-2B.k<2C.k>2D.k<2且k1（2012梧州）關于x的一元二次方程（a+1）x2-4x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是（）A.a>-5B.a>-5且a-1C.a<-5D.a-5且a-1（2012日照）已知關于x的一元二次方程（k-2）2x2+（2k+1）x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A.k>B.kC.k>且k2D,k且k2TOC\o"1-5"\h\z（2012襄陽）如果關于x的一元二次方程kx2-x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，那么k的取值范圍是（）A.k<Bk<且k0C,-k<D,-k<且k0（2013福州）下列一元二次方程有兩個相等實數(shù)根的是（）A.x2+3=0B.x2+2x=0C.（x+1）2=0D.（x+3）（x-1）=0（2013十堰）已知關于x的一元二次方程x2+2x-a=0有兩個相等的實數(shù)根，則a的值是（）A.4B.-4C.1D.-1（2013大連）若關于x的方程x2-4x+m=0沒有實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（）A.m<-4B.m>-4C.m<4D.m>4（2013常德）下列一元二次方程中無實數(shù)解的方程是（）A.x2+2x+1=0B.x2+1=0C.x2=2x-1D.x2-4x-5=0（2012常德）若一元二次方程x2+2x+m=0有實數(shù)解，則m的取值范圍是（）A.m-1B.m1C.m4D（2012瀘州）若關于x的一元二次方程x2-4x+2k=0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A.k2B.k2C.k>-2D.k<-2（2013烏魯木齊）若關于x的方程式x2-x+a=0有實數(shù)根，則a的值可以是（）A.2B.1C.0.5D.0.25（2013平涼）一元二次方程x2+x-2=0根的情況是（）A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.無實數(shù)根D.無法確定（2013珠海）已知一元二次方程：x2+2x+3=0,x2-2x-3=0.下列說法正確的是（）A.都有實數(shù)解B.無實數(shù)解，有實數(shù)解C.有實數(shù)解，無實數(shù)解D.都無實數(shù)解（2013廣州）若5k+20<0,則關于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情況是（）A.沒有實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.有兩個不相等的實數(shù)根D.無法判斷（2013成都）一元二次方程x2+x-2=0的根的情況是（）A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.只有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根（2013濱州）對于任意實數(shù)k,關于x的方程x2-2（k+1）x-k2+2k-1=0的根的情況為（）A.有兩個相等的實數(shù)根B.沒有實數(shù)根C.有兩個不相等的實數(shù)根D.無法確定（2012河池）一元二次方程x2+2x+2=0的根的情況是（）A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根C.只有一個實數(shù)根D.無實數(shù)根.若關于x的方程kx2+4x+3=0有實數(shù)根，則k的非負整數(shù)值是.（2013樂山）已知關于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+k=0.（1）求證：方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）若4ABC的兩邊AB,AC的長是這個方程的兩個實數(shù)根.第三邊BC的長為5,當^ABC是等腰三角形時，求k的值.一元二次方程根的判別式2013參考答案與試題解析一．選擇題（共24小題）（2013棗莊）若關于x的一元二次方程x2-2x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A.m<-1B.m<1C.m>-1D.m>1考點：根的判別式.分析：根據根的判別式的意義得到△=22-4m>0,然后解不等式即可.解答：解：根據題意得^=22-4m>0,解得m<1.故選B.點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判別式△=b2-42c當4>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根；當^=0,方程有兩個相等的實數(shù)根；當4<0,方程沒有實數(shù)根.（2013達州）若方程3x2-6x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是（）B.C.D.考點：根的判別式；在數(shù)軸上表示不等式的解集.分析：首先根據題意可得△>0,代入相應的數(shù)可得??.（-6）2-4x3xm>0,再解不等式即可.解答：解：二?方程3x2-6x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，.?.△>0,/.（-6）2-4x3xm>0,解得：m<3，在數(shù)軸上表示為：，故選：B.點評：此題主要考查了根的判別式，以及解一元一次不等式，關鍵是掌握一元二次方程根的情況與判別式△的關系：△>0=方程有兩個不相等的實數(shù)根；△=0=方程有兩個相等的實數(shù)根；△<0=方程沒有實數(shù)根.（2012眉山）若關于x的一元二次方程x2-2x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A.m<1B.m<-1C.m>1D.m>-1考點：根的判別式.專題：計算題.分析：根據根的判別式，令△>0即可求出根的判別式.解答：解：???關于x的一元二次方程x2-2x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，.△=（-2）2-4xm>0,.?.4-4m>0,解得m<1.故選A.點評：本題考查了一元二次方程根的情況與判別式△的關系：△>0Q方程有兩個不相等的實數(shù)根；△=0Q方程有兩個相等的實數(shù)根；△<0Q方程沒有實數(shù)根.（2013宜賓）若關于x的一元二次方程x2+2x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A.k<1B.k>1C.k=1D.k0考點：根的判別式.分析：判斷上述方程的根的情況，只要看根的判別式△=b2-4ac的值的符號就可以了.解答：解：???關于x的一元二次方程x2+2x+k=0有兩個不相等的實數(shù)根，a=1,b=2,c=k,.?.△=b2-4ac=22-4x1xk>0,.??k<1,故選：A.點評：此題主要考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△>0Q方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0Q方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△<0Q方程沒有實數(shù)根.（2013欽州）關于x的一元二次方程3x2-6x+m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是（）A.m<3B.m3C.m>3D.m3考點：根的判別式.專題：計算題.分析：根據判別式的意義得到4=（-6）2-4x3xm>0,然后解不等式即可.解答：解：根據題意得4=（-6）2-4x3xm>0,解得m<3.故選A.點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判別式△=b2-42?：當4>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根；當^=0,方程有兩個相等的實數(shù)根；當4<0,方程沒有實數(shù)根.（2013瀘州）若關于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍是（）A.k>-1B.k<1且k0C.k-1且k0D.k>-1且k0考點：根的判別式；一元二次方程的定義.專題：計算題.分析：根據方程有兩個不相等的實數(shù)根，得到根的判別式的值大于0列出不等式，且二次項系數(shù)不為0,即可求出k的范圍.解答：解：???一元二次方程kx2-2x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，.?.△=b2-4ac=4+4k>0,且k0,解得：k>-1且k0.故選D點評：此題考查了一元二次方程根的判別式，根的判別式的值大于0,方程有兩個不相等的實數(shù)根；根的判別式的值等于0,方程有兩個相等的實數(shù)根；根的判別式的值小于0,方程沒有實數(shù)根.（2013六盤水）已知關于x的一元二次方程（k-1）x2-2x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A.k<-2B.k<2C.k>2D.k<2且k1考點：根的判別式；一元二次方程的定義.專題：計算題；壓軸題.分析：根據方程有兩個不相等的實數(shù)根，得到根的判別式的值大于0列出關于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范圍.解答：解：根據題意得：△=b2-4ac=4-4（k-1）=8-4k>0,且k-10,解得：k<2,且k1.故選D點評：此題考查了根的判別式，以及一元二次方程的定義，弄清題意是解本題的關鍵.（2012梧州）關于x的一元二次方程（a+1）x2-4x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是（）A.a>-5B.a>-5且a-1C.a<-5D.a-5且a-1考點：根的判別式；一元二次方程的定義.專題：壓軸題.分析：在與一元二次方程有關的求值問題中，方程x2-x+a=0有兩個不相等的實數(shù)根，方程必須滿足^=b2-4ac>0,即可求得.解答：解：x的一元二次方程（a+1）x2-4x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，.?.△=b2-4ac=16+4a+4>0,解得a>-5?「a+10.a-1.故選B.點評：本題考查了一元二次方程根的判別式的應用.總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系：△>0=方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0=方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△<0=方程沒有實數(shù)根.（2012日照）已知關于x的一元二次方程（k-2）2x2+（2k+1）x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A.k>B.kC.k>且k2D.k且k2考點：根的判別式；一元二次方程的定義.專題：計算題.分析：根據方程有兩個不相等的實數(shù)根，可知△>0,據此列出關于k的不等式，解答即可.解答：解：???方程為一元二次方程，.k-20,即k2,二?方程有兩個不相等的實數(shù)根，.△>0,.（2k+1）2-4（k-2）2>0,.（2k+1-2k+4）（2k+1+2k-4）>0,.5（4k-3）>0,k>,故k>且k2.故選C.點評：本題考查了根的判別式和一元二次方程的定義，根據一元二次方程的定義判斷出二次項系數(shù)不為0是解題的關鍵.10.（2012襄陽）如果關于x的一元二次方程kx2-.2kHx+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，那么k的取值范圍是（）A.k<Bk<且k0C.-k<D.-k<且k0考點：根的判別式.專題：壓軸題.分析：根據方程有兩個不相等的實數(shù)根，則△>0,由此建立關于k的不等式，然后就可以求出k的取值范圍.解答：解：由題意知：2k+10,k0,△=2k+1-4k>0,???k<，且k0.故選D.點評：此題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程根的判別式△=產-42孰當4>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根；當^=0,方程有兩個相等的實數(shù)根；當4<0,方程沒有實數(shù)根.同時考查了一元二次不等式的解法.（2013福州）下列一元二次方程有兩個相等實數(shù)根的是（）A.x2+3=0B.x2+2x=0C.（x+1）2=0D.（x+3）（x-1）=0考點：根的判別式.專題：計算題.分析：根據計算根的判別式，根據判別式的意義可對A、B、C進行判斷；由于D的兩根可直接得到，則可對D進行判斷.解答：解：A、△=0-4x3=-12<0,則方程沒有實數(shù)根，所以A選項錯誤；B、△=4-4x0=4>0,則方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以B選項錯誤；C、x2+2x+1=0,△=4-4x1=0,則方程有兩個相等的實數(shù)根，所以C選項正確；D、x1=-3,x2=1,則方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以D選項錯誤.故選C.點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判別式△=b2-42c當4>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根；當^=0,方程有兩個相等的實數(shù)根；當4<0,方程沒有實數(shù)根.（2013大連）若關于x的方程x2-4x+m=0沒有實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是（）A.m<-4B.m>-4C.m<4D.m>4考點：根的判別式.專題：計算題.分析：由方程沒有實數(shù)根，得到根的判別式的值小于0,列出關于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范圍.解答：解：,:△=（-4）2-4m=16-4m<0,/.m>4.故選D點評：此題考查了根的判別式，熟練掌握根的判別式的意義是解本題的關鍵.（2013常德）下列一元二次方程中無實數(shù)解的方程是（）A.x2+2x+1=0B.x2+1=0C.x2=2x-1D.x2-4x-5=0考點：根的判別式.專題：計算題.分析：找出各項方程中a,b及c的值，進而計算出根的判別式的值，找出根的判別式的值小于0時的方程即可.解答：解：A、這里a=1,b=2,c=1,.?△=4-4=0,??方程有兩個相等的實數(shù)根，本選項不合題意;B、這里a=1,b=0,c=1,:△=-4<0,??方程沒有實數(shù)根，本選項符合題意;^這里a=1,b=-2,c=1,.?△=4-4=0,??方程有兩個相等的實數(shù)根，本選項不合題意；D、這里a=1,b=-4,c=-5,:△=16+20=36>0,??方程有兩個不相等的實數(shù)根，本選項不合題意，故選B點評：此題考查了根的判別式，根的判別式的值大于0,方程有兩個不相等的實數(shù)根；根的判別式的值等于0,方程有兩個相等的實數(shù)根；根的判別式的值小于0,方程沒有實數(shù)根.（2012常德）若一元二次方程x2+2x+m=0有實數(shù)解，則m的取值范圍是（）A.m-1B.m1C.m4D.考點：根的判別式.專題：計算題；壓軸題.分析：由一元二次方程有實數(shù)根，得到根的判別式大于等于0,列出關于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的取值范圍.解答：解：???一元二次方程x2+2x+m=0有實數(shù)解，/.b2-4ac=22-4m0,解得：m1,則m的取值范圍是m1.故選B點評：此題考查了一元二次方程解的判斷方法，一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的解與b2-4ac有關，當b2-4ac>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當b2-4ac<0時，方程無解.（2012瀘州）若關于x的一元二次方程x2-4x+2k=0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A.k2B.k2C.k>-2D.k<-2考點：根的判別式.專題：計算題.分析：根據一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判別式的意義可得到△0,即（-4）2-4x1x2k0,然后解不等式即可得到k的取值范圍.解答：解：??關于x的一元二次方程x2-4x+2k=0有兩個實數(shù)根，./△0,即（-4）2-4x1x2k0,解得k2./k的取值范圍是k2.故選B.點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根的判別式△=b2-42c當4>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當4=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當4<0時，方程沒有實數(shù)根.（2013烏魯木齊）若關于x的方程式x2-x+a=0有實數(shù)根，則a的值可以是（）A.2B.1C.0.5D.0.25考點：根的判別式.分析：根據判別式的意義得到4=（-1）2-4a0,然后解不等式，最后根據不等式的解集進行判斷.

解答：解：根據題意得4=(-1)2-4a0,解得a.故選D.點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判別式△=b2-42c當4>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根；當^=0,方程有兩個相等的實數(shù)根；當4<0,方程沒有實數(shù)根.(2013十堰)已知關于x的一元二次方程x2+2x-a=0有兩個相等的實數(shù)根，則a的值是()A.4B.-4C.1D.-1考點：根的判別式.專題：計算題.分析：根據根的判別式的意義得到△=22-4(-a)=0,然后解方程即可.解答：解：根據題意得^=22-4(-a)=0,解得a=-1.故選D.點評：本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判別式△=b2-42c當4>0,方程有兩個不相等的實數(shù)根；當^=0,方程有兩個相等的實數(shù)根；當4<0,方程沒有實數(shù)根.(2013平涼)一元二次方程x2+x-2=0根的情況是()A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.無實數(shù)根D.無法確定考點：根的判別式.分析：判斷上述方程的根的情況，只要看根的判別式△=b2-4ac的值的符號就可以了.解答：解：,*=，b=1,c=-2,.?.△=b2-4ac=1+8=9>0??.方程有兩個不相等的實數(shù)根.故選A點評：本題考查了一元二次方程根的判別式的應用.總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系：△>0=方程有兩個不相等的實數(shù)根；△=0=方程有兩個相等的實數(shù)根；△<0=方程沒有實數(shù)根.19.A.C19.A.C.(2013珠海)已知一元二次方程：x2+2x+3=0,都有實數(shù)解有實數(shù)解，無實數(shù)解x2-2x-3=0.下列說法正確的是()B.D.無實數(shù)解，有實數(shù)解都無實數(shù)解考點：根的判別式.專題：壓軸題.分析：求出、的判別式，根據：當4>0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；當^=0時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；當^<0時，方程無實數(shù)根.即可得出答案.解答：解：方程的判別式^=4-12=-8,則沒有實數(shù)解;方程的判別式^=4+12=20,則有兩個實數(shù)解.故選B.

點評：本題考查了根的判別式，解答本題的關鍵是掌握根的判別式與方程根的關系.（2013廣州）若5k+20<0,則關于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情況是（）A.沒有實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.有兩個不相等的實數(shù)根D.無法判斷考點：根的判別式.專題：計算題；壓軸題.分析：根據已知不等式求出k的范圍，進而判斷出根的判別式的值的正負，即可得到方程解的情況.解答：解：?.?5k+20<0,即k<-4,.?.△=16+4k<0,則方程沒有實數(shù)根.故選A點評：此題考查了一元二次方程根的判別式，根的判別式的值大于0,方程有兩個不相等的實數(shù)根；根的判別式的值等于0,方程有兩個相等的實數(shù)根；根的判別式的值小于0,方程沒有實數(shù)根.（2013成都）一元二次方程x2+x-2=0的根的情況是（）A.有兩個不相等的實數(shù)根B.有兩個相等的實數(shù)根C.只有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根考點：根的判別式.專題：壓軸題.分析：先計算出根的判別式△的值，根據△的值就可以判斷根的情況.解答：解：△=b2-4ac=12-4x1x（-2）=9,V9>0,.原方程有兩個不相等的實數(shù)根.故選A.點評：本題主要考查判斷一元二次方程有沒有實數(shù)根主要看根的判別式4的值.△>0,有兩個不相等的實數(shù)根;△=0,有兩個不相等的實數(shù)根；△<0,沒有實數(shù)根.（2013濱州）對于任意實數(shù)k,關于x的方程x2-2（k+1）x-k2+2k-1=0的根的情況為（）B.沒有實數(shù)根DB.沒有實數(shù)根D.無法確定C.有兩個不相等的實數(shù)根考點：根的判別式.分析：判斷上述方程的根的情況，只要看根的判別式△=b2-4ac的值的符號就可以了.解答：解：.*二1，b=-2（k+1）,c=-k2+2k-1,.△=b2-4ac=[-2（k+1）2-4x1x（-k2+2k-1）=8+8k2>0???此方程有兩個不相等的實數(shù)根，故選C.點評：此題主要考查了根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△>0Q方程有兩個不相等的實數(shù)根；（2）△=0Q方程有兩個相等的實數(shù)根；（3）△<0Q方程沒有實數(shù)根.（2012河池）一元二次方程x2+2x+2=0的根的情況是（）A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根C.只有一個實數(shù)根D.無實數(shù)根考點：根的判別式.分析：求出b2-4ac的值，根據b2-4ac的正負即可得出答案.解答：解：x2+2x+2=0,這里a=1,b=2,c=2,Vb2-4ac=22-4x1x2=-4<0,???方程無實數(shù)根，故選D.點評：本題考查的知識點是根與系數(shù)的關系，當b2-4ac>0時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根;當b2-4ac=0時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根；當b2-4ac<0時，一元二次方程無實數(shù)根.（2012廣安）已知關于x的一元二次方程（a-1）x2-2x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是（）A.a>2B.a<2C.a<2且alD.a<-2考點：根的判別式.專題：計算題；壓軸題.分析：利用一元二次方程根的判別式列不等式，解不等式求出a的取值范圍.解答：解：△=4-4（a-1）=8-4a>0得：