第一章數(shù)理邏輯

離散數(shù)學(xué)中北大學(xué)16一月2023引言1.計(jì)算機(jī)專業(yè)的學(xué)生為什么要學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)？2.離散數(shù)學(xué)包含的內(nèi)容?3.怎樣學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)？1

什么是離散數(shù)學(xué)？

離散數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，是計(jì)算機(jī)類專業(yè)的重要課程。它以研究離散量的結(jié)構(gòu)及其相互間的關(guān)系為主要目標(biāo)，其研究對(duì)象一般是有限個(gè)或可數(shù)個(gè)元素。

2離散數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)科的一個(gè)重要特點(diǎn)——離散性硬件軟件（系統(tǒng)軟件、應(yīng)用軟件）模型算法（程序運(yùn)行邏輯）數(shù)據(jù)表示、存儲(chǔ)程序編寫、執(zhí)行離散數(shù)學(xué)2離散數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)離散數(shù)學(xué)的思維方法能夠?yàn)橛?jì)算機(jī)科學(xué)所用，“離散數(shù)學(xué)能夠使我們?cè)诟叩母叨热チ私夂蛯W(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)科學(xué)”！計(jì)算機(jī)科學(xué)知識(shí)掌握的過程：“硬件跟著軟件走，軟件跟著模型走，模型跟著學(xué)科實(shí)際應(yīng)用走；學(xué)科實(shí)際應(yīng)用跟著自然走”！

——需要如下三個(gè)方面的能力：構(gòu)造模型、算法設(shè)計(jì)、程序設(shè)計(jì)的能力。思維訓(xùn)練：構(gòu)造性思維3

關(guān)于課程學(xué)習(xí)課程特點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)集中，概念和定理多方法性強(qiáng)

——閱讀，思考，練習(xí)，閱讀，總結(jié)，……學(xué)習(xí)內(nèi)容

數(shù)理邏輯、集合論、抽象代數(shù)、圖論4.計(jì)算科學(xué)與數(shù)學(xué)的關(guān)系

至于計(jì)算機(jī)技術(shù)專業(yè)的學(xué)生為何要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)這個(gè)問題的答案：計(jì)算機(jī)科學(xué)植根于數(shù)學(xué)，從而數(shù)學(xué)是必須掌握的基礎(chǔ)知識(shí)；另外如果我們已經(jīng)擁有牢固的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，則能大大提高我們本身的邏輯推理能力、抽象思維能力和形式化思維能力，從而今后在學(xué)習(xí)任何一門計(jì)算機(jī)科學(xué)的專業(yè)主干課程時(shí)，都不會(huì)遇上任何思維理解上的困難。4計(jì)算學(xué)科與離散數(shù)學(xué)的關(guān)系

在計(jì)算機(jī)科學(xué)知識(shí)掌握的過程中應(yīng)是“硬件跟著軟件走，軟件跟著模型走，模型跟著學(xué)科實(shí)際應(yīng)用走；學(xué)科實(shí)際應(yīng)用跟著自然走”。關(guān)于學(xué)生的培養(yǎng)目標(biāo)就是要培養(yǎng)自己的學(xué)生能夠根據(jù)實(shí)際應(yīng)用問題提出計(jì)算機(jī)應(yīng)用的模型，并用硬件和軟件資源去構(gòu)造計(jì)算機(jī)系統(tǒng)去完成模型中所提出來(lái)的工作。

構(gòu)造模型的能力；算法設(shè)計(jì)的能力；程序設(shè)計(jì)的能力。6.離散數(shù)學(xué)在國(guó)外的狀況

縱觀全世界軟件產(chǎn)業(yè)的情況，易見一個(gè)奇特的現(xiàn)象：美國(guó)處于絕對(duì)的壟斷地位。造成這種現(xiàn)象的一個(gè)根本的原因就是計(jì)算機(jī)科學(xué)在美國(guó)的飛速發(fā)展。當(dāng)今計(jì)算機(jī)科學(xué)界的最權(quán)威人士很多都是研究離散數(shù)學(xué)出身的。美國(guó)最重要的計(jì)算機(jī)科學(xué)系（MIT，Princeton，Stanford，Harvard，Yale，….）都有第一流的離散數(shù)學(xué)家。計(jì)算機(jī)科學(xué)通過對(duì)軟件產(chǎn)業(yè)的促進(jìn)，帶來(lái)了巨大的效益，這已是不爭(zhēng)之事實(shí)。6.離散數(shù)學(xué)在國(guó)外的狀況

美國(guó)政府也成立了離散數(shù)學(xué)及理論計(jì)算機(jī)科學(xué)中心DIMACS（與Princeton大學(xué)，Rutgers大學(xué)，AT&T聯(lián)合創(chuàng)辦的，設(shè)在Rutgers大學(xué)），該中心已是離散數(shù)學(xué)理論計(jì)算機(jī)科學(xué)的重要研究陣地。美國(guó)國(guó)家數(shù)學(xué)科學(xué)研究所（MathematicalSciencesResearchInstitute，由陳省身先生創(chuàng)立）在1997年選擇了離散數(shù)學(xué)作為研究專題，組織了為期一年的研究活動(dòng)。6.離散數(shù)學(xué)在國(guó)外的狀況

值得一提的是亞洲的發(fā)達(dá)國(guó)家也十分重視離散數(shù)學(xué)的研究。日本有離散數(shù)學(xué)研究中心，并且從美國(guó)引進(jìn)人才，不僅支持日本國(guó)內(nèi)的研究，還出資支持美國(guó)的有關(guān)課題的研究，這樣使日本的離散數(shù)學(xué)這幾年的發(fā)展極為迅速。臺(tái)灣、香港兩地也從美國(guó)引進(jìn)人才，大力發(fā)展離散數(shù)學(xué)。新加坡，韓國(guó)，馬來(lái)西亞也在積極推動(dòng)離散數(shù)學(xué)的研究和人才培養(yǎng)。。世界各地對(duì)離散數(shù)學(xué)的如此鐘愛顯然是有原因的，那就是沒有離散數(shù)學(xué)就沒有計(jì)算機(jī)科學(xué)，沒有計(jì)算機(jī)軟件。5.離散數(shù)學(xué)在國(guó)外的狀況

20世紀(jì)公認(rèn)的偉大數(shù)學(xué)家蓋爾芳德預(yù)言離散數(shù)學(xué)和幾何學(xué)將是21世紀(jì)數(shù)學(xué)研究的前沿陣地。這一觀點(diǎn)不僅得到國(guó)際數(shù)學(xué)界的贊同，也得到了中國(guó)數(shù)學(xué)界的贊同和響應(yīng)。除上述以外，歐洲也在積極發(fā)展離散數(shù)學(xué)，英國(guó)、法國(guó)、德國(guó)、荷蘭、丹麥、奧地利、瑞典、意大利、西班牙等國(guó)家都建立了各種形式的離散數(shù)學(xué)研究中心。近幾年，南美國(guó)家也在積極推動(dòng)離散數(shù)學(xué)的研究。澳大利亞，新西蘭也組建了很強(qiáng)的離散數(shù)學(xué)研究機(jī)構(gòu)。6.關(guān)于離散數(shù)學(xué)的一些應(yīng)用

例1:在日常生活中我們常常遇到離散數(shù)學(xué)的問題。如果你仔細(xì)留心一張世界地圖，你會(huì)發(fā)現(xiàn)用一種顏色對(duì)一個(gè)國(guó)家著色，那么一共只需要四種顏色就能保證每?jī)蓚€(gè)相鄰的國(guó)家的顏色不同。這樣的著色效果能使每一個(gè)國(guó)家都能清楚地顯示出來(lái)。但要證明這個(gè)結(jié)論確是一個(gè)著名的世界難題，最終借助計(jì)算機(jī)才得以解決，最近人們才發(fā)現(xiàn)了一個(gè)更簡(jiǎn)單的證明。6.關(guān)于離散數(shù)學(xué)的一些應(yīng)用

例2:一個(gè)郵遞員從郵局出發(fā)，要走完他所管轄的街道，他應(yīng)該怎樣選擇什么樣的路徑，這就是著名的"中國(guó)郵遞員問題"，由中國(guó)離散數(shù)學(xué)家管梅谷教授提出，著名離散數(shù)學(xué)家J.Edmonds和他的合作者給出了一個(gè)解答。6.關(guān)于離散數(shù)學(xué)的一些應(yīng)用

例3:一個(gè)班級(jí)的學(xué)生共計(jì)選修A、B、C、D、E、F六門課程，其中一部分人同時(shí)選修D(zhuǎn)、C、A，一部分人同時(shí)選修B、C、F，一部分人同時(shí)選修B、E，還有一部分人同時(shí)選修A、B，期終考試要求每天考一門課，六天內(nèi)考完，為了減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，要求每人都不會(huì)連續(xù)參加考試，試設(shè)計(jì)一個(gè)考試日程表。6.關(guān)于離散數(shù)學(xué)的一些應(yīng)用

例4:一個(gè)人帶著一只狼、一只羊和一捆草要渡河，由于船太小，人做擺渡者一次只能運(yùn)送一個(gè)“乘客”，很顯然，如果人不在，狼要吃羊，羊要吃草，問人怎樣才能把它們平安地渡過河去？6.關(guān)于離散數(shù)學(xué)的一些應(yīng)用

例5網(wǎng)絡(luò)計(jì)劃技術(shù)在生產(chǎn)原子彈的曼哈頓計(jì)劃中，涉及到很多工序，許多人員的安排，很多元件的生產(chǎn)，怎樣安排各種人員的工作，以及各種工序間的銜接，從而使整個(gè)工期的時(shí)間盡可能短？這些都是離散數(shù)學(xué)典型例子。6.關(guān)于離散數(shù)學(xué)的一些應(yīng)用

總之，離散數(shù)學(xué)無(wú)處不在，它的主要應(yīng)用就是在各種復(fù)雜關(guān)系中找出最優(yōu)的方案。所以離散數(shù)學(xué)完全可以看成是一門量化的關(guān)系學(xué)，一門量化了的運(yùn)籌學(xué)，一門量化了的管理學(xué)。

胡錦濤同志在1998年接見“五四”青年獎(jiǎng)?wù)聲r(shí)發(fā)表的講話中指出，離散數(shù)學(xué)不同于傳統(tǒng)的純數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它還是一門應(yīng)用學(xué)科，一門交叉學(xué)科。他希望中國(guó)的離散數(shù)學(xué)研究能夠?yàn)閲?guó)家的經(jīng)濟(jì)建設(shè)服務(wù)。2023/1/16數(shù)理邏輯（MathematicalLogic）

——是研究演繹推理的一門學(xué)科，用數(shù)學(xué)的方法來(lái)研究推理的規(guī)律統(tǒng)稱為數(shù)理邏輯。第一篇數(shù)理邏輯2023/1/16主要研究?jī)?nèi)容：推理

——著重于推理過程是否正確

——著重于語(yǔ)句之間的關(guān)系主要研究方法：數(shù)學(xué)的方法

——就是引進(jìn)一套符號(hào)體系的方法，所以數(shù)理邏輯又叫符號(hào)邏輯（SymbolicLogic）。

第一篇

數(shù)理邏輯2023/1/16什么是數(shù)理邏輯？用數(shù)學(xué)的方法來(lái)研究推理的規(guī)律統(tǒng)稱為數(shù)理邏輯。為什么要研究數(shù)理邏輯？

程序＝算法＋數(shù)據(jù)

算法＝邏輯＋控制2023/1/16第一章命題邏輯

命題邏輯也稱命題演算，或語(yǔ)句邏輯。

研究?jī)?nèi)容：（1）研究以命題為基本單位構(gòu)成的前提和結(jié)論之間的可推導(dǎo)關(guān)系?

（2）研究什么是命題？（3）研究如何表示命題？（4）研究如何由一組前提推導(dǎo)一些結(jié)論？2023/1/16第一章命題邏輯

命題邏輯的特征：

在研究邏輯的形式時(shí)，我們把一個(gè)命題只分析到其中所含的命題成份為止，不再分析下去。不把一個(gè)簡(jiǎn)單命題再分析為非命題的集合，不把謂詞和量詞等非命題成份分析出來(lái)。2023/1/161.1.1命題定義1.1.1具有確切真值的陳述句稱為命題,該命題只取一個(gè)“值”，稱為真值。真值只有“真”和“假”兩種，分別用“Ｔ”(或“１”)和“Ｆ”(或“０”)表示。1.1命題與命題聯(lián)結(jié)詞2023/1/16（1）太陽(yáng)是圓的；（2）成都是一個(gè)旅游城市；（3）北京是中國(guó)的首都；（5）1＋1＝10；（6）ｘ+y>０；（7）我喜歡踢足球；（8）3能被2整除；（9）地球外的星球上也有人；（10）中國(guó)是世界上人口最多的國(guó)家；（11）我正在說謊；例1.1.1TTT/F非命題T/FFT/FT悖論T悖論首先要知道悖論是一個(gè)邏輯學(xué)的名詞。其定義的表述為：由一個(gè)被承認(rèn)是真的命題為前提，設(shè)為B，進(jìn)行正確的邏輯推理后，得出一個(gè)與前提互為矛盾命題的結(jié)論非B；反之，以非B為前提，亦可推得B。那么命題B就是一個(gè)悖論。當(dāng)然非B也是一個(gè)悖論。2023/1/16例1.1.1（續(xù)）（12）把門關(guān)上；（13）滾出去?。?4）你要出去嗎？（15）今天天氣真好?。》敲}非命題非命題非命題注意：一切沒有判斷內(nèi)容的句子都不能作為命題，如命令句、感嘆句、疑問句、祈使句、二義性的陳述句等。

2023/1/16命題一定是陳述句，但并非一切陳述句都是命題。命題的真值有時(shí)可明確給出，有時(shí)還需要依靠環(huán)境、條件、實(shí)際情況時(shí)間才能確定其真值。結(jié)論：簡(jiǎn)單命題符號(hào)化

用小寫英文字母p,q,r,…,pi,qi,ri(i1)或大寫英文字母P，Q，R等表示簡(jiǎn)單命題用“1”表示真，用“0”表示假例如，令

p：是有理數(shù)，則p的真值為0，q：2+5=7，則q的真值為1

命題的符號(hào)化2023/1/16 一般來(lái)說，命題可分兩種類型：原子命題(簡(jiǎn)單命題)：不能再分解為更為簡(jiǎn)單命題的命題。復(fù)合命題：可以分解為更為簡(jiǎn)單命題的命題。而且這些簡(jiǎn)單命題之間是通過如“或者”、“并且”、“不”、“如果...則...”、“當(dāng)且僅當(dāng)”等這樣的關(guān)聯(lián)詞和標(biāo)點(diǎn)符號(hào)復(fù)合而構(gòu)成一個(gè)復(fù)合命題。命題的分類2023/1/161.2.1命題聯(lián)結(jié)詞設(shè)命題P,Q表示任意兩個(gè)命題,則最常見的命題聯(lián)結(jié)詞有：聯(lián)接詞記號(hào)復(fù)合命題讀法記法真值結(jié)果

3.析取

P或者QP與Q的析取PQP∨Q=1P=1或Q=12.合取

∧P并且QP與Q的合取P∧QP∧Q=1P=1且Q=11.否定

┐非PP的否定┐P┐P=1P=04.條件→若P,則QP條件QP→QP→Q=0P=1,Q=0?5.等價(jià)

P當(dāng)且僅當(dāng)QP等價(jià)于QP?QPQ=1P=1,Q=1或P=0,Q=0命題聯(lián)結(jié)詞及真值表否定詞“?”（或“”）否定詞（Negation）是一元聯(lián)結(jié)詞。相當(dāng)于自然語(yǔ)言中的“非”、“不”等，真值表如右圖。1.2.2命題聯(lián)結(jié)詞的真值表

P

?P

0

1

1

0合取詞“∧”合取詞（Conjunction）是二元聯(lián)結(jié)詞。相當(dāng)于自然語(yǔ)言中的“與”、“并且”“而且”、“也”等，真值表如右圖。

PQ

P∧Q

00

0

01

0

10

0

11

11.2.2命題聯(lián)結(jié)詞的真值表析取詞“∨”析取詞（Disjunction）是二元聯(lián)結(jié)詞。相當(dāng)于自然語(yǔ)言中的“或”、“要么…要么…”等，真值表如右圖。

PQ

P∨Q

00

0

01

1

10

1

11

11.2.2命題聯(lián)結(jié)詞的真值表例1.2.1：P：今晚我寫字，Q：今晚我看書。P∨Q：今晚我寫字或看書?；蜃殖Ｒ姷暮x有兩種：一種是“可兼或”，如上例：它不排除今晚既看書又寫字這種情況；一種是“排斥或”，如：“人固有一死，或重于泰山，或輕于鴻毛”中的或就表示非此即彼，不可兼得。運(yùn)算∨：表示可兼或注：排斥或用∨表示。1.2.2命題聯(lián)結(jié)詞的真值表蘊(yùn)含詞“”蘊(yùn)含詞（Implication）是二元聯(lián)結(jié)詞。相當(dāng)于自然語(yǔ)言中的“若…則…”、“如果…就…”、“只有…才…”，真值表如右圖。

PQPQ

00

1

01

1

10

0

11

11.2.2命題聯(lián)結(jié)詞的真值表等價(jià)詞“

”等價(jià)詞（Equivalence）是二元聯(lián)結(jié)詞。相當(dāng)于自然語(yǔ)言中的“等價(jià)”“當(dāng)且僅當(dāng)”“充要條件”等，真值表如右圖。

PQ

PQ

00

1

01

0

10

0

11

11.2.2命題聯(lián)結(jié)詞的真值表2023/1/16例題1.2.2：PQ┐PP∧QP∨QP→QP?Q0010011011011010001001101111例如：命題P：2是素?cái)?shù)；Q：北京是中國(guó)的首都2023/1/16說明1、聯(lián)結(jié)詞是句子與句子之間的聯(lián)結(jié)，而非單純的名詞、形容詞、數(shù)詞等地聯(lián)結(jié)；2、聯(lián)結(jié)詞是兩個(gè)句子真值之間的聯(lián)結(jié)，而非句子的具體含義的聯(lián)結(jié)，兩個(gè)句子之間可以無(wú)任何地內(nèi)在聯(lián)系；2023/1/16說明3、聯(lián)結(jié)詞與自然語(yǔ)言之間的對(duì)應(yīng)并非一一對(duì)應(yīng)；聯(lián)結(jié)詞自然語(yǔ)言∧既…又…、不僅…而且…、雖然…但是…、并且、和、與，等等；→如P則Q、只要P就Q、P僅當(dāng)Q、只有Q才P、除非Q否則P，等等?等價(jià)、當(dāng)且僅當(dāng)、充分必要、等等；相容（可兼）的或2023/1/16符號(hào)化下列命題（1）四川不是人口最多的省份；（2）王超是一個(gè)德智體全面發(fā)展的好學(xué)生；（3）教室的燈不亮可能是燈管壞了或者是停電了；（4）如果周末天氣晴朗，那么學(xué)院將組織我們到石像湖春游；（5）兩個(gè)三角形全等當(dāng)且僅當(dāng)三角形的三條邊全部相等。(6)張輝與王麗是同學(xué)。例1.2.32023/1/16例1.2.3解（1）設(shè)Ｐ：四川是人口最多的省份。則命題（1）可表示為┐Ｐ。（2）設(shè)Ｐ：王超是一個(gè)思想品德好的學(xué)生；Ｑ：王超是一個(gè)學(xué)習(xí)成績(jī)好的學(xué)生；

R：王超是一個(gè)體育成績(jī)好的學(xué)生。則命題（2）可表示為Ｐ∧Ｑ∧R。（3）設(shè)Ｐ：教室的燈不亮可能是燈管壞了Ｑ：教室的燈不亮可能是停電了則命題（3）可表示為Ｐ∨Ｑ。2023/1/16（4）設(shè)Ｐ：周末天氣晴朗；Ｑ：學(xué)院將組織我們到石像湖春游。則命題（4）可表示為Ｐ→Ｑ。（5）設(shè)Ｐ：兩個(gè)三角形全等；Ｑ：三角形的三條邊全部相等。則命題（5）可表示為ＰＱ。(6)P:張輝與王麗是同學(xué)例1.2.3解(續(xù))2023/1/16

為了不使句子產(chǎn)生混淆，作如下約定，命題聯(lián)結(jié)詞之優(yōu)先級(jí)如下：否定→合取→析取→條件→等價(jià)同級(jí)的聯(lián)結(jié)詞，按其出現(xiàn)的先后次序(從左到右)若運(yùn)算要求與優(yōu)先次序不一致時(shí)，可使用括號(hào)；同級(jí)符號(hào)相鄰時(shí)，也可使用括號(hào)。括號(hào)中的運(yùn)算為最優(yōu)先級(jí)。約定2023/1/16設(shè)命題 P：明天上午七點(diǎn)下雨；

Q：明天上午七點(diǎn)下雪； R：我將去學(xué)校。符號(hào)化下述語(yǔ)句：如果明天上午七點(diǎn)不是雨夾雪，則我將去學(xué)校如果明天上午七點(diǎn)不下雨并且不下雪，則我將去學(xué)校如果明天上午七點(diǎn)下雨或下雪，則我將不去學(xué)校明天上午我將雨雪無(wú)阻一定去學(xué)?？煞?hào)化為： (P∧Q∧R)∨(┐P∧Q∧R)∨ (P∧┐Q∧R)∨(┐P∧┐Q∧R)。

或((P∧Q)∨(┐P∧Q)∨(P∧┐Q) ∨(┐P∧┐Q))∧R。例題4可符號(hào)化為：┐(P∧Q)→R?？煞?hào)化為:(┐P∧┐Q)→R。可符號(hào)化為:(P∨Q)→┐R。2023/1/161.3命題公式與真值表定義1.3.1

一個(gè)特定的命題是一個(gè)常值命題，它不是具有值“T”(“1”)，就是具有值“F”(“0”)。而一個(gè)任意的沒有賦予具體內(nèi)容的原子命題是一個(gè)變量命題，常稱它為命題變量(或命題變?cè)?，該命題變量無(wú)具體的真值，它的變域是集合{T，F(xiàn)}(或{0，1})注意(1)復(fù)合命題為命題變?cè)摹昂瘮?shù)”,其函數(shù)值仍為"真"或“假”值。(2)真值函數(shù)或命題公式，沒有確切真值。真值函數(shù)2023/1/161.3.1命題公式定義1.3.2(命題公式)命題變?cè)旧硎且粋€(gè)公式；如G是公式，則(┐G)也是公式；如G，H是公式，則(G∧H)、(G∨H)、(G→H)、(GH)也是公式；僅由有限步使用規(guī)則1-3后產(chǎn)生的結(jié)果。該公式常用符號(hào)G、H、…等表示。2023/1/16符號(hào)串：P∧(Q∨R)→(Q∧(┐S∨R))；

┐P∧Q；P→(┐(P∧Q))；

((P→Q)∧(R→Q))(P→R)。等都是命題公式。例1.3.1例1.3.2符號(hào)串： (P→Q)∧┐Q)；(┐P∨Q∨(R；P∨Q∨。等都不是合法的命題公式。2023/1/161.3.2公式的解釋與真值表定義1.3.3設(shè)P1、P2、…、Pn是出現(xiàn)在公式G中的所有命題變?cè)?，指定P1、P2、…、Pn一組真值，則這組真值稱為G的一個(gè)解釋或指派,常記為Ｉ。

一般來(lái)說，若有ｎ個(gè)命題變?cè)?，則應(yīng)有2n個(gè)不同的解釋。

如果公式G在解釋Ｉ下是真的，則稱Ｉ滿足G；如果G在解釋Ｉ下是假的，則稱Ｉ不滿足G。定義1.3.4

將公式G在其所有可能解釋下的真值情況列成表，稱為G的真值表。構(gòu)造真值表的步驟:(1)找出公式中所含的全部命題變?cè)猵1,p2,…,pn(若無(wú)下角標(biāo)則按字母順序排列),列出2n個(gè)全部賦值,從000開始,按二進(jìn)制加法,每次加1,直至111為止。(2)按從低到高的順序?qū)懗龉降母鱾€(gè)層次。(3)對(duì)每個(gè)賦值依次計(jì)算各層次的真值,直到最后計(jì)算出公式的真值為止。1.3.2公式的解釋與真值表2023/1/16例1.3.2求下面公式的真值表：Ｇ＝(P→((PQ)∧R))∨Q其中，Ｐ、Ｑ、Ｒ是Ｇ的所有命題變?cè)?。PQRPPQ((PQ)∧RP→((PQ)∧R)G000

10

0

11001

100

11010

1

1

0

11011

1

1

1

11100

0

1

0

00101

0

1

1

11110

0

0

0

011110

0

0

012023/1/16例1.3.2（續(xù)）PQR(P→((PQ)∧R))∨Q00010011010101111000101111011111進(jìn)一步化簡(jiǎn)為：2023/1/16例1.3.3PQ(Ｐ→Ｑ)→Ｐ

(Ｐ→Ｑ)∧Ｐ(Ｐ∧Ｑ)(Ｐ→Q)00

1

0001

1

00101

00111

10求下面這組公式的真值表： Ｇ1＝(Ｐ→Ｑ)→Ｐ；Ｇ2＝(Ｐ→Ｑ)∧Ｐ；Ｇ3＝(Ｐ∧Ｑ)(Ｐ→Q)。2023/1/16從這三個(gè)真值表可以看到一個(gè)非常有趣的事實(shí)：公式G1對(duì)所有可能的解釋具有“真”值公式G3對(duì)所有可能的解釋均具有“假”值公式G2則具有“真”和“假”值結(jié)論2023/1/16定義1.3.5公式G稱為永真公式(重言式)，如果在它的所有解釋之下都為“真”。公式G稱為永假公式(矛盾式),如果在它的所有解釋之下都為“假”。公式G稱為可滿足的，如果它不是永假的。2023/1/16從上述定義可知三種特殊公式之間的關(guān)系：永真式G的否定G是矛盾式；矛盾式G的否定G是永真式。永真式一定是可滿足式,可滿足式不一定是永真式可滿足式的否定不一定為不可滿足式(即為矛盾式)結(jié)論2023/1/16例1.3.4寫出下列公式的真值表，并驗(yàn)證其公式是重言式、矛盾式、可滿足公式。（1）G1=(Ｐ→Ｑ)(Ｐ∨Ｑ)；（2）G2=(ＰQ)((Ｐ→Q)∨(Q→Ｐ))；（3）G3=(P→Q)∨Q。2023/1/16例1.3.4解PQ(Ｐ→Ｑ)(Ｐ∨Ｑ)(Ｐ

Q)(Ｐ→Q)∨(Q→Ｐ)(P→Q)∨Q001

0

1011

0

1101

0

11110

0永真公式永假公式可滿足公式三個(gè)公式的真值表如下：2023/1/16若將其看成兩個(gè)公式，分別令：

Ｇ＝Ｐ→Ｑ，Ｈ＝┐Ｐ∨Ｑ。則ＧＨ是一個(gè)永真公式，即這兩個(gè)公式對(duì)任何解釋都必同為真假，此時(shí)，說Ｇ和Ｈ相等，記為Ｇ＝Ｈ。為此可定義：1.4等價(jià)公式定義1.4.1

設(shè)G、H是公式，如果在任意解釋Ｉ下，G與H的真值相同，則稱公式G、H是等價(jià)的，記作G＝H。2023/1/16公式G、H等價(jià)的充分必要條件是公式GH是永真公式證明:“”假定G，H等價(jià)，則G，H在其任意解釋Ｉ下或同為真或同為假，于是由“”的意義知，GH在其任何的解釋Ｉ下，其真值為“真”，即GH為永真公式。“”假定公式GH是永真公式，Ｉ是它的任意解釋，在Ｉ下，GH為真，因此，G、H或同為真，或同為假，由于Ｉ的任意性，故有G＝H。定理1.4.12023/1/16

首先，雙條件詞“”是一種邏輯聯(lián)結(jié)詞，公式GH是命題公式，其中“”是一種邏輯運(yùn)算，GH的結(jié)果仍是一個(gè)命題公式。而邏輯等價(jià)“＝”則是描述了兩個(gè)公式G與H之間的一種邏輯等價(jià)關(guān)系，G＝H表示“命題公式G等價(jià)于命題公式H”，G＝H的結(jié)果不是命題公式。

其次，如果要求用計(jì)算機(jī)來(lái)判斷命題公式G、H是否邏輯等價(jià)，即G＝H那是辦不到的，然而計(jì)算機(jī)卻可“計(jì)算”公式GH是否是永真公式。

“＝”與“”的區(qū)別2023/1/16“=”的性質(zhì)由于“=”不是一個(gè)聯(lián)結(jié)詞，而是一種關(guān)系，為此，這種關(guān)系具有如下三個(gè)性質(zhì)：（1）自反性G=G；（2）對(duì)稱性若G=H，則H=G；（3）傳遞性若G=H，H=S，則G=S。這三條性質(zhì)體現(xiàn)了“=”的實(shí)質(zhì)含義。2023/1/161.4.2命題公式的基本等價(jià)關(guān)系例1.4.1

證明公式G1＝(ＰＱ)與公式G2＝(P→Q)∧(Q→P)之間是邏輯等價(jià)的。解：根據(jù)定理1.4.1，只需判定公式G3＝(ＰＱ)((P→Q)∧(Q→P))為永真公式。PQG3＝(ＰＱ)((Ｐ→Q)∧(Q→Ｐ))00

1111101

0110010

0100111

111112023/1/16設(shè)G，H，S是任何的公式，則：基本等價(jià)公式1)Ｅ1：G∨G＝G (冪等律)Ｅ2：G∧G＝G2)Ｅ3：G∨H＝H∨G(交換律)Ｅ4：G∧H＝H∧G3)Ｅ5：G∨(H∨S)＝(G∨H)∨S (結(jié)合律)Ｅ6:G∧(H∧S)＝(G∧H)∧S4)

Ｅ7：G∨(G∧H)＝G(吸收律)Ｅ8：G∧(G∨H)＝G2023/1/165)

Ｅ9：G∨(H∧S)＝(G∨H)∧(G∨S) (分配律）Ｅ10：G∧(H∨S)＝(G∧H)∨(G∧S)6)Ｅ11：G∨０＝G (同一律)

Ｅ12：G∧１＝G7)Ｅ13：G∨１＝１ (零律）Ｅ14：G∧０＝０8)Ｅ15：G∨┐G＝1

(排中律)9)Ｅ16：G∧┐G＝0

(矛盾律)基本等價(jià)公式（續(xù)）2023/1/16基本等價(jià)公式（續(xù)）10)Ｅ17：┐(┐G)＝G (雙重否定律)11)Ｅ18：┐(G∨H)＝┐G∧┐H(DeMoRGan定律)

Ｅ19：┐(G∧H)＝┐G∨┐H。12)Ｅ20:(GH)＝(G→H)∧(H→G) (等價(jià))13)Ｅ21：(G→H)＝(┐G∨H) (蘊(yùn)涵)14)E22：G→Ｈ＝Ｈ→G。

(假言易位)15)

E23：GＨ＝GＨ。

(等價(jià)否定等式)16)

E24：(G→Ｈ)∧(G→Ｈ)＝G

(歸謬論)2023/1/16設(shè)G(P1,P2,…,Pn)是一個(gè)命題公式，其中：P1、P2、…、Pn是命題變?cè)?，G1(P1,P2,…,Pn)、G2(P1,P2,…,Pn)、...、Gn(P1,P2,…,Pn)為任意的命題公式，分別用G1、G2…、Gn取代G中的P1、P2、…、Pn后得到新的命題公式：

G(G1,G2,…,Gn)＝G′(P1,P2,…,Pn)若G是永真公式（或永假公式），則G′也是一個(gè)永真公式（或永假公式）。定理1.4.2(代入定理)2023/1/16例1.4.2設(shè)Ｇ(Ｐ,Ｑ)＝(Ｐ∧(Ｐ→Ｑ))→Ｑ，證明公式G是一個(gè)永真公式。另有兩個(gè)任意公式： Ｈ(Ｐ,Ｑ)＝(Ｐ∨Ｑ)； Ｓ(Ｐ,Ｑ)＝(ＰＱ)。進(jìn)一步驗(yàn)證代入定理的正確性。解建立公式G的真值表如右所示。可見為永真公式。PQ(Ｐ∧(Ｐ→Ｑ))→Ｑ0010111011112023/1/16例1.4.2（續(xù)）將Ｈ，Ｓ代入到Ｇ中分別取代G中的命題變?cè)狿、Q，所得到的公式Ｇ＇為：Ｇ＇(P,Q)=G(H,S)=(H∧(H→S))→S=((Ｐ∨Ｑ)∧((Ｐ∨Ｑ)→(ＰＱ)))→(ＰＱ)建立新公式Ｇ＇(P,Q)的真值表。PQ((Ｐ∨Ｑ)∧((Ｐ∨Ｑ)→(ＰＱ)))→(ＰＱ)00

1111111100100000101010110110010111011011112023/1/16定理1.4.3(替換定理)設(shè)G1是G的子公式(即G1是公式G的一部分)，H1是任意的命題公式，在G中凡出現(xiàn)G1處都以H1替換后得到新的命題公式H，若G1＝H1，則G＝H。

利用24個(gè)基本等價(jià)公式及代入定理和替換定理，可完成公式的轉(zhuǎn)化和等價(jià)判定。2023/1/16例1.4.3利用基本的等價(jià)關(guān)系，完成如下工作：（1）判斷公式的類型：證明((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∧(Ｑ∨Ｒ)))∨(Ｐ∧Ｑ)∨(Ｐ∧Ｒ)是一個(gè)永真公式。（2）證明公式之間的等價(jià)關(guān)系：證明Ｐ→(Ｑ→Ｒ)=(Ｐ∧Ｑ)→Ｒ（3）化簡(jiǎn)公式：證明(P∧(Ｑ∧R))∨((Ｑ∧R)∨(P∧R))=R2023/1/16例1.4.3證明（1）((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∧(Ｑ∨Ｒ)))∨(Ｐ∧Ｑ)∨(Ｐ∧Ｒ)=((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨(Ｑ∧Ｒ)))∨((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ))=((Ｐ∨Ｑ)∧((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ)))∨((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ))=((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ))∨(

(Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ))=((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ))∨((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ))=T

即:((Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∧(Ｑ∨Ｒ)))∨(Ｐ∧Ｑ)∨(Ｐ∧Ｒ)為永真公式；

2023/1/16例1.4.4將下面程序語(yǔ)言進(jìn)行化簡(jiǎn)。IfAthenifBthenXelseYelseifBthenXelseY

TFFTFTStartAXYEndBB

解：執(zhí)行X的條件為：

(Ａ∧Ｂ)∨(Ａ∧Ｂ)執(zhí)行Y的條件為：

(Ａ∧Ｂ)∨(Ａ∧Ｂ)2023/1/16例1.4.4(續(xù)）執(zhí)行X的條件可化簡(jiǎn)為：(Ａ∧Ｂ)∨(Ａ∧Ｂ)＝Ｂ∧(Ａ∨Ａ)＝Ｂ執(zhí)行Y的條件可化簡(jiǎn)為：(Ａ∧Ｂ)∨(Ａ∧Ｂ)＝Ｂ∧(Ａ∨Ａ)＝ＢTXYEndStartAF程序可簡(jiǎn)化為：IfBthenXelseY

例題1.4.5:某件事是甲、乙、丙、丁四人中某一人干的，詢問四人后回答如下：1）甲說是丙干的；2）乙說我沒干3）丙說甲說的不符合事實(shí)4）丁說是甲干的,若其中三人說的對(duì)，一人說的不對(duì)，問誰(shuí)干的？解答：解：若A、B、C、D分別表示命題是甲、乙、丙、丁干的，設(shè)4個(gè)人所說的命題1）、2）、3）、4）分別用P1，P2，P3，P4表示，則有：P1=A∧B∧C∧

DP2=BP3=CP4=A∧B∧C∧

D據(jù)題意，三人說的對(duì)，一人說的不對(duì)的命題P表示為：P<=>（P1∧P2∧

P3

∧

P4

）∨（P1∧P2∧

P3

∧

P4

）∨（

P1∧P2∧

P3

∧

P4

）∨（P1∧P2∧

P3

∧P4

）

<=>(A∧B∧C∧

D)∨F∨F∨F<=>A∧B∧C∧

D因?yàn)镻為真時(shí),A∧B∧C∧

D為真,所以這件事是甲干的。1.4重言式與蘊(yùn)含式定理1.4.1：任何兩個(gè)重言式的合取或析取，仍然是一個(gè)重言式。證明：設(shè)A和B為兩個(gè)重言式，則不論A和B的分量指派任何真值，總有A為T，B為T，故Ａ∧Ｂ=T，Ａ∨Ｂ=T定理1.4.2：一個(gè)重言式，對(duì)同一分量用任何公式置換，其結(jié)果仍為重言式。證明：由于重言式的真值與分量的指派無(wú)關(guān)，故對(duì)同一分量以任何合式公式置換后，重言式的真值永為T。例：證明((P∨S)∧R)∨((P∨S)∧R)為重言式。證明：因?yàn)镻∨P=T，如以((P∨S)∧R)轉(zhuǎn)換P即得,((P∨S)∧R)∨((P∨S)∧R)=T1.4重言式與蘊(yùn)含式定理1.4.3：設(shè)A，B為兩個(gè)命題公式，A<=>B當(dāng)且僅當(dāng)AB為一重言式。證明：若A<=>B，則A,B有相同真值,AB永為真，AB為一個(gè)重言式。若AB為一重言式,則AB永為真，故A，B真值相同,則A<=>B。1.4重言式與蘊(yùn)含式定義：若PQ是一個(gè)永真式，則稱“P蘊(yùn)含Q”，記為P?Q對(duì)PQ來(lái)說：QP稱作它的逆換式,PQ

稱作它的反換式，QP稱作它的逆反式，有如下關(guān)系；

PQ<=>QPQP<=>PQ

1.4.2蘊(yùn)含式兩種證明AB的方法：1.用真值表法或推導(dǎo)法證明AB=T(用定義)例:試證:P∧(PQ)Q

證明:P∧(PQ)Q=P∧(P∨Q)Q=(P∧P)∨(P∧Q)Q=(P∧Q)Q=(P∧Q)∨Q=P∨Q∨Q=T1.4.2蘊(yùn)含式2.用分析方證明AB,有兩種分析法(1)假設(shè)前件A為真時(shí),推出后件B也為真,則AB(2)假設(shè)后件B為假時(shí),推出前件A也為假,則AB例:P∧(PQ)Q用(1)分析:即P∧(PQ)為真推出Q為真。

當(dāng)P∧(PQ)為真時(shí),則P為真且PQ為真,故Q為真,得證。用(2)分析:即Q為假時(shí),P∧(PQ)為假因?yàn)镻∧(PQ)=P∧Q,當(dāng)Q為假時(shí),P∧Q為假,則P∧(PQ)為假,得證。1.4.2蘊(yùn)含式基本蘊(yùn)涵式：（1）PQP（2）PQQ（3）PPQQPQ（4）P(PQ)（5）Q(PQ)（6）(PQ)P（7）(PQ)Q（8）P(PQ)Q（9）Q(PQ)P（10）P(PQ)Q（11）(PQ)(QR)PR（12）(PQ)(PR)(QR)R（13）(PQ)(RS)（PR）（QS）（14）（P?Q）（Q?R）（P?R）基本蘊(yùn)涵式：定理1.4.4：設(shè)P、Q為任意兩命題公式，P=Q的充分必要條件是PQ且QP。證明：若P=Q，則P?Q為重言式，因?yàn)镻?Q=(P→Q)∧(Q→P)，故P→Q為T且Q→P為T，即PQ且QP成立。反之，若PQ且QP，則P→Q為T且Q→P為T，因此P?Q為T，P?Q是重言式，即P=Q1.4.2蘊(yùn)含式(1)設(shè)A,B,C為合式公式,若AB,且A為重言式,則B必是重言式.證明:因?yàn)锳→B永為T,當(dāng)A為T時(shí),B必為T.(2)若AB,BC,則AC即蘊(yùn)含關(guān)系是傳遞的.證明:由AB,BC,可知A→B,B→C為重言式,所以(A→B)(B→C)為重言式.由基本蘊(yùn)含式(11)可知:(A→B)(B→C)A→C由性質(zhì)(1)知:A→C為重言式,即AC1.4.3蘊(yùn)含式的常用性質(zhì)(3)若AB且AC,那么A(BC)證明:由假設(shè)可知A→B,A→C為重言式,設(shè)A為T,則B,C為T,故BC為T,因此,A→(BC)為T.若A為F,則不論BC為何值,A→(BC)都為T,所以A→(BC)為重言式,所以A(BC)1.4.3蘊(yùn)含式的常用性質(zhì)(4)若AB且CB,則ACB證明:因?yàn)锳→B,C→B為T,故(AB)(CB)為T,即(AC)B為T即AC→B為T,所以ACB蘊(yùn)含式的常用性質(zhì)其他聯(lián)結(jié)詞定義：設(shè)P和Q是兩個(gè)命題公式，復(fù)合命題P∨Q稱P和Q的不可兼析取。P∨Q的真值為T，當(dāng)且僅當(dāng)P與Q的真值不相同時(shí)為T或F，否則P∨Q的真值為F。不可兼析取的真值表及性質(zhì)見教材P24見表1-6.1。其他聯(lián)結(jié)詞定理：設(shè)P，Q，R為命題公式，如果P∨Q?R，則P∨R?Q，Q∨R?P且P∨Q∨R為一矛盾式。證明：如果P∨Q?R，則P∨R?

P∨P∨Q?F∨Q?QQ∨R?Q∨P∨Q?F∨P?PP∨Q∨R?R∨R?F定義：設(shè)P和Q是兩個(gè)命題公式，復(fù)合命題Ｐ→Ｑ稱作命題P和Q的條件否定，Ｐ→Ｑ的真值為T，當(dāng)且僅當(dāng)P的真值為T，Q的真值為F，否則，Ｐ→Ｑ的真值為F。其真值表見教材P25見表1-6.2其他聯(lián)結(jié)詞ccc定義1.3.4或非式設(shè)P，Q是兩個(gè)命題，命題“P或Q的否定”稱為P與Q的或非式，記作PQ，稱作或非聯(lián)結(jié)詞。PQ為真當(dāng)且僅當(dāng)P，Q同時(shí)為假。由定義可知：PQ?(PQ)其真值表見教材P25見表1-6.4其他聯(lián)結(jié)詞設(shè)P，Q是兩個(gè)命題，命題“P與Q的否定”稱為P與Q的與非式，記作PQ?！啊狈Q作與非聯(lián)結(jié)詞。PQ為真當(dāng)且僅當(dāng)P，Q不同時(shí)為真。由定義可知：PQ?(PQ)。其真值表見教材P25表1-6.3其他連結(jié)詞至此,我們學(xué)了九個(gè)聯(lián)結(jié)詞,但這些連結(jié)詞并非都是必要的,因?yàn)榘承┞?lián)結(jié)詞的公式可以用另外一些聯(lián)結(jié)詞的公式等價(jià)代換?，F(xiàn)在考慮最小聯(lián)結(jié)詞組，由于：（1）(P?

Q)＝(P→Q)∧(Q→P)（2）P→Q＝Ｐ∨Q（3）

P∧Q=（Ｐ∨

Q）

P∨Q=（Ｐ∧

Q）由此可見，∧，∨，→，?可由{，∨}或{，∧}等價(jià)代換。其他聯(lián)結(jié)詞而（P∨Q）=（P?Q）

P→Q=

（P→Q）

PQ?(PQ)PQ?(PQ)由上可得，任意命題均可由僅含{，∨}或{，∧}或{}或{}的命題公式等價(jià)代換。

其他聯(lián)結(jié)詞c定義：設(shè)Q是邏輯運(yùn)算符號(hào)集合，若所有邏輯運(yùn)算都能由Q中元素表示出來(lái)，而Q的任意真子集無(wú)此性質(zhì)，則稱Q是一個(gè)完備集?？梢宰C明，{，}，{，}都是完備集。

{}是完備集下面我們來(lái)說明{}是完備集。

P?PPPQ?(PP)(QQ)PQ?(PQ)(PQ)完備集命題定律中的每一等價(jià)公式（除雙重否定律外）均成對(duì)，且兩個(gè)公式不同之處只是和，我們稱這對(duì)公式為對(duì)偶。定義：在給定的命題公式A中，將聯(lián)結(jié)詞換成，換成，若有特殊量T和F，則T換為F，F(xiàn)換為T，所得公式A*稱為公式A的對(duì)偶式。例題：見教材P29-30對(duì)偶定理1設(shè)A和A*互為對(duì)偶式,P1,P2,……,Pn是出現(xiàn)在A和A*中的原子變?cè)瑒t

A(P1,P2,……,Pn)=

A*(P1,P2,……,Pn）A(P1,P2,……,Pn)=A*(P1,P2,……,Pn)證明:由德.摩根定律得:PQ=(PQ),PQ=(PQ),(PQ)=PQ(PQ)=PQ故A(P1,P2,……,Pn)=

A*(P1,P2,……,Pn）,A*(P1,P2,……,Pn)=A(P1,P2,……,Pn)對(duì)偶例:設(shè)A(P,Q,R)=P(QR),證明:A*(P,Q,R)=A(P,Q,R)證明:A(P,Q,R)=P(QR),A*(P,Q,R)=P(QR)則A*(P,Q,R)=P(QR)而A(P,Q,R)=P(QR)所以A*(P,Q,R)=A(P,Q,R)類似也有:A(P,Q,R)=A*(P,Q,R)對(duì)偶定理2(對(duì)偶原理):設(shè)P1,P2,……，Pn是出現(xiàn)在公式A和B中的所有原子變?cè)?，如果A<=>B，則A*<=>B*證明：因?yàn)锳<=>B，即A（P1,P2,……，Pn）?B（P1,P2,……，Pn）是一個(gè)重言式，故A（

P1,P2,……，Pn）?B（

P1,P2,……，

Pn）也是一個(gè)重言式，由定理1可知得，A*（P1,P2,……，Pn）=B*（P1,P2,……，Pn）因此A*<=>B*

從真值表和對(duì)偶律等可以簡(jiǎn)化和推證一些命題公式。對(duì)偶2023/1/161.5公式的標(biāo)準(zhǔn)型——范式1.5.1析取范式和合取范式定義1.5.1

（1）命題變?cè)蛎}變?cè)姆穸ǚQ為文字（2）有限個(gè)文字的析取稱為析取式(也稱為子句）（3）有限個(gè)文字的合取稱為合取式(也稱為短語(yǔ)）（4）P與

P稱為互補(bǔ)對(duì)。2023/1/16例子（1）Ｐ、Ｐ是文字；（2）Ｐ∨Ｑ∨Ｒ是子句；（3）Ｐ∧Ｑ∧Ｒ是短語(yǔ)。┐P是一個(gè)子句，這種說法正確么？一個(gè)命題變?cè)蛘咂浞穸瓤梢允呛?jiǎn)單的子句，也可以是簡(jiǎn)單的短語(yǔ)。因此，Ｐ，Ｐ不但是文字，也是子句、短語(yǔ)

2023/1/16定義1.5.2（1）有限個(gè)短語(yǔ)的析取式稱為析取范式（2）有限個(gè)子句的合取式稱為合取范式一個(gè)不含最外層括號(hào)的短語(yǔ)（子句）也可以是析取范式（合取范式）。2023/1/16例子（1）Ｐ、Ｐ是析取范式、合取范式；（2）Ｐ∨Ｑ∨Ｒ是子句、析取范式、合取范式，

(Ｐ∨Ｑ∨Ｒ)僅是子句、合取范式；（3）Ｐ∧Ｑ∧Ｒ是短語(yǔ)、析取范式、合取范式，

(Ｐ∧Ｑ∧Ｒ)僅是短語(yǔ)、析取范式；（4）(Ｐ∧Ｑ)∨(Ｐ∧Ｑ)是析取范式；（5）(Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｑ)是合取范式；（6）句子Ｐ∨(Ｑ∨Ｒ)、(Ｑ∨Ｒ)既不是析取范式也不是合取范式2023/1/16總結(jié)（1）單個(gè)的文字是子句、短語(yǔ)、析取范式，合取范式（2）單個(gè)的子句是析取范式；（3）單個(gè)的短語(yǔ)是合取范式；（4）若單個(gè)的子句（短語(yǔ)）無(wú)最外層括號(hào)，則是合取范式（析取范式）；（5）析取范式、合取范式僅含聯(lián)結(jié)詞集{，∧，∨}（6）“”聯(lián)結(jié)詞僅出現(xiàn)在命題變?cè)啊?023/1/16范式的求解方法定理1.5.1

對(duì)于任意命題公式，都存在與其等價(jià)的析取范式和合取范式。轉(zhuǎn)換方法：（1）利用等價(jià)公式中的等價(jià)式和蘊(yùn)涵式將公式中的→、用聯(lián)結(jié)詞、∧、∨來(lái)取代，這可利用如下等價(jià)關(guān)系：(Ｇ→Ｈ)=(Ｇ∨Ｈ)；(ＧＨ)=(Ｇ→Ｈ)∧(Ｈ→Ｇ)=(Ｇ∨Ｈ)∧(Ｈ∨Ｇ)。2023/1/16范式的求解方法(續(xù))（2）重復(fù)使用德摩根定律將否定號(hào)移到各個(gè)命題變?cè)那岸?，并消去多余的否定?hào)，這可利用如下等價(jià)關(guān)系：(Ｇ)=Ｇ；

(Ｇ∨Ｈ)=Ｇ∧Ｈ；

(Ｇ∧Ｈ)=Ｇ∨Ｈ。（3）重復(fù)利用分配律，可將公式化成一些合取式的析取，或化成一些析取式的合取，這可利用如下等價(jià)關(guān)系：Ｇ∨(Ｈ∧Ｓ)=(Ｇ∨Ｈ)∧(Ｇ∨Ｓ)；Ｇ∧(Ｈ∨Ｓ)=(Ｇ∧Ｈ)∨(Ｇ∧Ｓ)。2023/1/16例1.5.1求公式：(Ｐ→Ｑ)∨(ＰR)的析取范式和合取范式解

(Ｐ→Ｑ)∨(ＰR)=(Ｐ∨Ｑ)∨((Ｐ∨R)∧(R∨P))=(Ｐ∨Ｑ∨Ｐ∨R)∧(Ｐ∨Ｑ∨

R∨P）=(Ｐ∨Ｑ)∨(Ｐ∨R)) ∧((Ｐ∨Ｑ)∨(R∨P))

=(Ｐ∨Ｑ∨R)——合取范式=Ｐ∨Ｑ∨R——析取范式

2023/1/16范式的不惟一性考慮公式：

(Ｐ∨Ｑ)∧(Ｐ∨Ｒ)，其與之等價(jià)的析取范式：

Ｐ∨(Ｑ∧Ｒ)；(Ｐ∧Ｐ)∨(Ｑ∧Ｒ)；Ｐ∨(Ｑ∧Ｑ)∨(Ｑ∧Ｒ)；Ｐ∨(Ｐ∧Ｒ)∨(Ｑ∧Ｒ)。這種不惟一的表達(dá)形式給研究問題帶來(lái)了不便。2023/1/161.5.2主析取范式和主合取范式1極小項(xiàng)和極大項(xiàng)定義1.5.3

在含有n個(gè)命題變?cè)狿1、P2、P3、…、Pn的短語(yǔ)或子句中，若每個(gè)命題變?cè)c其否定不同時(shí)存在，但二者之一恰好出現(xiàn)一次且僅一次，則稱此短語(yǔ)或子句為關(guān)于P1、P2、P3、…、Pn的一個(gè)極小項(xiàng)或極大項(xiàng)。對(duì)于n個(gè)命題變?cè)?，可?gòu)成2n個(gè)極小項(xiàng)和2n個(gè)極大項(xiàng)2023/1/16例子（1）一個(gè)命題變?cè)狿，對(duì)應(yīng)的極小項(xiàng)有兩項(xiàng)：P、

P；對(duì)應(yīng)的極大項(xiàng)有兩項(xiàng)：P、

P。（2）兩個(gè)命題變?cè)狿、Q，對(duì)應(yīng)的極小項(xiàng)有四項(xiàng)：

P∧Q、

P∧Q、P∧Q、

P∧Q；對(duì)應(yīng)的極大項(xiàng)有四項(xiàng)：

P∨Q、

P∨Q、P∨Q、

P∨Q。2023/1/16例子（續(xù)）（3）三個(gè)命題變?cè)狿、Q、R，對(duì)應(yīng)的極小項(xiàng)有八項(xiàng)：

Ｐ∧Ｑ∧Ｒ、Ｐ∧Ｑ∧ＲＰ∧Ｑ∧Ｒ、Ｐ∧Ｑ∧Ｒ、Ｐ∧Ｑ∧ＲＰ∧Ｑ∧Ｒ、Ｐ∧Ｑ∧Ｒ、Ｐ∧Ｑ∧Ｒ；對(duì)應(yīng)的極大項(xiàng)有八項(xiàng)：

Ｐ∨Ｑ∨Ｒ、Ｐ∨Ｑ∨ＲＰ∨Ｑ∨Ｒ、Ｐ∨Ｑ∨Ｒ、Ｐ∨Ｑ∨ＲＰ∨Ｑ∨Ｒ、Ｐ∨Ｑ∨Ｒ、Ｐ∨Ｑ∨Ｒ。2023/1/16兩個(gè)命題變?cè)乃鶎?duì)應(yīng)極小項(xiàng)真值表

PQ┐P∧┐Q┐P∧Q

P∧┐Q

P∧Q

00

1

0

0

0

01

0

1

0

0

10

0

0

1

0

11

0

0

0

1注意：（1）沒有等價(jià)的兩個(gè)極小項(xiàng)；（2）使該極小項(xiàng)的真值為真的指派是唯一的；（3）使極小項(xiàng)為真的那組指派為對(duì)應(yīng)極小項(xiàng)的編碼；（4）命題變?cè)c1對(duì)應(yīng)，命題變?cè)姆穸ㄅc0對(duì)應(yīng)。Ｐ∧Ｑ→{0、0}為真→

{00}→m00(m0)Ｐ∧Ｑ→{01}為真→{01}

→m01(m1)Ｐ∧Ｑ→{10}為真→{10}

→m10(m2)Ｐ∧Ｑ→{11}為真→{11}

→m11(m3)2023/1/16兩個(gè)命題變?cè)乃鶎?duì)應(yīng)極大項(xiàng)真值表

PQ┐P∨┐Q┐P∨Q

P∨┐Q

P∨Q

00

1

1

1

0

01

1

1

0

1

10

1

0

1

1

11

0

1

1

1注意：（1）沒有等價(jià)的兩個(gè)極大項(xiàng)；（2）使該極大項(xiàng)的真值為假的指派是唯一的；（3）使極大項(xiàng)為假的那組指派為對(duì)應(yīng)極大項(xiàng)的編碼；（4）命題變?cè)c0對(duì)應(yīng)，命題變?cè)姆穸ㄅc1對(duì)應(yīng)。Ｐ∨Ｑ→{0、0}為假→

{00}→M00(M0)Ｐ∨Ｑ→{01}為假→{01}

→M01(M1)Ｐ∨Ｑ→{10}為假→{10}

→M10(M2)Ｐ∨Ｑ→{11}為假→{11}

→M11(M3)2023/1/16三個(gè)命題變?cè)臉O小項(xiàng)和極大項(xiàng)PQR極小項(xiàng)極大項(xiàng)000m0=┐P∧┐Q∧┐RM0=P∨Q∨R001m1=┐P∧┐Q∧RM1=P∨Q∨┐R010m2=┐P∧Q∧┐RM2=P∨┐Q∨R011m3=┐P∧Q∧RM3=P∨┐Q∨┐R100m4=P∧┐Q∧┐RM4=┐P∨Q∨R101m5=P∧┐Q∧RM5=┐P∨Q∨┐R110m6=P∧Q∧┐RM6=┐P∨┐Q∨R111m7=P∧Q∧RM7=┐P∨┐Q∨┐Rmi∧mj=F2023/1/16極小項(xiàng)和極大項(xiàng)的性質(zhì)任意兩個(gè)極小項(xiàng)的合取必為假；任意兩個(gè)極大項(xiàng)的析取必為真；極大項(xiàng)的否定是極小項(xiàng)；極小項(xiàng)的否定是極大項(xiàng)；所有極小項(xiàng)的析取為永真公式；所有極大項(xiàng)的合取是永假公式。

Mi=┐miMi∨Mj=T

┐Mi=

mi2023/1/162主析取范式和主合取范式定義1.5.4

（1）在給定的析取范式中，每一個(gè)短語(yǔ)都是極小項(xiàng)，則稱該范式為主析取范式（2）在給定的合取范式中，每一個(gè)子句都是極大項(xiàng)，則稱該范式為主合取范式（3）如果一個(gè)主析取范式不包含任何極小項(xiàng)，則稱該主析取范式為“空”；如果一個(gè)主合取范式不包含任何極大項(xiàng)，則稱主合取范式為“空”。2023/1/16定理1.5.2任何一個(gè)公式都有與之等價(jià)的主析取范式和主合取范式。證明（1）利用定理3.5.1先求出該公式所對(duì)應(yīng)的析取范式和合取范式；（2）在析取范式的短語(yǔ)和合取范式的子句中重復(fù)出現(xiàn)的命題變?cè)瑢⑵浠芍怀霈F(xiàn)一次；（3）去掉析取范式中的所有永假式（P∧┐P

），去掉合取范式中所有永真式（P∨┐P

）2023/1/16定理1.5.2證明（續(xù)）（4）若析取范式的某一個(gè)短語(yǔ)中缺少該命題公式中所規(guī)定的命題變?cè)?，則可用公式：(Ｐ∨┐Ｐ)∧Q=Q將命題變?cè)狿補(bǔ)進(jìn)去，并利用分配律展開，然后合并相同的短語(yǔ)，此時(shí)得到的短語(yǔ)將是標(biāo)準(zhǔn)的極小項(xiàng)若合取范式的某一個(gè)子句中缺少該命題公式中所規(guī)定的命題變?cè)?，則可用公式：(Ｐ∧┐Ｐ)∨Q=Q將命題變?cè)狿補(bǔ)進(jìn)去，并利用分配律展開，然后合并相同的子句，此時(shí)得到的子句將是標(biāo)準(zhǔn)的極大項(xiàng)；2023/1/16證明（續(xù)）（5）利用等冪律將相同的極小項(xiàng)和極大項(xiàng)合并，同時(shí)利用交換律進(jìn)行順序調(diào)整，由此可轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)的主析取范式和主合取范式。2023/1/16例1.5.2利用等價(jià)公式轉(zhuǎn)換法求公式(P→Q)→(Q∧R)的主析取范式和主合取范式。解（1）求主析取范式(P→Q)→(Q∧R)=(P∨Q)∨(Q∧R)=(P∧Q)∨(Q∧R)——析取范式=(P∧Q∧(R∨R))∨((P∨P)∧Q∧R)=(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)——主析取范式2023/1/16例1.5.2（續(xù)）（2）求主合取范式(P→Q)→(Q∧R)=(P∧Q)∨(Q∧R)

=(P∨Q)∧(P∨R)∧(Q∨Q)∧(Q∨R)=(P∨Q)∧(P∨R)∧(Q∨R)——合取范式

2023/1/16例1.5.2（續(xù)）=(P∨Q∨(R∧R))∧(P∨(Q∧Q)∨R)∧((P∧P)∨Q∨R)=(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧((P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)=(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨R)——主合取范式

2023/1/16需要說明求任何一個(gè)公式的主析取范式和主合取范式不僅要取決于該公式，而且取決于該公式所包含的命題變?cè)?。如公式?/p>

G1=(P→Q)∧Q，G2(P,Q,R)=(P→Q)∧Q。前者是依賴于兩個(gè)命題變?cè)模笳邞?yīng)依賴于三個(gè)命題變?cè)?。定?-5.4在真值表中，一個(gè)公式的真值為T的指派所對(duì)應(yīng)的小項(xiàng)的析取，即為此公式的主析取范式。定理1-5.5在真值表中，一個(gè)公式的真值為F的指派所對(duì)應(yīng)的大項(xiàng)的合取，即為此公式的主合取范式。主析取范式與主合取范式2023/1/16如何用極小項(xiàng)來(lái)構(gòu)成主析取范式？PQm0m1

m2

m3P->Q備注001

0

0

01010

1

0

01100

0

100110

0

011m1必須包含在主析取范式中m0必須包含在主析取范式中m3必須包含在主析取范式中m2一定不能包含在主析取范式中主析取范式中必須且只能包含使得公式真值為真的那些解釋對(duì)應(yīng)的極小項(xiàng)。2023/1/16如何用極大項(xiàng)來(lái)構(gòu)成主合取范式？PQM0M1

M2

M3PQ備注0001111011011010110101111101M1必須包含在主合取范式中M2必須包含在主合取范式中M0一定不能包含在主合取范式中M3一定不能包含在主合取范式中主合取范式中必須且只能包含使得公式真值為假的那些解釋對(duì)應(yīng)的極大項(xiàng)。2023/1/16真值表技術(shù)（1）列出公式對(duì)應(yīng)的真值表，選出公式的真值結(jié)果為真的所有的行，在這樣的每一行中，找到其每一個(gè)解釋所對(duì)應(yīng)的極小項(xiàng)，將這些極小項(xiàng)進(jìn)行析取即可得到相應(yīng)的主析取范式。（2）列出公式對(duì)應(yīng)的真值表，選出公式的真值結(jié)果為假的所有的行，在這樣的每一行中，找到其每一個(gè)解釋所對(duì)應(yīng)的極大項(xiàng)，將這些極大項(xiàng)進(jìn)行合取即可得到相應(yīng)的主合取范式。2023/1/16例1.5.4利用真值表技術(shù)求公式G=┐(Ｐ→Ｑ)∨Ｒ的主析取范式和主合取范式。PQRP→Q┐（P→Q）┐(P→Q)∨R0001000011010101000111011000111010111101001111012023/1/16例1.5.4（續(xù)）（1）求主析取范式找出真值表中其真值為真的行：

2.001；4.011；

5.100；6.101；8.111。這些行所對(duì)應(yīng)的極小項(xiàng)分別為：

┐P∧┐Ｑ∧Ｒ，┐P∧Ｑ∧Ｒ，P∧┐Ｑ∧┐Ｒ，P∧┐Ｑ∧Ｒ，P∧Ｑ∧Ｒ。2023/1/16例1.5.4（續(xù)）將這些極小項(xiàng)進(jìn)行析取即為該公式G的主析取范式。G=┐(Ｐ→Ｑ)∨Ｒ=(┐P∧┐Ｑ∧Ｒ)∨(┐P∧Ｑ∧Ｒ)∨(P∧┐Ｑ∧┐Ｒ)∨(P∧┐Ｑ∧Ｒ)∨(