滬科版初中數(shù)學(xué)九年級下冊全冊教學(xué)課件（2023年1月修訂）

滬科版數(shù)學(xué)九年級下冊全冊教學(xué)課件24.1

旋轉(zhuǎn)第1課時

旋轉(zhuǎn)的概念和性質(zhì)第24章圓這些運動有什么共同的特點？情境引入旋轉(zhuǎn)的概念BOA45°問題

觀察下面的現(xiàn)象，它有什么特點？觀察與思考

鐘表的指針在不停地轉(zhuǎn)動，從

12時到

4時，時針轉(zhuǎn)動了______度.120

把時針當成一個圖形，那么它可以繞著中心固定點轉(zhuǎn)動一定角度.

思考：怎樣定義這種圖形變換？

風(fēng)車風(fēng)輪的每個葉片在風(fēng)的吹動下轉(zhuǎn)動到新的位置.怎樣來定義這種圖形變換？

把葉片當成一個平面圖形，那么它可以繞著平面內(nèi)中心固定點轉(zhuǎn)動一定角度.在平面內(nèi)，一個圖形繞著一個定點，旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到另一個圖形的變換，叫做旋轉(zhuǎn).OP′P旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)角對應(yīng)點旋轉(zhuǎn)的定義這個定點叫做旋轉(zhuǎn)中心.轉(zhuǎn)動的角稱為旋轉(zhuǎn)角.圖中的點

P旋轉(zhuǎn)后成為點

P'，這兩個點叫做對應(yīng)點.知識要點

若葉片

A

繞

O

順時針旋轉(zhuǎn)到葉片

B，則旋轉(zhuǎn)中心是______，旋轉(zhuǎn)角是_________，旋轉(zhuǎn)角等于____°，其中的對應(yīng)點有_______、_______、_______、_______、_______、_______.點O∠AOB60F與

AA與

BB與

CC與

DD與

EE與

F填一填：ACDEFBO旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)方向確定一次圖形的旋轉(zhuǎn)時，必須明確：注意：①旋轉(zhuǎn)的范圍是“平面內(nèi)”，其中“旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角度”稱為旋轉(zhuǎn)的三要素；②旋轉(zhuǎn)變換同平移、軸對稱一樣屬于全等變換.歸納：A．30°B．45°C．90°D．135°例1如圖，點

A、B、C、D都在方格紙的格點上，若△AOB繞點

O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到△COD的位置，則旋轉(zhuǎn)的角度為(

)解析：對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線的夾角，就是旋轉(zhuǎn)角，由圖可知，OB、OD是對應(yīng)邊，∠BOD是旋轉(zhuǎn)角，所以旋轉(zhuǎn)角為90°.故選C.CCDABO典例精析旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)合作探究ABB′A′C．M．．．．45°繞點

C逆時針旋轉(zhuǎn)45°△ABC如何運動到△A′B′C的位置？N'NM′旋轉(zhuǎn)中心是點_____；圖中對應(yīng)點有________________________________________________；圖中對應(yīng)線段有_______________________________；每對對應(yīng)線段的長度關(guān)系是_____；圖中旋轉(zhuǎn)角等于_____°.C

點

A與點

A′，點

B與點

B′，點

M與點

M′，點

N與點

N′CA與

CA′、CB與

CB′、AB與

A′B′45相等根據(jù)右圖填空：B'A'C'ABCOAO=A'O，BO=B'O，CO=C'O∠AOA'=∠BOB'=∠COC'觀察下圖，你能找到三角形外相等的角和線段嗎？2.兩組對應(yīng)點分別與旋

轉(zhuǎn)中心的連線所成的

角相等，都等于旋轉(zhuǎn)角；EABFCO1.對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的

距離相等；3.旋轉(zhuǎn)中心是唯一不動的點.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知識要點DABO例2下圖為4×4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長均為1，將△OAB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，你能畫出△OAB旋轉(zhuǎn)后的圖形△OA′B′嗎？A′B′DABCEE′例3

如圖，點

E是正方形

ABCD內(nèi)一點，連接

AE，BE，CE，將△ABE繞點

B順時針旋轉(zhuǎn)90°到△CBE′處，若

AE＝1，BE＝2，CE＝3，則∠BE′C＝____度.解析：連接

EE′.

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知

AE=CE′

=1，BE=BE′，∠EBE′=90°，∴∠BE'E=45°，EE′=在△EE′C中，CE′2+EE′2=9=CE2，∴∠EE′C=90°.∴∠BE′C=∠BE′E+∠EE′C=135°.135例4

如圖，將等腰△ABC

繞頂點

B

逆時針方向旋轉(zhuǎn)

α°

到△A1BC1

的位置，AB

與

A1C1

相交于點

D，AC

與

A1C1，BC1

分別交于點

E，F(xiàn)．（1）求證：△BA1D≌△BCF；ACBA1C1EDF證明：在等腰△ABC

中，AB

=

BC，∠A

=∠C.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得A1B

=

AB

=

BC，∠A

=∠A1

=∠C，∠A1BD

=∠CBF.在△BA1D

與△BCF

中，∴△BA1D≌△BCF（ASA）.ACBA1C1EDF（2）當∠C

=

α°

時，判定四邊形

A1BCE

的形狀，并說明理由.解：四邊形

A1BCE

是菱形，理由如下：∵∠FBC=∠C=

α°，∠C=∠C1

=

α°，∴∠FBC=∠C1，A1C1∥BC.∴∠C1EC

=∠C.又∵△ABC，△A1BC1

為等腰三角形，∴∠A1

=∠C1

=∠C，∠A1

=∠C1EC.∴

A1B∥CE.∴

四邊形

A1BCE

是平行四邊形.又∵A1B

=

BC，∴

□

A1BCE

是菱形.ACBA1C1EDF旋轉(zhuǎn)對稱圖形活動在硬紙板上剪下兩張如下的圖形，然后將它們疊放在一起，在其中心釘上一枚圖釘，然后旋轉(zhuǎn)上面的硬紙板，旋轉(zhuǎn)多少角度后，它能與下面的硬紙板重合？合作探究

在平面內(nèi)，一個圖形繞著一個定點旋轉(zhuǎn)一定的角度

θ

(0°＜θ＜360°)后，能夠與原圖形重合，這樣的圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形，這個定點就是旋轉(zhuǎn)中心.

知識要點做一做下圖中不是旋轉(zhuǎn)對稱圖形的是()B例5

如圖是一個標準的五角星，若將它繞中心旋轉(zhuǎn)一定的角度后能與自身重合，則至少應(yīng)將它旋轉(zhuǎn)

(

)A．60°B．72°C．90°D．144°解析：如圖，點

O

是五角星的中心，則∠AOB

=∠BOC

=∠COD

=∠DOE

=∠AOE．∵

它們都等于旋轉(zhuǎn)角，且和為

360°，∴

至少將它繞中心旋轉(zhuǎn)

360°÷5

=

72°，才能使其旋轉(zhuǎn)后與自身重合．BOABDEC將一個菱形繞它的兩條對角線的交點旋轉(zhuǎn)，使它和原來的菱形重合，那么旋轉(zhuǎn)的角度至少是(

)A．360°B．270°C．180°D．90°C練一練1.下列事件中，屬于旋轉(zhuǎn)運動的是(

)A．小明向北走了4米B．小朋友們在蕩秋千時做的運動C．電梯從1樓上升到12樓D．一物體從高空墜下B2.下列圖形中，旋轉(zhuǎn)對稱圖形的個數(shù)為(

)A．1

B．2

C．3

D．4C3.要使下面的圖形旋轉(zhuǎn)后與自身重合，至少應(yīng)將它繞

中心按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為(

)

A．30°B．60°C．120°D．180°解析：此圖形可看作是把一個旋轉(zhuǎn)對稱圖形等分為6個部分，每部分被分成的角是60°，故至少應(yīng)旋轉(zhuǎn)60°角才能與自身重合．B4.如圖，△A′OB′是△AOB繞點

O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)

得到的.已知∠AOB=20°，∠A′OB=24°，AB=3，

OA=5，則

A′B′=

，OA′=

，旋轉(zhuǎn)角為

°.3544

5.如圖，正方形

A′B′C′D′是由正方形

ABCD按順時針方

向旋轉(zhuǎn)

45°

而成的.（1）若

AB=4，則

S正方形A′B′C′D′=

；（2）∠BAB′=

°，

∠B′AD=

°；

（3）若連接

BB′，則

∠ABB′=

°.16454567.5ABCDE6.如圖，將Rt△ABC繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定

角度得Rt△ADE，點B的對應(yīng)點D恰好落在BC

邊上.若AC=，∠B=60°，則CD的長為

.1解析：在

Rt△ABC中，AC=，∠B=60°，

∴AB=

1，BC=

2.由旋轉(zhuǎn)得

AD=

AB，∴△ABD為等邊三角形.∴BD=AB=1.∴

CD=

BC－BD=

2－1

=

1.7.在圖中，將大寫字母A

繞它的上頂點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)

90°，作出旋轉(zhuǎn)后的圖案，同時作出字母A

向左平移5個單位的圖案.OCBEDC1B1D1

E1O2C2B2E2D2

能力提升：8.如圖，K是正方形ABCD內(nèi)一點，以AK為一邊作

正方形

AKLM，使L、M在AK的同旁，連接BK和

DM．試用旋轉(zhuǎn)的思想說明線段

BK與

DM的數(shù)量關(guān)

系和位置關(guān)系．解：BK=DM，BK⊥DM.簡要思路：由題意知，△ABK繞點

A逆時針旋轉(zhuǎn)90°

得到△ADM，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BK=DM，BK⊥DM.ABCDKLM通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)活動，你有什么收獲？謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無關(guān)的事，保持課堂良好紀律秩序。聽課時有問題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經(jīng)老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門窗、關(guān)閉電源。第2課時中心對稱和中心對稱圖形24.1

旋轉(zhuǎn)第24章圓從

A旋轉(zhuǎn)到

B，旋轉(zhuǎn)中心是什么？旋轉(zhuǎn)角是多少？OABCD從

A旋轉(zhuǎn)到

C呢?從

A旋轉(zhuǎn)到

D呢?情境引入桌上有四張牌，將其中一張牌旋轉(zhuǎn)

180°

后牌面圖案沒有發(fā)生變化，你很快能猜出是哪一張嗎？中心對稱的性質(zhì)及其作圖重合OADBC

問題1

觀察下列圖形的運動，說一說它們有什么共同點.旋轉(zhuǎn)角都是180°觀察與思考O

如圖，將△ABC繞定點O

旋轉(zhuǎn)180°，得到△DEF，這時，△ABC與△DEF關(guān)于點O的對稱叫做中心對稱，點

O就是對稱中心.知識要點ABCDEFO填一填：

如圖，△OCD與△OAB關(guān)于點O中心對稱，則點___是對稱中心，點A與點___是對稱點，點B與點___是對稱點.OBCADOCD1.中心對稱是一種特殊的旋轉(zhuǎn).其旋轉(zhuǎn)角是180°.2.中心對稱是兩個圖形之間一種特殊的位置關(guān)系.歸納總結(jié)問題2

下圖中△A′B′C′與△ABC關(guān)于點O成中心對稱，對稱中心O與對應(yīng)點的連線有什么關(guān)系?ABCB′C′OA′1.成中心對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點的連線經(jīng)過對稱中心（即每組對應(yīng)點與對稱中心三點共線），

且被對稱中心所平分.2.成中心對稱的兩個圖形是全等形.中心對稱的性質(zhì)：知識要點例1

如圖，已知四邊形ABCD和點

O，試畫出四邊形ABCD關(guān)于點O成中心對稱的圖形A'B'C'D'.ABCDO分析：要畫出四邊形

ABCD關(guān)于點O成中心對稱的圖形，只要畫出

A，B，C，D四點關(guān)于點

O的對應(yīng)點，再順次連接各對應(yīng)點即可.典例精析ABCD作法：1.連接AO并延長到A'，使OA'=OA，得到點A的對應(yīng)點A'；D'2.同理，可作出點

B，C，D的對應(yīng)點

B'，C'，D'；3.順次連接

A'，B'，C'，D'.則四邊形

A'B'C'D'即為所作.OA'B'C'【變式題】如圖，已知△ABC與△A′B′C′中心對稱，找出它們的對稱中心

O.ABCA′B′C′解法1：根據(jù)觀察，B、B′應(yīng)是對應(yīng)點，連接

BB′，用刻度尺找出

BB′的中點

O，則點

O即為所求（如圖）.OO解法2：根據(jù)觀察，B、B′及

C、C′應(yīng)是兩組對應(yīng)點，連接

BB′、CC′，相交于點

O，則點

O即為所求(如圖).ABCA′B′C′注：如果限定只能用無刻度直尺作圖，我們可用解法2.例2

如圖，已知△AOB與△DOC成中心對稱，△AOB的面積是12，AB=3，則△DOC中

CD邊上的高為___.解析：設(shè)

AB邊上的高為

h．∵△AOB的面積是12，AB＝3，易得

h＝8．

又∵△AOB與

△DOC成中心對稱，∴△COD≌△AOB．∴△DOC中

CD邊上的高是8．8中心對稱圖形AB將下面的圖形繞

O點旋轉(zhuǎn)，你有什么發(fā)現(xiàn)？O（1）都繞一點旋轉(zhuǎn)了180度；（2）都與原圖形完全重合.觀察與思考O

把一個圖形繞某一個定點旋轉(zhuǎn)

180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能和原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個定點就是對稱中心.BACD中心對稱圖形的定義注意：中心對稱圖形是指一個圖形.知識要點O√√(1)(2)(3)√(4)做一做：下列圖形中哪些是中心對稱圖形？×在生活中，有許多中心對稱圖形，你能舉出一些例子嗎？

例3

如圖，矩形

ABCD的對角線

AC和

BD相交于點

O，過點

O的直線分別交

AD和

BC于點

E、F，AB=2，BC=3，則圖中陰影部分的面積為____.解析：由于矩形是中心對稱圖形，所以依題意可知△BOF與△DOE關(guān)于點

O成中心對稱，由此圖中陰影部分的三個三角形就可以轉(zhuǎn)化到Rt△ADC中，易得陰影部分的面積為3．3例4如圖，已知

E(－4，2)，F(xiàn)(－1，－1)，以O(shè)為中心，作△EFO的中心對稱圖形，則點E的對應(yīng)點

E′的坐標為_________．解析：由中心對稱可得到新的點與原來的點關(guān)于原點對稱．∴

點E

(－4，2)

的對應(yīng)點E′的坐標為(4，－2)．(4，－2)方法總結(jié)：關(guān)于原點成中心對稱的兩點，橫、縱坐標分別互為相反數(shù)．圖(1)圖(2)解密魔術(shù)1.判斷正誤：

（1）成軸對稱的兩個圖形一定是全等形，但全等的兩個圖形不一定是軸對稱的圖形.（）

（2）成中心對稱的兩個圖形一定是全等形.但全等的兩個圖形不一定是成中心對稱的圖形.（）

（3）全等的兩個圖形，不是成中心對稱的圖形，就是成軸對稱的圖形.（）√√×2.如下所示的

4

組圖形中，左邊數(shù)字與右邊數(shù)字成中

心對稱的有(

)

A.1組

B.2組

C.3組

D.4組C3.下列標志圖中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是(

)B4.如圖，□ABCD中，△AOB繞著點

旋轉(zhuǎn)

180°

后，能夠與

重合，則這一點稱為

，點

A的對應(yīng)點是

，△AOD與△COB關(guān)于點

成

對稱.ABDCOO△COD對稱中心點

CO中心5.如圖，線段AB和CD關(guān)于點O成中心對稱，若∠B=40°，則∠D的度數(shù)為

.ＯBCAD40°6.如圖的網(wǎng)格中有一個四邊形和兩個三角形．(1)請你先畫出三個圖形關(guān)于

點

O成中心對稱的圖形；(2)將(1)中畫出的圖形與原圖形看成一個整體圖形，請寫出這個整體圖形對稱軸的條數(shù)；這個整體圖形至少旋轉(zhuǎn)多少度才能與自身重合?O解：這個整體圖形的對稱軸有4條；此圖形最少旋轉(zhuǎn)

90°

才能與自身重合．能力提升：7.用無刻度的直尺畫一條直線把下面圖形分成面積相等的兩部分，你怎樣畫？方法總結(jié)：對于這種由兩個中心對稱圖形組成的復(fù)合圖形，平分面積時，關(guān)鍵找到它們的對稱中心，再過對稱中心作直線.通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)活動，你有什么收獲？謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無關(guān)的事，保持課堂良好紀律秩序。聽課時有問題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經(jīng)老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門窗、關(guān)閉電源。24.1

旋轉(zhuǎn)第3課時旋轉(zhuǎn)的應(yīng)用第24章圓你能找出圖案中的全等圖形嗎？這幅圖案可看成是怎樣制作的呢？圖片引入運動美★★★★★★★★★★★★組合美坐標平面內(nèi)的旋轉(zhuǎn)變換AB122－1－2－2xyO1－1合作探究B

如圖，△AOB的頂點坐標分別是A(2，1)，O(0，0)，B(2，0).(1)分別畫出△AOB以原點為旋轉(zhuǎn)中心，逆時針旋轉(zhuǎn)90°、180°、270°、360°

而得到的△A′OB′，并填寫表格.A122－1－2－2xyO1－1B原圖形上點的坐標A(2，1)O(0，0)B(2，0)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)點的坐標旋轉(zhuǎn)90°旋轉(zhuǎn)180°旋轉(zhuǎn)270°旋轉(zhuǎn)360°(－1，2)(－2，－1)(1，－2)(2，1)(0，0)(0，2)(0，0)(0，0)(0，0)(－2，0)(0，－2)(2，0)(2)分別比較點A′與點A、點B′與點B、點C與點C′的坐標，能得到怎樣的結(jié)論？

通過作圖、分析能看到，把一個圖形以坐標原點為旋轉(zhuǎn)中心作幾個特殊角度的旋轉(zhuǎn)，可得如下結(jié)果：原圖形上任一點的坐標以點

O為旋轉(zhuǎn)中心按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)點的坐標(x，y)(－y，x)(－x，－y)(y，－x)(x，y)旋轉(zhuǎn)90°旋轉(zhuǎn)180°旋轉(zhuǎn)270°旋轉(zhuǎn)360°練一練1.如圖，在方格紙上建立的平面直角坐標系中，將△ABO

繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得△A′B′O，則點A′

的坐標為

.

解析：根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點

A、B

旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點

A′、B′

的位置，然后與點

O

順次連接即可.如圖，點

A′

的坐標為

(1，3).(1，3)2.填空：(1)在平面直角坐標系中，點P(2，－3)關(guān)于原點對稱的點P′的坐標是________．(2)點M(3，－5)繞原點旋轉(zhuǎn)180°后到達的位置是

________．(3)點

P(2，n)與點

Q(m，－3)關(guān)于原點對稱，則

(m＋n)2023＝______．解析：因為點P(2，n)與點Q(m，－3)關(guān)于原點對稱，所以

m＝－2，n＝3．則(m＋n)2023＝(－2＋3)2023＝1.(－2，3)1(－3，5)例1

如圖，在平面直角坐標系中，點

B

的坐標是(1，0)，若點A的坐標為(a，b)，將線段

BA

繞點

B

順時針旋轉(zhuǎn)

90°

得到線段

BA′，則點

A′

的坐標是

．典例精析解析：過點A作AC⊥x軸，過點A′作A′D⊥x軸，垂足分別為C、D，顯然Rt△ABC≌Rt△BA′D.∵點A(a，b)，點B(1，0)，∴

OD＝OB＋BD＝OB＋AC＝1＋b，A′D＝BC＝OC－OB＝a－1.

∵

點A′在第四象限，∴

點

A′

的坐標是

(b＋1，－a＋1)．動態(tài)圖形的操作與圖案設(shè)計試說出構(gòu)成下列圖形的基本圖形．觀察與思考（1）（2）（3）（4）基本圖案圖案的形成過程分析圖案的形成過程基本圖案圖案的形成過程分析圖案的形成過程歸納：圖形的變換可以通過選擇不同的變換方式得到，可能需要旋轉(zhuǎn)、軸對稱、平移等多種變換組合才能得到完美的圖案.例2用四塊如圖(1)的正方形卡片拼成一個新的正方形，使拼成的圖案是一個軸對稱圖形，請你在圖(2)、圖(3)、圖(4)中各畫出一種拼法(要求三種畫法各不相同，且其中至少有一個既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形)．解：如圖所示.（答案不唯一）例3如圖是一個

4×4

的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的邊長為1.請你在網(wǎng)格中以左上角的三角形為基本圖形，通過平移、軸對稱或旋轉(zhuǎn)變換，設(shè)計一個精美圖案，使其滿足：①既是軸對稱圖形，又是以點

O

為對稱中心的中心對稱圖形；②所作圖案用陰影標識，且陰影部分面積為

4.分析：所給左上角的三角形的面積為1×1÷2＝0.5，故設(shè)計圖案總共需要陰影三角形4÷0.5＝8(個).解：答案不唯一，以下圖案供參考.1.在下列某品牌

T

恤的四個洗滌說明圖案的設(shè)計中，沒有運用旋轉(zhuǎn)或軸對稱知識的是

(

)ABCDC3.若點

A(m，－2)，B(1，n)關(guān)于原點對稱,則

m=

，

n=

.－122.將點P(2，－3)繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)

270°

得到的點P′

的坐標為(

)A.(－2，－3)B.(－3，2)C.(－3，－2)D.(2，3)C4.在平面直角坐標系xOy中，已知點A(－3，4)，將

OA

繞坐標原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°

至OA′，則點A′的坐標是

.(－4，－3)5.已知a＜0，則點P(－a2，－a+1)關(guān)于原點的對稱點

P′在

象限.解析：∵點P

(－a2，－a+1)關(guān)于原點的對稱點P′的坐標為(a2，a－1)，a＜0，∴a2＞0，a－1＜0，∴點P′在第四象限．第四6.如圖，△ABC

各頂點的坐標為

A(－5，4)，B(－1，1)，

C(－5，1)．(1)將△ABC

繞著原點

O

順時針旋轉(zhuǎn)

90°

得到△A′B′C′，請在圖中畫出△A′B′C′；(2)寫出點

A′

的坐標.A′BxyOCB′C′A解：(1)如圖所示.(2)A′

點的坐標為(4，5)．7.

如圖是五個小正方形在3×3的正方形網(wǎng)格中拼成的圖形，請你移動其中一個或兩個小正方形，重新拼成一

個圖形，使得所拼成的圖形滿足下列條件，并分別畫

在圖①、圖②、圖③中（只需各畫一個）.①是軸對稱圖形，但不是中心對稱圖形；②是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形；③既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．圖①圖②圖③能力提升：8.試寫出直線y=3x－5關(guān)于原點對稱的直線的函數(shù)關(guān)系式.解：y=3x+5.通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)活動，你有什么收獲？謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無關(guān)的事，保持課堂良好紀律秩序。聽課時有問題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經(jīng)老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門窗、關(guān)閉電源。24.2

圓的基本性質(zhì)第1課時與圓有關(guān)的概念及點與圓的位置關(guān)系第24章圓觀察下列生活中的圖片，找一找你所熟悉的圖形.圖片引入騎車運動看了此畫，你有何想法?思考：車輪為什么做成圓形？做成三角形、正方形可以嗎？車輪為圓形的原理分析（請依次點擊按鈕觀看動畫）：問題1

一些學(xué)生正在做投圈游戲，他們呈“一”字排開.這樣的隊形對每一人都公平嗎？你認為他們應(yīng)當排成什么樣的隊形？探究圓的概念合作探究甲丙乙丁為了使游戲公平，應(yīng)在目標周圍圍成一個圓圈排隊，因為圓上各點到圓心的距離都等于半徑.為什么？·rOP?圓的旋轉(zhuǎn)定義

在平面內(nèi)，線段

OP繞著它固定的一個端點

O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點P所形成的封閉曲線叫做圓．固定的端點

O叫做圓心，線段

OP的長r叫做半徑．以點

O

為圓心的圓，記作“⊙O”

讀作“圓

O”.問題2

觀察畫圓的過程，你能說出圓是如何畫出來的嗎？

一是圓心，圓心確定其位置；二是半徑，半徑確定其大?。膱A

等圓

半徑相同，圓心不同圓心相同，半徑不同?確定一個圓的要素(1)圓上各點到定點

(圓心

O)的距離都等于

.(2)平面內(nèi)到定點

(圓心

O)的距離等于定長

(半徑

r)

的所

有點都在

.

由此，我們可以得到圓的集合定義：平面內(nèi)到定點

(圓心

O)的距離等于定長

(半徑

r)

的所有點組成的圖形.Orrrrr定長(半徑

r)同一個圓上想一想：從畫圓的過程可以看出什么呢？·例1如圖，已知

AB，CD

為⊙O的直徑.求證：AD∥CB.

典例精析證明：連接

AC，DB.∵AB，CD

為⊙O

的直徑，∴OA=OB，

OC=OD.∴四邊形

ADBC

為平行四邊形.∴AD∥CB.ABCDO矩形ABCD的對角線AC、BD相交于O.求證：A、B、C、D在以O(shè)為圓心的同一圓上.ABCDO證明：∵四邊形

ABCD是矩形，∴∴A、B、C、D在以

O為圓心，以

OA為半徑的圓上.練一練問題1

觀察下圖中點和圓的位置關(guān)系有哪幾種？.o.C....B.A..有三種：點在圓內(nèi)，點在圓上，點在圓外.點和圓的位置關(guān)系觀察與思考問題2

設(shè)點到圓心的距離為d，圓的半徑為r，量一量在點和圓三種不同位置關(guān)系下，d與r有怎樣的數(shù)量關(guān)系？點P在⊙O內(nèi)

點P在⊙O上點P在⊙O外dddrPdPrd

Prd＜rr=＞r

反過來，由

d與

r的數(shù)量關(guān)系，怎樣判定點與圓的位置關(guān)系呢？1.⊙O

的半徑為

10

cm，A、B、C

三點到圓心的距離分

別為

8

cm、10

cm、12

cm，則點

A、B、C

與⊙O

的

位置關(guān)系是點

A

在

；點

B

在

；點

C

在

.

圓內(nèi)圓上圓外2.圓心為

O的兩個同心圓，半徑分別為1和2，若OP

=

，則點P在

(

)A.大圓內(nèi)B.小圓內(nèi)C.小圓外D.大圓內(nèi)，小圓外oD練一練點和圓的位置關(guān)系rPdPrd

PrdRrP點

P在⊙O內(nèi)

d<r點

P在⊙O上

d=r點

P在⊙O外

d>r

點

P在圓環(huán)內(nèi)

r≤d≤R數(shù)形結(jié)合：位置關(guān)系數(shù)量關(guān)系知識要點例2如圖，已知矩形ABCD的邊AB=3，AD=4.（1）以A為圓心，4為半徑作⊙A，則點B、C、D與

⊙A的位置關(guān)系如何？解：∵AB=3＜4，∴點B在⊙A內(nèi)．∵AD=4，∴點D在⊙A上．∵＞4，∴點C在⊙A外.（2）若以

A點為圓心作⊙A，

使

B、C、D三點中至少

有一點在圓內(nèi)，且至少

有一點在圓外，求⊙A

的半徑

r的取值范圍.解：由題意得，點

B一定在圓內(nèi)，點

C一定在圓外，∴

3＜r＜5.【變式題】如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為

(2，1)，P是x軸上一點，要使△PAO為等腰三角形，滿足條件的

P有幾個？求出點P的坐標.方法總結(jié)：在沒有明確腰和底邊的情況下，構(gòu)造等腰三角形要注意分類討論.·COAB??。?/p>

圓的有關(guān)概念(

連接圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧，用符號“”表示.

如圖中的

和

．?弦：

·COAB

連接圓上任意兩點的線段（如圖中的

AB，AC）叫做弦.

經(jīng)過圓心的弦（如圖中的

AB）叫做直徑．注意：1.弦和直徑都是線段；2.直徑是特殊的弦，它經(jīng)過圓心，是圓中最長的弦，但弦不一定是直徑.?半圓、優(yōu)弧及劣?。?/p>

圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．劣弧與優(yōu)弧·COAB半圓

大于半圓的?。ㄈ鐖D中的

，一般用三個字母表示）叫做優(yōu)??；小于半圓的?。ㄈ鐖D中的）叫做劣弧.?等圓：

·COA

能夠重合的兩個圓叫做等圓，等圓的半徑相等.·CO1A?等?。?/p>

在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.長度相等的弧是等弧嗎？例3

如圖.(1)請寫出以點

A為端點的劣弧及優(yōu)??；(2)請寫出以點

A為端點的弦及直徑；

弦

AF，AB，AC.其中弦AB也是直徑.(3)請任選一條弦，寫出這條弦所對的弧.ABCEFDO劣?。簝?yōu)弧：答案不唯一，如：弦

AF，它所對的弧是和

.練一練

有下列五個說法：①半徑確定了，圓就確定了；②直徑是弦；③弦是直徑；④半圓是弧，但弧不一定是半圓；⑤任意一條直徑都是圓的對稱軸．其中錯誤說法的個數(shù)是(

)

A．1

B．2

C．3

D．4解析：根據(jù)圓、直徑、弦、半圓等概念來判斷．半徑只能確定圓的大小，不能確定圓的位置；直徑是弦，但弦不一定是直徑；對稱軸是直線，故應(yīng)說任意一條直徑所在的直線是圓的對稱軸．故①③⑤錯誤.C1.根據(jù)圓的定義，圓指的是“圓周”，而不是“圓面”；2.直徑是圓中最長的弦.證明：·COAB

連接

OC．在△AOC中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系有

OA+OC>AC，而

AB=

2OA，OA=OC，∴AB>AC.知識要點例4

如圖，AB

是⊙O

的直徑，CD

是⊙O

的弦，AB，CD

的延長線交于點

E.

已知

AB=2DE，∠E=18°，求∠AOC

的度數(shù)．解：如圖，連接

OD.∵

AB

是⊙O

的直徑，OC，OD

是半徑，AB=2DE，∴OD=DE.∴∠DOE=∠E=18°.∴∠ODC=∠DOE＋∠E=36°.∵

OC=OD，∴∠C=∠ODC=36°.∴∠AOC=∠C＋∠E=36°＋18°=54°.例5如圖，MN是半圓

O的直徑，正方形

ABCD的頂點

A、D在半圓上，B、C在

MN上，求證：OB=OC.ⅠⅡ10？2x在Rt△ABO中，AB2+BO2=AO2，即(2x)2+x2=102.ABOCDMN算一算：設(shè)⊙O的半徑為10，則正方形

ABCD的邊長為

.x連接

OA，OD，則OA=OD，由三角形全等可證

OB=OC.xxxx【變式題】如圖，在扇形

MON中，∠MON

=45°，半徑

MO=NO=10，正方形

ABCD的頂點

B、C、D在半徑

上，頂點

A在圓弧上，求正方形

ABCD的邊長.解：連接

OA，如圖.又∵∠DOC=45°，∴CD=OC.設(shè)AB=x，則AB=BC=DC=OC=x.∵OA=OM=10，∴

(2x)2+x2=102.在Rt△ABO中，在正方形

ABCD中，AB=BC=CD，∠ABC=∠DCB=90°.解得45°1.判斷下列說法的正誤，并說明理由或舉反例.(1)弦是直徑；(2)半圓是弧；(3)過圓心的線段是直徑；(4)過圓心的直線是直徑；(5)半圓是最長的??；(6)直徑是最長的弦；(7)長度相等的弧是等弧.2.填空：（1）______是圓中最長的弦，它是______的

2

倍．（2）圖中有

條直徑，

條非直徑的弦，

圓中以

A

為一個端點的優(yōu)弧有

條，

劣弧有

條．直徑半徑1244ABCDOFE

3.正方形

ABCD

的邊長為

2

cm，以

A

為圓心，2

cm

長為

半徑作⊙A，則點

B

在⊙A

；點

C

在⊙A

；點

D

在⊙A

.上外上4.如圖，MN為⊙O的弦，∠MON=70°，則∠M=

°.5.一點到⊙O上的最近距離為

4

cm，最遠距離為

10

cm，

則這個圓的半徑是

.7cm或3cmMON55·2

cm3

cm6.畫出由所有到已知點

O

的距離大于或等于

2

cm

并且

小于或等于

3

cm

的點組成的圖形.O7.如圖，OA、OB

是⊙O

的半徑，點

C、D

分別為

OA、

OB

的中點，求證：AD=BC.證明：∵

OA、OB

是⊙O

的半徑，∴

OA=OB.∵

點

C、D

分別為

OA、OB

的中點，∴

OA=2OC，OB=2OD.∴

OC=OD.又∵∠O=∠O，∴△AOD≌△BOC

(SAS).∴

BC=AD.解：漁船應(yīng)沿著射線

OP

的方向航行才能盡快離開危險區(qū)．理由如下：設(shè)射線

OP

交⊙O

于點

A，過點

P

任意作一條弦

CD，連接

OD.在△ODP中，OD－OP＜PD，又∵OD=OA，∴OA－OP＜PD.∴

PA＜PD，即

PA

為最短路線，故漁船沿射線

OP

方向航行才能盡快離開危險區(qū).能力提升：8.如圖，點

O

處有一燈塔，警示⊙O

內(nèi)部為危險區(qū)，一漁船誤入危險區(qū)點

P

處，該漁船應(yīng)該按什么方向航行才能盡快離開危險區(qū)？試說明理由．ADPCO通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)活動，你有什么收獲？謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無關(guān)的事，保持課堂良好紀律秩序。聽課時有問題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經(jīng)老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門窗、關(guān)閉電源。第2課時垂徑分弦24.2

圓的基本性質(zhì)第24章圓視頻引入點擊視頻開始播放→

趙州橋的主橋是圓弧形，它的跨度(弧所對的弦長)為

37.4m，拱高(弧的中點到弦的距離)為

7.2m，你知道如何求出趙州橋主橋拱的半徑嗎？垂徑定理及其推論合作探究問題1

在紙上任意畫一個⊙O，沿⊙O的一條直徑將

⊙O折疊，你發(fā)現(xiàn)了什么？O圓是軸對稱圖形，對稱軸是圓所在平面內(nèi)任意一條過圓心的直線.

問題2

已知：如圖，在⊙O

中，CD

是直徑，AB

是弦，且

CD⊥AB，垂足為

E.求證：AE

=EB，

，.證明：連接

OA，OB，則

OA

=OB.∵CD⊥AB，∴OE⊥AB.∴

OE

平分

AB，即

CD

垂直平分

AB．∴點

A

與點

B

關(guān)于直線

CD

對稱.·OABDEC分析：只要能說明⊙O

關(guān)于直線CD對稱，那么所有結(jié)論都能得證.同理，如果點

P

是⊙O

上任意一點，過點

P

作直線

CD

的垂線，與⊙O

相交于另一點

Q，則點

P

與點

Q

也關(guān)于直線

CD

對稱．∴⊙O

關(guān)于直線

CD

對稱.∴

AE

=EB，，.P·OABDECQ垂徑定理·OABCDE

垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分這條弦所對的兩條弧.∵CD是

⊙O

的直徑，CD⊥AB，推導(dǎo)格式：溫馨提示：垂徑定理是圓中一個重要的定理，三種語言要會相互轉(zhuǎn)化，形成整體，才能運用自如.歸納總結(jié)∴AE=BE，

，想一想：下列圖形是否具備垂徑定理的條件？如果不是，請說明為什么.是不是，因為沒有垂直是不是，因為

AB，CD都不是直徑OABCABOEABDCOEABOCDE垂徑定理的幾種基本圖形：ABOCDEABOEDABODCABOC歸納總結(jié)

如果直徑平分弦（不是直徑），那么該直徑垂直于這條弦，且平分這條弦所對的兩條弧嗎？思考：如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑

CD，使

AE=BE.(1)CD⊥AB嗎？為什么？(2)

與

相等嗎？

與

相等嗎？為什么？·OABCDE解：(1)CD⊥AB，理由如下：連接

AO，BO，如圖，則

AO=BO.又∵AE=BE，OE=OE，∴△AOE≌△BOE（SSS）.∴∠AEO=∠BEO=90°，即

CD⊥AB.(2)由垂徑定理可得

=

，

=.思考：“不是直徑”這個說明能去掉嗎？如果不能，請舉出反例.

平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.垂徑定理的推論·OABCD特別說明：圓的兩條直徑是互相平分的.歸納總結(jié)例

1

如圖，⊙O的半徑為

5cm，弦

AB為6cm，求圓心到弦

AB的距離.·OABE解：連接

OA，過

O作OE⊥AB于

E，則又∵OA

=

5

cm，∴在

Rt△OEA

中，垂徑定理及其推論的計算典例精析答：圓心到弦

AB的距離是4cm.圓心到弦的距離叫做弦心距【變式題】如圖，OE⊥AB于

E，若⊙O的半徑為10cm，OE=6cm，則

AB=

cm.·OABE解析：連接

OA，如圖.∵OE⊥AB，∴AB=2AE=2×8=16（cm）.16∴例2

如圖，⊙O的弦

AB=8cm，直徑

CE⊥AB于

D，DC=2cm，求半徑

OC的長.·OABECD解：連接

OA．∵

CE⊥AB于

D，∴設(shè)OC=xcm，則

OD=(x－2)cm.根據(jù)勾股定理，得解得x=5.即半徑

OC的長為5cm.x2=42+(x－2)2，例3已知：⊙O中弦

AB∥CD，求證：=..MCDABON證明：作直徑MN⊥AB，如圖.∵

AB∥CD，∴

MN⊥CD.則=，=.（垂直平分弦的直徑平分弦所對的弧）∴－=－.∴=.

解決有關(guān)弦的問題，經(jīng)常過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，并構(gòu)造半徑等輔助線，為應(yīng)用垂徑定理創(chuàng)造條件.歸納總結(jié)例4趙州橋的主橋是圓弧形，它的跨度(弧所對的弦長)為37.4m，拱高(弧的中點到弦的距離)為7.2m，求趙州橋主橋拱的半徑.垂徑定理的實際應(yīng)用由垂徑定理，得

AD=AB=18.7m，設(shè)⊙O的半徑為

R.在Rt△AOD中，AO=R，OD=R-7.2，AD=18.7.由勾股定理，得ABOCD解得R≈27.9.即趙州橋主橋拱的半徑約為27.9m.∴R2=(R

-

7.2)2

+18.72，解：如圖，過橋拱所在圓的圓心

O作

AB的垂線，交

于點

C，交

AB于點

D，則

CD=7.2m.練一練：如圖

a、b，一弓形弦長為cm，弓形所在的圓的半徑為

7cm，則弓形的高為＿___＿＿____.C

DCBOADOAB圖a圖b2cm或

12cm

在圓中解決有關(guān)弦長

a，半徑

r，弦心距

d(圓心到弦的距離)，弓形高

h的計算問題時，常常通過連半徑或作弦的垂線段構(gòu)造直角三角形，利用垂徑定理和勾股定理求解.垂徑定理中常見輔助線的添法弦長

a，弦心距

d，弓形高

h，半徑

r之間的關(guān)系：弓形中的重要數(shù)量關(guān)系d+h=r

OABC·歸納總結(jié)ABCDOhrd1.已知⊙O中，弦

AB=8cm，圓心到

AB

的距離為

3cm，則此圓的半徑為

cm.52.已知⊙O的直徑

AB=20cm，∠BAC=30°，則弦AC=

cm.

3.（分類討論題）已知⊙O的半徑為

10cm，弦

MN∥EF，且

MN=12cm，EF=16cm，則弦

MN和

EF之間的距離為

cm.14或24.如圖，在⊙O中，AB、AC為互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB于

D，OE⊥AC于

E，求證：四邊形

ADOE是正方形．D·OABCE證明：∵∴四邊形

ADOE為矩形，又∵

AC=AB，∴AE=AD.∴四邊形

ADOE為正方形.∴

5.如圖，在以

O

為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦

AB

交小圓于

C，D

兩點.你認為

AC和

BD

相等嗎？為什么？解：AC=BD.理由如下：

過點

O作

OE⊥AB，垂足為

E.則

AE=BE，CE

=

DE.∴AE－CE=BE－DE，

即

AC=BD..ACDBOE方法總結(jié)：解決有關(guān)弦的問題，常過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑．解：連接

OC，如圖.

●

OCDEF┗根據(jù)勾股定理，得6.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中的

，點

O是

的圓心)，其中

CD=600m，E為

上的一點，且

OE⊥CD，垂足為

F，EF=90m.求這段彎路的半徑.設(shè)這段彎路的半徑為

Rm，則

OF=(R-90)m.∵OE⊥CD，∴CF=CD=300(m).

●

OCDEF┗解得

R=545.∴這段彎路的半徑約為

545m.∴6.如圖，一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中的

，點

O是

的圓心)，其中

CD=600m，E為

上的一點，且

OE⊥CD，垂足為

F，EF=90m.求這段彎路的半徑.拓展提升：7.如圖，⊙O的直徑為

10，弦

AB=8，P為

AB上的一個動點，那么

OP長的取值范圍是

.3≤OP≤5BAOP通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)活動，你有什么收獲？謝謝大家學(xué)生課堂行為規(guī)范的內(nèi)容是：按時上課，不得無故缺課、遲到、早退。遵守課堂禮儀，與老師問候。上課時衣著要整潔，不得穿無袖背心、吊帶上衣、超短裙、拖鞋等進入教室。尊敬老師，服從任課老師管理。不做與課堂教學(xué)無關(guān)的事，保持課堂良好紀律秩序。聽課時有問題，應(yīng)先舉手，經(jīng)教師同意后，起立提問。上課期間離開教室須經(jīng)老師允許后方可離開。上課必須按座位表就坐。要愛護公共財物，不得在課桌、門窗、墻壁上涂寫、刻劃。要注意保持教室環(huán)境衛(wèi)生。離開教室要整理好桌椅，并協(xié)助老師關(guān)好門窗、關(guān)閉電源。第3課時圓心角、弧、弦、弦心距間關(guān)系24.2

圓的基本性質(zhì)第24章圓情境引入

飛鏢靶、鬧鐘以及被均分的蛋糕等圓形中，都存在著角，那么這些角有什么共同的特征呢？圓的對稱性觀察與思考把圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個角度，仍與原來的圓重合嗎？α圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，具有旋轉(zhuǎn)不變性，旋轉(zhuǎn)中心為圓心.·O圓心角概念學(xué)習(xí)OABM1.圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角，如∠AOB.3.圓心角∠AOB所對的弦為

AB.2.圓心角∠AOB

所對的弧為

.判斷下列各圖中的角是不是圓心角，并說明理由.不是不是不是是練一練圓心角、弧、弦、弦心距間關(guān)系·OABCD由圓的旋轉(zhuǎn)對稱性，我們發(fā)現(xiàn)：在☉O中，如果∠AOB=∠COD，那么，AB=CD，OE=OF.（證明過程見課本）EF觀察與思考

在☉O中，如果∠AOB=∠COD，那么

與

，弦

AB與弦

CD，垂線段

OE與

OF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對弦的弦心距相等．①∠AOB

=∠COD③

AB

=

CDABODC要點歸納弧、弦與圓心角的關(guān)系定理EF④

OE

=

OF②想一想：定理“在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等”中，可否把條件“在同圓或等圓中”去掉？為什么？不可以，如圖.ABODC·OABCDEF

在☉O中，如果

=

，那么圓心角∠AOB與

∠COD，AB與

CD，OE與

OF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

在☉O中，如果

AB=CD，那么圓心角∠AOB與∠COD，

與

，OE

與

OF有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

在☉O中，如果

OE=OF，那么圓心角∠AOB與∠COD，AB與

CD，

與

有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

在同圓或等圓中，如果兩個圓心角以及這兩個角所對的弧、所對的弦、所對弦的弦心距中，有一組量相等，那么其余各組量都分別相等．弧、弦與圓心角關(guān)系定理的推論要點歸納圓心角相等弦相等弦心距相等(3)圓心角相等，所對的弦相等.（

）(2)等弧所對的弦相等.（）(1)等弦所對的弧相等.（）××√練一練判斷正誤：典例精析例1

如圖，等邊三角形ABC的三個頂點都在☉O上.求證：∠AOB=∠BOC=∠COA=120°.ABCO證明：連接

OA，OB，OC，如圖.∵AB=BC=CA，∴∠AOB=∠BOC=∠COA弧、弦與圓心角關(guān)系定理及推論的運用∴AB=AC，△ABC是等腰三角形.又∵∠ACB=60°，∴△ABC是等邊三角形，AB=BC=CA.∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.ABCO方法總結(jié)：弧、圓心角、弦之間等量關(guān)系的靈活轉(zhuǎn)化是解決圓相關(guān)問題的重要法寶.【變式題】如圖，在☉O中，

=

，∠ACB=60°，求證：∠AOB=∠BOC=∠AOC.證明：∵

=

，

如圖，AB

是☉O的直徑，

∠COD

=35°，求∠AOE的度數(shù)．解：∵練一練·AOBCDE∴∴例2已知：如圖，點

O是∠FAD平分線上的一點，☉O分別交∠FAD的兩邊于點

C，D和點

E，F(xiàn).

求證：CD=EF.OADEFC證明：過點

O作

OK⊥CD，OH⊥EF，垂足分別為

K，H，如圖.H

K

∵點O

在∠FAD

的平分線上，∴CD=EF.∴OK=OH（角平分線的性質(zhì)）.例3

如圖，AB，CD是☉O的兩條直徑，CE為☉O的弦，且

CE∥AB，弧

CE為40°，求∠BOD的度數(shù).

OCEABD解：連接

OE，如圖.∵

弧

CE為40°，∴∠COE=40°.∵

CE∥AB，∴∠BOD=∠C=70°.1.