概率論與數(shù)理統(tǒng)計C的習(xí)題集-計算題

.13/13一、概率公式的題目1、已知求解：2、已知求解：。3、已知隨機變量,即有概率分布律,并記事件。求：〔1；〔2；〔3。解：〔1；〔2〔35、為了防止意外,在礦內(nèi)同時設(shè)兩種報警系統(tǒng),每種系統(tǒng)單獨使用時,其有效的概率系統(tǒng)為0.92,系統(tǒng)為0.93,在失靈的條件下,有效的概率為0.85,求：〔1發(fā)生意外時,這兩個報警系統(tǒng)至少有一個有效的概率；〔2失靈的條件下,有效的概率。解：設(shè)"系統(tǒng)有效","系統(tǒng)有效",,6、由長期統(tǒng)計資料得知,某一地區(qū)在4月份下雨〔記作事件的概率為,刮風(fēng)〔記作事件的概率為,既刮風(fēng)又下雨的概率為,求。解：；。7.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,現(xiàn)隨機地挑選一人,此人恰為色盲,問此人是男人的概率〔假設(shè)男人和女人各占人數(shù)的一半.[解]設(shè)A={此人是男人},B={此人是色盲},則由貝葉斯公式8.將兩信息分別編碼為A和B傳遞出來,接收站收到時,A被誤收作B的概率為0.02,而B被誤收作A的概率為0.01.信息A與B傳遞的頻繁程度為2∶1.若接收站收到的信息是A,試問原發(fā)信息是A的概率是多少？[解]設(shè)A={原發(fā)信息是A},則={原發(fā)信息是B}C={收到信息是A},則={收到信息是B}由貝葉斯公式,得9.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中96%是合格品,檢查產(chǎn)品時,一個合格品被誤認為是次品的概率為0.02,一個次品被誤認為是合格品的概率為0.05,求在被檢查后認為是合格品產(chǎn)品確是合格品的概率.[解]設(shè)A={產(chǎn)品確為合格品},B={產(chǎn)品被認為是合格品}由貝葉斯公式得10.甲、乙、丙三人獨立地向同一飛機射擊,設(shè)擊中的概率分別是0.4,0.5,0.7,若只有一人擊中,則飛機被擊落的概率為0.2；若有兩人擊中,則飛機被擊落的概率為0.6；若三人都擊中,則飛機一定被擊落,求：飛機被擊落的概率.[解]設(shè)A={飛機被擊落},Bi={恰有i人擊中飛機},i=0,1,2,3由全概率公式,得=<0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7>0.2+<0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7>0.6+0.4×0.5×0.7二、已知密度〔函數(shù)求概率的題目1、某批晶體管的使用壽命X<小時>的密度函數(shù),任取其中3只,求使用最初150小時內(nèi),無一晶體管損壞的概率。解：任一晶體管使用壽命超過150小時的概率為設(shè)Y為任取的5只晶體管中使用壽命超過150小時的晶體管數(shù),則.故有2、某城市每天耗電量不超過一百萬千瓦小時,該城市每天耗電率〔即每天耗電量/百萬瓦小時是一個隨機變量X,它的分布密度為,若每天供電量為80萬千瓦小時,求任一天供電量不夠需要的概率？解：每天供電量80萬千瓦小時,所以供給耗電率為：80萬千瓦小時/百分千瓦小時=0.8,供電量不夠需要即實際耗電率大于供給耗電率。所以。令Y表示"任取5只此種電子管中壽命大于1500小時的個數(shù)"。則,三、分布函數(shù)、密度函數(shù)的題目1、設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為,<1>求系數(shù)A,B；<2>求；<3>求X的分布密度。解：〔1由F<x>在處的右連續(xù)性知解之得〔2〔3因為,則2設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為,求：常數(shù)；；的密度函數(shù)。解：〔1由分布函數(shù)的右連續(xù)性知：,所以；〔2；〔3。3設(shè)連續(xù)性隨機變量的分布函數(shù)為,求：<1>常數(shù)A,B；<2>；<3>的密度函數(shù)。解：〔1由分布函數(shù)的右連續(xù)性及性質(zhì)知：,所以；〔2；〔3。5隨機變量的概率密度為；求的概率密度．、解：分別記X,Y的分布函數(shù)為FX<x>,FY<y>由于y=x2≥0,故當y≤0時,FY<y>=0當y=x2>0時,有FY<y>=P<Y≤y>=P<X2≤y>=P<-≤X≤>=將FY<y>關(guān)于y求導(dǎo)數(shù),即得y的概率密度為7〔12分設(shè)A、B為隨機事件,且；令求1、二維隨機變量〔X,Y的聯(lián)合概率分布；2、判定X與Y是否相互獨立解：XYXY0101因為,則X與Y不相互獨立………12分8維隨機變量〔X,Y的聯(lián)合分布律為XXY2580.40.80.150.300.350.050.120.03〔1求關(guān)于X和關(guān)于Y的邊緣分布；〔2X與Y是否相互獨立？[解]〔1X和Y的邊緣分布如下表XXY258P{Y=yi}0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38<2>因故X與Y不獨立.9設(shè)隨機變量和的聯(lián)合分布律為XY121b2a3⑴求應(yīng)滿足的條件；⑵若X與Y相互獨立,求a,b的值.[思路]先利用聯(lián)合分布律的性質(zhì)確定a,b應(yīng)滿足的條件,再利用獨立性的定義來求出a與b.[解]⑴因為,所以因此⑵由于X與Y相互獨立,即對所有有于是解得或同理解得或再由知[解畢][技巧]由于X與Y的獨立性,故對所有的應(yīng)有因此,我們可在聯(lián)合分布律表中找到幾個比較容易計算的值來分別確定分布律中的參數(shù),例如而可求得又而求得這種參數(shù)的確定方式,需要讀者熟練掌握.10、變量X與Y相互獨立,下表列出了二維隨機變量的聯(lián)合分布律及關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布律中的部分數(shù)值,試將其余數(shù)值填入表中的空間處：XY1[思路]利用邊緣分布律的求法及獨立性來進行,例如,從求得再利用獨立性知從而知等等.[解]利用以及與獨立性.求解空格內(nèi)的數(shù)值,故即又由可得反復(fù)運用上列公式,可求得將算得的數(shù)值填入表中的空格內(nèi),即得XY112、隨機變量〔X,Y的概率密度為f〔x,y=求邊緣概率密度.[解]13維隨機變量〔X,Y的概率密度為f〔x,y=求邊緣概率密度.[解]16知隨機變量和聯(lián)合概率密度為求⑴條件密度及[解]⑴由于X的邊緣密度為同理,有故當時,>0,且從而,在條件下,X的條件密度為同樣可得,在條件下,Y的條件密度為17、〔12分隨機變量和均服從區(qū)間[0,2]上的均勻分布且相互獨立．1．寫出二維隨機變量〔的邊緣概率密度和聯(lián)合概率密度．2．求．解：<1>由題意得：又∵X,Y相互獨立∴f<x,y>=fX<x>fY<y>=<2>==四、正態(tài)分布、中心極限定理、1、調(diào)查某地方考生的外語成績X近似服從正態(tài)分布,平均成績?yōu)?2分,96分以上的占考生總數(shù)的2.3%。試求：〔1考生的外語成績在60分至84分之間的概率；〔2該地外語考試的及格率；〔3若已知第三名的成績是96分,求不及格的人數(shù)。〔,解：依題意,<1><2><3>設(shè)全班人數(shù)為n,由<2>知不及格率為0.1587,則,則不及格人數(shù)為2、某高校入學(xué)考試的數(shù)學(xué)成績近似服從正態(tài)分布,如果85分以上為"優(yōu)秀",問數(shù)學(xué)成績?yōu)?優(yōu)秀"的考生大致占總?cè)藬?shù)的百分之幾。解：依題意,,85分以上學(xué)生為優(yōu)秀,則所以優(yōu)秀學(xué)生為2.28%。4、公共汽車門的高度是按男子與車門碰頭的機會在0.01以下來設(shè)計的,設(shè)男子的身高,問車門的高度應(yīng)如何確定？〔解：設(shè)車門的高度為厘米,則,所以。即車門的高度至少要厘米。5、公共汽車門的高度是按男子與車門碰頭的機會在0.01以下來設(shè)計的,設(shè)男子的身高,問車門的高度應(yīng)如何確定？<>解：設(shè)車門的高度為厘米,則,所以。即車門的高度至少要厘米。7.假設(shè)一條生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品合格率是0.8.要使一批產(chǎn)品的合格率達到在76%與84%之間的概率不小于90%,問這批產(chǎn)品至少要生產(chǎn)多少件？[解]令而至少要生產(chǎn)n件,則i=1,2,…,n,且X1,X2,…,Xn獨立同分布,p=P{Xi=1}=0.8.,由中心極限定理,則n較大時,二項分布可近似的看成正態(tài)分布,即,或,而n件產(chǎn)品的合格品率=現(xiàn)要求n,使得即由中心極限定理得整理得查表n≥268.96,故取n=269.10某保險公司經(jīng)多年的資料統(tǒng)計表明,在索賠戶中被盜戶占20％,在隨意抽查的100家索賠戶中被盜的索賠數(shù)為隨機變量寫出的概率分布；利用中心極限定理,求被盜德索賠戶數(shù)不少于14戶且不多于30戶的概率近似值.[解]〔1據(jù)題意可知,100家索賠戶中被盜的索賠戶數(shù),即的分布律為N較大時,二項分布可近似的看成服從正態(tài)分布〔2由利用德莫佛－拉普拉斯定理知[解畢][技巧]德莫佛－拉普拉斯定理在實際中由廣泛的應(yīng)用,運用此定理計算概率近似值時,其關(guān)鍵是："標準化"和"正態(tài)近似",當越大時,所得得近似值越精確.11、一大批種子,其中良種占1/6,現(xiàn)從中任取6000粒種子,試分別用切比雪夫不等式和用中心極限定理計算這6000粒種子中良種所占的比例與1/6之差的絕對值不超過0.01的概率.[解]設(shè)隨機變量表示所取6000粒種子中良種的粒數(shù),由題意可知,,于是要估計的概率為相當于在切比雪夫不等式中取于是由切比雪夫不等式可得由德莫佛－拉普拉斯中心極限定理,二項分布可用正態(tài)分布近似。于是所求概率為[解畢][寓意]從本例看出：由切比雪夫不等式只能得出要求的概率不小于0.7685,而由中心極限定理可得到要求的概率近似等于0.9625.從而可知,由切比雪夫不等式得到的下界是十分粗糙的,但由于它的要求較低,只需知道的期望與方差,因而在理論上由許多應(yīng)用.五、數(shù)學(xué)期望、方差的題目設(shè)隨機變量的概率密度為：,求：解：所以5、已知隨機變量的密度函數(shù)為,對獨立觀察3次,用表示觀察值大于的次數(shù)。求：〔1的分布律；〔2的分布函數(shù)；〔3解：令〔1的分布律為：〔2；〔31.設(shè)隨機變量X的分布律為X1012P1/81/21/81/4求E〔X,E〔X2,E〔2X+3.[解]<1><2><3>8設(shè)隨機變量X的概率密度為f〔x=求E〔X,D〔X.[解]故9表示10次獨立重復(fù)射擊中命中目標的次數(shù),每次射中目標的概率為0.4,求.[解]由題意知于是由可推知10、服從參數(shù)的指數(shù)分布,求.[解]由題設(shè)知,的密度函數(shù)為且,又因為從而[解畢][寓意]本題的目的是考查常見分布的分布密度〔或分布律以及它們的數(shù)字特征,同時也考查了隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的求法.11、設(shè)隨機變量和獨立,且服從均值為1,標準差為的正態(tài)分布,而服從標準正態(tài)分布,試求隨機變量的概率密度函數(shù).[思路]此題看上去好像與數(shù)字特征無多大聯(lián)系,但由于和相互獨立且都服從正態(tài)分布,所以作為的線性組合也服從正態(tài)分布.故只需求和,則的概率密度函數(shù)就唯一確定了.[解]由題設(shè)知,.從而由期望和方差的性質(zhì)得又因是的線性函數(shù),且是相互獨立的正態(tài)隨機變量,故也為正態(tài)隨機變量,又因正態(tài)分布完全由其期望和方差確定,故知,于是,的概率密度為[解畢][寓意]本題主要考查二點內(nèi)容,一是獨立正態(tài)分布的線性組合仍為正態(tài)分布；其二是正態(tài)分布完全由其期望和方差決定.13二維離散隨機變量的分布列為XY-101-100求：,并問與是否獨立,為什么？[解]與的邊緣分布列分別為X-