自動控制理論-05控制系統(tǒng)微分方程的建立

第二章自動控制系統(tǒng)的數(shù)學模型2-1控制系統(tǒng)微分方程的建立2-2非線性微分方程的線性化2-3傳遞函數(shù)2-4動態(tài)結構圖2-5系統(tǒng)的脈沖響應函數(shù)2-6典型反饋系統(tǒng)的幾種傳遞函數(shù)例下圖為一鐵芯線圈，輸入為ui(t)，輸出為i(t)，線路電阻為R。

若電壓和電流只在平衡點（u0,i0）附近變化，有

線圈中的磁通

對

也有增量變化，假如在i0附近連續(xù)可微，將其在i0附近展開成泰勒級數(shù)，即

因是微小增量，將高階無窮小量略去，得近似式

f(t)F(s)f(t)F(s)

δ(t)1sinωt1(t)1/scosωt

t1/(s+a)2-3傳遞函數(shù)常見函數(shù)的拉氏變換

（1）定義：零初始條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量拉氏變換的比值叫該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，用G(s)表示。一.傳遞函數(shù)的概念1)傳遞函數(shù)是復變量s的有理真分式函數(shù)，具有復變函數(shù)的所有性質；m≤n且所有系數(shù)均為實數(shù)。2)傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)本身的結構參數(shù)，而與輸入和初始條件等外部因素無關，也不反映系統(tǒng)內(nèi)部任何信息。3)傳遞函數(shù)和微分方程具有相通性。4)傳遞函數(shù)的拉氏反變換是脈沖響應。(2)性質5）一定的傳遞函數(shù)具有一定的零極點。6）具有局限性。例1.求二級濾波網(wǎng)絡的傳遞函數(shù)方法二：用復阻抗比例2：求下圖所示運算放大器的傳遞函數(shù)。圖中Rf是反饋電阻，if是反饋電流，Ri是輸入電阻，ur和ir是輸入電壓和電流，uc是輸出電壓,i0是進入放大器的電流。urucRfRiRuεi0irif-+二.傳遞函數(shù)的零點和極點(1)傳遞函數(shù)的標準形式1)首1標準型：2)尾1標準型：

例3已知將其化為首1、尾1標準型，并確定其增益。因為組成系統(tǒng)的元部件或多或少存在慣性，所以G(s)的分母次數(shù)應大于等于分子次數(shù)，即。(2)零點和極點0

jS平面例4已知某系統(tǒng)在零初始條件下的階躍響應為：試求：（1）系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；（2）系統(tǒng)的增益；（3）系統(tǒng)的特征根及相應的模態(tài)；（4）畫出對應的零極點圖；（5）求系統(tǒng)的單位脈沖響應；（6）求系統(tǒng)微分方程；（7）當時，求系統(tǒng)的響應。(1)

(4)如圖所示(3)

(2)

(5)(6)

（7）其中非零初始條件引起的響應為(1)極點受輸入函數(shù)的激發(fā)，在輸出響應中形成運動的模態(tài)。（3）零點和極點對輸出的影響(2)零點不形成運動模態(tài)，但是影響各模態(tài)響應中所占的比重和響應曲線的形狀。具體來說，取決于極點之間的距離和極點與零點間的距離以及零點與原點之間的距離。常用控制元件的傳遞函數(shù)（1）電位器（2）電位器電橋（3）無源網(wǎng)絡（4）測速發(fā)電機（5）直流電機（6）齒輪系

三、典型元部件的傳遞函數(shù)圖1圖2電位器返回測速發(fā)電機環(huán)節(jié)：具有相同形式傳遞函數(shù)的元部件的分類。不同的元部件可以有相同的傳遞函數(shù)；若輸入輸出變量選擇不同，同一部件可以有不同的傳遞函數(shù)；任一傳遞函數(shù)都可看作典型環(huán)節(jié)的組合。四、典型環(huán)節(jié)(1).比例環(huán)節(jié)

環(huán)節(jié)輸出量與輸入量成正比，不失真也無時間滯后的環(huán)節(jié)稱為比例環(huán)節(jié)，也稱無慣性環(huán)節(jié)。輸入量與輸出量之間的表達式為c(t)=Kr(t)

比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為

式中K為常數(shù)，稱為比例環(huán)節(jié)的放大系數(shù)或增益。

(2).慣性環(huán)節(jié)(非周期環(huán)節(jié))

慣性環(huán)節(jié)的動態(tài)方程是一個一階微分方程

其傳遞函數(shù)為

式中T——慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)(3).積分環(huán)節(jié)

輸出量正比于輸入量的積分，這樣的環(huán)節(jié)稱為積分環(huán)節(jié)，其動態(tài)特性方程

其傳遞函數(shù)

式中Ti為積分時間常數(shù)在階躍輸入的作用下,積分環(huán)節(jié)的響應為

它隨時間直線增長，當輸入突然消失，積分停止，輸出維持不變，故積分環(huán)節(jié)具有記憶功能，如圖所示。

(4).微分環(huán)節(jié)

理想微分環(huán)節(jié)的特征輸出量正比于輸入量的微分，其動態(tài)方程

其傳遞函數(shù)

式中Td稱微分時間常數(shù)

(5).二階振蕩環(huán)節(jié)(二階慣性環(huán)節(jié))

二階振蕩環(huán)節(jié)的動態(tài)方程為

其傳遞函數(shù)

式中為無阻尼自然振蕩角頻率，ζ為阻尼比，在后面時域分析中將詳細討論。

(6).延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)是輸入信號加入后，輸出信號要延遲一段時間τ后才重現(xiàn)輸入信號，其動態(tài)方程為

其傳遞函數(shù)是一個超越函數(shù)

式中τ稱延遲時間

控制系統(tǒng)的數(shù)學模型一、動態(tài)結構圖的組成1.概念

將方框圖中各時間域中的變量用其拉氏變換代替，各方框中元件的名稱換成各元件的傳遞函數(shù)，這時方框圖就變成了結構圖。2.組成

信號線、方框、引出點、綜合點(比較點)2-4動態(tài)結構圖反饋端：例1.函數(shù)記錄儀的動態(tài)結構圖放大器：電動機：減速器：繩輪：電橋：測速機：二、系統(tǒng)動態(tài)結構圖的建立例2.二級無源網(wǎng)絡例3電樞控制式直流電機特點：①結構圖是從傳遞函數(shù)的基礎上得出來的，所以仍是數(shù)學模型，不代表物理結構。②能更直觀更形象地表示系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的功能和相互關系，以及信號的流向和每個環(huán)節(jié)對系統(tǒng)性能的影響。③結構圖的流向是單向不可逆的。④結構圖不唯一。由于研究角度不一樣，傳遞函數(shù)列寫出來就不一樣，結構圖也就不一樣。三、動態(tài)結構圖的等效變換1.串聯(lián):在單向的信號傳遞中，若前一個方框的輸出就是后一個方框的輸入，并依次串接，這種聯(lián)接方式稱為串聯(lián)。

n個方框串聯(lián)后總的傳遞函數(shù):2.并聯(lián):若各個環(huán)節(jié)接受同一輸入信號而輸出信號又匯合在一點時，稱為并聯(lián)。如圖右所示。由圖可知

總的傳遞函數(shù)為

方框的并聯(lián)方框的并聯(lián)3.反饋：若將系統(tǒng)或方框的輸出信號引回到輸入端，與輸入信號相比較，就構成了反饋連接，如圖所示。如果反饋信號與給定信號極性相反，則稱負反饋連接。反之，則為正反饋連接。若反饋環(huán)節(jié)H(s)=1稱為單位反饋。

對于負反饋連接，給定信號r(t)和反饋信號b(t)之差，稱為偏差信號e(t)即

通常將反饋信號B(s)與偏差信號E(s)之比，定義為開環(huán)傳遞函數(shù)，即

開環(huán)傳遞函數(shù)=輸出信號C(s)與偏差信號E(s)之比，稱為前向通道傳遞函數(shù)，即

前向通道傳遞函數(shù)=

系統(tǒng)輸出信號C(s)與輸入信號R(s)之比稱為閉環(huán)傳遞函數(shù)，記為Φ(s)。

例4a.綜合點前后移動G(s)R(s)+Q(s)C±（a）R(s)±+CQ(s)1/G(s)G(s)（b）C=RG±Q

綜合點移動前后，分出支路信號保持不變。結論：綜合點前移時，必須在移動的支路中，串入具有相同傳遞函數(shù)倒數(shù)的函數(shù)框；綜合點后移時，必須在移動的支路中，串入具有相同傳遞函數(shù)的函數(shù)方框。4.其它變換規(guī)則=G(R±Q/G)

b.相鄰綜合點之間的移動

╳╳±±U2(S)U1(S)C(S)R(S)（a）╳╳±U2(S)±U1(S)C(S)R(S)（b）由加法交換律可得：C=R±U1±U2=R±U2±U1

c.引出點前后移動G(s)C(s)R(S)R(S)（a）G(s)C(s)R(S)R(S)1/G(s)（b）引出點移動前后，引出支路信號保持不變結論：引出點前移時，必須在引出支路串入具有相同傳遞函數(shù)的函數(shù)方框；引出點后移時，必須在引出支路串入具有相同傳遞函數(shù)倒數(shù)的函數(shù)方框。AAAAAAAAAA（a）（b）d.相鄰引出點之間的移動

e.等效為單位反饋系統(tǒng)R(s)(-)C(s)G(s)H(s)R(s)G(s)H(s)(-)C(s)G(s)H(s)R(s)C(s)-1E(