《拋物線》同步練習(xí)（） 精品獲獎

《拋物線》同步練習(xí)【A級】基礎(chǔ)訓(xùn)練1．(2022·高考陜西卷)設(shè)拋物線的頂點在原點，準(zhǔn)線方程為x＝－2，則拋物線的方程是()A．y2＝－8x B．y2＝8xC．y2＝－4x D．y2＝4x解析：設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，由題意得eq\f(p,2)＝2，即p＝4，所以拋物線方程為y2＝8x，故選B.答案：B2．(2022·東北三校模擬)若拋物線y2＝2px(p＞0)上一點到焦點和拋物線的對稱軸的距離分別是10和6，則p的值為()A．2 B．18C．2或18 D．4或16解析：設(shè)拋物線上一點(x，y)，由題意知y＝6，x＋eq\f(p,2)＝10，∴62＝2p(10－eq\f(p,2))．解得p＝2或18.答案：C3．(2022·高考課標(biāo)全國卷)已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，直線y＝2x－4與C交于A，B兩點，則cos∠AFB＝()\f(4,5) \f(3,5)C．－eq\f(3,5) D．－eq\f(4,5)解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝2x－4))得x2－5x＋4＝0∴x＝1或x＝4.不妨設(shè)A(4,4)，B(1，－2)，則|eq\o(FA,\s\up6(→))|＝5，|eq\o(FB,\s\up6(→))|＝2，eq\o(FA,\s\up6(→))·eq\o(FB,\s\up6(→))＝(3,4)·(0，－2)＝－8，∴cos∠AFB＝eq\f(\o(FA,\s\up6(→))·\o(FB,\s\up6(→)),|\o(FA,\s\up6(→))|·|\o(FB,\s\up6(→))|)＝eq\f(－8,5×2)＝－eq\f(4,5).答案：D4．(2022·廣東汕頭模擬)已知圓C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線為l，設(shè)拋物線上任意一點P到直線l的距離為m，則m＋|PC|的最小值為________．解析：由題意得圓的方程為(x＋3)2＋(y＋4)2＝4，圓心C的坐標(biāo)為(－3，－4)．由拋物線定義知，當(dāng)m＋|PC|最小時為圓心與拋物線焦點間的距離，即m＋|PC|＝eq\r(－3－22＋－42)＝eq\r(41).答案：eq\r(41)5．(2022·山西省忻州市高三聯(lián)考)點M(5,3)到拋物線x2＝ay(a＞0)的準(zhǔn)線的距離為6，則拋物線的方程是________．解析：拋物線x2＝ay的準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(a,4)，由題意得3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,4)))＝6，a＝12，∴x2＝12y.答案：x2＝12y6．(2022·南京市高三模擬)若拋物線y2＝2x上的一點M到坐標(biāo)原點O的距離為eq\r(3)，則M到該拋物線焦點的距離為________．解析：設(shè)M(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝3，,y2＝2x，))解得x＝1，或x＝－3(舍去)，根據(jù)拋物線的定義，M到拋物線焦點的距離為d＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)7．拋物線頂點在原點，它的準(zhǔn)線過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一個焦點，并與雙曲線實軸垂直，已知拋物線與雙曲線的一個交點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(6)))，求拋物線與雙曲線的方程．解：由題設(shè)知，拋物線以雙曲線的右焦點為焦點，準(zhǔn)線過雙曲線的左焦點，∴p＝2c設(shè)拋物線方程為y2＝4c·x∵拋物線過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(6))).∴6＝4c·eq\f(3,2)，∴c＝1.故拋物線方程為y2＝4x.又雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\r(6)))，∴eq\f(9,4a2)－eq\f(6,b2)＝1.又a2＋b2＝c2＝1，∴eq\f(9,4a2)－eq\f(6,1－a2)＝1.∴a2＝eq\f(1,4)或a2＝9(舍)．∴b2＝eq\f(3,4)，故雙曲線方程為：4x2－eq\f(4y2,3)＝1.8．(2022·山東煙臺二模)已知以向量v＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))為方向向量的直線l過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4)))，拋物線C：y2＝2px(p＞0)的頂點關(guān)于直線l的對稱點在該拋物線的準(zhǔn)線上．(1)求拋物線C的方程；(2)設(shè)A、B是拋物線C上兩個動點，過A作平行于x軸的直線m，直線OB與直線m交于點N，若eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＋p2＝0(O為原點，A、B異于兩點)，試求點N的軌跡方程．解：(1)由題意可得直線l的方程為y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(5,4)，①過原點垂直于l的直線方程為y＝－2x.②解①②得x＝－eq\f(1,2).∵拋物線的頂點關(guān)于直線l的對稱點在該拋物線的準(zhǔn)線上，∴－eq\f(p,2)＝－eq\f(1,2)×2，p＝2.∴拋物線C的方程為y2＝4x.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x，y)，由題意知y＝y(tǒng)1.由eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＋p2＝0得x1x2＋y1y2＋4＝0，又yeq\o\al(2,1)＝4x1，yeq\o\al(2,2)＝4x2，解得y1y2＝－8，③直線ON：y＝eq\f(y2,x2)x，即y＝eq\f(4,y2)x.④由③④及y＝y(tǒng)1得點N的軌跡方程為x＝－2(y≠0)．【B級】能力提升1．(2022·高考安徽卷)過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點．若|AF|＝3，則△AOB的面積為()\f(\r(2),2) \r(2)\f(3\r(2),2) D．2eq\r(2)解析：由題意設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1＞0，y2＜0)，如圖所示，|AF|＝x1＋1＝3，∴x1＝2，y1＝2eq\r(2).設(shè)AB的方程為x－1＝ty，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x－1＝ty))消去x得y2－4ty－4＝0.∴y1y2＝－4.∴y2＝－eq\r(2)，x2＝eq\f(1,2)，∴S△AOB＝eq\f(1,2)×1×|y1－y2|＝eq\f(3\r(2),2)，故選 C.答案：C2．(2022·高考遼寧卷)已知F是拋物線y2＝x的焦點，A，B是該拋物線上的兩點，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點到y(tǒng)軸的距離為()\f(3,4) B．1\f(5,4) \f(7,4)解析：(如圖)過A、B及線段AB中點C向拋物線的準(zhǔn)線l作垂線，垂足分別為A1、B1、C1，CC1交y軸于C0.由拋物線定義可知|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|，∴|CC0|＝|CC1|－|C1C0|＝eq\f(1,2)(|AA1|＋|BB1|)－|C1C0|＝eq\f(3,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(5,4)，故選C.答案：C3．(2022·高考湖北卷)將兩個頂點在拋物線y2＝2px(p＞0)上，另一個頂點是此拋物線焦點的正三角形個數(shù)記為n，則()A．n＝0 B．n＝1C．n＝2 D．n≥3解析：拋物線與等邊三角形都是軸對稱圖形，由題意知，x軸為它們的一條公共對稱軸，所以過焦點F且傾斜角分別為30°、150°的兩條直線與拋物線的交點分別為正三角形的另兩個頂點．如圖，故在焦點兩側(cè)能形成兩個正三角形．故選C.答案：C4．(2022·開封質(zhì)檢)已知拋物線y＝ax2(a≠0)的焦點為F，準(zhǔn)線l與對稱軸交于R點，過已知拋物線上一點P(1,2)作PQ⊥l于Q，則拋物線的焦點坐標(biāo)是____________；梯形PQRF的面積是________．解析：代入(1,2)得a＝2，所以拋物線方程為x2＝eq\f(1,2)y，故焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8))).又Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,8)))，|FR|＝eq\f(1,4)，|PQ|＝2＋eq\f(1,8)＝eq\f(17,8)，所以梯形的面積為eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋\f(17,8)))×1＝eq\f(19,16).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,8)))eq\f(19,16)5．已知拋物線型拱橋的頂點距離水面2米時，測量水面的寬度為8米，當(dāng)水面上升eq\f(1,2)米后，水面的寬度是________米．解析：設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p＞0)，將(4，－2)代入方程得16＝－2p·(－2)，解得2p＝8，故方程為x2＝－8y，水面上升eq\f(1,2)米，則y＝－eq\f(3,2)，代入方程，得x2＝－8·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝12，x＝±2eq\r(3).故水面寬4eq\答案：4eq\r(3)6．(2022·濟(jì)南模擬)拋物線y＝－x2上的點到直線4x＋3y－8＝0距離的最小值是________．解析：如圖，設(shè)與直線4x＋3y－8＝0平行且與拋物線y＝－x2相切的直線為4x＋3y＋b＝0，聯(lián)立方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x2，,4x＋3y＋b＝0，))即3x2－4x－b＝0，則Δ＝16＋12b＝0，求得b＝－eq\f(4,3)，所以切線方程為4x＋3y－eq\f(4,3)＝0，則切點到直線4x＋3y－8＝0的距離也就是所求 的最小值，此最小 值也即為兩直線間的距離，為eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－8＋\f(4,3))),5)＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)7．(2022·河南洛陽期中考試)已知拋物線C：x2＝2py(p＞0)，O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線的焦點，直線y＝x與拋物線C相交于不同的兩點O、N，且|ON|＝4eq\r(2).(1)求拋物線C的方程；(2)若直線l過點F交拋物線于不同的兩點A，B，交x軸于點M，且eq\o(MA,\s\up6(→))＝aeq\o(AF,\s\up6(→))，eq\o(MB,\s\up6(→))＝beq\o(BF,\s\up6(→))，對任意的直線l，a＋b是否為定值？若是，求出a＋b的值；否則，說明理由．解：(1)聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x,x2＝2py))得x2－2px＝0，故O(0,0)，N(2p,2p)，∴|ON|＝eq\r(4p2＋4p2)＝2eq\r(2)p，由2eq\r(2)p＝4eq\r(2)得p＝2，∴拋物線C的方程為x2＝4y.(2)顯然直線l的斜率一定存在且不等于零，設(shè)其方程為y＝kx＋1，則直線l與x軸交點為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,k)，0))記點A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1,x2＝4y))得x2－4kx－4＝0，∴Δ＝(4k)2－(－16)＝16(k2＋1)＞0，∴x1＋x2＝4k，x1·x2＝－4.由eq\o(MA,\s\up6(→))＝aeq\o(AF,