第2章正投影法課件

第二章正投影法基本原理§2-1投影的基本知識(shí)§2-2點(diǎn)的投影§2-3直線的投影§2-4平面的投影§2-5直線與平面及兩平面的相對(duì)位置§2-6換面法第二章正投影法基本原理§2-1投影的形成及常用的投影方法投影三個(gè)要素:

投射線空間物體投影面中心投影法

投射中心、物體、投影面三者之間的相對(duì)距離對(duì)投影的大小有影響。度量性較差投影特性投射線投射中心物體投影面投影物體位置改變，投影大小也改變平行投影法斜角投影法投影特性投影大小與物體和投影面之間的距離無關(guān)。度量性較好工程圖樣多數(shù)采用正投影法繪制。且垂直于投影面投射線互相平行且傾斜于投影面投射線互相平行正（直角）投影法投影方法中心投影法平行投影法直角投影法（正投影法）斜角投影法畫透視圖畫斜軸測圖畫工程圖樣及正軸測圖平行投影的基本性質(zhì)類似性積聚性真實(shí)性從屬性平行性定比性第二章正投影法基本原理§2-1投影的基本知識(shí)§2-2點(diǎn)的投影§2-3直線的投影§2-4平面的投影§2-5直線與平面及兩平面的相對(duì)位置§2-6換面法Pb●●AP采用多面投影。

過空間點(diǎn)A的投射線與投影面P的交點(diǎn)即為點(diǎn)A在P面上的投影。B1●B2●B3●

點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影不能確定點(diǎn)的空間位置。一、點(diǎn)在一個(gè)投影面上的投影a●§2-2點(diǎn)的投影解決辦法？HWV二、點(diǎn)的三面投影投影面◆正立投影面（簡稱正面或V面）◆水平投影面（簡稱水平面或H面）◆側(cè)立投影面（簡稱側(cè)面或W面）投影軸oXZOX軸V面與H面的交線OZ軸V面與W面的交線OY軸H面與W面的交線Y三個(gè)投影面互相垂直WHVoX空間點(diǎn)A在三個(gè)投影面上的投影a點(diǎn)A的正面投影a點(diǎn)A的水平投影a點(diǎn)A的側(cè)面投影空間點(diǎn)用大寫字母表示，點(diǎn)的投影用小寫字母表示。a●a●a●A●ZYWVH●●●●XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向下翻不動(dòng)投影面展開aaZaayayaXYYO●●az●x●●●●XYZOVHWAaaa點(diǎn)的投影規(guī)律:①aa⊥OX軸③aax=aaz=y=A到V面的距離

aax=aay=z=A到H面的距離

aay=aaz=x=A到W面的距離xaazay●●YZazaXYayOaaxaya●

②aa⊥OZ軸●●aaax例：已知點(diǎn)的兩個(gè)投影，求第三投影?！馻●●aaaxazaz解法一:通過作45°線使aaz=aax解法二:用圓規(guī)直接量取aaz=aaxa●特殊位置點(diǎn)的投影特性B(b)b’b”C(c’)c投影面上點(diǎn)的投影特性aA(a’)a”aoHYxWZYcc’c”b’bb”a’aa”A在V面上B在H面上C在X軸上

點(diǎn)在投影面上,其一個(gè)投影與空間點(diǎn)重合,另兩個(gè)投影落在投影軸上；點(diǎn)在投影軸上,點(diǎn)的兩個(gè)投影與空間點(diǎn)重合，另一個(gè)投影落在坐標(biāo)原點(diǎn)。三、兩點(diǎn)的相對(duì)位置

兩點(diǎn)的相對(duì)位置指兩點(diǎn)在空間的左右、前后、上下位置關(guān)系。判斷方法：▲x坐標(biāo)大的在左

▲y坐標(biāo)大的在前▲

z坐標(biāo)大的在上baa

abb●●●●●●B點(diǎn)在A點(diǎn)之前、之右、之下。XYHYWZ重影點(diǎn)：

空間兩點(diǎn)在某一投影面上的投影重合為一點(diǎn)時(shí)，則稱此兩點(diǎn)為該投影面的重影點(diǎn)。A、C為H面的重影點(diǎn)●●●●●aacc被擋住的投影加()()A、C為哪個(gè)投影面的重影點(diǎn)呢？acAc’Ca(c)a’第二章正投影法基本原理§2-1投影的基本知識(shí)§2-2點(diǎn)的投影§2-3直線的投影§2-4平面的投影§2-5直線與平面及兩平面的相對(duì)位置§2-6換面法一、直線的投影特性⒈直線對(duì)一個(gè)投影面的投影特性⒉直線在三個(gè)投影面中的投影特性二、點(diǎn)與直線的相對(duì)位置三、直線與直線的相對(duì)位置⒈兩直線平行⒉兩直線相交⒊兩直線交叉⒋兩直線垂直相交（或垂直交叉）aaabbb●●●●●●§2-3直線的投影

兩點(diǎn)確定一條直線，將兩點(diǎn)的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。⒈直線對(duì)一個(gè)投影面的投影特性一、直線的投影特性AB●●●●ab直線垂直于投影面投影重合為一點(diǎn)積聚性直線平行于投影面投影反映線段實(shí)長

ab=AB直線傾斜于投影面投影比空間線段短

ab=ABcosα●●AB●●abαAMB●a≡b≡m●●●⒉直線在三個(gè)投影面中的投影特性投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側(cè)平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）一般位置直線與三個(gè)投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面baababbaabba⑴投影面平行線①在其平行的那個(gè)投影面上的投影反映實(shí)長，并反映直線與另兩投影面傾角的實(shí)大。②另兩個(gè)投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸。水平線側(cè)平線正平線γ投影特性：與H面的夾角為α，與V面的角為β，與W面的夾角為γ實(shí)長實(shí)長實(shí)長βγααβbaaabb

反映線段實(shí)長。且垂直于相應(yīng)的投影軸。⑵投影面垂直線鉛垂線正垂線側(cè)垂線②另外兩個(gè)投影，①在其垂直的投影面上，投影有積聚性。投影特性:●c(d)cddc●aba(b)ab●efefe(f)⑶一般位置直線投影特性：

三個(gè)投影都縮短。即:都不反映空間線段的實(shí)長及與三個(gè)投影面夾角的實(shí)大，且與三根投影軸都傾斜。a”b”a’b’abABa’b’a”b”ab例：分析AB、AC、BD對(duì)投影面的相對(duì)位置。AB：正垂線

AC：一般位置直線

BD：正平線

例：已知水平線AB端點(diǎn)投影a、a’，AB對(duì)V面的傾角β=45°，長25，B在A的右前方，求直線兩面投影。

aaXOb45°b求一般位置直線的真長直角三角形法abbabaαa’b’abBA△YB0△Z△ZTLα△Z△X△YTLβ△Z△Y△XTLγ●●●△X△X△Y△Z直角三角形法求真長的規(guī)律

此法是由直線的空間幾何關(guān)系分析得到的，注意點(diǎn)是：（1）欲求TL和α

，需用水平投影ab和△Z為直角邊做直角△，則斜邊為TL，ab與斜邊的夾角為α。（2）欲求TL和β

，需用正面投影a’b’和△Y為直角邊做直角△，則斜邊為TL，a’b’與斜邊的夾角為β

。（3）欲求TL和γ

，需用水平投影a”b”和△X為直角邊做直角△，則斜邊為TL，a”b”與斜邊的夾角為γ

。二、直線與點(diǎn)的相對(duì)位置◆若點(diǎn)在直線上,則點(diǎn)的投影必在直線的同名投影上。并將線段的同名投影分割成與空間相同的比例。即：

◆若點(diǎn)的投影有一個(gè)不在直線的同名投影上，則該點(diǎn)必不在此直線上。判別方法：AC/CB=ac/cb=ac/cbABCVHbccbaa定比定理點(diǎn)C不在直線AB上例1：判斷點(diǎn)C是否在線段AB上。abcabc①c②abcab●點(diǎn)C在直線AB上例2：判斷點(diǎn)K是否在線段AB上。ab●k因k不在a

b上，故點(diǎn)K不在AB上。應(yīng)用定比定理abkabk●●另一判斷法?三、兩直線的相對(duì)位置空間兩直線的相對(duì)位置分為：平行、相交、交叉。⒈兩直線平行投影特性：

空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。aVHcbcdABCDbdaabcdcabd例1：判斷圖中兩條直線是否平行。

對(duì)于一般位置直線，只要有兩個(gè)同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB//CDbdcacbaddbac

對(duì)于特殊位置直線，只有兩個(gè)同名投影互相平行，空間直線不一定平行。求出側(cè)面投影后可知：AB與CD不平行。例2：判斷圖中兩條直線是否平行。求出側(cè)面投影如何判斷？HVABCDKabcdkabckdabcdbacdkk⒉兩直線相交判別方法：

若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點(diǎn)的投影必符合空間一點(diǎn)的投影規(guī)律。交點(diǎn)是兩直線的共有點(diǎn)●●cabbacdkkd例：過C點(diǎn)作水平線CD與AB相交。先作正面投影dbaabcdc1(2

)3(4)⒊兩直線交叉投影特性：★同名投影可能相交，但“交點(diǎn)”不符合空間一個(gè)點(diǎn)的投影規(guī)律?！铩敖稽c(diǎn)”是兩直線上的一對(duì)重影點(diǎn)的投影，用其可幫助判斷兩直線的空間位置?！瘛瘼?、Ⅱ是Ｖ面的重影點(diǎn)，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影點(diǎn)。3

4●●兩直線相交嗎？為什么？21⒋兩直線垂直相交（或垂直交叉）直角的投影特性(直角投影定理)：

若直角有一邊平行于投影面，則它在該投影面上的投影仍為直角，反之也成立。設(shè)直角邊BC//H面因BC⊥AB,同時(shí)BC⊥Bb所以BC⊥ABba平面直線在H面上的投影互相垂直即∠abc為直角因此bc⊥ab故bc⊥ABba平面又因BC∥bcABCabcHacbabc.證明：dabcabc●●d例：過C點(diǎn)作直線與AB垂直相交。AB為正平線,正面投影反映直角。.第二章正投影法基本原理§2-1投影的基本知識(shí)§2-2點(diǎn)的投影§2-3直線的投影§2-4平面的投影§2-5直線與平面及兩平面的相對(duì)位置§2-6換面法一、平面的表示法⒈平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性⒉平面在三投影面體系中的投影特性三、平面上的直線和點(diǎn)⒈平面上取任意直線⒉平面上取點(diǎn)二、平面的投影特性四、圓的投影§2-4平面的投影一、平面的表示法●●●●●●abcabc不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)●●●●●●abcabc直線及線外一點(diǎn)abcabc●●●●●●d●d●兩平行直線abcabc●●●●●●兩相交直線●●●●●●abcabc平面圖形1.用幾何元素表示平面2.用平面的跡線表示平面一、平面的表示法平面的跡線：平面與投影面的交線。水平、正面、側(cè)面跡線。跡線的集合點(diǎn)：兩跡線相交時(shí)的交點(diǎn)，如圖中的PX、PZ。實(shí)際應(yīng)用中，常用平面的一條具有積聚性的跡線來表示特殊位置平面，如投影面垂直面和投影面平行面，圖c。跡線平面：用跡線表示的平面。二、平面的投影特性平行垂直傾斜投影特性★平面平行投影面-----投影就把實(shí)形現(xiàn)★

平面垂直投影面-----投影積聚成直線

★平面傾斜投影面-----投影類似原平面真實(shí)性類似性積聚性⒈平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性⒉平面在三投影面體系中的投影特性平面對(duì)于三投影面的位置可分為三類：投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個(gè)投影面與三個(gè)投影面都傾斜

正垂面

側(cè)垂面

鉛垂面

正平面

側(cè)平面

水平面abcacbcba(⒈)投影面垂直面類似性類似性積聚性鉛垂面為什么？γβ是什么位置的平面？投影特性：垂直投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。另外兩個(gè)投影面上的投影有類似性。

β

正垂面?zhèn)却姑鎍bcabcabc(⒉)投影面平行面積聚性積聚性實(shí)形性水平面投影特性：平行的投影面上的投影反映實(shí)形。另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。正平面?zhèn)绕矫鎍bcacbabc(⒊)一般位置平面三個(gè)投影都類似。投影特性：P：正垂面

R：水平面Q：鉛垂面

例:分析立體表面P、Q、R對(duì)投影面的相對(duì)位置

三、平面上的直線和點(diǎn)判斷直線在平面內(nèi)的方法

定理一若一直線過平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在該平面內(nèi)。定理二若一直線過平面上的一點(diǎn)，且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。⒈平面上取任意直線abcbcaabcbcadmnnmd例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線。解法一解法二根據(jù)定理二根據(jù)定理一有多少解？有無數(shù)解。例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到

H面的距離為10mm。nmnm10cabcab

唯一解！有多少解？⒉平面上取點(diǎn)

先找出過此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。例1：已知K點(diǎn)在平面ABC上，求K點(diǎn)的水平投影。b①accakb●k●

面上取點(diǎn)的方法：首先面上取線②●abcabkcdk●d利用平面的積聚性求解通過在面內(nèi)作輔助線求解例2：判斷點(diǎn)M、N是否在三角形ABC內(nèi)。ddbbacmnacmnXOM：不在平面內(nèi)

N：在平面內(nèi)

bckadadbcadadbckbc例3：已知AC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形

ABCD的水平投影。解法一解法二ababba例4:已知四棱臺(tái)表面上點(diǎn)A、B的水平投影a、b，求另兩面投影。四、圓的投影平行于投影面的圓

第二章正投影法基本原理§2-1投影的基本知識(shí)§2-2點(diǎn)的投影§2-3直線的投影§2-4平面的投影§2-5直線與平面及兩平面的相對(duì)位置§2-6換面法一、平行問題⒈直線與平面相交⒉兩平面相交三、垂直問題⒈直線⊥平面⒉平面⊥平面二、相交問題⒈直線//平面

2.平面//平面§2-5直線與平面及兩平面的相對(duì)位置相對(duì)位置包括平行、相交和垂直。(公有性、從屬性、平行實(shí)形性、可見性）§2-5直線與平面及兩平面的相對(duì)位置相對(duì)位置包括平行、相交和垂直。一、平行問題

直線//

平面

平面//平面包括⒈直線//

平面定理

若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與此平面必相互平行。(公有性、從屬性、平行實(shí)形性、可見性）n●●acbmabcmn例1：過M點(diǎn)作直線MN平行于平面ABC。有無數(shù)解有多少解？正平線例2：過M點(diǎn)作直線MN平行于V面和平面

ABC。c●●bamabcmn唯一解n⒉平面//

平面定理

若一平面上的兩相交直線對(duì)應(yīng)平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩平面相互平行。投影特性：若兩相互平行的平面垂直于某一投影面，則在該投影面上具有積聚性的投影一定平行。二、相交問題直線與平面相交平面與平面相交⒈直線與平面相交

直線與平面相交，其交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。要討論的問題：●求直線與平面的交點(diǎn)。

●

判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可見性。直線與平面中至少有一個(gè)處于特殊位置。直線與平面中均處于一般位置。abcmncnbam(a)平面為特殊位置例：求直線MN與平面ABC的交點(diǎn)K并判別可見性?？臻g及投影分析

平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn的交點(diǎn)即為K點(diǎn)的水平投影。①求交點(diǎn)②判別可見性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn為可見。還可通過重影點(diǎn)判別可見性。k●1(2)作圖k●●2●1●km(n)b●mncbaac(b)直線為特殊位置空間及投影分析

直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交點(diǎn)K的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。①求交點(diǎn)②判別可見性

點(diǎn)Ⅰ位于平面上，在前；點(diǎn)Ⅱ位于MN上，在后。故k2為不可見。1(2)k●2●1●●作圖用面上取點(diǎn)法⒉兩平面相交

兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的共有線，同時(shí)交線上的點(diǎn)都是兩平面的共有點(diǎn)。要討論的問題：①求兩平面的交線方法：⑴確定兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)。⑵確定一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。

兩平面中至少有一個(gè)處于特殊位置。兩平面均處于一般位置。②判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即：

判別可見性?？赏ㄟ^正面投影直觀地進(jìn)行判別。abcdefcfdbeam(n)空間及投影分析

平面ABC與DEF都為正垂面，它們的正面投影都積聚成直線。交線必為一條正垂線，只要求得交線上的一個(gè)點(diǎn)便可作出交線的投影。①求交線②判別可見性作圖

從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。n●m●●能否不用重影點(diǎn)判別？能!如何判別？⑴兩平面均為特殊位置平面bcfhaeabcefh1(2)空間及投影分析

平面EFH是一水平面，它的正面投影有積聚性。ab與ef的交點(diǎn)m

、bc與fh的交點(diǎn)n即為兩個(gè)共有點(diǎn)的正面投影，故mn即MN的正面投影。①求交線②判別可見性點(diǎn)Ⅰ在FH上，點(diǎn)Ⅱ在BC上，點(diǎn)Ⅰ在上，點(diǎn)Ⅱ在下，故fh可見，n2不可見。作圖m●●n●2●n●m●1●⑵一平面為投影面平行面，另一平面為一般位置平面cdefababcdef⑶一平面為投影面垂直面，另一平面為一般位置平面投影分析

N點(diǎn)的水平投影n位于Δdef的外面，說明點(diǎn)N位于ΔDEF所確定的平面內(nèi)，但不位于ΔDEF這個(gè)圖形內(nèi)，所以ΔABC和ΔDEF的交線應(yīng)為MK。n●n●m●k●m●k●互交可見性推導(dǎo)原則1.相交兩平面在投影重疊部分的可見性必然相反。2.交點(diǎn)、交線是可見性的分界，雙方的可見性都過界相反。

一般位置情況：⑴直線和平面均處于一般位置k4312mnabcabcnmXOk4(3)Rv12(5)5作圖步驟：

⑸用重影點(diǎn)判斷可見性。⑴包含MN作輔助正垂面R，作出其具積聚性的正面跡線Rv。⑵求出平面R與ΔABC的交線12（12，1’2’）。⑶交線的水平投影12與mn的交點(diǎn)k就是所求交點(diǎn)的水平投影。⑷根據(jù)從屬性由k求出k’，則K(k,k’)即直線與平面交點(diǎn)輔助平面法abcdefbcadefQvPvmsntmnllstkk2(1)213(3)XO作圖步驟：

⑴包含DF作輔助正垂面P，與ΔABC交于MN,求其與DF交點(diǎn)L。同法再求EF與ΔABC交點(diǎn)K。⑵連接K和L的同面投影。⑶利用重影點(diǎn)分別判斷各投影的可見性。輔助平面法全交？互交？

一般位置情況：

⑵二平面均處于一般位置三面共點(diǎn)法求二一般位置平面交線dcabedcabgfefgXOR1V1243123R2V4mn作圖步驟：

⑴作輔助水平面R1。⑵R1與P、Q分別相交于ⅠⅡ和ⅢⅣ。⑶ⅠⅡ和ⅢⅣ交點(diǎn)M，即為二平面的一個(gè)交點(diǎn)。⑷

同法作平面R2，求出一個(gè)交點(diǎn)N。⑸

連接MN,即為所求交線。mn

一般位置情況：

⑵二平面均處于一般位置三、垂直問題直線⊥平面平面⊥平面⒈直線⊥平面

原理圖直線與鉛垂面垂直直線與正垂面垂直若一直線垂直于某投影平面上的兩條相交直線，則該直線與此平面必垂直。特殊情況：2.平面⊥平面原理圖二鉛垂面垂直一般位置平面與鉛垂面垂直

特殊情況：若一平面包含另一平面的一條垂線，則二平面垂直。

第二章正投影法基本原理§2-1投影的基本知識(shí)§2-2點(diǎn)的投影§2-3直線的投影§2-4平面的投影§2-5直線與平面及兩平面的相對(duì)位置§2-6換面法一、問題的提出二、新投影面的選擇原則三、點(diǎn)的投影變換規(guī)律⒈更換一次投影面⒉更換二次投影面⒊把一般位置平面投影面垂直面⒋把一般位置平面投影面平行面四、換面法的四個(gè)基本問題⒈把一般位置直線投影面平行線⒉把一般位置直線投影面垂直線五、換面法的應(yīng)用§2-6換面法一、問題的提出★如何求一般位置直線的實(shí)長？★如何求投影面垂直面的真實(shí)大?。俊锶绾吻笠话阄恢闷矫娴恼鎸?shí)大??？

換面法：物體在空間的位置不動(dòng)，而用一新投影面（輔助投影面）代替原有投影面，使物體相對(duì)新的投影面處于有利于解題的位置，然后將物體向新投影面進(jìn)行投影。解決方法：更換投影面。VHABabab二、新投影面的選擇原則1.新投影面必須對(duì)空間物體處于最有利的解題位置。平行于新的投影面垂直于新的投影面2.新投影面必須垂直于某一保留的原投影面，以構(gòu)成一個(gè)相互垂直的兩投影面的新體系。Pa1b1VHAaaaxX⒈更換一次投影面

舊投影體系X—VH

新投影體系1HX1—A點(diǎn)的兩個(gè)投影：a，aA點(diǎn)的兩個(gè)投影：a，a1⑴新投影體系的建立三、點(diǎn)的投影變換規(guī)律X11a1ax1VHX1HX1aaa1axax1.ax1VHXP1HX1aaa1VHA

aaxXX1P1a1ax1⑵新舊投影之間的關(guān)系

aa1

X1a1ax1=aax點(diǎn)的二相間投影到投影軸的距離相等。axa一般規(guī)律：點(diǎn)的相鄰?fù)队暗倪B線，垂直于新投影軸。.XVHaaax更換H面⑶求新投影的作圖方法VHXP1HX1

由點(diǎn)的不變投影向新投影軸作垂線，并在垂線上量取一段距離，使這段距離等于被代替的投影到原投影軸的距離。aaX1P1Va1axax1ax1更換V面●a1作圖規(guī)律：..⒉更換兩次投影面先把V面換成平面1，1H，得到中間新投影體系:1HX1—再把H面換成平面2，21，得到新投影體系:X2—12⑴新投影體系的建立按次序更換AaVHaaxXX11a1ax12X2ax2a2ax2aaXVH⑵求新投影的作圖方法a2X1H1X212

作圖規(guī)律

a2a1X2軸

a2ax2=aax1a1axax1..VHABabab四、換面法的四個(gè)基本問題1.把一般位置直線變換成投影面平行線用P1面代替V面，在P1/H投影體系中，AB//P1。X1HP1P1a1b1空間分析：

換H面行嗎？不行！作圖：例：求直線AB的實(shí)長及與H面的夾角。ababXVH新投影軸的位置？a1●b1●與ab平行。.a1●b1●VHaaXBbbA2.把一般位置直線變換成投影面垂直線空間分析：ababXVHX1H1P1P1P2X2作圖：X1P1a1b1X2P2二次換面把投影面平行線變成投影面垂直線。X2軸的位置？a2b2ax2a2b2.與a1b1垂直一次換面把直線變成投影面平行線；

一般位置直線變換成投影面垂直線，需經(jīng)幾次變換？

a

b

cabcdVHABCDX

d3.把一般位置平面變換成投影面垂直面

如果把平面內(nèi)的一條直線變換成新投影面的垂直線，那么該平面則變換成新投影面的垂直面。P1X1c1b1a1d1空間分析：

在平面內(nèi)取一條投影面平行線，經(jīng)一次換面后變換成新投影面的垂直線，則該平面變成新投影面的垂直面。作圖方法：兩平面垂直需滿足什么條件？能否只進(jìn)行一次變換？

思考：若變換H面，需在面內(nèi)取什么位置直線？正平線！αab

cacbXVH例：把三角形ABC變換成投影面垂直面。H1X1作圖過程：★在平面內(nèi)取一條水平線AD。dd★將AD變換成新投影面的垂直線。d1●a1d1●c1●

反映平面對(duì)哪個(gè)投影面的夾角？.a1b1●需經(jīng)幾次變換？一次換面,把一般位置平面變換成新投影面的垂直面；二次換面，再變換成新投影面的平行面。X2P1P24.