華北電力大學自動控制理論B課件第五章

第五章頻域分析法第一節(jié)頻率特性第二節(jié)典型環(huán)節(jié)的頻率特性第三節(jié)控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性第四節(jié)頻率特性（Nyquist）的穩(wěn)定判據第五節(jié)控制系統(tǒng)動態(tài)性能指標的計算

第六節(jié)開環(huán)頻率特性與閉環(huán)時域指標的關系用圖形的方法進行系統(tǒng)性能分析（直觀）；用開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)系統(tǒng)性能（建模簡單）；有明確的物理意義（便于理解)；對高階系統(tǒng)穩(wěn)定性分析及性能指標估算的過程簡單(便于工程應用)。

在平面內取一個定點O，叫極點，引一條射線Ox，叫做極軸，再選定一個長度單位和角度的正方向(通常取逆時針方向)。對于平面內任何一點M，用ρ表示線段OM的長度，θ表示從Ox到OM的角度，ρ叫做點M的極徑，θ叫做點M的極角，有序數對(ρ,θ)就叫點M的極坐標，這樣建立的坐標系叫做極坐標系。極坐標

Bode圖是經過處理的幅頻特性圖，普通的幅頻率特性圖，橫坐標是頻率，縱坐標是幅值的放大倍數，表明了一個電路網絡對不同頻率信號的放大能力。

但是在電子電路中，這種圖有可能比較麻煩，首先，要表示一個網絡在低頻和高頻下的所有情況，那么橫軸（頻率軸會很長）。第二，一般放大電路的放大倍數可能達到幾百，使得縱軸也很長。第三，這樣畫出的圖形往往是很不規(guī)則的曲線。Bode圖

1，橫坐標的頻率改成指數增長，而不是以前的線性增長，比如頻率刻度為。10、100、1000、10^4、等，每一小格代表不同的頻率跨度。使一條橫軸能表示如1hz到10^8hz這么大的頻率范圍。

2，縱坐標表示放大倍數的自然對數的20倍，這是根據分貝的定義做的。這樣縱坐標的值大概0到60就足夠了。這樣在圖中一眼就能看出放大的分貝數。

3，把曲線做直線化處理。畫圖所依據的式子中會得到fLfH的數值。得出的波特圖也應該在fL和fH處出現拐角（不是拐彎），盡管這點按拐角處理會產生一定的誤差。

在斜率不為0的直線處要標明斜率,標明出每十倍頻程放大倍數的變化情況。

波特（Bode）圖是根據上述三點作了改進：第一節(jié)頻率特性一、頻率特性的一般概念二、頻率特性的解析表示和頻率特性曲線的繪制三、頻率特性的幾點說明一、頻率特性的一般概念1、頻率特性的定義若輸入為:則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出為:特點：輸出信號的穩(wěn)態(tài)值頻率不變、但幅值和相位發(fā)生一定的變化。選擇量化關系反映系統(tǒng)輸出對不同頻率正弦輸入信號的復現能力，從而達到反映系統(tǒng)特性的目的。幅頻特性：相頻特性：頻率特性：2、頻率特性的求取G(s)r(t)c(t)頻率特性中，自變量頻率取值范圍零至無窮，稱全頻特性。全頻特性將是系統(tǒng)性能分析的依據。頻率特性的求取基于傳遞函數求頻率特性二、頻率特性的解析表示和曲線的繪制1、頻率特性解析表示幅相頻率特性幅頻特性和相頻特性實頻特性和虛頻特性2、頻率特性曲線Nyquist曲線（全頻程矢量矢段行走的軌跡）Bode曲線（全頻程幅頻特性和相頻特性曲線）應用舉例三、有關頻率特性的幾點說明1、頻率特性G(jω)是以ω為自變量的向量函數；2、頻率特性曲線是指自變量ω在全頻段矢量矢端行走的軌跡；3、開環(huán)頻率特性曲線是判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性及評定系統(tǒng)動態(tài)性能指標的依據；4、開環(huán)傳遞函數的形式是典型環(huán)節(jié)的乘積形式。因此尋找繪制開環(huán)頻率特性曲線的規(guī)律，關鍵在于掌握典型環(huán)節(jié)頻率特性曲線的繪制規(guī)律。第二節(jié)典型環(huán)節(jié)的頻率特性一、比例環(huán)節(jié)二、積分和微分環(huán)節(jié)三、一階慣性和一階微分環(huán)節(jié)四、二階振蕩和二階微分環(huán)節(jié)五、純遲延環(huán)節(jié)六、不穩(wěn)定環(huán)節(jié)(零點或極點在右半平面)關注典型環(huán)節(jié)特征：Nyquist曲線所在象限；Bode曲線相頻和幅頻漸近線的繪制及對應關系；不穩(wěn)定環(huán)節(jié)特征（兩種曲線聯系分析）。Bode曲線特征匯總比例、積分、微分環(huán)節(jié)的Nyquist曲線和Bode曲線環(huán)節(jié)名稱比例環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)理想微分環(huán)節(jié)傳遞函數k1/ss幅相頻率特性k1/jωjω

幅頻特性A(ω)k1/ω

ω相頻特性φ(ω)0°-90°90°對數幅頻特性L(ω)20lgk-20lgω20lgωNyquist曲線Bode曲線一階微分、一階慣性環(huán)節(jié)的Nyquist曲線和Bode曲線關注轉折頻率處的幅值修正?。?！二階微分、二階振蕩環(huán)節(jié)的Nyquist曲線和Bode曲線關注：曲線特征轉折頻率處的修正規(guī)則兩個特征點數據純遲延環(huán)節(jié)的Nyquist曲線和Bode曲線不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的Nyquist曲線分析以下兩個對應環(huán)節(jié)Nyquist曲線的區(qū)別？關注圖形所在象限的確定規(guī)則?。?！不穩(wěn)定環(huán)節(jié)Bode曲線的繪制規(guī)律?典型環(huán)節(jié)Bode曲線漸近線的特征環(huán)節(jié)名稱特征參數幅頻特性曲線相頻特性曲線低頻中頻高頻低頻中頻高頻比例K20lgK水平線0°水平線積分過（ω=1,L=0）點，斜率為-20dB/+倍頻程-90°水平線微分過（ω=1,L=0）點，斜率為20dB/+倍頻程90°水平線一階微分T0分貝水平線1/T,L=0+200°水平線ω=1/T,45°90°一階慣性T0分貝水平線1/T,L=0-200°水平線ω=1/T,-45°-90°二階微分T,ζ0分貝水平線1/T,L=0+400°水平線ω=1/T,90°180°二階振蕩T,ζ0分貝水平線1/T,L=0-400°水平線ω=1/T,-90°-180°純遲延0分貝水平線0°水平線過（ω=1/τ,1弧度）點注意：轉折頻率處的修正值第三節(jié)控制系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性一、開環(huán)幅相頻率特性（Nyquist）曲線的繪制二、最小相位系統(tǒng)開環(huán)對數頻率特性（Bode）曲線的繪制三、基于對數頻率特性曲線求最小相位系統(tǒng)的傳遞函數思考：非最小相位系統(tǒng)BODE曲線的繪制1、幅頻？2、相頻？關注：Bode曲線與Nyquist曲線之間的相互轉換關系——起點、終點及所在象限。一、開環(huán)幅相頻率特性曲線的繪制1、最小相位系統(tǒng)繪制規(guī)則2、應用舉例3、特殊點計算4、非最小相位系統(tǒng)繪制舉例1、最小相位系統(tǒng)的Nyquist繪制規(guī)則曲線的起端形式由開環(huán)傳遞函數的積分環(huán)節(jié)的個數確定（型別）無積分環(huán)節(jié)v=0時，起于實軸k處；有積分環(huán)節(jié)v=1、v=2、v=3時，起于-90°、-180°、-270°的∞遠處。曲線的終端形式由分子多項式和分母多項式的階次差確定。開環(huán)零極點數相同時，曲線終止于實軸；開環(huán)極點多于零點時，曲線延（n-m）×（-90°）方向終止于原點。開環(huán)幅相頻率特性曲線所在象限由各環(huán)節(jié)形式綜合確定。也可由相頻特性解析式確定。s1/sωω2、最小相位系統(tǒng)Nyquist曲線繪制舉例關注：1）起點、終點、圖形所在象限；2）相位隨ω呈滯后還是超前特性、幅值隨ω增加還是減小。3、特殊點計算與實軸的交點坐標的計算

與虛軸交點坐標的計算應用舉例確定頻率點的修正：選擇一個頻率值計算幅頻和相頻的取值。應用舉例2.87。與虛軸交點為，10結論：ω及參數取值2）求與虛軸交點坐標1）繪制草圖，確定特殊點位置:1)1)(0.1s(s10(s)G例1：k-=++=。1110與實軸交點為，10結論：ω及參數取值2）求與實軸交點坐標1）繪制草圖，確定特殊點位置:1)1)(0.1ss(s10(s)G例2：k-=++=4、非最小相位系統(tǒng)Nyquist曲線繪制舉例準確給出不穩(wěn)定環(huán)節(jié)的相位特性，是能正確繪圖的關鍵！ImRe0ωωImRe0ωImRe0ω二、最小相位系統(tǒng)

開環(huán)對數頻率特性Bode曲線的繪制1、零型系統(tǒng)開環(huán)對數頻率特性Bode曲線的繪制2、非零型系統(tǒng)開環(huán)對數頻率特性Bode曲線的繪制繪圖技巧：對數幅頻特性曲線從低頻到高頻線線疊加；最小相位系統(tǒng)相頻與幅頻有明確的對應關系，可以由對數幅頻特性曲線繪制對數相頻特性曲線草圖。1、零型系統(tǒng)開環(huán)對數頻率特性Bode曲線的繪制對數幅頻特性曲線的繪制：低頻幅頻特性曲線為水平線，高度由20Lgk確定；轉折頻率處由環(huán)節(jié)形式確定折線斜率的變化規(guī)律；轉折頻率處的修正，由環(huán)節(jié)結構及特性參數決定。對數相頻特性曲線的繪制由幅頻特性的折線斜率的對應關系繪制漸近線

Bode曲線草圖繪制舉例坐標系的確定方法例題講解1系統(tǒng)開環(huán)BODE曲線坐標系的區(qū)域選擇對數幅頻特性曲線：1、橫坐標區(qū)域包括所有環(huán)節(jié)的轉折頻率及ω=1點；2、縱坐標正方向的幅度由20lgk大致確定；3、橫坐標的標注方法—10倍頻程一個等分格，每個等分各內按對數刻度，4、縱坐標的標注方法—20分貝一個等分格。對數相頻特性曲線：1、橫坐標與對數幅頻特性曲線橫坐標垂直對應排列；2、縱坐標的上下限由開環(huán)傳遞函數構成環(huán)節(jié)的滯后和超前特性綜合確定。繪制例題1考慮：兩種曲線的相互轉換技巧！2、非零型系統(tǒng)開環(huán)

對數頻率特性Bode曲線的繪制對數幅頻特性曲線的繪制：低頻幅頻特性曲線為斜線，斜線過（ω=1，L=20Lgk）點，斜率由積分環(huán)節(jié)的個數（系統(tǒng)型別）確定為-20v。有微分環(huán)節(jié)的斜線確定方法依此類推；轉折頻率處由環(huán)節(jié)形式確定折線斜率的變化規(guī)律；轉折頻率處的修正，由環(huán)節(jié)結構及特性參數決定。對數幅頻特性曲線的繪制同前零型系統(tǒng)Bode曲線草圖繪制舉例例題講解2繪制例題2三、基于對數頻率特性曲線

求最小相位系統(tǒng)的傳遞函數1、積分環(huán)節(jié)或微分環(huán)節(jié)的個數由低頻段漸近線的斜率確定。2、由低頻段漸近線確定K值零型系統(tǒng)水平線高度為20LgK非零型系統(tǒng)斜線斜率（延長線）及與0分貝線的交點坐標ω確定K1型系統(tǒng)ω=k2型系統(tǒng)ω=基于直角三角形確定3、由各轉折頻率確定各環(huán)節(jié)對應的時間常數。4、由各轉折頻率處兩邊折線的斜率變化情況確定所對應的環(huán)節(jié)形式。5、二階環(huán)節(jié)可基于特征數據確定阻尼系數ζ舉例：0dBlgωL(ω)-40-20(1)ω1ω2-20-40-20(2)kω1ω2ωcωc第四節(jié)頻率特性（Nyquist）的穩(wěn)定判據一、穩(wěn)定判據的理論依據二、穩(wěn)定判據的推導三、穩(wěn)定判據的推廣四、穩(wěn)定判據在非零型系統(tǒng)中的應用五、穩(wěn)定判據在BODE曲線上的應用1、穩(wěn)定判據的理論依據

映射定理：是兩個多項式之比，有一定的零點和極點。則位于s平面一個封閉曲線，映射到F(s)平面時仍然是一條封閉曲線。并有以下特性存在：在s平面，矢量s順時針繞封閉曲線一周，當零極點在封閉曲線內時，對應矢量的角增量為2π（順時針），在外時角增量為0；而在F(s)平面，矢量順時針繞原點的圈數為：

封閉曲線內零點的個數-封閉曲線內極點的個數。F(s)F(S)平面ss+p1-p1-p2s+p2s+z1S平面s+z2F(s)順時針繞原點的圈數，取決于S平面封閉曲線內零、極點個數之差。而于封閉曲線外零極點無關。2、穩(wěn)定判據的推導閉環(huán)極點開環(huán)極點判別系統(tǒng)穩(wěn)定與否的條件：1）開環(huán)在右半平面的極點個數P；2）GK(jω)正負全頻曲線。ZP∞S平面解題難點？3、穩(wěn)定判據的推廣穩(wěn)定判據推廣之一開環(huán)在右半平面的極點數P=2GK(jω)矢量當ω

由0—∞時，逆時針繞（-1，j0）點的圈數。穩(wěn)定判據推廣之二射線的定義和正負穿次（包括半穿）的定義；射線：起于（-1，j0）點沿實軸反方向；正穿（順穿）：ω增大時曲線從下向上穿過射線；負穿（逆穿）：ω增大時曲線從上向下穿過射線。半穿的定義：曲線起于射線或終于射線。穩(wěn)定判據：P=-2NP為開環(huán)傳遞函數在右半平面的極點數，

N為矢量當ω

：0+—∞時的穿越次數。系統(tǒng)右半平面特征根的確定：2N=Z-P系統(tǒng)純虛根的確定：Nyquist曲線過（-1，j0）的次數。應用舉例基于曲線的對稱關系G(jω)平面-1，j0零型系統(tǒng)穩(wěn)定性分析應用舉例（-1，j0）(1)(2)（-1，j0）（-1，j0）（-1，j0）(1)(2)4、穩(wěn)定判據在非零型系統(tǒng)中的應用開式曲線轉為閉式曲線——輔助線的繪制原點為圓心無窮大為半徑；起于實軸順時針繞角度為0.5πv，與曲線起點相連。判據與前面所述相同，但穿次包括輔助線輔助線繪制舉例：1、2、3γ=1ω=0-1γ=2ω=0-1應用舉例q=3；γ=1。ω=0-1(1)(2)非零型系統(tǒng)穩(wěn)定性分析應用舉例（-1，j0）（-1，j0）（1）（2）（-1，j0）(1)T1>T2(2)T1<T2（-1，j0）5、穩(wěn)定判據在

BODE曲線上的應用最小相位系統(tǒng)穩(wěn)定性判別(幅頻曲線與0分貝線僅有一個交點):對數相頻特性曲線與-180°水平線交點引垂線與幅頻特性曲線相交，若交點在0分貝下方系統(tǒng)穩(wěn)定。反之不穩(wěn)定。對數幅頻特性曲線與0分貝交點引垂線與相頻特性曲線相交，若交點在-180°水平線上方系統(tǒng)穩(wěn)定，反之不穩(wěn)定。復雜最小相位系統(tǒng)和非最