原創(chuàng)2016年 《南方新中考》 數(shù)學(xué) 第一部分 第四章 第2講 第2課時(shí) 等腰三角形與直角三角形配套課件

第2課時(shí)等腰三角形與直角三角形

1.理解等腰三角形的有關(guān)概念，探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等；底邊上的高線、中線及頂角平分線重合.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有兩個(gè)底角相等的三角形是等腰三角形.

2.探索等邊三角形的性質(zhì)定理：等邊三角形的各角都等于60°；探索等邊三角形的判定定理：三個(gè)角都相等的三角形(或有一個(gè)角是60°的等腰三角形)是等邊三角形.

3.探索并證明角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等；反之，角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

4.理解線段垂直平分線的概念，探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等；反之，到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上.

5.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形的兩個(gè)銳角互余，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.掌握有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形. 6.探索勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用它們解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容等腰三角形的判定 與性質(zhì)判定(1)有兩條邊相等的三角形是等腰三角形，即“等邊對(duì)等角”；(等腰三角形的定義)(2)有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形，即“等角對(duì)等邊”性質(zhì)(1)等腰三角形的兩個(gè)底角相等，即“等邊對(duì)等角”；(2)三線合一：等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相________；(3)對(duì)稱性：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它的對(duì)稱軸是底邊上的高(底邊上的中線或頂角的平分線)所在的直線重合知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容等邊三角形的判定與性質(zhì)判定(1)三條邊都相等的三角形是等邊三角形；(2)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；(3)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形性質(zhì)(1)等邊三角形的三條邊相等；(2)等邊三角形的三個(gè)角都是60°；(3)對(duì)稱性：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，有____條對(duì)稱軸角平分線和線段的垂直平分線角平分線的性質(zhì)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等角平分線的逆定理角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上(續(xù)表)三知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容角平分線和線段的垂直平分線垂直平分線的性質(zhì)線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩端點(diǎn)距離相等垂直平分線 的逆定理到一條線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上直角三角形的判定 與性質(zhì)判定(1)有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形；(2)勾股定理的逆定理；(3)如果三角形一條邊的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形(續(xù)表)知識(shí)點(diǎn)內(nèi)容直角三角形的判定與性質(zhì)性質(zhì)(1)直角三角形的兩個(gè)銳角________；(2)在直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的________；(3)在直角三角形中，斜邊上的中線長(zhǎng)等于斜邊長(zhǎng)的________勾股定理及其逆定理勾股定理在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方勾股定理的逆定理若一個(gè)三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個(gè)三角形是直角三角形(續(xù)表)互余一半一半等腰(邊)三角形的性質(zhì)與判定例1：(2015年江蘇宿遷)如圖4-2-23，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC，求證：∠C＝2∠D.圖4-2-23

[思路分析]根據(jù)等腰三角形的定義和平行線的性質(zhì)得出∠ABD＝∠CBD＝∠D，∠C＝∠ABC，由此可得出結(jié)論.

證明：∵AB＝AC＝AD，∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD，

∴∠ABC＝∠CBD＋∠D.∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D.∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D.又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D.

例2：(2014年浙江溫州)如圖4-2-24，在等邊△ABC中，點(diǎn)D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥DE，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.(1)求∠F的度數(shù).(2)若CD＝2，求DF的長(zhǎng).圖4-2-24[思路分析](1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDC＝∠B＝60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解.(2)易證△EDC是等邊三角形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解.解：(1)∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.(2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△EDC是等邊三角形.∴ED＝DC＝2.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4.【試題精選】1.(2015年湖北黃石)如圖4-2-25，在等腰三角形

ABC中，)AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，則∠ABD＝(

圖4-2-25A.36°B.54°C.18°D.64°答案：B2.(2015年江蘇宿遷)若等腰三角形中有兩邊長(zhǎng)分別為2和)B.12D.9或125，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為( A.9 C.7或9

答案：B3.(2015年北京)如圖

4-2-26，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，BE⊥AC于點(diǎn)E.求證：∠CBE＝∠BAD.圖4-2-26證明：∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，BE⊥AC，∴∠CBE＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°，∠CAD＝∠BAD.∴∠CBE＝∠BAD.

[名師點(diǎn)評(píng)]解決與等腰三角形相關(guān)的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，一定要分清頂角和底角、底邊和腰，適當(dāng)情況下應(yīng)該分類討論，找出正確答案.證明兩條線段、兩個(gè)角相等的常用方法：若它們?cè)谕粋€(gè)三角形中，可利用角證邊或用邊證角；若它們?cè)诓煌娜切沃校瑒t通過(guò)證兩個(gè)三角形全等來(lái)實(shí)現(xiàn).角平分線與垂直平分線

例3：(2015年湖北荊州)如圖4-2-27，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交邊AB于點(diǎn)D，交邊AC于點(diǎn)E.若△ABC與△EBC的周長(zhǎng)分別是40cm,24cm，則AB＝________cm.圖4-2-27解析：∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝BE.∵△ABC的周長(zhǎng)＝AB＋AC＋BC，△EBC的周長(zhǎng)＝BE＋EC＋BC＝AE＋EC＋BC＝AC＋BC，∴△ABC的周長(zhǎng)－△EBC的周長(zhǎng)＝AB.∴AB＝40－24＝16(cm).答案：16[思想方法]運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想是解決本題的關(guān)鍵，即利用垂直平分線的性質(zhì)將△EBC的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為AC＋BC.例4：(2015年廣西)如圖

4-2-28，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點(diǎn)D，DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，且BC＝4，DE＝2，則△BCD的面積是________.圖4-2-28解析：∵CD是∠ACB的角平分線，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF＝2.答案：4[易錯(cuò)陷阱]角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，注意必須是垂直距離，否則不成立.

【試題精選】

4.(2015年四川達(dá)州)如圖

4-2-29，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂線交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，連接CF.)若∠A＝60°，∠ABD＝24°，則∠ACF的度數(shù)為(

圖4-2-29A.48°B.36°C.30°D.24°答案：A

5.(2015年山東聊城)如圖

4-2-30，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分線.若AB＝6，則點(diǎn)D到AB的距離是________.

圖4-2-30勾股定理及其應(yīng)用

例5：(2014年湖南湘潭)如圖4-2-31，修公路遇到一座山，于是要修一條隧道.為了加快施工進(jìn)度，想在小山的另一側(cè)同時(shí)施工.為了使山的另一側(cè)的開挖點(diǎn)C在AB的延長(zhǎng)線上，設(shè)想過(guò)C點(diǎn)作直線AB的垂線l，過(guò)點(diǎn)B作一直線(在山的旁邊經(jīng)過(guò))，與l相交于D點(diǎn)，經(jīng)測(cè)量∠ABD＝135°，BD＝800米，求在直圖4-2-31

[思路分析]首先證明△BCD是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理可得CD2＋BC2＝BD2，然后再代入BD＝800米進(jìn)行計(jì)算即可.解：∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°.∵∠ABD＝135°，∴∠DBC＝45°.∴∠D＝45°.∴CB＝CD.在Rt△DCB中，CD2＋BC2＝BD2，答：在直線l上距離D點(diǎn)566米的C處開挖.

[思想方法]在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問(wèn)題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖.領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用.【試題精選】

6.(2014年湖北黃石)小明聽說(shuō)“武黃城際列車”已經(jīng)開通，便設(shè)計(jì)了如下問(wèn)題：如圖4-2-32，以往從黃石A坐客車到武昌客運(yùn)站B，現(xiàn)在可以在A坐城際列車到武漢青山站C，再?gòu)那嗌秸綜坐市內(nèi)公共汽車到武昌客運(yùn)站B.設(shè)AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°.請(qǐng)你幫助小明解決以下問(wèn)題：

(2)若客車的平均速度是60km/h，市內(nèi)的公共汽車的平均速度為40km/h，城際列車的平均速度為180km/h，為了最短時(shí)間到達(dá)武昌客運(yùn)站，小明應(yīng)該選擇哪種乘車方案？請(qǐng)說(shuō)明理由.(不計(jì)候車時(shí)間)圖4-2-32解：(1)過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E(如圖D22).圖D22

∴選擇先乘坐城際列車，再坐市內(nèi)公共汽車的乘車方案.

[名師點(diǎn)評(píng)]解決直角三角形問(wèn)題的關(guān)鍵：一是能熟練運(yùn)用勾股定理及其逆定理分析與解決實(shí)際問(wèn)題；二是解題時(shí)能靈活運(yùn)用直角三角形的一些性質(zhì)，如兩銳角之間的關(guān)系、斜邊與斜邊上中線的關(guān)系；三是當(dāng)幾何問(wèn)題中給出了線段長(zhǎng)度時(shí)，往往要構(gòu)造直角三角形(如勾股數(shù)或添加輔助線將非直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形).圖4-2-33圖D232.(2012年廣東)如圖4-2-34，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC

＝72°.(1)用直尺和圓規(guī)作∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D；(保留作圖痕跡，不要求寫作法)(2)在(1)中作出∠ABC的平分線BD后，求∠BDC的度數(shù).圖4-2-34解：(1)如圖D24，①以點(diǎn)B為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AB，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)；圖D24弧相交于點(diǎn)G，連接BG交AC于點(diǎn)D即可.(2)∵在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°，∴∠A＝180°－2∠ABC＝180°－144°＝36°.∵BD是∠ABC的平分線，∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝36°＋36°＝72°.

3.(2015年廣東)