王矜奉固體物理習題

晶體的結構習題1．以剛性原子球積聚模型，計算以下各結構的致密度分別為：（1）簡立方，;（）體心立方,3;628（3）面心立方，2;（）六角密積，266（5）金剛石結構，3;16[解答]假想晶體是由剛性原子球積聚而成，一個晶胞中剛性原子球據有的體積與晶胞體積的比值稱為結構的致密度，設n為一個晶胞中的剛性原子球數,r表示剛性原子球半徑，V表示晶胞體積，n4r3則致密度=3V（1）對簡立方晶體，任一個原子有6個近來鄰，若原子以剛性球積聚，以下列圖，中心在1，2，3，4處的原子球將挨次相切，因為3a4r,Va3,面簡立方晶胞晶胞內包括1個原子，所以4a33(2)a36（2）對體心立方晶體，任一個原子有8個近來鄰，若原子剛性球積聚，如圖所示，體心地點O的原子8個角頂地點的原子球相切，因為晶胞空間對角線的長度為34,Va3,晶胞內包括2個原子，所以ar=2*34(43a)33a38圖體心立方晶胞（3）對面心立方晶體，任一個原子有12個近來鄰，若原子以剛性球積聚，以下列圖，中心位于角頂的原子與相鄰的3個面心原子球相切，因為2a4r,Va3，1個晶胞內包括4個原子，所以4*34(42a)32=a3.6圖面心立方晶胞（4）對六角密積結構，任一個原子有12個近來鄰，若原子以剛性球積聚，如圖1。5所示，中心在1的原子與中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子與中心在6，7，8的原子相切，圖六角晶胞圖正四周體晶胞內的原子O與中心在1，3，4，5，7，8處的原子相切，即O點與中心在5，7，8處的原子分布在正四周體的四個頂上，因為四周體的高h=32a232rc2晶胞體積V=ca2sin603ca2,2一個晶胞內包括兩個原子，所以2*34(a2)32.ρ=23ca26（5）對金剛石結構，任一個原子有圖所示，中心在空間對角線四分之一處的

4個近來鄰，若原子以剛性球積聚，如O原子與中心在1，2，3，4處的原子相切，因為

3a

8r,晶胞體積

Va3,圖金剛石結構一個晶胞內包括8個原子，所以8*34(3a)3ρ=833.a162．在立方晶胞中，畫出（102），（021），（122），和（210）晶面。[解答]圖中虛線標出的面即是所求的晶面。3．以下列圖，在六角晶系中，晶面指數常用（hkml）表示，它們代表一個晶面在基矢的截距分別為a1,a2,a3,在C軸上的截距為chkml證明：hkm求出O,A1A3,A1A3B3B1,A2B2B5A5和A1A3A5四個面的面指數。圖六角晶胞對稱畫法[解答]設d是晶面族（hkml）的面間距，n是晶面族的單位法矢量，晶面族（hklm）中最湊近原點的晶面在a1a2a3,c軸上的截距分別為a1/h,a2/k,a3/m,c/l所以有a1n=hd,a2n=kd,a3n=md.因為a3(a2a3),所以a3n(a2a3)n。由上式獲得md=(hdkd).即m(hk),由圖可獲得：O'A1A3晶面的面指數為(1121)A1A3B3B1面的面指數為(1120)A2B2B5A5晶面的面指數為(1100)A1A3A5晶面的面指數為(0001)4．設某一晶面族的面間距為

d,

三個基矢

a1,a2,a3的尾端分別落在離原點的距離為h1d

,h2

d,h3d

的晶面上，試用反證法證明：

h1,h2,h3是互質的。[解答]設該晶面族的單位法量為a1,a2,a3由已知條件可得a1

n

h1d,a2

n

h2d,

a3

n

h3d,假設h1,h2

,h3

不是互質數，且合約數

p1

即h1

pk1,h2

pk2,h3

pk3k1,k2,k3是互質的整數，則有a1npk1d,a2npk2d,a3npk3d今取離原點近來的晶面上的一個格點，該格點的地點矢量為rl1a1l2a2l3a3,因為心定是整數，并且rndl1a1nl2a2nl3a3n于是獲得pk1l1pk2l2pk3l31由上式可得k1l1

k2l2

k3l3

1p于

上式左端是整數，右端是分數，明顯是不成立的。矛盾的產生是p為不等1的整數的假設。也就是說，p只好等于1，即h1,h2,h3必定是互質數。5．證明在立方晶體中，晶列[hkl]與晶面（hkl）正交，并求晶面(h1k1l1)與晶面(h2k2l2)的夾角。[解答]設d是為晶面族（hkl）的面間距，n為法向單位矢量，依據晶面族的定義，晶面族（hkl）將a,b,c分別截為h,k,l等份，即an=acos(a,n)=hd,bn=bcos(b,n)=kd,cn=ccos(c,n)=ld于是有n=hdi+kdj+ldkaaad(hi+kj+lk)a此中,i,j,k分別為平行于a,b,c三個坐標軸的單位矢量，而晶列[hkl]的方向矢量為R=hai+kaj+lak=a(hi+kj+lk)由（1），（2）兩式得dn=R2a即n與R平行，所以晶列[hkl]與晶面（hkl）正交。對于立方晶系，晶面(h1k1l1)與晶面(h2k2l2)的夾角，就是晶列R1=h1a+k1b+l1c與晶列R2=h2a+k2b+l2c的夾角，設晶面(h1k1l1)與晶面(h2k2l1)的夾角為由R1R2=R1R2cosh12k12l12h22k22l22a2cos=h1h2a2k1k2a2l1l2a2得cos1{(h12h1h2k1k2l1l2}k12l12)(h22k22l226．以下列圖，B,C兩點是面心立方晶胞上的兩面心。（1）求ABC面的密勒指數；（2）求AC晶列的指數，并求相應原胞坐標系中的指數。圖面心立方晶胞[解答]（1）

矢量

BA與矢量

BC

的叉乘即是

ABC

面的法矢量BA=OA

OB

(a

b)

1(b2

c)

1(2a2

bc),BC

OC

OB

[c

1

(a

b)]

1(b

c)

1(a

c),2

2

2BABC1bc)1a(a3bc).(2a(ac)422因為對峙方晶系，晶列[hkl]與晶面族（hkl）正交，所以ABC面的密勒指數為(131).（2）ACOCOA1(ab)](ab)1(ab2).22可見AC與晶列(a+b-2c)平行，所以AC晶列的晶列指數為[112].由《固體物理教程》（13）式可得面心立言結構晶胞基矢與原胞基矢的關系aa1a2a3,ba1a2a3,ca1a2a3晶列(a+b-2c)可化為(a+b-2c)=-2(1a22a3)a由上式可知，AC晶列在原胞坐標系中的指數為[112]7．試證面心立方的倒格子是體心立方；體心立方的倒格子是面心立方。[解答]設與晶軸a,b,c平行的單位矢量分別為i,j,k面心立方正格子的原胞基矢可取為a1a(jk),2a2a(kj),2a3a(ij).2由倒格矢公式b12[a2a3],b22[a3a1],b32[a1a2],可得其倒格矢為b12(ijk),ab22(ijk),ab32(ijk).a設與晶軸a,b,c平行的單位矢量分別為i,j,k,體心立方正格子的原胞基矢可取為a1a(ijk),2a2a(ijk),2a3a(ijk).2以上三式與面心立方的倒格基矢對比較，二者只相差一常數公因子，這說明面心立方的倒格子是體心立方。將體心立方正格子原胞基矢代入倒格矢公式b12[a2a3],b22[a3a1],b32[a1a2].則得其倒格子基矢為b12(ik),ab22(ki),ab32(ij).a可見體心立方的倒格子是面心立方。8．六角晶胞的基矢a3ai

a

j,2

2b

3ai

a

j,2Cck求其倒格基矢。[解答]晶胞體積為a[bc](

3ai

a

j)[

(

3ai

a

j)

(ck)]2

2

2

2a2c.2其倒格矢為a2[bc]2[(3aiaj)(ck)]2223a2c2(3ij).a3b2[ca]2[(ck)(3aiaj)]2223a2c2(3ij).a3c2[ab]2[(3aiaj)(3aiaj)]222223a2ckc9．證明以下結構晶面族的面間距：（1）立方晶系:22212dhkl[kl],ah(l)2]（2）正交晶系:dhklhk221abc（3）六角晶系:dhkl[4(h2k2hk)(l)2]213a2c（4）簡單單斜:dhkl[1(h2l22hlcos)k2]2.1sin2a2c2acb2[解答]（1）設沿立方晶系軸a,b,c的單位矢量分別為i,j,k,則正格子基矢為aai,bbj,cak,圖立方晶胞倒格子晶矢為a2i,b2j,c2k.aaa與晶面族(hkl)正交的倒格為Khklhakblc.由晶面間距dhkl與倒格矢Khkl的關系式dhkl2Khkl得，adhkl.h2k2l2（2）對于正交晶系，晶胞基矢a,b,c相互垂直，但晶格常數abc.設沿晶軸a,b,c的單位矢量分別為i,j,k則正格子基矢為aai,bbj,cck,圖正交晶胞倒倒格子基矢為a2i,b2j,c2k.abc與晶面族(hkl)正交的倒格為Khklhakblc.由晶面間距dhkl與倒格矢Khkl的關系式dhkl2Khkl得dhkl[(h)2(k)2(l)2]abc

12（2）對于六角晶系，abc,90,120,晶面族(hkl)的面間距圖六角晶胞dhkl222.Khklhakblc2hkkblc也即1122222[h2ak2bl2c2hk(ab)2kl(bc)2hl(ac)].dhkl4由圖可得六角晶胞的體積ca(ab)a2csina2csin1203a2c.2倒格基矢的模aba2bc2acsin4,32a2c3acc2ab2a2sin2.32a2cc倒格基矢的點積ab42422[bcca]2c[abc]}42bccabacc242a2c2coscoscos8223a2.此中利用了矢量混雜的循環(huán)關系ABCBCACAB及關系式ABCBACCAB.因為ab矢量平行于c所以4ac

22

bcab0,bc

4

22

caab0.將以上諸式代入（1）式得24(h2k2hk)l2dhkl22,3ac即dhkl=[4(h2k2hk)(l)2]123a2c（4）單斜晶系晶胞基矢長度及晶胞基矢間的夾角分別滿足abc和90,90晶胞體積b(ca)abcsin由a2bcb2cac2ab得其倒格子基矢長度a2bc2a,abcsinasin及b2bbc2cacsin倒格基矢間的點積ca

44

222

abbc=

2

abbcacbb42ab2c(coscoscos)=

abcsin2因為(ca)矢量平行于b所以4ab

22

bcca0bc

4

22

caab將以上諸式代入11h2a22l2c22hkaab2klbc2hlack2bdhkl24獲得1h2k2l22hlcosdhkl2a2sin2b2c2sin2acsin2=1h2l22hlk2sin2a2c2acb21h2l22hlcos12即dhklk2sin2a2c2acb210．求晶格常數為a的面心立方和體立方晶體晶面族h1h2h3的面間距[解答]面心立方正格子的原胞基矢為a1ajk2a2aki2a3aij2由b12a2a3,b22a3a1,b32a1a2,可得其倒格基矢為b12jk,iab22jk,iab32jk,ia倒格矢Khh1b1h2b2h3b3.依據《固體物理教程》（1。16）式dh1h2h32,Kh得面心立方晶風光族h1h2h3的面間距2dh1h2h3Kh=a21222h1h2h3h1h2h3h1h2h3體心立方正格子原胞基矢可取為a1ajki2a2ajki2a3aijk2其倒格子基矢為b12jkab22kiab32ija則晶面族h1h2h3的面間距為dh1h2h32aKhh2h32h3h12h1h221211．試找出體心立方和面心立方結構中，格點最密的面和最密的線。[解答]由上題可知，體心立方晶系原胞坐標系中的晶面族h1h2h3的面間距dh1h2h3a2h3h12h1h22h2h3可以看出，面間距最大的晶面族就是001，將該晶面指數代入《固體物理教程》（）式，獲得該晶面族對應的密勒指數為110面間距最大的晶面上的格點最密，所以密勒指數110晶面族是格點最密的面，格點最密的線必定分布在格點最密的面上，由圖虛線標出的(110)晶面簡單算出，最密的線上格點的周期為圖體心立方晶胞3a2由上題還知，面心立方晶系原胞坐標系中的晶面族h1h2h3的面間距dh1h2h3a2h1h2h32h1h2h32h1h2h3可以看出，面間距最大的晶面族是111。由本章第15題可知，對于面心立方晶體，晶面指數h1h2h3與晶面指數(hkl)的變換關系為1h1h2h3h1h2h3h1h2h3,hklp將晶面指數111代入上式，獲得該晶面族對應的密勒指數也為111.面間距最大晶面上的格點最密，所以密勒指數111晶面族是格點最密的面,格點最密的線必定分布在格點最密的面上,由圖虛線標出的(111)晶面上的格點簡單算出,最密的線上格點的周期為2a2圖面心立方晶胞12．證明晶面h1h2h3,h1'h2'h3'及h1"h2"h3"屬于同一晶帶的條件h1h2h3h1'h2'h3'0h1"h2"h3"[解答]設原胞坐標系中的倒格子基矢為b1,b2,b3,則晶面h1h2h3，h1'h2'h3'及h1"h2"h3"的倒格矢分別為Khh1b1h2b2h3b3,Kh'h1'b1h2'b2h3'b3,Kh"h1"b1h2"b2h3"b3.當三個晶面共晶帶時,它們的交線相互平行,這些交線都垂直于倒格矢KhKh'Kh"即KhKh'Kh"位于同一平面上,于是有KhKh'Kh"0利用正倒格子的關系a`2b1b2,b22b3b1,b32b1b2得Kh'Kh"h1'h2"h2'h1"b1b2h2'h3"h3'h2"b2b3h3'h1"h1'h3"b3b1h1'h2'h2'h3'h3'h1'2[""a3""a1""a2],h1h2h2h3h3h1式中為倒格原胞體積,于是獲得1Kh1'h2'h2'h3'h3'h1'KhK'"h3h2"h1h3"h2h1"hhh1"h2"h3"h1h2h3h1'h2'h3'.h1"h2"h3"代入(1)式,得h1h2h3h1'h2'h3'0h1"h2"h3"13.晶面h1h2h3,h1'h2'h3'的交線與晶列Rll1a1l2a2l3a3,平行,證明l1h2h3,l2h3h1,l3h1h2.h2h3h3h1h1h2[解答]與晶面h1h2h3,h1'h2'h3'垂直的倒格矢分別為Khh1b1h2b2h3b3,Kh'h1'b1h2'b2h3'b3,晶面的交線應同時與Kh和Kh'垂直,即與KhKh'平行,而KhKh'h1h2b1b2h2h3b2b3h3h1b3b1'''''h1h1h2h2h3h3h1h2h2h3h3h12h1'h2'a3h2'h3'a1h3'h1a2,式中b1b2b3為倒格原胞體積,a1,a2,a3為正格原胞基矢已知晶面h1h2h3,h1'h2'h3'的交線與晶列Rll1a1l2a2l3a3平行,即Rl和Kh'Kh"平行,所以l1,l2,l3可取為l1h2h3,l2h3h1,l3h1h2.h2h3h3h1h1h214．今有正格矢ula1ma2na3,vl'a1m'a2n'a3,wl"a1m"a2n"a3.此中l(wèi),m,n;l',m',n'及l(fā)",m",n"均為整數,試證u,v,w可選作基矢的充分條件是l

l

'

l"mm'

m"

1.nn'

n"[解答]解法一:固體物理原胞的采納方法有無數種

,但它們有一個無同的特色

,即它們的體積都相等,是晶體的最小重復單元。所以

u,v,w

可選作基矢的充分條件是，由基矢u,v,w

構成的原胞體積必定等于由基矢

a1,a2,a3

構成的原胞體積，即uv

w

a1

a2

a3將ula1

ma2

na3,vl'a1

m'a2

n'a3,wl"a1

m"a2

n"a3代入u

v

w得uv

wul'm"

m'l

"

a1

a2

m'n"

n'm"

a2

a3

n'l"

l'n"

a2

a3nl'm"

m'l

"

lm'n"

n'm"

mn'l"

l'n"l

l'

l"mm'

m"

.nn'

n"將上式代入（1）得ll'l"mm'm"1.nn'n"解法二：設a1

xu

yv

zw，當

u,v,w為基矢時，

x,y,z應取整數值，將ula1vl'a1wl"a1

ma2m'a2m"a2

na3,n'a3,n"a3.代入a1

xu

yv

zw

得a1xuyvzwxlyl'zl"a1xmym'zm"a2xnyn'zn"a3.xlyl'zl"1由此得方程組xmym'zm"0xnyn'zn"0解方程得11l'l"x0m'm",0n'n"l1l"y1m0m",n0n"ll'1z1mm'0,nn'0ll'l"m'm".nn'n"因為x,y,z的表示式中的三分子的行列式的值均為整數，x,y,z為整數，所以u,v,w可選作基矢的充分條件是ll'l"mm'm"1nn'n"15．對于面心立方晶體，已知晶面族的密勒指數為hkl，求對應的原胞坐標中的面指數h1h2h3若已知h1h2h3求對應的密勒指數hkl。[解答]由《固體物理教程》（1。3）式和（1。4）兩式得面心立方晶體原胞坐標系中的倒格基矢b1,b2,b3與晶胞坐標系中的倒格基矢a,b,c的關系為b12ijkabc,ab22ijkabc,ab32ijkabc.a也即a2i1b2b3,a2b2j1b3b1,a2c2k1b1b2.a2與晶面族hkl垂直的倒格矢Khklhakblc1klb1lhb2hkb321pKhhh1ph1b1h2b2h3b3,21232Kh1h2h3與晶面族h1h2h3正交，所以，若已知晶面族的密勒指數(hkl)則原胞坐標系中的面指數h1h2h31(kl)lhhkp此中p是(kl),lh,hk的合約數相同Kh1h2h3h1b1h2b2h3b3h1h2h3ah1h2h3bh1h2h3cp'Khklp'hakblc.Khkl與晶面族(hkl)正交，所以，若已知晶面族的面指數h1h2h3則晶胞坐標系中的面指數1h1h2h3h1h2h3h1h2h3,(hkl)'p此中p'是h1h2h3,h1h2h3,h1h2h3的合約數。16．證明不存在5度旋轉對稱軸。[解答]以下邊所示，A,B是同一晶列上O格點的兩個近來鄰格點，假如繞經過O點并垂直于紙面的轉軸順時針旋轉角，則A格點轉到A'點，若此時晶格自己重合，點處本來必定有一格點，假如再繞經過O點的轉軸逆時針旋轉角，則晶格又恢復到未轉動時的狀態(tài)，但逆時針旋轉角，B格點轉到B'處，說明B'處本來必定有一格點，可以把格點看作分布在一族相互平行的晶列上，由圖１．１６可知，A'B'晶列與AB晶列平行．平行的晶列擁有相同的周期，若設該周期為a則有圖晶格的旋轉對稱性A'B'2acosma,此中m為整數，由余弦的取值范圍可得mcos1.于是可得m0:,3;22m1:,2,4,5;3333m2:,2.因為逆時針旋轉3，4,5分別等于順時針旋轉2，2，,23333所以晶格對稱轉動所同意的獨立轉角為2,,2,,.23上邊的轉角可一致寫成,n1,2,3,4,6n稱n為轉軸的度數，由此可知，晶格的周期性不一樣意有５度旋轉對稱軸．17．利用轉動對稱操作，證明六角晶系介電常數矩陣為11000220.0033［解答］由《固體物理教程》（1。21）式可知，若A是一旋轉對稱操作，則晶體的介電常數滿足A'A.對六角晶系，繞x（即a）軸旋180和繞z（即c）軸旋120都是對稱操作，坐標變換矩陣分別為100Ax01000113022Az310.22100假設六角晶系的介電常數為111213212231.313233則由A'xAx.得111213111213212231212231.313233313233可見120,130,310.1100即02231。03233將上式代入A'xAx.得1100022310323311132231132232344442333114112241122223341432323322由上式可得230,320,1122.于是獲得六角晶系的介電常數11000110.003318．試證三角晶系的倒格子也屬三角晶系，[解答]對于三角晶系，其三個基矢量的大小相等。且它們相互間的夾角也相等。即aa1ba2ca3a,.利用正倒格子的關系，得b12[a2a3]2a2sinb,b22[a3a1]2a2sinb,b32[a1a2]2a2sinb.設b1與b2的交角為12,b2與b3的交角為23,b3與b1的交角為31則有b1b2b2cos1242a2a3a3a1242a2a3a32a142a1a2a22a1a3a2a342a42cos.2cos由（1）和（2）式得cos12cos2coscos1coscossin21cos21cos由b2b3和b3b1可得coscos

2331

cos1,coscos可見倒格基矢b1與b2的交角，b2與b3的交角,b3與b1的交1.cos角都相等，這表示三個倒格基矢的長度不但相等，且它們之間的夾角也相等，所以三角晶系的倒格子也屬于三角晶系.19．談論六角密積結構，X光衍射消光的條件.[解答]圖示出了六角密積結構的一個晶胞，一個晶胞包括兩個原子，它們的地點矢量分別是r10,r22a1b1c.332圖六角密積晶胞因為是密積結構，所以原子散射因子f1f2f.將上述結果代入幾何因子2fjei2nhujkvjlwj,Fhklj1i2n2h1k1l得Fhklffe332.(hkl)晶面族惹起的衍射光的總強度211i2nhklIFhklFhklffe332

211i2nhklffe332f2f22f2cosn4h2kl332f21cosn4h2kl.33由上式知，只有當n42l奇數，hk33時，才出現衍射消光.現將h,k,l的取值范圍談論以下：(a)當n為奇數時，若l為偶數，則nl也為偶數,為保證42nhkl=奇數,33成立，須有n4h2k奇數，33由此知2n2hk3奇數奇數.但因為h,k為整數，上式左端是偶數，右端是奇數，明顯是不成立的，矛盾的產生是l為偶數的條件以致的，所以l不可以為偶數，而只好為奇數，因此n4h2k偶數33即2hk3整數整n當n為偶數時，由n4h2kl奇數33得n4h2k3l3奇數奇數上式左端是偶數，右端是奇數，明顯也不成立，矛盾的產生是n為偶數的條件以致的，所以n不可以為偶數，由上述談論可知，衍射消光條件為nl

奇數奇數2h

k

3

整數(=整數)n20．用波長為1.5405的X光對鉭金屬粉末作衍射解析，測得布拉格角大小為序的五條衍射線，見表1-1序號12345已知鉭金屬為體心結構，求（1）衍射晶面族的晶面指數；（2）晶格常數a[解答]（1）對于立方晶體，晶面族（hkl）的面間距dhkla,k2h2l2布拉格反射公式2dhklsinn相應化為sinnh2nk2nl2.2a可見sin與衍射面指數的平方和的開根成正比，由已知條件可知sin19.611:sin28.136:sin35.156:sin41.156:sin47.7691:1.405:1.7156:1.9608:2.2061.對于體心立方晶系，衍射面指數的和n（）為偶數出現衍射極大，因h+k+l此，對應衍射角由小到大擺列的衍射晶面族是（110），（200），（121），（220），（310），而12120:2200:122212:22220:321201:4.414:1.732:2.00:2.236..從各衍射角的正弦之比與衍射面指數的平方和的開根之比可以看出，二者比值是十分湊近的，存在的小小偏差，可能是丈量偏差所致，所以，對應布拉格角大小為序的五條衍射線的衍射晶面族是（110），（200），（121），（220），（310）。（2）將1.5405,19.611,nhnknl110代入sinnh2nk2nl22a獲得鉭金屬的晶格常數a3.24621．鐵在20C時，獲得最小三個衍射角分別為812',1138',1418';當在1000C時，最小三個衍射角分別變?yōu)?55',99',1259'.已知在上述溫度范圍，鐵金屬為立方結構。（1）試解析在20C和1000C下，鐵各屬于何種立方結構（2）在20C下，鐵的密度為7860kgm3求其晶格常數。[解答]（1）對于立方晶體，晶面族（hkl）的面間距為dhkla2k2l2h布拉格反射公式2dhklsinn相應化為sin.nh2nk2nl22a可見sin與nh2nk2nl2成正比對于體心立方元素晶體，衍射面指數和n（h+k+l）為奇數時，衍射消光；衍射面指數和n（h+k+l）為偶數時，衍射極大，所以，對應最小的三個衍射面指數挨次為（110），（200），（211）.這三個衍射角的衍射面指數平方和的平方根之比為12120:2200:2212121:4.414:1.73205.鐵在20C時，最小的三個衍射角的正弦值之比sin812':sin1138':sin1418'=0.142628:0.201519:0.2469991:1.41421:1.731777可見，鐵在20C時最小的三個衍射角的正弦值之比，與體心立方元素晶體最小的三個衍射面指數的衍射面指數平方和的平方根之比極其湊近（存在偏差一般是實驗偏差所致）。由此可以推測，鐵在20C時為體心立方結構。對于面心立方元素晶體，衍射面指數nh,nk,nl全為奇數或全為偶數時，衍射極大，對應聞小三個衍射角的衍射面指數挨次為(111),(200),(220)這三個衍射角的衍射面指數平方和的平方根之比為121212:220202:2222021:1.15470:1.63299鐵在1000C時最小的三個衍射角的正弦值之比sin755':sin99':sin1259'=::.224668=1::可見，鐵在1000C時最小的三個衍射角的正弦值之比，與面心立方元素晶體最小的三個衍射角的衍射面指數平方和的平方根之比極其湊近，由此可以推測，鐵在時為面立方結構（2）鐵在時為體立心結構，一個晶胞內有兩個原子，設原子的質量為m，晶格常數為a，則質密度2m3a晶格常數則為2ma3.一個鐵原子的質量55.847103kg,m10236.022最后得鐵在20C時的晶格常數a2.85522．對面心立方晶體，密勒指數為121的晶面族能否出現一級衍射斑點，從光的干射說明之。[解答]由本章第10題可知，對于面心立方晶體，晶面族h1h2h3的面間距dh1h2h3a.h2h3h1h2h3h1h2h3h1222由本章第15題可知，對于面心立方晶體，晶面指數123與晶面指數（hkl）hhh的變換關系為h1h2h31kllhhk.p'將上式代入前式得dh1h2h3p'a,2h2k2k2因為立方晶系密勒指數晶面族的面間距dhkla,h2k2k2所以對于立方晶系，兩套晶面指數對應的晶面族的面間距的關系為dhhhp'dhkl.1232將上式代入兩套坐標中的布拉格反射公式2dhhhsinn',1232dhklsinn獲得2n'n

p'將密勒指數121代入（1）式，得h1h2h3301.由上式可知，p'1,n2n'這說明，對于密勒指數121的晶面族，衍射極大的最小級數是2，也許說，對于密勒指數121的晶面族，它的一級衍射是消光的，對于密勒指數121的晶面族，它一級衍射產生的原由可從光的干涉來解說。圖示出了121晶面族的1級衍射狀況，1與3晶面的面間距為dhkl對于該晶面族的1級衍射，有2dhklsin比較衍射表示圖1。18上式恰好是1與3晶面產生的光程差，也就是說1與3晶面產生的光程差為1個波長，由此推論，1與3晶面的反射光的相位差為2，它們的確是相互增強的，但實質（對于非復式格子）的面間距為dhkldh1h2h32即1與3晶面中間實質還有1個原子層，在這類狀況下，相鄰原子層的反射光的相位差為衍射光是相互抵消的，這就是密勒指圖121面的一級衍射數121的晶面族一級衍射產生消光的原由.23．設有一面心立方結構的晶體，晶格常數為a.在轉動單晶衍射中，已知與轉軸垂直的晶面的密勒指數為hkl求證sinmmp,k2ah2l2此中p是一整數，m是第m個衍射圓錐母線與hkl晶面的夾角。拜見圖所示反射球，圖反射球[解答]轉動單晶衍射法，晶體正格子轉動，倒格子也轉動，倒格點可以看作分布在與轉軸垂直的，等間距的一個個倒格晶面上，因為倒格晶面旋轉，落在反射面球面上的倒格點的跡線形成一個個圓，反射球心到跡線上任一點的邊線即是衍射極大的方向反射球心就任一跡線連線構成一個個圓錐面。設本題晶體一與轉軸垂直的倒格面面指數為(l1l2l3)則倒格面的面間距d22.Rlll3l1al2al3a12此中正格矢與倒格面垂直，即與轉軸平行，由圖1。19得sinmmd,2此中是的光的波矢，即反射球的半徑，此刻已知與轉軸垂直的晶面的密勒指數為（hkl）由題5可知，晶列Rhklhakblc與轉軸平行，利用面心立方結構晶胞基矢與原胞基矢的關系aa1a2a3ba1a2a3ca1a2a3可得Rhklhakblchkla1hkla2hkla3=pRl1l2l3此中p是hkl,hkl,hkl合約數，由立方晶體的Rhklhakblcah2k2l2可得sinmmpah2k2l224．在20C時銅粉末樣品的一級衍射角是在1000C時是，求銅的線脹系數。[解答]設銅的衍射面指數為（hkl）在20C時的面間距為dhkl,在1000C時的面間距為dhkl'則由布拉格反射公式得2dhklsin47.752dhkl'sin46.60由以上兩式得dhkl'sin47.751.019.dhklsin46.60銅的線膨脹系數dhkl'dhkldhkl'111.94105C.dhkl100020Cdhkl980C25．若X射線沿簡立方晶胞的OZ軸負方向入射，求證：當2l或cosl2k2時一級衍射線在YZ平面內，此中是衍射光輝ak2l2l2k2與OZ軸的夾角。[解答]1）解法一由布拉格反射公式2dhklsin和立方晶系晶面族（hkl）的面間距dhkla2k2l2h獲得sinh2k2l2.a將已知條件代入上式得sin2ll2h2k2l2.k由已知條件可畫出X光入射波矢k0與反射矢k的關系圖，由圖中和幾何關系圖k0與反射波矢k的關系圖可知2.2于是有sincosll2h2k2l2.2k2利用cos1cos22獲得cosll2ll2h2k2l2.2k2k2由上式可知h0于是k-k0=K=kblc2yl2z.kaa此中y和z分別是x軸和y軸方向的單位矢量，于是k=k0+k2yl2zaa因為k0在YZ平面內，所以一級衍射線也在YZ平面內。（2）解法二設x,y,z分別是平行于a，b，c軸的單位矢量，衍射波矢k與a，b，c軸的夾角分別為,,則有k=2cosxcosycosz,k0=2z.由1級衍射條件得k-k0=K=hakblc2cosxcosycoszz.aKh2a2cos,于是bKk2a2coscKl2a2cos(1).由以上三式解得cosh,cosk,cosl1.aaa由cos2cos2cos21獲得2l2.ah2k2l將上式與已知條件2lak2l2比較獲得h=0.于是hah2x2cosx0,ak2(cosycosz)上式說明一級衍射線在YZ平面內26．一維原子鏈是由A,B兩種原子構成，設A,B原子散射因子分別為fA和fb入射X射線垂直于原子鏈，證明（1）衍射極大條件是acosn,a是晶格常數,是衍射束與原子鏈的夾角.（2）當n為奇數，衍射強度比率于fA2fB.（3）談論fAfB狀況[解答]當入射X（1）以下列圖，設原子是等間距的，衍射光束與原子鏈的夾角為.光垂直于原子鏈時，A原子或B原子散射波圖X光衍射的光程差為acos.當acosn時，各A原子（或B原子）的散射波的相位差為0,散射波相互增強,形成很強的衍射光.（2）一個原胞內包括A,B兩個原子能，取A原子的坐標為(000)1B原子的坐標為(00).衍射光的強度22Ifjcos2nhujfjsin2nhujjj(fAfBcosnh)2從上式可知，取h為1，當n為奇數時，衍射光的強度正比于2fAfB,（3）若fAfBf,當n為奇數時，衍射光的強度為0.這時，A原子與B原子的散射波的相位差為,相位相反,相互抵消,即對應消光現象.當n為偶數時,衍射光的強度最強,I4f2.27．證明當電子的幾率分布函數(r)與方向沒關時，原子散射因子是一實數。[解答]由《固體物理教程》（1。37）式得，原子散射因子i2srfse(r)d當電子的幾率分布函數(r)與方向沒關時，設(r)=rsrsrcos基中取s的方向為球坐標的極軸方向，于是fsi2sri2cose(r)de(r)2r2sinddr.00作變量變換x2srcos,2rsinddx.s獲得r2srfs0reixdxdrs2sr02rrsin2srdrR.s上式積分R是一個實數。第2章晶體的聯合習題1.有一晶體,均衡時體積為V0，原子間相互作用勢為U0.假如相距為r的兩原子互作用勢為aurmrn證明r(1)體積彈性模量為K=U0mn.9V0(2)求出體心立方結構惰性分子的體積彈性模量.[解答]設晶體共含有N個原子,則總能量為U(r)=1'urij.2ij因為晶體表面層的原子數量與晶體內原子數量對比小得多,所以可忽視它們之間的基異,于是上式簡化為U=N'urij.2j設近來鄰原子間的距離為R則有rijajR再令Am'1m,An'1n,獲得U=NAmAnmn.jajjaj2R0R0均衡時R=R0,則由已知條件U(R0)=U0得NAmAnU02R0mR0n由均衡條件dU(R)0dRR0得NmAmnAn0.2R0m1R0n1由(1),(2)兩式可解得Am2U0nR0m,N(mn)An2U0nR0n.N(mn)利用體積彈性模量公式[拜見《固體物理教程》式]K=R022U得K=1Nm(m1)Amn(n1)An9V0R29V02R0mR0nR01Nm(m=R0m9V02因為U00,所以U0

1)2U0nR0mn(nN(mn)R0nU0,于是K=U0

1)2U0mR0n=mnN(mn)U09V0.mn.9V0由《固體物理教程》式可知,一對惰性氣體分子的互作用能為u(r)ABr6r12.若令A2B16,A,則N個惰性氣體分子的互作用勢能可表示為4B126U(r)2NA12RA6R.1NA62dU(R)6由均衡條件0可得R02A12.進一步得U0U(R0).dRR0A62A12mn4N33A652.并取m=6，n=12，V03A12.代入K=U0R0得K=23A129V033A612.25,A129.11.于是K70.1對體心立方晶體有3.2.一維原子鏈,正負離子間距為a,試證:馬德隆常數為21n2.[解答]相距rij的兩個離子間的互作用勢能可表示成u(rij)q2b.4rijrijn設近來鄰原子間的距離為R則有rijajR,則總的離子間的互作用勢能U=N'urijN[q'11'b.2j240RjajRnjanj基中'1ajj為離子晶格的馬德隆常數,式中+;-號分別對應于與參照離子相異和相同的離子.任選一正離子作為參考離子,在乞降中對負離子到正號,對正離子取負號,考慮到對一維離子兩邊的離子是正負對稱分布的,則有'(1)21111.利用正面的展開式jaj12341n(1+x)xx2x3x4,234并令x1得1111=1n(1+1)=1n2.于是,一維離子鏈的馬德常數為21n212343.計算面心立方面簡單格子的A6和A12只計近來鄰;計算到次近鄰;計算到次近鄰.[解答]圖示出了面心立方簡單格子的一個晶胞.角頂O原子四周有8個這樣的晶胞,標號為1的原子是原子O的近來鄰標號為2的原子是O原子的近來鄰,標號為3的原子是O原子的次次近鄰.由此獲得,面心立方簡單格子任一原子有12個近來鄰,6個次近鄰及24個次次近鄰.以近來鄰距離胸懷,其距離分別為:aj1,aj2,aj3.由16'112',A12.A6ajajjj圖面心立方晶胞得612，A12(1)12*112(1)只計近來鄰時A6(1)12*112.11計算到次近鄰時616A6(2)16*12.750,12*211212A12(2)12*16*112.094.12計算到次次近鄰時666A6(3)12*16*124*113.639,123由121212A12(3)12*16*124*112.127.123以上可以看出,因為A12中的冪指數較大,A12收斂得很快,而A6中的冪指數較小,所以A6收斂得較慢,平時所采納的面心立方簡單格子的A6和A12的數值分別是與.4.用埃夫琴方法計算二維正方離子(正負兩種)格子的馬德隆常數.1[解答]馬德隆常數的定義式為,式中+、-號分別對應于與參照離子相異和相同的離子,aj二維正方離子(正負兩種)格子,實質是一個面心正方格子,圖示出了一個埃夫琴晶胞.設參照離子O為正離子,位于邊棱中點的離子為負離子,它們對晶胞的貢獻為4*(1/2).對參照離子庫侖能的貢獻為圖二維正方離子晶格14*2.14*1頂角上的離子為正離子,它們對晶胞的貢獻為4*(1/4),對參照離子庫侖能的貢獻為4.所以24*14*1經過一個埃夫琴晶胞算出的馬德隆常數為241.293.再采納224個埃夫12琴晶胞作為考慮對象,這時離子O的最的鄰,次近鄰均在所考慮的范圍內,它們對庫侖能的貢獻為44,而邊棱上的離子對庫侖能的貢獻為4*18*122,12254*1頂角上的離子對為庫侖能的貢獻為4,這時算出的馬德隆常數為8圖4個埃夫琴晶胞同理對329個埃夫琴晶胞進行計算,所得結果為1111444844*8*8*4*22241.611122583101318對4216個埃夫琴晶胞進行計算,所得結果為4448448841225831013184*18*1114*1228*8*44221.61410172532入采納n2個埃夫琴晶胞來計算二維正方離子(正負兩種)格子的馬德隆常數,其計算公式(拜見劉策軍,二維NaC1晶體馬德隆常數計算,《大學物理》，,,1995.)為4An1Bn8Cn1Dn,n1.n11)t11An1(,此中t1t1Bn(1)n1,2nCn1111212122222222212112(n1)2(n1)2(n1)2(n2)2,1(1)n112(n1)2Dn1n22n21(1)n1.8n2(n1)22n212用埃夫琴方法計算CsCl型離子晶體的馬德隆常數只計近來鄰取八個晶胞[解答](1)圖是CsCl晶胸結構,即只計及近來鄰的最小埃夫琴晶胞,圖a是將Cs雙在體心地點的結構,圖(a)是將Cl取在體心地點的結構,簡單求得在只計及近來鄰狀況下,馬德隆常數為1.圖（a）Cs取為體心的CsC1晶胞,(b)C1取為體心的CsC1晶胞(2)圖是由8個CsCl晶胞構成的埃夫琴晶胞,8個近來鄰在埃夫琴晶胞內,每個離子對晶胞的貢獻為考離子異號,所以這8個離子對馬德隆常數的貢獻為8

1,它們與參埃夫琴晶胞6個面上的離子與參照離子同號,它們對埃夫琴晶胞的貢獻是1,它們與參照離子的6*1222R距離為它們對馬德隆常數的貢獻為-32/3圖8個CsCl晶胞構成的一個埃夫琴晶胞埃夫琴晶胞楞上的12個離子,與參照離子同號,它們對埃夫琴晶胞的貢獻是1它們與參照離子的4距離為22R它們對馬德隆常數的貢獻為-12*1/4埃夫琴晶胞角頂上的8個離子,與參3223考離子同號,它們對埃夫琴晶胞的貢獻是1它們與參照離子的距離為2R它們對馬德隆常數的貢8*188,由8個CsCl晶胞構成的埃夫琴晶胞計算的馬德隆常數獻為-286*(1/2)12*(1/4)8*(1/8)為了進一步找到馬德常數2/322323.064806.的規(guī)律,我們以計算了由27個CsCl晶胞構成的埃夫琴晶胞的馬德隆常數,結果發(fā)現,由27個CsCl晶胞構成的埃夫琴晶胞的馬德隆常數是.馬德隆常數的不收斂,說明CsCl晶胞的結構的馬德隆常數不可以用傳統(tǒng)的埃夫琴方法計算.為了找出合理的計算方法,一定第一找出采納單個埃夫琴晶胞時馬德隆常數不收斂的原由.為了便于計算,平時取參照離子處于埃夫琴晶胞的中心.假如以Cs作參照離子,因為埃夫琴晶胞是電中性的要求,則邊長為2pa(p是大于或等于1的整數)的埃夫琴晶胞是由(2p)3個CsCl晶胞所構成,埃夫琴晶胞最外層的離子與參照離子同號,而邊長為(2p+1)的埃夫琴晶胞是由3個CsCl晶胞所構成,但埃夫琴晶胞的最外層離子與參照離子異號,假如以C1作參照離(2p+1)子也有相同的規(guī)律,設參照離子處于坐標原點O,沿與晶胞垂直的方向(分別取為x,y,z圖示出了z軸)看去,與參照郭同號的離子都分布在距O點ia的層面上,此中i是大于等于1的整數,與O點離子異號的離子都分布在距O點ia的層面上,圖(a)示出了同號離子層,圖(b)示出了異號離子層.圖離子層表示圖(a)表示同號離子層,O離子所在層與O'離子所在層相距ia(b)表示異號離子層,O離子所在層和O'離子所在層相距ia當CsCl埃夫琴晶胞邊長很大時,晶胞最外層的任一個離子對參照離子的庫侖能都變得很小,但它們對參考離子總的庫侖能不可以忽視.對于由(2p)3個CsCl晶胞所構成的埃夫琴晶胞來說,最外層有6*(2p)2個與參照離子同號的離子,它們與參照離子的距離為(1/2)pa~(32)pa,它們與參照離子的庫侖能為pe240a量級,這是一個相對大的正當.對于由(2p+1)3個CsCl晶胞所構成的埃夫琴晶胞來說,離外層有6*(2p+1)2個與參照離子異號的離子,它們與參照離子的庫侖能為pe240a量級,這是一個絕對值相對大的負值,所以,由(2p)3個CsCl晶胞構成的埃夫琴晶胞所計算的庫侖能,與由(2p+1)3個CsCl晶胞構成的埃夫琴晶胞所計算的庫侖能會有較大的差異.即每一狀況計算的庫侖能都不可以代表CsCl晶體離子間相互作用的庫侖能.所以這兩種狀況所計算的馬德隆常數也必定有較大的差異,由1個CsCl晶胞、8個CsCl晶胞和27個CsCl晶胞構成的埃夫琴晶胞的計算可知,CsCl埃夫琴晶胞體積不大時,這類現象已經存在.為了戰(zhàn)勝埃夫琴方法在計算馬德隆常數時的限制性,可采納以下方法,令由(2p)3個CsCl晶胞構成的埃夫琴晶胞計算的庫侖能為U1，由(2p+1)3個CsCl晶胞構成的埃夫琴晶胞所計算的庫侖能為U1，則CsCl晶體離子間相互作用的庫侖能可近似取作1(U1U2)U(1)2因子1/2的引入是考慮除了(2p+1)3個CsCl晶胞構成的埃夫琴晶胞最外層離子外,其余離子間的庫侖能都累計了兩偏,計算U1和U2時要采納體積足夠大的埃夫琴晶胞,此時埃夫琴晶胞最外層離子數與晶胞內的離子數對比是個很小的數,相應的馬德隆常數應為1(12)(2)2此中：'1是由(2p)3個CsC1晶胞構成的埃夫琴晶胞計算的值;1'1由1aiaijj(2p+1)3個CsC1晶胞構成的埃夫琴晶胞所計算成本的值.為簡化計算,特采納晶胞邊長a為計算單位,因為2R3a,所以3',''12iai'此中ai'(3)是某一離子到參點的距離與a的比值.考慮到對稱性,對選定的埃夫琴晶胞,把晶胞的離子看作分布在一個個以參照離子為對滿意的正六面體的六個面上,體積不一樣的正六面六個面上的離子分別計算.由(2p)3個CsC1晶胞構成埃夫琴晶胞時,由解析整理可得3p1pCp,12AiBi(4)i1i1由(2p+1)3個CsC1晶胸構成埃夫琴晶胞時,3p1pDp,22AiBi(5)i1i1iikx'y'此中：Ai(1ip),(6)''x'2y'2i2xyAi表示與O點距離為ia的6個面上所有的離子對馬德隆常數的面貢獻,因為這些離子與參照離子同號,故到負號.x'、y'是離子在平面o'x'y'上的坐標,k''代表6個面上等價離子的個數,其取值xy規(guī)則為:(1)在角上(如E點),即x'=i且y'=i.時,kx'y'=8；(2)在棱與坐標軸的交點(如F點)，x'=i且y'=0或x'=0且y'=0時,kx'y'=6(3)在棱上的其余點(如H、I點)即不滿足上述條件,且x'=i或y'=i.時,kx'y'=12(4)在O'點,即x'=0且y'=0時,kx'y'=6(5)在除O'點外的面上的點(如J點),即不滿足上述條件時，kx'y'=24.ik'Bix'y'(1ip),(7)'x'2y'2(i0.5)2x0.5y0.5Bi代表距O點距離為ia的6個面上的離子對馬德隆常數的貢獻,因為這類些離子與參照離子異號,故取正號.x',y'是離子在平面o'x'y'上的坐標,kx''y'代表這6個面上等價離子的個數,其取值規(guī)則為:(1)在角上(如K點),即x'=i且y'=i.時,kx''y'=8;在棱下(如L、M點),即不滿足不述條件(3)在面上(如N點)好不滿足上述條件時,iik"''(iCixy'2'2x'0y'02xyi

''',且x=i或y=i時，kx'y'=12；'kx'y'=24.p),Ci表示在邊長為2pa的晶胞最外層,即與參照離子相距pa的6個面上的離子對馬德隆常數的貢獻,應取負號,與Ai的不一樣在于k"''的取值:xy在角上,在棱上,在面上,

"kx'y'=kx'y'/8;"kx'y'=kx'y'/4;"kx'y'=kx'y'/2.i0.5i0.5'''kx'y'Di(ip),'2'2x0.5y0.52xy(i0.5)Di表示在邊長為2(p1)a的晶胞最外層,即與參照離子相距(p+a的離子層對馬德隆常數的貢獻,應取正號,與Bi'''y'的取值:的不一樣在于kx'在角上,在棱上,在面上,

''''kx'y'=kx'y'/8;''''kx'y'=kx'y'/4;''''kx'y'=kx'y'/2.表給出了計算結果,給出的是由分別對應2p和2p+1的1和2求得的,實質上,1和2只要對應邊長周邊的埃夫琴晶胞即可,如取對應2p和2p-1的埃夫琴晶胞也可獲得相同的收斂結果,由以上數據可見,馬德隆常數隨晶胞邊長的增大而迅速收斂.該方法合用于NaC1結構之外離子晶體馬德隆常數的計算.表CsC1晶體結構馬德隆常數2p12p+212345101150511010102012003013004014005015006016007017008018006.只計及近來鄰間的排斥作用時,一離子晶體離子間的互作用勢為eRe2,(1)u(r)e2R(1)近來鄰(2)近來鄰之外,(2),r式中是常數,R是近來鄰距離,求晶體均衡時,原子間總的互作用勢.[解答]設離子數量為2N,以rijajR表示第j個離子到參照離子i的距離,忽視表面效應,則總的相互作用能可表示為U=N'e2eR(表示近來鄰)ajR=Ne2ZeR,R此中'1aji為馬德隆常數,+號對應于異號離子,-號對應于同號離子;Z為任一離子的近來鄰數量,設均衡時R=R0,由平衡條件dUNe2ZeR0,得dRRR020e2ZeR0.R02均衡時的總相互作用為U(R0)Ne2ZeR0Ne21.R0R0R0設離子晶體中,離子間的互作用勢為e2b,近來鄰u(r)RRme2,近來鄰之外r求晶體均衡時,離子間總的相互作用勢能U(R0)m1m1U(R0)(2)證明:Z此中是馬德隆常數，Z是晶體配位數[解答](1)設離子數量為2N,以rijajR表示第j個離子到參照離子i的距離,忽視表面效應,則總的相互作用能可表示'e2b(表示近來鄰)U=NajRRmje2b=NRZm,R此中'1,-號對應于同號離子.Z為任一離子的近來鄰數,為馬德隆常數,+號對應于異號離子aj目,設均衡時R=R0由均衡條件dUNe2Zmb0,得Zmb=e2drRR02R0m1R0m101即R0Zmbm1.e2于是,晶體均衡時離子間總的相互作用勢能U0=NZmbZbNZbmmm(m1).R0R0R0(2)晶體均衡時離子間的相互作用勢能可進一步化為m11U0=(m1)NbZm1(m1)Nb(me2m)m1m1m.Zmbm1Zm1(mb)m1e2m1m1U0.由上式可知Z8.一維離子鏈,其上等間距載有正負2N個離子,設離子間的泡利排斥只出此刻近來鄰離子之間n,且為b/R,b,n是常R是兩近來鄰離子的間距,設離子電荷為q,(1)U(R0)=2Nq21n21試證明均衡間距下41;0R0n(2)令晶體被壓縮,使R0R0(1),試證明在晶體被壓縮單位長度的過程中外力作功的主項為c2此中c=(n1)q21n2;R0(3)求原子鏈被壓縮了2NR0e(e1)時的外力[解答](1)因為離子間是等間距的,且都等于R,所以認定離子與第j個離子的距離rj總可表示成為rjajRaj是一整數,于是離子間總的互作用勢能2N'q2bU(R)40rjrjn402j此中+、-分別對應相異離子和相同離子的相互作用121n2.aidU(R)0利用均衡條件dRR0q21n2R0n-1,獲得b=40n2Nq21n21R0n1.U(R)=RnRn40在均衡間距下

Nq2'12b,RiaiRn.一維離子晶格的馬德隆常數(拜見本章習題2)為U(R0)2Nq21n211.40R0n將互作用勢能在均衡間距周邊展成級數U(R)U(R0)dU(RR0)1d2U(RR0)2dRR2dR2R00由外力作的功等于晶體內能的增量，可得外力作功的主項為W=U(R)U(R0)1d2U(RR0)2,2dR2R0此中利用均衡條件，將R=R0(1)，代入上式，獲得W=1(n1)q21n2(2NR0).240R02晶體被壓縮單位長度的過程中，外力作的功的主項W1(n1)q21n2=0R022NR024令c=(n1)q21n2(CGS)420R0獲得在晶體被壓縮單位長度的過程中，外力作的功的主項為c.2（3）設e時外力為Fe,因為在彈性范圍內，外力與晶格的形變?yōu)檎?，所以F=(2NR0),Fe=(2NR0e),此中為比率系數離子鏈被壓縮2NR0e過程中外力作的功2NR0eeWe=Fdx00=(2NR0)212因為We=ce(2NR02

[(2NR0e)]2NR0d12NR0eFe.2),所以離子鏈被壓縮了2NR0e時的外力為Fe=ceq21n2(n1)e.R029．設泡利排斥項的形式不變，談論電荷加倍對NaC1晶格常數，體積彈性模量以及聯合能的影響。[解答]NaC1離子間的互作用勢為urijq2b.40rijrij假如晶體共含有N個原子，令rij=ajR,R是近來鄰離子間的距離，則總的互作用勢能U=N'urijNq2B,2j240RRn'1'b式中,Bn.jajjaj若均衡時R=R0,由均衡條件dU(R)Nq2nB0,dR240R02R0n1R0得R0(40nB)n11.q2利用體積彈性模量公式R022UK=R29V0R072q21).均衡時的聯合能為U0Nq211.得K=因為晶格常數a與R0成線形關系,于是,當電荷加倍時,晶格常數,體積彈性模