隨機(jī)數(shù)學(xué)模型

第三章隨機(jī)數(shù)學(xué)模型

3.1多元回歸與最優(yōu)逐步回歸3.2主成份分析與相關(guān)分析3.3判別分析3.4聚類分析3.5模糊聚類分析3.6馬爾可夫鏈及其應(yīng)用3.7存貯論3.8排隊(duì)論模型3.9層次分析法建模

§3.1多元回歸與最優(yōu)逐步回歸

一、數(shù)學(xué)模型二、模型的分析與檢驗(yàn)三、回歸方程系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)四、回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)和控制五、最優(yōu)逐步回歸分析一、數(shù)學(xué)模型設(shè)可控或不可控的自變量；目標(biāo)函數(shù)，已測(cè)得的n組數(shù)據(jù)為：

(1.1)其中是系統(tǒng)的測(cè)試數(shù)據(jù)，相當(dāng)于如下模型：設(shè)多目標(biāo)系統(tǒng)為：

系統(tǒng)為簡化問題，不妨設(shè)該系統(tǒng)為單目標(biāo)系統(tǒng)，且由函數(shù)關(guān)系，可以設(shè)：

(1.2)

可得如下線性模型

(1.3)

為測(cè)量誤差，相互獨(dú)立，。

令

可得

（1.4）

(1.4)稱為線性回歸方程的數(shù)學(xué)模型。

利用最小二乘估計(jì)或極大似然估計(jì)，令

使，由方程組

(1.5)

可得系數(shù)的估計(jì)。

令方陣可逆，由模型可得：

即有 (1.6)

可以證明(1.6)與(1.5)是同解方程組的解，它是最優(yōu)線性無偏估量，滿足很多良好的性質(zhì)，另文補(bǔ)講。二、模型的分析與檢驗(yàn)

設(shè)目標(biāo)函數(shù)的平均值，則由公式可計(jì)算得總偏差平方和，回歸和剩余平方和：假設(shè)檢驗(yàn)：

至少有一個(gè)不為零

結(jié)論是：當(dāng)

當(dāng)被拒絕以后，說明方程(2)中系數(shù)不全為零，方程

配得合理。否則在被接受以后，說明方程配得不合適，即變量對(duì)目標(biāo)函數(shù)都沒有影響，則要從另外因素去考慮該系統(tǒng)。三、回歸方程系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)

假設(shè)備選假設(shè)可以證得：

(1.8)或者

的對(duì)角線元素。.當(dāng)時(shí)，顯著不為零，方程(1.2)中第j個(gè)變量作用顯著。若有某一個(gè)系數(shù)假設(shè)被接受，則應(yīng)從方程中剔除。然后從頭開始進(jìn)行一次回歸分析工作。四、回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)和控制

經(jīng)過回歸分析得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為

(1.9)

設(shè)要在某已知點(diǎn)上進(jìn)行預(yù)測(cè)，可得點(diǎn)估計(jì)：

(1.10)

下面對(duì)預(yù)測(cè)預(yù)極值進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，可以證得

其中

得的預(yù)測(cè)區(qū)間：五、最優(yōu)逐步回歸分析

在線性回歸分析中，當(dāng)經(jīng)過檢驗(yàn)，方程(1.2)作用顯著，但為顯著,說明不起作用，要從方程中剔除出去，一切都要從頭算起，很麻煩。這里介紹的方法是光對(duì)因子逐個(gè)檢驗(yàn)，確認(rèn)它在方程中的作用的顯著程度，然后依大到小逐次引入變量到方程，并及時(shí)進(jìn)行檢驗(yàn)，去掉作用不顯著的因子，依次循環(huán)，到最后無因子可以進(jìn)入方程，亦無因子被從方程中剔除，這個(gè)方法稱為最優(yōu)逐步回歸法。從方程(1.2)中,為方便計(jì),設(shè)變量個(gè)數(shù),記可得

(1.12)此時(shí)仍可得

是回歸估計(jì)值回歸方程為

(1.13)

分別是的系數(shù)估計(jì)。為了減少誤差積累與放大，進(jìn)行數(shù)據(jù)中心化標(biāo)準(zhǔn)化處理：

(1.14)可得數(shù)學(xué)模型為：

(1.15)經(jīng)推導(dǎo)可得：，，，稱為系數(shù)相關(guān)矩陣

由此可得經(jīng)驗(yàn)回歸方程：

(1.16)然后以變換關(guān)系式代入可得

將(17)式與(13)式進(jìn)行比較，可得：

(1.18)只要算得(16)式的即可。注意到

其中是對(duì)于因子的偏回歸平方和，可以證明線性方程中對(duì)變量的多元線性回歸方程中的偏回歸平方和為（是原方程中的偏回歸平方和）：

把系數(shù)矩陣R變成加邊矩陣，記為

比較,設(shè),則相應(yīng)變量作用最大，但是否顯著大，要進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，可以證得

當(dāng)時(shí)，可將變量引入方程中去?，F(xiàn)將這個(gè)循環(huán)步驟介紹如下：第一步：挑選第一個(gè)因子對(duì)計(jì)算的偏回歸和找出決定

F檢驗(yàn)

當(dāng)時(shí)引入，一般總可以引入的。

第二步：挑選第二個(gè)因子首先變換加邊矩陣

則，因子的偏回歸平方和

記決定可否引入步驟： 1.對(duì)，計(jì)算的偏回歸平方和。

2.找出中最大的一個(gè)，記為。

3.對(duì)作顯著性檢驗(yàn)：

當(dāng)時(shí)，要

引入。

第三步：當(dāng)引入時(shí)，是否要剔除呢？即已有方程：

檢驗(yàn)的偏回歸平方和：

當(dāng)時(shí)因子不剔除。同樣的方法以

時(shí)因子不剔除。第四步：重復(fù)進(jìn)行第二步到第三步。一直到?jīng)]有可引入的新因子，也沒有可剔除的因子。最后方程為：

(1.19)

并把(1.19)式換算成類似的(1.13)式?！?.2主成份分析與相關(guān)分析一、數(shù)學(xué)模型二、主成份分析三、主成份的貢獻(xiàn)率這是一個(gè)將多個(gè)指標(biāo)化為幾個(gè)少數(shù)指標(biāo)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的問題，設(shè)有維總體有個(gè)隨機(jī)指標(biāo)構(gòu)成一個(gè)維隨機(jī)向量，它的一個(gè)實(shí)現(xiàn)為；而且這個(gè)指標(biāo)之間往往相互有影響，是否可以將它們綜合成少數(shù)幾個(gè)指標(biāo)，使它們盡可能充分反映原來的個(gè)指標(biāo)。例如加工上衣，有袖長、身長、胸圍、肩寬、領(lǐng)圍、袖口、袖深，……等指標(biāo)，是否可以找出主要幾個(gè)指標(biāo)，加工出來就可以了呢？例如主要以衣長、胸寬、型號(hào)(肥瘦)這樣三個(gè)特征。一、數(shù)學(xué)模型設(shè)為維隨機(jī)向量，為期望向量,為協(xié)方差矩陣，其中

設(shè)將綜合成很少幾個(gè)綜合性指標(biāo)，如，不妨設(shè)

則有

要使盡可能反映原來的指標(biāo)的作用，則要使盡可能大，可以利用乘子法:要對(duì)a加以限制

否則加大,增大無意義。令

設(shè)并使可得方程組(2.1)的解為

(2.2)以左乘(2.2)之兩邊，得即由(2.2)式可得

(2.3)要使?jié)M足(2.3)的a非零，應(yīng)有

即入是的特征根，設(shè)是的個(gè)特征根，只要取，再由，求出V的屬于的特征向量，在條件是唯一的維特征向量。于是得

(2.4)

二、主成份分析

一般協(xié)方差方陣為非負(fù)定，對(duì)角線上各階主子式都大于等于零，即特征值有：

設(shè)前m個(gè)都大于零，依次為，相應(yīng)的特征向量為，則，，，即為第一,第二,…,第個(gè)主成份，由線性代數(shù)知識(shí)可知，不同的特征根對(duì)應(yīng)的不同的特征向量線性無關(guān)，由于V是實(shí)對(duì)稱陣，則，變換后的各主成份相互無關(guān)。即對(duì)進(jìn)行了一次正交變換。

在實(shí)際應(yīng)用中，V陣往往是未知的，需要用V的估計(jì)值來代替，設(shè)有組觀測(cè)值

則取(2.5)

(2.6)

其中是的子樣方差，的子樣協(xié)方差。需要求出的特征值。由于不同的度量會(huì)產(chǎn)生量綱問題，一般建議作如下變換：

用標(biāo)準(zhǔn)變量代替以前的，即可以運(yùn)算。此時(shí)的協(xié)方差矩陣即相關(guān)矩陣

從R出發(fā)，可求主成份。三、主成份的貢獻(xiàn)率

為了盡可能以少數(shù)幾個(gè)主成份來代替P個(gè)指標(biāo)，那么要決定取多少個(gè)主成份才夠呢由于則可得是的方差，可得

亦是V的全部特征值之和：

由于,

則令

表明方差在全部方差中所占的比重，稱是第i個(gè)主成份的貢獻(xiàn)率，顯然有,不妨取一個(gè)閾值為d(0＜d＜1)，當(dāng)時(shí)，即舍去，此時(shí)可取為主成份。以貢獻(xiàn)率來決定它的個(gè)數(shù)。一、數(shù)學(xué)模型二、關(guān)于計(jì)算中應(yīng)注意的問題三、關(guān)于誤判率及多個(gè)總體的判別§3.3判別分析

一、數(shù)學(xué)模型

根據(jù)所研究的個(gè)體的觀察指標(biāo)來推斷個(gè)體所屬于何種類型的一種統(tǒng)計(jì)分析方法，稱為判別分析。例如某精神病院有精神病患者256名，診斷結(jié)果將它們分成六類(相當(dāng)于6個(gè)總體)設(shè)服從三維聯(lián)合正態(tài)分布i=1,2,…,6，其中，為協(xié)方差矩陣，一般這六種類型可分為焦慮狀、癔病、精神病、強(qiáng)迫觀念型、變態(tài)人格、正常，若有如下子樣：子樣子樣

………………

子樣注意到每個(gè)子樣都是三維向量。現(xiàn)有一個(gè)新的精神病患者前來就醫(yī)，測(cè)得三個(gè)指標(biāo)：

試判斷該患者病情屬于哪一類。(一)兩點(diǎn)的距離設(shè)維空間中有兩點(diǎn),則其歐氏距離為

:(3.1)

由于數(shù)據(jù)的量綱不同，不采用歐氏距離,用馬氏距離有：定義1：設(shè)X,Y是從總體G中抽取的樣品,G服從P維正態(tài)分布，,定義X,Y兩點(diǎn)間的距離為馬氏距離：(3.2)定義2：X與總體G的距離為D(X，G)為

(3.3)(二)距離判別法設(shè)有兩個(gè)協(xié)方差相同的正態(tài)總體，且對(duì)于一個(gè)新的樣品，要判定它來自哪一個(gè)總體，有一個(gè)很直觀的方法：計(jì)算

若

(三)線性判別函數(shù)由

令

記

則有：當(dāng)時(shí)，否則

當(dāng)為已知時(shí)，令

，可得：

(3.4)稱為線性判別函數(shù)，a為判別系數(shù),因?yàn)?/p>

，即

,解線性方程組可得解此時(shí)的判別規(guī)則為：X是新的一個(gè)點(diǎn),將其代入即可判別。(3.5)

二、關(guān)于計(jì)算中應(yīng)注意的問題實(shí)際上均未知,要用樣本值的估計(jì)公式來計(jì)算出。其方法如下:

設(shè)子樣來自總體,子樣來自,可由(在本節(jié)的開頭的例子中P=3)得到

(3.6)(3.7)

判別函數(shù)為(3.8)判別系數(shù)為三、關(guān)于誤判率及多個(gè)總體的判別這里提及一個(gè)回報(bào)的誤判率問題。在構(gòu)造判別函數(shù)W(X)時(shí),是依據(jù)樣本

,現(xiàn)在已知均屬于

,從道理上來說,

經(jīng)過判別公式(3.8),可得出

,但也可能出來某幾個(gè)不屬于

,這便是誤判。若有存在,使得

,說明這就產(chǎn)生了一個(gè)誤判。所謂誤判率,即是出現(xiàn)誤判的百分?jǐn)?shù),我們應(yīng)該有所控制。當(dāng)兩個(gè)總體的協(xié)方差不相等時(shí),可用如下方法:

(3.9)(3.10)當(dāng)

當(dāng)

未知時(shí),用下列估計(jì)代替:

在個(gè)總體時(shí)，均值為協(xié)方差陣為(維)

設(shè)

都已知時(shí),X為樣品

計(jì)算

選擇一個(gè)最小的值例如

則

設(shè)未知,但獨(dú)立，可以分別以估計(jì)值來計(jì)算。當(dāng)上述未知,但亦可以用上述類似方法。上述解決方法中，可以擴(kuò)展到非正態(tài)分布。

時(shí)，§3.4聚類分析物以類聚，人以群分，社會(huì)發(fā)展和科技的進(jìn)步都要求對(duì)于某些物體進(jìn)行分類。由于早期的定性分類已不能滿足需要，于是數(shù)值分類學(xué)便應(yīng)運(yùn)而生。

一、數(shù)學(xué)模型二、應(yīng)用類例一、數(shù)學(xué)模型某種物品有n個(gè)：

指標(biāo)，如何將其分成若干類，基本的思路是把距離較近的點(diǎn)歸成一類。這里的距離可分為如下三類：它有m個(gè)數(shù)值量化1.距離

的距離,

本文中的距離常用歐氏或馬氏距離，公式在前幾節(jié)中已述，還有一種用絕對(duì)距離：應(yīng)該提及馬氏距離可以克服數(shù)據(jù)相關(guān)性的困難

。2.數(shù)據(jù)正規(guī)化處理

當(dāng)?shù)姆至恐写?，要?jīng)過正規(guī)化標(biāo)準(zhǔn)化處理，令

個(gè)指標(biāo)量綱不一致時(shí)，相差很(4.1)

其中

(4.2)(4.3)將經(jīng)過(1)式處理的數(shù)據(jù)重新視作(為記號(hào)上的方便)3.相似系數(shù)法的相關(guān)系數(shù)(4.4)可以將相關(guān)愈密切的歸成一類。4.最短距離聚類法(系統(tǒng)聚類法，

逐步并類法)

先將n個(gè)樣本各自為一類，計(jì)算它們之間的距離，選擇距離小的二個(gè)樣本歸為一個(gè)新類，再計(jì)算這個(gè)新類與其它樣本的距離，選擇距離小的二個(gè)樣本(或二個(gè)新類)歸為一個(gè)新類，每次合并縮小一個(gè)以上的類，直到所有樣本都劃為一個(gè)類為止。這里規(guī)定兩點(diǎn)間距離為：兩類間的距離，即

的距離為：

步驟如下：

1.數(shù)據(jù)正規(guī)化處理要視各指標(biāo)的量綱是否一致，相差是否太大，并選擇一種距離計(jì)算法，為了方便計(jì)，一般都選擇歐氏距離法。

2.計(jì)算各樣本間的兩兩距離,并記在分類距離對(duì)稱表中,并記為D(0),第0步分類,此時(shí)

(每一個(gè)樣本點(diǎn)為一個(gè)類)3.選擇表D(0)中的最短距離,設(shè)為

,則將

合并成一個(gè)新類,記為

(4.5)4.計(jì)算新類與其它類之間的距離,定義

(4.6)

表示新類與類之間的距離。

5.作D(1)表,將D(0)中的第p,q行和p,q列刪去,加上第r行,第r列。第r行,第r列與其它類的距離按(4.6)式判斷后記上,這樣得到一個(gè)新的分類距離對(duì)稱表,并記為D(1),D(1)表示經(jīng)過一次聚類后的距離表,要注意的是Dr類是由哪兩類聚類得到應(yīng)在D(1)表下給以說明。

6.對(duì)D(1)按3,4,5重復(fù)類似D(0)的聚類工作,得D(2)。

7.一直重復(fù),直到最后只剩下兩類為止,并作聚類圖。二、應(yīng)用類例現(xiàn)有8個(gè)樣品,每個(gè)樣品有2個(gè)指標(biāo)(m=2,2維變量),它們的量綱相同,(否則要經(jīng)過正規(guī)化處理)

編號(hào)123456782244-4-2-3-15343322-3試用系統(tǒng)聚類方法對(duì)這8個(gè)樣品進(jìn)行聚類。

解:采用歐氏距離

(1)最短距離法,首先用表格形式列出D(0)D(0)G1G2G3G4G5G6G7G8G10G22.00G32.22.20G42.32.01.00G56.36.08.18.00G65.04.16.36.12.20G75.85.17.27.11.41.00G88.56.78.67.86.75.15.40表示第i個(gè)樣品,i=1,2,…,8

在D(0)中,最小值是1.0,相應(yīng)的距離是D(3.4),與D(6,7)。則合并為新類,把合并成。(2)把D(0)中去掉

并計(jì)算得下表,后兩行重算,其余照D(0)照抄。

D(1)G1G2G5G8G9G11G10G22.00G56.36.00G88.56.76.70G92.22.08.07.80G105.04.11.45.18.10視D(1)中,最小值為1.4,相應(yīng)的是D(5,10)將合并成新類。3)同法構(gòu)造D(2)表D(2)G1G2G8G9G10G10G22.00G88.56.70G92.22.07.80G115.04.15.16.10其中最小值D(1,2)=D(2,9)=2.0，則把

，在D(2)中,D(3)G8G11G12G80G115.10G126.74.10其中D(3)中,最小值D(11,12)=4.1，因此把，在D(4)G8G13G80G135.10(見D(0)第8行)

3.把上述聚類過程用聚類圖表示:

011.42T345說明：聚類到一定程度即可結(jié)束一般可以選取一個(gè)閾值T，到D(K)中的所有非零元素都大于T＜Ｖ，即結(jié)束(表中的值＞T值)設(shè)T=2.5：則到D(3)時(shí)結(jié)束，此時(shí)的共聚為三類：

如下圖：×8×5×7×6×1×3×2×4§3.5模糊聚類分析二、數(shù)學(xué)模型一、問題的提出三、一個(gè)實(shí)例一、問題的提出客觀事物分成確定性和不確定性兩類,處理不確定性的方法為隨機(jī)數(shù)學(xué)方法。在進(jìn)行隨機(jī)現(xiàn)象的研究時(shí),所表現(xiàn)的現(xiàn)象是不確定的,但對(duì)象事物本身是確定的。例如投一個(gè)分幣,出現(xiàn)哪一面是隨機(jī)的,但分幣本身是確定的。如果所研究的事物本身是不確定的,這就是模糊數(shù)學(xué)所研究的范疇。例如,一個(gè)人年齡大了,稱年老,年小,或年青,但到底什么算年老,什么算年青呢?

又如兒子象父親,什么是象?象多少?

再說兒子象父親,兒子又象母親(部分象),難道父親象母親?1965年由I.A.Zadeh提出模糊數(shù)學(xué),它可以廣泛地應(yīng)于圖象識(shí)別,聚類分析,計(jì)算機(jī)應(yīng)用和社會(huì)科學(xué)。例如洗衣機(jī)和空調(diào)器已用上模糊控制,本節(jié)將把模糊數(shù)學(xué)的一套方法引入聚類分析中來,稱為模糊聚類分析。二、數(shù)學(xué)模型設(shè)E為分明集(集合)1.定義:

稱為隸屬度函數(shù)(分得很清楚)要末是,要末不是對(duì)A為不分明集,

可以取0到1之間的任意一個(gè)實(shí)數(shù)值.當(dāng)愈接近于1.則的程度愈大.愈接近于0.則的程度愈小.2.模糊數(shù)學(xué)的運(yùn)算法則如A和B為不分明集,則有:①并,記為,

②交,記,③補(bǔ),記為,3.模糊聚類模糊聚類同于一般聚類法(相似系數(shù)法或最小距離法)

以相似系數(shù)(相關(guān)系數(shù))法為例:

思路:①先算相似系數(shù)矩陣(相似矩陣)②將相似矩陣改造成模糊矩陣:即將原相似矩陣的元素壓縮到0,1之間

③改造成模糊等價(jià)矩陣,取不同的標(biāo)準(zhǔn),可以得到不同的聚類標(biāo)準(zhǔn).計(jì)算步驟:

第一步:計(jì)算相似的系數(shù)

①先將數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化令得到標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)據(jù)為

顯然(標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的平均值一定為0)

得標(biāo)準(zhǔn)化后比數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為

②

③相似矩陣

第二步:將相似系數(shù)壓縮到0,1之間令建立模糊矩陣

第三步:建立模糊等價(jià)矩陣由于上述模糊矩陣不具有傳遞性:即

要通過褶積將模糊矩陣改造成模糊等價(jià)矩陣:

矩陣的褶積與矩陣乘法類似,只是將數(shù)的加.乘運(yùn)算改成并和交:

則褶積為:于是有:

于是有:一直到為止此時(shí)即滿足模糊等價(jià)矩陣,具有傳遞性此時(shí)記它為:CR第四步:進(jìn)行聚類:

將矩陣CR的元素依大小次序排列,從1開始,沿著自大到小依次取值,定義:

可以得到若干個(gè)0,1元素構(gòu)成的CR矩陣,其中之1的表示這二個(gè)樣本劃為一類三、一個(gè)實(shí)例

=----上海4月平均氣溫;----北京3月雨量

----5月地磁指數(shù);----5月500毫巴W型環(huán)流型日數(shù)予報(bào)對(duì)象:

華北五站(北京、天津、營口、太原、石家莊)7-8月降水量,僅用61-67年7年的資料(略)第一步:計(jì)算相似系數(shù)經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化計(jì)算相似系數(shù)矩陣R第二步:建立模糊矩陣將相似系數(shù)壓縮到0,1之間得

第三步:建立模糊等價(jià)矩陣按上式計(jì)算:例如

得到,發(fā)現(xiàn),當(dāng)取0.92時(shí):

將,當(dāng)取0.65時(shí)有:

又將合并成一類,當(dāng)取0.64時(shí),有

此時(shí)將1,3,再與4,6并為一類,可分成三類再取=0.63時(shí)

這次再將,只有二類:,聚類圖:說明:(1)當(dāng)=0.65時(shí),共分成四類:(2)當(dāng)=0.64時(shí),共分成三類:(3)當(dāng)=0.63時(shí),共分成二類:

這是以按年份為基本類的分類圖

0.640.650.920.990.63§3.6馬爾可夫鏈及其應(yīng)用一、隨機(jī)過程二、馬爾可夫方程和步轉(zhuǎn)移矩陣三、遍歷性與平穩(wěn)分布四、馬氏鏈的應(yīng)用一、隨機(jī)過程

描述一種隨機(jī)現(xiàn)象的變量,一般稱為隨機(jī)變量,記為,而隨著時(shí)間參數(shù)t或其它參數(shù)變化而變化的隨機(jī)變量,稱為隨機(jī)過程。定義1在給定的概率空間(,F,P)及實(shí)數(shù)集T,其中為樣本空間,F為分布函數(shù),P為概率,對(duì)于每一個(gè),有定義在(,F,P)上的隨機(jī)變量與之對(duì)應(yīng),則稱為隨機(jī)過程,一般簡化為。定義2(馬爾可夫過程)設(shè)隨機(jī)過程,如果在已知時(shí)間t系統(tǒng)處于狀態(tài)x的條件下,在時(shí)刻(>t)系統(tǒng)所處狀態(tài)和時(shí)刻t以前所處的狀態(tài)無關(guān),則稱為馬爾可夫過程。從定義2可知馬氏過程只與t時(shí)刻有關(guān),與t時(shí)刻以前無關(guān)。定義3(馬爾可夫鏈)設(shè)隨機(jī)過程只能取可列個(gè)值把稱為在時(shí)刻系統(tǒng)處于狀態(tài)若在已知時(shí)刻系統(tǒng)處于狀態(tài)的條件下,在時(shí)刻()系統(tǒng)所處的狀態(tài)情況與t時(shí)刻以前所處狀態(tài)無關(guān),則稱為時(shí)間連續(xù),狀態(tài)離散的馬氏過程。而狀態(tài)的轉(zhuǎn)移只能在發(fā)生的馬氏過程稱為馬爾可夫鏈。從定義3可知,馬氏鏈?zhǔn)菭顟B(tài)離散,時(shí)間離散的馬爾可夫過程。定義4(轉(zhuǎn)移概率)設(shè)系統(tǒng)的離散狀態(tài)為設(shè)表示第次轉(zhuǎn)移到狀態(tài)表示系統(tǒng)開始處于狀態(tài)。則稱 (6.1)為系統(tǒng)在k-1次轉(zhuǎn)移到狀態(tài),而第k次轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率由定義可知

(6.2)

定義5若(2)式中有:(6.3)則稱為均勻馬氏鏈(與第幾次轉(zhuǎn)移無關(guān))

即定義6轉(zhuǎn)移概率與轉(zhuǎn)移矩陣令轉(zhuǎn)移概率為矩陣的第行,第j列元素則有

(6.4)

稱為馬氏鏈的轉(zhuǎn)移矩陣,其中

例:一個(gè)分子在兩個(gè)附著壁之間的隨機(jī)游動(dòng),如圖1所示

(1)這個(gè)分子在x軸上1,2,…,S的位置上任意一點(diǎn),且只能在這S個(gè)位置上.(2)當(dāng)分子在1與S兩端點(diǎn)時(shí),分子被吸收,不再游動(dòng)(吸收壁)(3)分子每轉(zhuǎn)移一次,只移動(dòng)一步,且必須移動(dòng)若時(shí)刻時(shí),分子在i處(),在一個(gè)單位時(shí)間后它轉(zhuǎn)移到i+1點(diǎn)處的概率為P(向右移動(dòng)),它轉(zhuǎn)移到i-1點(diǎn)處的概率為向左移動(dòng))。問:在初始位置于i處,經(jīng)過5次轉(zhuǎn)移它落在j處的概率是多少?123i-1i…Sx軸滿足以下條件:分析:該系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移概率為:

這個(gè)均勻馬氏鏈系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移矩陣為

二、馬爾可夫方程和n步轉(zhuǎn)移矩陣設(shè)表示一個(gè)均勻馬氏鏈經(jīng)過n步轉(zhuǎn)移由狀態(tài)轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率,當(dāng)時(shí)討論(二步轉(zhuǎn)移)令事件B=“系統(tǒng)經(jīng)由二次轉(zhuǎn)移,由轉(zhuǎn)移到”

=“系統(tǒng)由轉(zhuǎn)移到,再由轉(zhuǎn)移到”k=1,2,…,因此,

兩兩互不相容事件

(只與狀態(tài)時(shí)的時(shí)刻有關(guān))類似可證: (6.5)(5)式稱切普曼一柯爾莫哥洛夫方程由代數(shù)知識(shí):A=

可見于是

(6.6)

類似可證得 (6.7)上例要求:只要例這個(gè)元素的值即可.

三、遍歷性與平穩(wěn)分布定義7設(shè)為均勻馬氏鏈(與第n次轉(zhuǎn)移無關(guān)),對(duì)一切狀態(tài)i及j(或稱,存在不依賴于i的常數(shù),使得

(6.8)

則稱均勻馬氏鏈有遍歷性遍歷意義:遍歷性說明不論系統(tǒng)自那一個(gè)狀態(tài)出發(fā),當(dāng)轉(zhuǎn)移次數(shù)n充分大時(shí),轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的概率近似于某個(gè)常數(shù)。

定理1:對(duì)有限個(gè)狀態(tài)的均勻馬氏鏈,若存在一正整數(shù),使對(duì)一切有

(6.9)則此馬氏鏈?zhǔn)潜闅v的且(8)中的是如下方程組

(6.10)在條件下的唯一解

證略定義8(平穩(wěn)性)：設(shè)為有限s個(gè)狀態(tài)的均勻馬氏鏈,若初始概率滿足全概率公式：

則稱為平穩(wěn)的,稱為的一個(gè)平穩(wěn)分布表示第k次轉(zhuǎn)移到狀態(tài)的絕對(duì)概率為初始狀態(tài)概率可以證明:

結(jié)論:當(dāng)馬氏鏈?zhǔn)瞧椒€(wěn)時(shí),初始概率等于絕對(duì)概率平穩(wěn)均勻馬氏鏈在任一時(shí)刻處于狀態(tài)的概率都相等,說明平穩(wěn)。123設(shè)

二次轉(zhuǎn)移矩陣為

則對(duì)任意說明是遍歷的。由定理1可知:馬氏鏈?zhǔn)瞧椒€(wěn)的即有:例2:例1一樣:沒有附著壁的隨機(jī)游動(dòng)其余同例1由:

得

當(dāng)時(shí),游動(dòng)時(shí)前進(jìn)一步與后退一步是等可能的,說明系統(tǒng)處于任一狀態(tài)的概率明顯相等四、馬氏鏈的應(yīng)用應(yīng)用題1:機(jī)器生產(chǎn)零件時(shí),機(jī)器處于兩種可能狀態(tài)的:=“可調(diào)整狀態(tài)”----稱良好狀態(tài)

=“不可調(diào)整狀態(tài)”---稱不良狀態(tài)機(jī)器使用一天,它的轉(zhuǎn)移概率為

①問:在n天以后機(jī)器處于不良狀態(tài),良好狀態(tài)的概率為多少?②若有100臺(tái)機(jī)器:問配備多少個(gè)機(jī)修工人才能使機(jī)器待修的可能性至多為10%?(一天工人可以修理2臺(tái)機(jī)器)解:

即該系統(tǒng)是均勻馬氏鏈,且為遍歷:

可設(shè)由定理3.1:知

解方程組答:不管各臺(tái)機(jī)器處于什么狀態(tài),到n天以后,機(jī)器處于

①良好狀態(tài)為,處于不良狀態(tài)為

②由于機(jī)器處于不良狀態(tài)的概率為,設(shè)n天后,100臺(tái)機(jī)器中有臺(tái)處于不良狀態(tài)

并設(shè)配備m個(gè)維修工人,即一天可修理臺(tái)機(jī)器:

利用泊松分布,得，可以泊松分布表,決定應(yīng)用題2:《是否要進(jìn)行咔啡推銷廣告》的決策為增加咔啡的推銷,打算進(jìn)行一次廣告宣傳,需要支付全部廣告費(fèi)用600萬元,假設(shè)國內(nèi)喝咔啡總?cè)藬?shù)為5000萬,增加一個(gè)飲用本公司的咔啡的顧客,本公司可獲利2元,通過廣泛的社會(huì)調(diào)查(調(diào)查費(fèi)用包括在廣告費(fèi)用中),知登廣告之前顧客改變牌子概率為:到從

我廠牌子

別廠牌子我廠牌子0.80.2別廠牌子0.20.8在登了廣告之后顧客改變牌子的概率為

到從

我廠牌子

別廠牌子我廠牌子0.80.2別廠牌子0.30.7問:從經(jīng)濟(jì)效益的角度決定要否做這個(gè)廣告?解:易知上述系統(tǒng)可以看成隨機(jī)游動(dòng),且是遍歷的,因而是平穩(wěn)馬氏鏈,存在著

利用

即較長時(shí)間以后,采用我公司牌子概率為0.5同法可得:

, 做了廣告以后,采用我廠的牌子的概率為0.6N=5000萬N0.6－N0.5=500萬×0.1=500萬答:在做了廣告以后,平均可增加顧告500萬獲利500萬×2元=1000萬元廣告費(fèi)600萬元純利潤1000萬-600萬=400萬決策:可以進(jìn)行該項(xiàng)廣告。參考文獻(xiàn)：[1]復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)高教出版社1985[2]中山大學(xué)概率統(tǒng)計(jì)系概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)高教出版社1984[3]范大茵，陳永華概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)浙江大學(xué)出版社1996[4]陳希孺概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中國科技大學(xué)出版社1993[5]沈鳳麟，錢玉姜信號(hào)統(tǒng)計(jì)分析基礎(chǔ)中國科技大學(xué)出版社1989[6]概率統(tǒng)計(jì)與隨機(jī)過程武漢大學(xué)出版社[7]中國現(xiàn)場(chǎng)統(tǒng)計(jì)研究會(huì)三次設(shè)計(jì)組，全國總工會(huì)電教中心正交法和三次設(shè)計(jì)科學(xué)出版社1985[8]陳兆能等試驗(yàn)分析與設(shè)計(jì)上海交通大學(xué)出版社1991[9]韓之俊，章謂基質(zhì)量工程學(xué)科學(xué)出版社1991

3.7存貯論在日常的生產(chǎn)和生活中存在著大量存貯現(xiàn)象。例如企業(yè)要有一定數(shù)量的原料存在倉庫中，以便生產(chǎn)的進(jìn)行，商店要有一定量的商品存在倉庫中，以便銷售，不致于經(jīng)常缺貨，等等。庫存量的多少直接影響到企業(yè)的效益，庫存過少則使生產(chǎn)或銷售發(fā)生中斷，減少了利潤；庫存量過大，又會(huì)造成積壓，增加成本。因此，合理的存貯策略具有重要的經(jīng)濟(jì)意義。

存貯論是研究存貯問題的理論和方法的一門學(xué)科。它用定量的方法描述存貯狀態(tài)，補(bǔ)充和需求，描述存貯狀態(tài)與費(fèi)用間關(guān)系，并確定合理的補(bǔ)充策略。

建立存貯模型的三個(gè)環(huán)節(jié)是補(bǔ)充策略，費(fèi)用函數(shù)和經(jīng)濟(jì)批量算式。存貯系統(tǒng)包含三個(gè)主要內(nèi)容即補(bǔ)充、存貯狀態(tài)和需求，如圖示：補(bǔ)充

存貯狀態(tài)需求一般地需求是外在的，不受人的控制，存貯狀態(tài)由需求和補(bǔ)充決定。因此人們的決策對(duì)象只有補(bǔ)充。如何根據(jù)需求和倉庫容量、費(fèi)用等約束條件，確定補(bǔ)充策略使費(fèi)用目標(biāo)最小，這是存貯論研究的主要問題。

補(bǔ)充策略通常有三種：即T循環(huán)策略，T,S補(bǔ)充策略和T，S，S補(bǔ)充策略。T循環(huán)策略是指當(dāng)需求速度不變，補(bǔ)充時(shí)間為零的情況下，每隔時(shí)間T補(bǔ)充一次，每次補(bǔ)充批量Q。

T，S補(bǔ)充策略是指在需求速度變化，補(bǔ)充時(shí)間為0的情況下，每隔T時(shí)間盤點(diǎn)一次，并及時(shí)補(bǔ)充，每次補(bǔ)充到存貯水平S。因此每次補(bǔ)充量是變量，，是盤點(diǎn)時(shí)的存量。

T，S，S策略是指每隔T時(shí)間盤點(diǎn)一次，規(guī)定一個(gè)存貯保險(xiǎn)量S，當(dāng)存量不小于S時(shí)不補(bǔ)充，當(dāng)存量小于S時(shí)才補(bǔ)充，補(bǔ)充到定額水平（）。

研究存貯問題的目的是為了選用最優(yōu)的存貯策略(何時(shí)補(bǔ)充？補(bǔ)充多少？)使得存貯費(fèi)用最小。一般要考慮的費(fèi)用包括存貯費(fèi)(倉庫管理費(fèi)用，存貯設(shè)備費(fèi)用，保險(xiǎn)費(fèi)，利率等)，訂貨量(貨物價(jià)格，運(yùn)費(fèi)和訂購費(fèi))，生產(chǎn)費(fèi)，當(dāng)貨物由自己生產(chǎn)時(shí)就沒有了訂貨費(fèi)，而代之以生產(chǎn)費(fèi)，包括生產(chǎn)的固定費(fèi)用和可變費(fèi)用。缺貨損失費(fèi)，因存貯不足所產(chǎn)生的費(fèi)用，如收益的損失，停工損失，延誤交貨罰款等，費(fèi)用函數(shù)由上述費(fèi)用構(gòu)成。

在補(bǔ)充策略和費(fèi)用函數(shù)確定后，就要求出使費(fèi)用最小的訂貨批量Q，一般稱經(jīng)濟(jì)批量，經(jīng)濟(jì)批量算式是最佳批量Q的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

下面我們來討論各種情況下的存貯模型

：一、連續(xù)盤點(diǎn)，均勻需求的確定性存貯模型二、定期盤點(diǎn)，需求變化的情況三、單周期隨機(jī)存貯模型四、多周期隨機(jī)存貯模型一、連續(xù)盤點(diǎn)，均勻需求的確定性存貯模型

我們假定需求速度不變，補(bǔ)充采取T循環(huán)策略的問題模型1經(jīng)典的批量模型我們假定(i)不允許缺貨

(ii)需求速度為d

(iii)補(bǔ)充時(shí)間為0(iv)訂購費(fèi)或生產(chǎn)的固定費(fèi)用為a，單位貨物單位時(shí)間的存貯費(fèi)為h

考慮在一個(gè)周期T內(nèi)的費(fèi)用(我們不考慮貨物本身費(fèi)用，因?yàn)椴挥绊懳覀兊挠?jì)算)令時(shí)刻的存貯量，T=Q/d費(fèi)用＝訂購費(fèi)＋存貯費(fèi)(8.1)

在一個(gè)單位時(shí)間內(nèi)的費(fèi)用是一個(gè)周期內(nèi)費(fèi)用與周期數(shù)的積

，

得：

(8.2)

這是最優(yōu)批量，而兩次補(bǔ)充的最佳周期為

單位時(shí)間的極小費(fèi)用為

如考慮貨物本身成本，則

為單位貨物成本。模型2

連續(xù)補(bǔ)充的經(jīng)濟(jì)批量模型如果物品是廠內(nèi)生產(chǎn)，而不是外購的，則出現(xiàn)連續(xù)補(bǔ)充的情況，即補(bǔ)充是以速度

進(jìn)行的，這里。設(shè)初始存貯狀態(tài)，在內(nèi)補(bǔ)充以速度進(jìn)行，，則最大存貯量為

在以后我們停止補(bǔ)充，直到存貯量降到0，這作為一個(gè)周期。以后再重復(fù)上述補(bǔ)充辦法，周期T為

在一個(gè)周期內(nèi)費(fèi)用為

因此單位時(shí)間的費(fèi)用為

令，解得經(jīng)濟(jì)批量

最佳周期

最小費(fèi)用

最佳生產(chǎn)時(shí)間

模型3允許缺貨的經(jīng)濟(jì)批量模型與模型1比較，我們?nèi)サ袅四Ｐ?中的條件(i)，其余條件不變。設(shè)初始存貯量y(0)=S，經(jīng)過時(shí)間S/d，下降為0，但還不補(bǔ)充，出現(xiàn)缺貨現(xiàn)象，直到時(shí)間T時(shí)補(bǔ)充一個(gè)批量Ｑ，單位貨物單位時(shí)間的缺貨損失為b。

這里T=Q/d

在[s/d，T]中存貯量為0，但我們假設(shè)在這段時(shí)間內(nèi)，我們?nèi)园沿浳镔u掉，但尚未發(fā)出，而在補(bǔ)充了批量Q后，把貨物發(fā)出，這樣存貯量恢復(fù)到S，而Q－S則是欠貨部分。

由于缺貨，因此須支付損失費(fèi)，以補(bǔ)償對(duì)方的損失，一個(gè)周期內(nèi)的費(fèi)用為

單位時(shí)間內(nèi)的費(fèi)用為

現(xiàn)有兩個(gè)變量，一是批量Q，二是S。令

得

解得方程組

最大缺貨量模型4有批發(fā)折扣的經(jīng)濟(jì)批量模型現(xiàn)在我們考慮有批發(fā)折扣的問題，其余條件同模型1設(shè)貨物的單位成本與訂貨量有如下關(guān)系

貨物的單位成本是。代表價(jià)格折扣的分界點(diǎn)，一般有當(dāng)不考慮貨物本身的成本時(shí)，單位時(shí)間費(fèi)用為

(見模型1)現(xiàn)考慮貨物本身的成本，則

在不考慮批發(fā)折扣的因素時(shí)，最佳批量為在考慮批發(fā)折扣的因素時(shí)，。因?yàn)?，則不變或更大，即使不變，由模型1知費(fèi)用也會(huì)增加，因此必使費(fèi)用增加。當(dāng)時(shí)，若不變也會(huì)使費(fèi)用增加，若變小，則有增加，但變小，因此只能取這樣我們就能確定最佳批量，

先求出，并確定，使此時(shí)的總費(fèi)用為

再求出

比較，找到使總費(fèi)用最小的批量這時(shí)的Q就是最佳訂貨批量。二、定期盤點(diǎn)，需求變化的情況前面所述的各個(gè)模型都有一個(gè)要求，即需求速度不變，現(xiàn)在如果需求速度變化，則情況怎樣呢？設(shè)在計(jì)劃期內(nèi)，分成n個(gè)相等的階段，每個(gè)階段的需求速度不同，分別為，兩階段的間隔時(shí)間為T，不允許缺貨?，F(xiàn)按兩種不同的補(bǔ)充策略來討論。

1.

T，

S補(bǔ)充策略按時(shí)間間隔T定期盤點(diǎn)，并及時(shí)補(bǔ)充，每次的補(bǔ)充量將存貯量恢復(fù)到定額水平S，則在計(jì)劃期間的總費(fèi)用為為了保證不缺貨，則所以令各個(gè)階段的訂貨量分別為

2.T，

S，

S策略在這里我們通過一個(gè)例子來說明解此類問題的方法例：某鞋店出售橡膠雪靴。過去的經(jīng)驗(yàn)表明銷售旺季只有6個(gè)月，從10月1日到3月31日，商店對(duì)明年的需求預(yù)測(cè)如下：月份101112123需求402030403020雪靴進(jìn)價(jià)每雙4元，但供應(yīng)者只依整批供應(yīng)，每批10，

20，

30，

40，

50或60雙，每批定貨提供批發(fā)折扣批量102030405060折扣％

5510202530

每次訂貨費(fèi)10元，每雙雪靴每月存貯費(fèi)0.2元，且熱銷季節(jié)前后存貯都為0，假定每月需求是常數(shù)，存貯費(fèi)按月存貯量計(jì)算，求使總費(fèi)用最小的訂貨方案。[解]本題中無存貯限制，每月補(bǔ)充量可以只滿足本月需求，也可以滿足以后幾個(gè)月的需求，以后可以補(bǔ)充，也可以不補(bǔ)充，這樣由于情況復(fù)雜，用前面的方法求解有困難，但我們可以用動(dòng)態(tài)規(guī)劃的方法來求解。

則狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為

階段效益函數(shù)為

這里月的訂貨費(fèi)用，包括訂購費(fèi)和貨物成本訂貨數(shù)折

扣

%10548205863010118402013850251606030178動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程

根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃基本方程

我們經(jīng)計(jì)算可得如下結(jié)果

所以

這樣就得最優(yōu)補(bǔ)充策略最小總費(fèi)用＝

三、單周期隨機(jī)存貯模型

前面我們考慮的是需求是確定的情形，但在很多情況下需求實(shí)際上是隨機(jī)的?，F(xiàn)在我們來考慮需求隨機(jī)的問題，這里我們考慮的是在需求過程中只進(jìn)一次貨的情況，這種情況適用于季節(jié)性強(qiáng)，更新快，不易保存的商品如報(bào)紙就是一個(gè)典型例子。這時(shí)的問題是如何確定適當(dāng)?shù)挠嗀浟縌，因?yàn)橛嗀浱?，銷售不完就必須處理掉，造成損失；而訂貨太少又會(huì)造成缺貨損失。－－表示每單位商品的成本

S－－表示每單位商品的售價(jià)

v－－表示當(dāng)銷售不掉時(shí)，每單位商品的處理價(jià)，且v可正可負(fù)－－訂貨量

a－－訂購費(fèi)用

h－－單位商品缺貨損失

P－－單位商品缺貨損失

需求量，是一個(gè)隨機(jī)變量

需求量X的概率下面我們建立利潤函數(shù)，這里銷售期為，銷售速度均勻因此期望利潤現(xiàn)在要求出，使極大，由于是離散的，不能用求導(dǎo)數(shù)的方法，但我們可以仿照進(jìn)行。令

令

則得

(8.3)上式是和離散的時(shí)候的結(jié)果，若和是連續(xù)的，設(shè)的密度函數(shù)為，則得

令得

(8.4)解(8.3)和(8.4)就可得到使EC(Q)達(dá)到極大時(shí)的Q值四、多周期隨機(jī)存貯模型

現(xiàn)在我們考慮訂貨不是一次的隨機(jī)存貯模型，我們假定

(i)補(bǔ)充庫存有一個(gè)交貨時(shí)間，即從訂單發(fā)出到到貨的時(shí)間用表示，是固定的。

(ii)在計(jì)劃期內(nèi)，總需求量的期望為0，其中在交貨時(shí)間內(nèi)，需求量為，密度為，，因此

(iii)補(bǔ)充策略是當(dāng)存貯水平下降到訂貨點(diǎn)時(shí)就開始訂貨，訂貨量，每次訂購費(fèi)。

(iV)雖然當(dāng)訂單發(fā)出時(shí)，庫存還有，但訂貨需要時(shí)間為

，由于需求隨機(jī)，仍可能出現(xiàn)缺貨，單位商品缺貨損失為元，缺貨可以在到貨后一次補(bǔ)上，也可以不再供應(yīng)。

設(shè)初始存貯量為，求費(fèi)用函數(shù)。費(fèi)用我們用計(jì)劃期內(nèi)期望費(fèi)用代之，記作。費(fèi)用包括訂購費(fèi)，缺貨損失和存貯費(fèi)，因此

(1)訂購費(fèi)

已知每次的訂購費(fèi)為，總期望需求量，訂期批量，則期望訂貨次數(shù)。

(2)缺貨損失

缺貨只發(fā)生于交貨時(shí)間內(nèi)，在這設(shè)時(shí)間內(nèi)開始有存貨，需求為。因此缺貨量的期望值為

（8.5）計(jì)劃期內(nèi)的期望缺貨損失為

(3)存貯費(fèi)

我們假定需求速度是線性的，計(jì)劃期內(nèi)各周期的存貯狀態(tài)平均化，若缺貨以后補(bǔ)上，則存貯費(fèi)用為

若缺貨不再供應(yīng)，則當(dāng)時(shí)，剩余存貯量

當(dāng)時(shí)，剩余存貯量0因此期望剩余存貯量為

（8.6）存貯費(fèi)用為

現(xiàn)在可得總的費(fèi)用函數(shù)1.缺貨后補(bǔ)上的情形

（8.7）2.缺貨后不再供應(yīng)的情形最后通過迭代求出和

令B(S)=0

得

以此類推，進(jìn)行迭代直到求出和。

在實(shí)際問題中，時(shí)間內(nèi)的需求量常服從正態(tài)分布，我們?cè)谶@種情形下求出B(S)，

令

則這里，

這樣迭代就會(huì)方便一些。

§3.8排隊(duì)論模型

排隊(duì)論是20世紀(jì)初由丹麥數(shù)學(xué)家Erlang應(yīng)用數(shù)學(xué)方法在研究電話話務(wù)理論過程中而發(fā)展起來的一門學(xué)科，排隊(duì)論也稱隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論，它涉及的是建立一些數(shù)學(xué)模型，以對(duì)隨機(jī)發(fā)生的需求提供服務(wù)的系統(tǒng)預(yù)測(cè)其行為，它已應(yīng)用于電訊、紡織、礦山、交通、機(jī)器維修，可靠性，計(jì)算機(jī)設(shè)計(jì)和軍事領(lǐng)域，都已取得了顯著的成績。一、排隊(duì)論簡介二、實(shí)例分析一、排隊(duì)論簡介（一）基本概念

1．排隊(duì)系統(tǒng)排隊(duì)是指在服務(wù)機(jī)構(gòu)處要求服務(wù)對(duì)象的一個(gè)等待隊(duì)列排隊(duì)系統(tǒng)是指一個(gè)具有排隊(duì)等待現(xiàn)象的服務(wù)系統(tǒng)排隊(duì)論是指定量的研究排隊(duì)問題，尋找系統(tǒng)內(nèi)在規(guī)律，尋找供求關(guān)系平衡的最優(yōu)方案。現(xiàn)實(shí)世界中排隊(duì)的現(xiàn)象比比皆是，但有如下共同特征:(1)有請(qǐng)求服務(wù)的人或物，如候診的病人，請(qǐng)求著陸的飛機(jī)等，我們將此稱為“顧客”。

(2)有為顧客提供服務(wù)的人或物，如醫(yī)生、飛機(jī)跑道等，我們稱為“服務(wù)員”。由顧客和服務(wù)員就組成服務(wù)系統(tǒng)。

(3)顧客隨機(jī)地一個(gè)一個(gè)(或者一批一批)來到服務(wù)系統(tǒng)每位顧客需要服務(wù)的時(shí)間不一定確定的，服務(wù)過程的這種隨機(jī)性造成某個(gè)階段顧客排長隊(duì)，而某些時(shí)間服務(wù)員又空閑無事。

2排隊(duì)系統(tǒng)的特征

為了描述一個(gè)給定的排隊(duì)系統(tǒng)，必須規(guī)定系統(tǒng)的下列組成

(1)輸入過程

顧客陸續(xù)來到的過程，設(shè)N(t):(0，t)時(shí)間內(nèi)來到的顧客數(shù)(非負(fù)整數(shù)值)是隨機(jī)過程，又設(shè)第i個(gè)顧客到達(dá)的時(shí)間，從隨機(jī)變量序列，時(shí)間間距(隔)

一般假設(shè)顧客來到時(shí)間間隔相互獨(dú)立與隨機(jī)變量有相同的；可以根據(jù)原始資料，由顧客到達(dá)的規(guī)律、作出經(jīng)驗(yàn)分布，檢驗(yàn)法)確定服從哪種理論分布，并概率分布為負(fù)指數(shù)分布(另外有定長分布D，

k階愛爾蘭分布，一般獨(dú)立分布GI等)而分布然后按照統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法(如估計(jì)它的參數(shù)值。我們主要討論

(2)服務(wù)機(jī)構(gòu)服務(wù)員對(duì)顧客服務(wù)過程，服務(wù)機(jī)構(gòu)可以是一個(gè)服務(wù)員或多個(gè)服務(wù)員的。對(duì)顧客可以單獨(dú)進(jìn)行服務(wù)，也可以對(duì)成批顧客進(jìn)行服務(wù)，在我們這兒介紹對(duì)顧客單獨(dú)進(jìn)行服務(wù)。設(shè)C為服務(wù)機(jī)構(gòu)服務(wù)員個(gè)數(shù)，當(dāng)C=1時(shí)，為單服務(wù)系統(tǒng)，當(dāng)C≥2，為多服務(wù)系統(tǒng)。和輸入過程一樣，服務(wù)時(shí)間都是隨機(jī)的，且我們假設(shè)，設(shè)表示服務(wù)員為n個(gè)顧客提供服務(wù)所需的時(shí)間，則服務(wù)服從相互獨(dú)立的且與某一隨機(jī)有相同分布，其中根據(jù)原始資料判斷得到的，主要有的分布為負(fù)指數(shù)分布(定長分布，一般獨(dú)立分布等)(3)排隊(duì)與服務(wù)規(guī)則

顧客排隊(duì)和等待的規(guī)則，排隊(duì)規(guī)則一般有等待制，消失制和混合制。所謂等待制(系統(tǒng)容量就是當(dāng)一個(gè)顧客到達(dá)時(shí)，若所有服務(wù)臺(tái)均被占用時(shí)，該顧客便排隊(duì)等待服務(wù)；消失制也稱即時(shí)制(系統(tǒng)容量D=C)就是服務(wù)臺(tái)被占用時(shí)顧客便即時(shí)離去；混合制也

時(shí)間所構(gòu)成的序列變量的概率分布是已知的可以)有限制(系統(tǒng)容量D:C<D<k)就是一顧客到達(dá)若系統(tǒng)中顧客

稱隊(duì)長(包括排隊(duì)等待和正在接受服務(wù)的)數(shù)目小于k則他排隊(duì)等待，否則他即時(shí)離去，等待制服務(wù)的次序規(guī)則有先到先服務(wù)隨機(jī)服務(wù)，有優(yōu)先權(quán)的先服務(wù)等，我們主要討論先到先服務(wù)的系統(tǒng)。

3.排隊(duì)系統(tǒng)的主要指標(biāo)

研究排隊(duì)問題的目的，是研究排隊(duì)系統(tǒng)的運(yùn)行效率估計(jì)服務(wù)質(zhì)量，確定系統(tǒng)參數(shù)最優(yōu)值，以決定系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)是否合理，設(shè)計(jì)改進(jìn)措施等，所以必須確定用來判斷系統(tǒng)運(yùn)行優(yōu)劣的基本數(shù)量指標(biāo)，這些數(shù)量指標(biāo)通常是

(1)隊(duì)長:是指系統(tǒng)中顧客(包括排隊(duì)等待和正在接受服務(wù)的)的數(shù)目，它的期望值為排隊(duì)等待的顧客數(shù)，其期望記為(隊(duì)長)=等待服務(wù)的顧客數(shù)+正被服務(wù)的顧客數(shù)，所以越大，

；排隊(duì)長度則僅指在隊(duì)列中.系統(tǒng)中的顧客數(shù)說明服務(wù)效率越低。

(2)等待時(shí)間:是指從顧客到達(dá)時(shí)間算起到他開始接受顧客到達(dá)時(shí)刻算起到他接受服務(wù)完畢為止所需要的時(shí)間，逗留時(shí)間=等待時(shí)間+服務(wù)時(shí)間

(3)忙期:是指服務(wù)臺(tái)連續(xù)繁忙的時(shí)間，即顧客從到達(dá)空閑服務(wù)臺(tái)算起到服務(wù)臺(tái)再次變?yōu)榭臻e時(shí)止的這段時(shí)間。這是服務(wù)臺(tái)最關(guān)心數(shù)量指標(biāo)，它直接關(guān)系到服務(wù)員工作強(qiáng)度，與忙期相對(duì)應(yīng)的是閑期，這是指服務(wù)臺(tái)連續(xù)保持空閑的時(shí)間長度；顯然，在排隊(duì)系統(tǒng)中忙期與閑期，是交替出現(xiàn)的。服務(wù)時(shí)止的這段時(shí)間，其期望值記；逗留時(shí)間則指從即是顧客在系統(tǒng)中所花費(fèi)的總時(shí)間，其期望值記。

排隊(duì)系統(tǒng)除了上述三個(gè)主要數(shù)量指標(biāo)外，另外服務(wù)臺(tái)的利用率(即服務(wù)員忙碌的時(shí)間在總時(shí)間中所占比例)在排隊(duì)論的研究中也是很重要的指標(biāo)。

（二）排隊(duì)模型的符號(hào)表示與幾種重要排隊(duì)模型

1.排隊(duì)模型的符號(hào)一般表示法

一般表示法

A/B/C/D/E/FA:顧客來到時(shí)間間隔的