第八章 廣義逆矩陣

第八章廣義逆矩陣定理：設(shè)是數(shù)域上一個(gè)矩陣，則矩陣方程總是有解。如果，并且其中與分別是階、階可逆矩陣，則矩陣方程(1)的一般解(通解)為(1)(2)北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**其中分別是任意矩陣。證明：把形如(3)的矩陣以及(2)式代入矩陣方程(1)，得到：(3)北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**所以形如(3)的每一個(gè)矩陣都是矩陣方程(1)的解。為了說(shuō)明(3)是矩陣方程(1)的通解，現(xiàn)在任取(1)的一個(gè)解，則由(1)和(2)得因?yàn)榭赡妫詮纳鲜降?4)北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**把矩陣分塊，設(shè)代入(4)式得即(5)北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**由此得出，，代入(5)式便得出這證明了矩陣方程(1)得任意一個(gè)解都能表示成(3)的形式，所以公式(3)是矩陣方程(1)的通解。定義：設(shè)是一個(gè)矩陣，矩陣方程的通解稱為的廣義逆矩陣，簡(jiǎn)稱為的廣義逆。我們用記號(hào)表示的一個(gè)廣義逆。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**定理(非齊次線性方程組的相容性定理)：非齊次線性方程組有解的充分必要條件是證明：必要性。設(shè)有解，則。因?yàn)?，所以充分性。設(shè)，則取得所以是的解。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**定理(非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理)：設(shè)非齊次線性方程組有解，則它的一般解(通解）為其中是的任意一個(gè)廣義逆。證明：任取的一個(gè)廣義逆，我們來(lái)證是方程組的解：已知有解，根據(jù)前一個(gè)定理得：這表明是的一個(gè)解。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**反之，對(duì)于的任意一個(gè)解，我們要證存在的一個(gè)廣義逆，使得。設(shè)是矩陣，它的秩為，且其中與分別是階、階可逆矩陣。由于的廣義逆具有形式(3)，因此我們要找矩陣，使北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**即先分析與之間的關(guān)系。由已知，因此我們有分別把分塊，設(shè)(6)北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**則(6)式成為所以，因?yàn)?，所以，從而。設(shè)，且設(shè)。取北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**則于是從而只要取則北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**定理(齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)定理)：數(shù)域上元齊次線性方程組的通解為其中是的任意給定的一個(gè)廣義逆，取遍中任意列向量。證明：任取，我們有所以是方程組的解。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**反之，設(shè)是方程組的解，要證存在，使得。取我們有所以是方程組的通解。利用上述定理，可以得到非齊次線性方程組的另一種形式的通解。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**推論：設(shè)數(shù)域是元非齊次線性方程組有解，則它的通解為其中是的任意給定的一個(gè)廣義逆，取遍中任意列向量。證明：我們已經(jīng)知道是非齊次線性方程組的一個(gè)解，又知道是導(dǎo)出組的通解，所以是的通解。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**偽逆矩陣定義：設(shè)，若，且同時(shí)有則稱是的偽逆矩陣。上述條件稱為Moore－Penrose方程。例：

設(shè)，那么北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**

設(shè)，那么設(shè)，其中是可逆矩陣，則如果是一個(gè)可逆矩陣，那么北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**下面我們討論偽逆矩陣的求法定理：設(shè)是的一個(gè)滿秩分解，則是的偽逆矩陣。例1：設(shè)求。解：利用滿秩分解公式可得北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**從而的偽逆矩陣是北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**例2：設(shè)求。解：由滿秩分解公式可得于是其偽逆矩陣為北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**推論：若，則若，則定理：偽逆矩陣唯一。證明：設(shè)都是的偽逆矩陣，則北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**根據(jù)此定理知，若，則。北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**定理：設(shè)，則證明：容易驗(yàn)證(1)，(2)，現(xiàn)在只證(3)。設(shè)是的滿秩分解，則的滿秩分解可以寫(xiě)成北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**其中是列滿秩，為行滿秩，故由式得因此同理可證：北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**例：設(shè)，則是正定或半正定Hermite矩陣，故存在，使得證明解：因?yàn)楸本├砉ご髮W(xué)高數(shù)教研室**不妨設(shè)則北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**其中故于是北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**令由，知北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**因此由得例：已知求。解：的特征值的特征向量為北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**的特征向量為故北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**代入得：北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**練習(xí)1：已知求其奇異值分解與。練習(xí)2

：設(shè)北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**求。答案：（1）奇異值分解式為北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**（2）其偽逆矩陣為北京理工大學(xué)高數(shù)教研室**不相容線性方程組的解定義：設(shè)，，如果維向量對(duì)于任何一個(gè)維向量，都有則稱是方程組的一個(gè)最小二乘解。若是最